专题02 有理数的运算（期中真题汇编）七年级数学上学期新教材人教版

**基本信息** 有理数运算专题汇编，覆盖7大高频考点，精选多地期中及高考真题，注重基础巩固与实际应用，情境融合生活、科技及文化元素。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|题量丰富|有理数加减乘除、乘方、科学记数法、近似数|结合《九章算术》（文化）、出租车行程（生活）、航天数据（科技），解答题含新定义运算与实际应用计算|

专题02 有理数的运算 7大高频考点概览 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．（25-26学年七上·山西太原·期中）依据“有理数加法法则”进行异号两数相加时，用到以下操作： ①将绝对值较大的加数的符号作为和的符号 ②用较大的绝对值减去较小的绝对值 ③求两个加数的绝对值，并比较它们的大小 下列操作顺序正确的是（     ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 【答案】B 【分析】 本题考查了有理数加法法则． 根据有理数加法法则，异号两数相加时，需先比较绝对值大小，再确定和的符号，最后进行绝对值相减． 【详解】 解：∵异号两数相加，必须先求两个加数的绝对值并比较大小（操作③ ），才能确定哪个绝对值较大； ∴接着将绝对值较大的加数的符号作为和的符号（操作① ）； ∴最后用较大的绝对值减去较小的绝对值（操作② ）； 故操作顺序为③ ① ② ， 故选：B． 2．（25-26学年七上·云南昆明·期中）若a与b互为相反数，则　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数的两个数相加得0是解题的关键． 根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 【详解】 解：若有理数a与b互为相反数，则， 故答案为：0． 3．（25-26学年七上·广西柳州·期中）出租车司机小张某天上午营运全是在东西走向的天目山路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ， ， ，，，，，． （1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为0.7升/千米，出车时，油箱有油50升，间：小张今天上午是否需要加油？请说明理由． 【答案】（1）2千米，在出发点的正西方向；     （2）需要加油，理由： 依题意，小张全天路程的总和为：， 需要加油．      【分析】 （1）根据题意与绝对值的意义可知，距上午出发点的距离是所有数的和的绝对值，所有数的和的符号代表了在出发点的方向； （2）根据绝对值的意义可知，所有数的绝对值的和即为小张全天的路程总和，再计算实际耗油量即可判断． (1) 小问详解： 小张距上午出发点的距离是2千米，在出发点的正西方向． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查正负数在生活中的实际应用，准确理解题意并运用绝对值的意义解题是本题的关键． 4．（25-26学年七上·天津南开·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数的加法，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2即可列式求解，掌握有理数加法的运算法则是关键． 【详解】 解：根据图1可知：白色表示负数，黑色表示正数， 图2表示的计算过程为：． 故答案为：． 5．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）若为有理数，则下列结论正确的有　　　　　　　．（只需填写序号） ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 【答案】② ④ 【分析】 相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，对四个命题逐一分析每个命题的正确性． 【详解】 解：① 不正确：反例： 若，，则， 但，， 故，不满足 ． ② 正确：若，则不等式两边同乘，不等号方向改变， 得， 即的相反数小于的相反数． ③ 不正确：反例：若，，则， 但，， 故，不满足． ④ 正确：若，，则，， 故，即． 故答案为：② ④ ． 【点睛】 本题考查了相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点02 有理数的减法 1．（25-26学年七上·广东中山·期中）在数轴上若将一点从原点处先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度到达点M，则点M表示的数是（       ） A. 5 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了与数轴相关的有理数的加减运算，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．根据有理数的加减运算解答即可． 【详解】 解：数轴上若将一点从原点处先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度到达点M，则点表示的数是． 故选：D． 2．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）已知，，且，则的值为（       ） A. 或 B. 8或2 C. 或2 D. 8或 【答案】A 【分析】 本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，． 的值为或， 故选：． 3．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）把写成省略括号的和的形式是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了有理数加减混合运算，根据有理数加法法则、减法法则将括号前的符号与括号内的数结合，改写为省略括号的和的形式即可； 【详解】 解： ， ， 故选D． 4．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）如下是李叔叔月日至月日的微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款,月日：扫二维码付款给便利店后余额为（　　） 零钱明细 扫二维码付款给超市月号：        余额 扫二维码付款给便利店月号：        余额 微信红包月号：        余额 微信红包月号：        余额 扫二维码付款给肉食店月号：        余额 A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【分析】 本题考查有理数加减法的实际应用，需通过后续交易余额逆向推导特定交易后的余额（正数收款、负数付款）．解题关键是理清交易时间顺序与余额逻辑． 根据题意列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意得：（元）， ∴月日：扫二维码付款给便利店后余额为元， 故选：C． 5．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）如图，点、对应的数是、，点在和对应的两点（包括这两点）之间移动，点在和0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的取值中，可以比小的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查有理数运算和大小比较，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 根据数轴上、的位置，得，且，据此逐项判断即可． 【详解】 解：根据题意得，、， 则、， A、，由于，则不符合题意； B、，由于，则不符合题意； C、，由于最小值为，则不符合题意； D、，，当是一个比小很多的负数时，也可以是比小的负数，则符合题意． 故选：D． 6．（25-26学年七上·天津南开·期中）计算的结果为　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查有理数的加减运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】 解： ， 故答案为：7． 