期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（二十种类型共80题）2026-2027学年七年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 聚焦期中基础常考与中等易错点，以题型分类构建从概念辨析到综合应用的递进训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础常考|10类型（无理数定义、多项式系次等）|选填为主，侧重概念辨析与基础运算|从实数分类、整式基本概念到有理数运算，构建代数基础认知链| |中等易错|10类型（绝对值非负性、整体代入等）|选填解结合，突出综合应用与易错突破|以基础概念为起点，延伸至分类讨论、新定义运算等复杂情境，培养逻辑推理能力|

期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、无理数的定义与个数(选、填) 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．写出一个比10小的无理数__________． 4．在实数，，，，中，无理数有__________个． 类型二、单(多)项式的系、次、项数(选、填) 1．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 2．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是，次数是6 B．单项式的系数是，次数是9 C．多项式的次数是8，项数是3 D．是二次四项式 3．单项式的系数是 ___________． 4．多项式的次数是__________． 类型三、近似数与科学记数法(选、填) 1．下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 2．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．某县人口约810000人，用科学记数法表示为_____人．用四舍五入法保留三个有效数字是____． 4．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知该器件执行一次擦写任务需要400皮秒，则该器件1秒可以擦写__________次（注：1皮秒等于秒；计算结果用科学记数法表示）． 类型四、相反意义的量与代数式表示数(选、填) 1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（     ） A．元 B．元 C． 元 D．元 2．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 3．钱塘江是浙江的母亲河，其水位随潮汐涨落变化明显．若某观测点的水位上升3.2米记作米，则水位下降1.8米记作______米． 4．早上，李明一家点了4碗二两的宜宾燃面，每碗元，付了元，应找回________元（用含，的代数式表示） 类型五、数轴上两点之间的距离(选、填) 1．如图，若数轴上P，Q两点到原点的距离相等，则点P表示的数是（    ） A．3 B．0 C． D． 2．若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 3．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 4．，，三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”．若数轴上三个不重合的点，，，点表示的数为，点表示的数为，点在点的左侧，则“和谐三点”，，中的点所对应的数为__________． 类型六、绝对值、相反数、倒数的定义及应用(选、填、解) 1．的绝对值是（     ） A． B．6 C． D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．若，则a的倒数为________． 4．已知x，y互为相反数，m，n互为负倒数，a的倒数是它本身，求的值． 类型七、数轴上表示数并比较大小(选、填、解) 1．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．比较大小：__________（填“”，“”，“”）． 4．在数轴上表示下列各数，比较它们的大小并用“”连接． ，，0，， 类型八、有理数的混合运算(选、填、解) 1．下列各运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：_____． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 类型九、有理数的分类(选、填、解) 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数中，既是有理数又是负数的是（  ） A． B． C． D．0 3．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 4．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 类型十、化简求值(解) 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中，满足． 3．先化简，再求值： ，其中 ，． 4．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【中等易错】 类型一、绝对值的非负性(选、填) 1．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 2．如果与互为相反数，那么代数式的值是（   ） A．1 B． C． D．2025 3．已知，则_________，_________． 4．若，则的值为_____________ 类型二、代数式的整体代入(选、填) 1．已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 2．已知实数m满足，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若，则的值为______ ． 4．代数式的值为8，则代数式的值为________． 类型三、二(多)进制(选、填) 1．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 3．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 4．进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如： ．请把五进制数转为十进制数：___________． 类型四、估算无理数(选、填) 1．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．请写出一个比大且比小的整数______． 4．若为正整数，且满足，则______． 类型五、程序流程图(选、填、解) 1．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是，则第2026次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．对于如下运算程序： （1）若，则______． （2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是______． 4．如图，按如下的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果为______． 类型六、平方根与立方根的定义及应用(选、填、解) 1．4的平方根为（     ） A． B． C．2 D． 2．2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 3．计算的结果等于_________． 4．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 类型七、绝对值的分类讨论(选、填、解) 1．若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 2．已知，，，则的值是（    ） A．9 B． C．9或 D．或 3．对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 4．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 类型八、不含某项与某项无关(选、填、解) 1．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 2．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．关于x，y的多项式中不含项，则________． 4．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 类型九、新定义运算(选、填、解) 1．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 2．现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．14 D．6 3．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 4．现定义一种新运算“”，规则如下：．如，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： (1)求的值 (2)化简 类型十、幻方与幻圆问题(选、填、解) 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（   ） A．5 B． C． D．12 2．“幻方”起源于中国，是我们古代数学的杰作之一．如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若比大2，将填入图②的幻方中，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 3．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，，0，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为_____． 4．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在我国夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是_____； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为（为整数），请用含的代数式将图3幻方补充完整． (3)请将、、、、0、1、2、3、4这9个数分别填入图4的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、无理数的定义与个数(选、填) 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，逐个判断选项中的数是否为无限不循环小数． 【详解】解：A、是负整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、，是正整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、属于无理数，故本选项符合题意； D、是有限小数，属于分数，是有理数，故本选项不符合题意； 2．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先化简，再筛选无理数即可． 【详解】解：和5是整数，是有限小数，是分数，均为有理数，，和（相邻两个1之间多一个0）是无限不循环小数，为无理数， 即无理数共2个． 3．写出一个比10小的无理数__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】只需找出一个无限不循环小数，且数值小于的数即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，， ∴是符合要求的无理数，本题答案不唯一． 4．在实数，，，，中，无理数有__________个． 【答案】 【分析】本题根据无理数的定义，逐个判断即可． 【详解】无理数的定义为：无限不循环小数是无理数． 是整数，属于有理数； 中是开方开不尽的数，因此是无理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数． 综上，无理数共有个． 类型二、单(多)项式的系、次、项数(选、填) 1．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，根据概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 2．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是，次数是6 B．单项式的系数是，次数是9 C．多项式的次数是8，项数是3 D．是二次四项式 【答案】C 【详解】解：A、的系数是，次数是3，故A不符合题意； B、单项式的系数是，次数是，故B不符合题意； C、多项式的次数是8，项数是3，故C符合题意； D、是二次三项式，故D不符合题意． 3．单项式的系数是 ___________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义求解，注意是常数不是字母，需计入系数，不要遗漏原式的负号. 【详解】解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 4．多项式的次数是__________． 【答案】 【分析】根据多项式次数的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式次数的定义求解． 【详解】解：多项式的各项分别为，，， 其中的次数为， 的次数为， 是常数项，次数为， 多项式的次数定义为多项式中最高次项的次数， 因为， ∴该多项式的次数为． 类型三、近似数与科学记数法(选、填) 1．下列近似数的结论不正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．万精确到百分位 C．（精确到百分位） D．（精确到千分位） 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，根据精确度定义逐一判断选项即可，带计数单位的近似数需要还原后判断精确度． 【详解】解：A、的末位是十分位，即精确到十分位，结论正确，不符合题意； B、万，末位数字6在百位，因此万精确到百位，不是百分位，结论错误，符合题意； C、的末位数字在百分位，因此精确到百分位，结论正确，不符合题意； D、的末位数字在千分位，因此精确到千分位，结论正确，不符合题意． 2．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：将1200000000的小数点向左移动，直到得到的数满足，可得，1200000000的小数点向左移动了9位，所以．因此1200000000用科学记数法表示为． 3．某县人口约810000人，用科学记数法表示为_____人．用四舍五入法保留三个有效数字是____． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值可得第一空的答案；保留三位有效数字，即对千分位上的数字进行四舍五入，据此可得第二空的答案． 【详解】解：人人； 用四舍五入法保留三个有效数字是． 4．