7．（25-26学年七上·广西柳州·期中）如图是我市某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高　　　　　　． 小雪 气温：~ 风向风力：微风 【答案】9 【分析】 直接用最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】 解：， ∴该天最高气温比最低气温高， 故答案为：9． 【点睛】 本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确计算是解题的关键． 8．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查有理数加减运算;理解拆项法，简化运算是解题的关键． （1）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理； （2）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理． (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 原式 ． 9．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）某足球守门员练习折返跑，若以球门线为基准，向前跑记为正，返回跑记为负，一段时间内，他的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，（假定开始时，守门员正好在球门线上）． （1）守门员最后是否回到了球门线上？ （2）这段时间内，守门员一共跑了多少米？ 【答案】（1）守门员最后回到了球门线上     （2）这位守门员一共跑动48米．      【分析】 本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用． （1）求出所有数据的和，根据和的情况进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值进行相加，即可得出结果． (1) 小问详解： 解：； 故守门员最后回到了球门线上； (2) 小问详解： 解：（米）； 答：这位守门员一共跑了48米． 10．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 （1）归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 （2）计算：； 【拓展延伸】 （3）探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 【答案】（1）由题意得， “⊕”运算的运算法则如下：同号两数进行“⊕”运算，结果为两数的差的绝对值；异号两数进行“⊕”运算，结果为两数差的绝对值的相反数；一个数与0进行运算“⊕”运算和0与一个数进行运算“⊕”运算，结果为原数． （2）4； （3）交换律（为有理数）成立，理由如下： 若a，b同号，，， ； 若a，b异号，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ； 若，，，， 综上，交换律交换律（为有理数）成立， 【分析】 （1）依据给出的算式归纳即可； （2）利用（1）中归纳的法则解答即可； （3）利用（1）中归纳的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，熟练掌握新定义逼格熟练应用是解题的关键． 【详解】 解：（1）略 （2） ； （3）略 11．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）某科技公司工作小组计划每天生产40架无人机，但实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是该工作小组第一周的生产情况（超过每天计划量为正，低于每天计划量为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产量 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产____架； （2）第一周该公司能否完成生产计划； （3）该公司实行每天计件工资制，每生产一架无人机可得30元，若当天生产量超过计划量，则超过部分每架额外奖励5元；若当天生产量低于计划量，则每少一架扣除10元；则第一周该工作小组的收入为多少？ 【答案】（1）8     （2）能完成     （3）8385元      【分析】 本题考查了正数与负数，有理数混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，可以计算出生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少架无人机； （2）把表格中的生产量都相加，根据和的正负即可得出结论； （3）根据题意，可以列出算式，然后计算即可． (1) 小问详解： 解：（架）， 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车8架， 故答案为：8； (2) 小问详解： 解：， 所以第一周该公司能完成生产计划； (3) 小问详解： 解： （元）， 答：第一周该工作小组的收入为8385元． 12．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． （1）上述材料中，序号①的内容为___________； （2）利用上述材料的方法计算：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数和分数。 （2）运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 (1) 小问详解： 解：由拆项法可知，， 故答案为：． (2) 小问详解： ． 13．（25-26学年七上·北京海淀·期中）在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距　　　　　　　　　　米 【答案】10或14 【分析】 本题主要考查了整数的加减运算的应用，理解游戏过程以及分类讨论思想是解题的关键． 先分析确定胜负情况，然后运用整数的加减运算求解即可． 【详解】 解：小亮出现一次3连胜前进：； 小伟出现一次3连胜和一次4连胜，； 其余10回合为小亮胜6回合或小伟胜5回合， ① 当其余10回合小亮胜6回合时，则负4回合，总共负11回合， ∴其余10回合小伟负6回合时，则胜4回合，总共负9回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； ② 当其余10回合小亮胜5回合时，则负5回合，总共负12回合， ∴其余10回合小伟负5回合时，则胜5回合，总共负8回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； 综上，游戏结束时两人相距为10或14米． 故答案为：10或14． 考点03 有理数的乘法 1．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）﹣6的倒数是（　　） A. ﹣ B.  C. ﹣6 D. 6 【答案】A 【详解】解：﹣6的倒数是﹣．故选A． 2．（25-26学年七上·天津南开·期中）的相反数的倒数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了倒数和相反数，熟悉理解倒数和相反数是解题的关键． 先求的相反数，再求其倒数． 【详解】 的相反数为：， 的倒数为：； 故选：D． 3．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）有理数的倒数等于（　　） A.  B.  C. 3 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查倒数的概念，理解概念掌握性质是解题的关键． 根据倒数的定义，一个数的倒数是指与它相乘等于1的数． 【详解】 解：的倒数为． 故选：C． 4．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）下列四个数中，的倒数是（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查倒数，根据积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】 解：的倒数是； 故选C． 