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知该器件执行一次擦写任务需要400皮秒，则该器件1秒可以擦写__________次（注：1皮秒等于秒；计算结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】先根据单位换算得到单次擦写的时间，再用总时间除以单次擦写时间计算次数，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可得，1次擦写需要的时间为 秒， 则1秒可以擦写的次数为 ． 类型四、相反意义的量与代数式表示数(选、填) 1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（     ） A．元 B．元 C． 元 D．元 【答案】A 【分析】根据正负数表示相反意义的量，即可得到答案． 【详解】解：∵ 盈利与亏本是意义相反的两种量，且盈利元记作元，即盈利记为正，那么亏本记为负， ∴ 亏本元记作元． 2．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 3．钱塘江是浙江的母亲河，其水位随潮汐涨落变化明显．若某观测点的水位上升3.2米记作米，则水位下降1.8米记作______米． 【答案】 【详解】解：某观测点的水位上升3.2米记作米，则水位下降1.8米记作米． 4．早上，李明一家点了4碗二两的宜宾燃面，每碗元，付了元，应找回________元（用含，的代数式表示） 【答案】/ 【分析】先求出4碗燃面的总花费，再用付款金额减去总花费，即可得到应找回的金额，列出对应的代数式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，每碗燃面元，4碗燃面的总花费为元， 已知付款金额为元，应找回的金额为付款金额减去总花费，即元． 类型五、数轴上两点之间的距离(选、填) 1．如图，若数轴上P，Q两点到原点的距离相等，则点P表示的数是（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定点Q表示的数，利用P、Q 到原点距离相等且位于原点两侧，可知P、Q 互为相反数，从而求出点P表示的数． 【详解】解：由图可知，点Q表示的数为3， ∵点P，Q到原点的距离相等，且点P在原点左侧，点Q在原点右侧， ∴点P与点Q表示的数互为相反数． ∴点P 表示的数为． 2．若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】C 【分析】分所求点在点A的左侧和右侧两种情况讨论，分别计算即可得到结果，注意不要漏解． 【详解】解：∵点A表示的数是2，所求点与点A相距5个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为． ∴所求点表示的数为或． 3．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 【答案】5 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，则可得到的长，根据点C在点B的右侧，可知点C表示的数为点B表示的数加上点B与点C之间的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴， ∵， ∴， ∵C在B的右侧， ∴点C表示的数为． 4．，，三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”．若数轴上三个不重合的点，，，点表示的数为，点表示的数为，点在点的左侧，则“和谐三点”，，中的点所对应的数为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴，分类讨论的思想，理解并熟练应用新定义是解题的关键． 依据“和谐三点”的定义，点在点的左侧，在、之间，两种情形解答即可． 【详解】解：点在点的左侧时， ∵，，三个点是“和谐三点”， ∴， ∴点对应的数表示为； 当点在、之间时， ∵，，三个点是“和谐三点”， ∴， ∴点对应的数表示为； 综上所述，符合“和谐三点”的点对应的数表示为：或． 故答案为：或． 类型六、绝对值、相反数、倒数的定义及应用(选、填、解) 1．的绝对值是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先化简，再判断各选项第二个数是否为其相反数． 【详解】解：， 选项：，不符合要求； 选项：，不符合要求； 选项：，与互为相反数，符合要求； 选项：，不符合要求． 3．若，则a的倒数为________． 【答案】 【详解】解：∵的倒数为； ∴a的倒数为. 4．已知x，y互为相反数，m，n互为负倒数，a的倒数是它本身，求的值． 【答案】当时，原式的值为；当时，原式的值为 【分析】根据相反数、负倒数、倒数的定义，求出相关代数式的值与a的取值，再分情况代入计算． 【详解】解： x，y互为相反数， ，， m，n互为负倒数， ， 原式， a的倒数是它本身， 或， 当时，原式， 当时，原式． 类型七、数轴上表示数并比较大小(选、填、解) 1．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 2．数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，根据题意把，，表示在数轴上，进而根据数轴比较大小，即可求解． 【详解】解：如图所示，把，，表示在数轴上， ∴ 故选：B． 3．比较大小：__________（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值，掌握两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小是解题的关键． 根据比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小即可． 【详解】解：因为， 所以，，且， 所以． 故答案为：． 4．在数轴上表示下列各数，比较它们的大小并用“”连接． ，，0，， 【答案】 在数轴上表示为： 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 将各数表示在数轴上，根据数轴的性质，从原点越往左数值越小，越往右数值越大，据此解答即可． 【详解】解：，，0，，， 则． 类型八、有理数的混合运算(选、填、解) 1．下列各运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A：根据有理数减法法则，把减法都转化成加法计算； B：根据有理数减法法则，把减法都转化成加法计算； C：根据有理数加法法则计算； D：根据有理数减法法则，把减法都转化成加法计算． 【详解】解：A：原式，∴不符合题意； B：原式，∴不符合题意； C：原式，∴不符合题意； D：原式，∴符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，掌握把有理数加减法统一成加法是解题关键． 2．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据加法运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，故原式计算错误，不符合题意； B、，故原式计算错误，不符合题意； C、，故原式计算正确，符合题意； D、，故原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)23 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）根据有理数乘除运算法则求解即可； （3）首先将除法转化为乘法，再运用乘法运算律进行计算，然后进一步求解即可； （4）首先进行括号内运算、乘方运算、化简绝对值，再进行乘除运算，然后相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型九、有理数的分类(选、填、解) 1．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 2．下列各数中，既是有理数又是负数的是（  ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：A．是无理数，不符合题意； B．是无理数，不符合题意； C．是有理数且为负数，符合题意； D．0是有理数但不是负数，不符合题意． 3．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 【答案】 ，， ， ， 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 4．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 类型十、化简求值(解) 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再由非负数的性质求出x、y的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 2．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】； 【分析】根据去括号，合并同类项对整式进行化简，根据绝对值和偶次方的非负性求出m，n的值，代入即可解答． 【详解】解：原式 ． ， ，． 原式． 3．先化简，再求值： ，其中 ，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后将所给的，值代入计算即可． 【详解】解：原式 ；                  当，时， 原式 ． 4．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据去括号，合并同类项，然后转化为代数式的值计算即可． （2）根据去括号，合并同类项，然后转化为代数式的值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． 当时，原式． （2）解：原式 ． 当，时， 原式． 【中等易错】 类型一、绝对值的非负性(选、填) 1．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性、求代数式的值； 根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都必须为零，从而求出a和b的值，再代入即可求值． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．如果与互为相反数，那么代数式的值是（   ） A．1 B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的性质，代数式求值，掌握互为相反数的两数和为0，且非负数相加为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据题意得到，求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，， 所以． 故选：B． 3．已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 4．若，则的值为_____________ 【答案】6 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分都为零，求出 x， y，z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：6． 类型二、代数式的整体代入(选、填) 1．已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先将所求代数式变形为含已知式子的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 把代入上式， 原式 ． 2．已知实数m满足，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据已知等式得到，将所求多项式逐步降次，代入后化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 代入得： ， 再次代入得 ． 3．若，则的值为______ ． 【答案】 【分析】对原式进行因式变形，再将整体代入计算，即可求得结果． 【详解】解：， ∴ ． 4．代数式的值为8，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知代数式的值得到的值.再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：由题意得： 移项得： 对所求代数式变形得：， 将代入得． 类型三、二(多)进制(选、填) 1．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 2．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的转换，结合题意把十进制数转换成二进制数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴十进制数是二进制下的11位数， 3．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 【答案】 【分析】根据题意推断即可求解． 【详解】等于十进制的数． 4．进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如： ．请把五进制数转为十进制数：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，进制转换，将五进制数转换为十进制数，需根据位值原理，将每位数字乘以5的相应次幂后求和，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 类型四、估算无理数(选、填) 1．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 2．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 3．请写出一个比大且比小的整数______． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】先估算和的取值范围，再找出两个数之间的整数，任选一个作答即可． 【详解】解： ， 又， ，即 因此比大且比小的整数为，，，任选一个即可． 4．若为正整数，且满足，则______． 【答案】3 【详解】解：∵ ，而为正整数，且满足， ． 类型五、程序流程图(选、填、解) 1．小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是，则第2026次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】求出第次运算结果，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：由题意得：第1次运算结果输出的是， 第2次运算结果输出的是， 第3次运算结果输出的是， 第4次运算结果输出的是， 第5次运算结果输出的是， 第6次运算结果输出的是， 第7次运算结果输出的是， 归纳类推得：从第2次开始，运算结果按为一个周期循环， ∵， ∴第2026次输出的结果与第4次运算结果相同，即为1． 3．对于如下运算程序： （1）若，则______． （2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义． （1）根据题目中的运算程序代入计算即可； （2）综合立方根和无理数的定义即可求解． 【详解】解：（1）输入，得到， 不是无理数不能输出，返回可得：， 是无理数可以输出， ， 故答案为：， （2），，， 输入的值为，或时，无法得到的值， 故答案为：或． 4．如图，按如下的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了流程图与有理数的混合运算，解题的关键是正确理解流程图． 根据流程图的运行程序代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， 则， ∴此时输出， 故答案为：． 类型六、平方根与立方根的定义及应用(选、填、解) 1．4的平方根为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 2．2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是． 3．计算的结果等于_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． 4．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 类型七、绝对值的分类讨论(选、填、解) 1．若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】D 【分析】由推出是解题关键，结合绝对值的定义确定的取值后代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ，或， 当时，， 当时，， 的值为或． 2．已知，，，则的值是（    ） A．9 B． C．9或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加法运算，由题意得，，根据得，可得，或，，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，或， ∴或． 故选：D． 3．对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 【答案】 或或或 【分析】根据的正负性分类讨论，利用绝对值的性质计算即可 【详解】解：对任意非零有理数，当时，，当时，，按中负数的个数分类讨论： 当负数个数为，即三个数都为正数，原式； 当负数个数为，即两个正数一个负数，原式； 当负数个数为，即一个正数两个负数，原式； 当负数个数为，即三个数都为负数，原式； 综上，原式的结果为或或或． 4．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）略 类型八、不含某项与某项无关(选、填、解) 1．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 2．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 3．关于x，y的多项式中不含项，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式．根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答． 【详解】解： ， ∵多项式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 4．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 类型九、新定义运算(选、填、解) 1．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：由，得. 2．现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．14 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 3．对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【答案】 【分析】先根据新的定义可得，，再作为整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由①②得：，即， 由②①得：，即， ∴． 4．现定义一种新运算“”，规则如下：．如，且在运算过程中，有括号的要先算括号里面的．请解答下列问题： (1)求的值 (2)化简 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型十、幻方与幻圆问题(选、填、解) 1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将九个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为（   ） A．5 B． C． D．12 【答案】A 【详解】解：由对角线和最后一列可得 ， ∴ ． 2．“幻方”起源于中国，是我们古代数学的杰作之一．如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若比大2，将填入图②的幻方中，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值．首先得到，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，即可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵y比x大2， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，，，，0，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则图中的值为_____． 【答案】或8 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，代数式求值．根据题意求出横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和为，再根据规律求解即可． 【详解】解：根据横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等， 得出， 由得， ，，，，0，3，4，5这8个数的和是， ∴内、外两圈上的4个数字之和都是， 由得， 由得， ∴，，或，， ∴，或， 故答案为：或8． 4．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在我国夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是_____； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为（为整数），请用含的代数式将图3幻方补充完整． (3)请将、、、、0、1、2、3、4这9个数分别填入图4的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等． 【答案】(1)15 (2)见表格 (3)见表格 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数加减法的应用，理解幻方的概念是解题关键． （1）根据幻方中的数字计算即可； （2）由图形可知，幻方中每行、每列、每条对角线上三个数的和是，再用含的代数式表示出空白处代数式，补充幻方即可； （3）填入的9个数的和可知，幻方中每行、每列、每条对角线上三个数的和是，据此填入幻方即可． 【详解】（1）解：在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是， 故答案为：15 （2）解：由图形可知，幻方中每行、每列、每条对角线上三个数的和是， 则第一行第三列的代数式为， 第二行第三列的代数式为， 第三行第二列的代数式为， 补充后的幻方如下： （3）解：填入的9个数的和为， 则幻方中每行、每列、每条对角线上三个数的和是， 填入幻方如下： 1 2 0 4 3 1 学科网（北京）股份有限公司 $