5．（25-26学年七上·广西柳州·期中）的倒数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】 解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 6．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）2025的相反数是（     ） A. 2025 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】 解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 7．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的乘法运算，绝对值，有理数大小比较，根据相关知识点逐个计算后判断即可． 【详解】 解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年七上·河南·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 倒数等于本身的数是、0、1 B. 一对相反数的平方也互为相反数 C. 两个有理数的差一定小于被减数 D. 数轴上的点不都表示有理数 【答案】D 【分析】 本题考查倒数、相反数、有理数减法和数轴的概念，通过倒数、相反数、有理数减法和数轴的概念逐一分析选项，判断其正确性即可． 【详解】 解：∵倒数定义为乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数， ∴倒数等于本身的数只有1和，选项A错误； ∵一对相反数a和的平方均为，相等而非相反数， ∴选项B错误； ∵有理数的差可能大于被减数，如， ∴选项C错误； ∵数轴上的点可以表示所有实数， ∴数轴上的点不都表示有理数，选项D正确． 故选：D． 9．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）若，则下列说法正确的是（　　） A. 同号 B. 异号，若，则 C. 异号，若，则 D. 以上均有可能 【答案】B 【分析】 由可知异号；由可知正数的绝对值大于负数的绝对值，由此判断即可；本题考查了有理数的加法和乘法，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴异号， 又∵， ∴正数的绝对值大于负数的绝对值； ∴若，则； 故选：B． 10．（25-26学年七上·北京海淀·期中）如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A. 点A左侧 B. 点A与点C之间 C. 点C与点B之间 D. 点B右侧 【答案】C 【分析】 本题考查了数轴，解决本题的关键是确定题中三个数的正负． 根据数轴上点的与原点的距离即可求解． 【详解】 解：由题意可知：． 因为且， 所以，，， 即原点的位置在点A与点B之间且更靠近点B， 则原点的位置在点C与点B之间． 故选：C． 11．（2026·高考真题）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ （3）若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ （4）若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】（1）小李在迎泽公园门口西边2处     （2）第6位     （3）6.8立方米     （4）56.8元      【分析】 本题考查正负数的意义，理解有理数的意义，明确符号和绝对值的意义是正确解答的前提． （1）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （2）分别计算出送每一个顾客时，距公园的距离，进而得出答案； （3）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （4）八名顾客均有起步价，再求出超出3千米的加价 即可求出总车费． (1) 小问详解： 解：， 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在迎泽公园门口西边处． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ， ． ∴将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远． (3) 小问详解： 解：， 答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米． (4) 小问详解： 解：元， 答：小李这天上午共得车费56.8元． 12．（25-26学年七上·云南昆明·期中）﹣2的倒数是　　　． 【答案】 【分析】 直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】 根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数． 所以的倒数为． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键 13．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）计算的过程中运用的运算律是　　　　　　． 【答案】乘法的交换律和乘法的结合律 【分析】 本题考查了有理数的乘法运算律，在计算过程中，通过改变因子的顺序和分组，简化运算步骤，这涉及乘法运算律的应用． 【详解】 解：的过程中运用的运算律是乘法的交换律和乘法的结合律， 故答案为：乘法的交换律和乘法的结合律． 14．（25-26学年七上·广西柳州·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零；由题意得且；即可求解； 【详解】 解：∵ 且 ，且 ， ∴且； 解得，； ∴； 故答案为： 15．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）-5的倒数是　　　　　　　 【答案】-0.2 【分析】 根据倒数的定义即可得出答案． 【详解】 解：的倒数是； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了倒数的定义．解题的关键是掌握若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 16．（25-26学年七上·河南·期中）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）20筐白菜总重量为多少千克． 【答案】（1）5.5千克     （2）超过8千克     （3）508千克      【分析】 此题考查正数和负数，有理数混合运算的应用，解题关键在于利用图中信息进行计算． （1）根据最大数减去最小数，可得最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克； （2）根据有理数的运算，可得20筐白菜总计超过或不足多少千克； （3）根据标准重量+超过的重量可得总重量． (1) 小问详解： 解：（千克）， 答：20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重5.5千克； (2) 小问详解： （千克） 答：与标准质量比较，20筐白菜总计超过8千克； (3) 小问详解： (千克) 答：20筐白菜总重量为508千克． 17．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义的运算规则进行计算． （1）直接根据新运算解答即可； （2）直接根据新运算解答即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：， ． 18．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）某检修队从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，这个检修队一天中的行程记录如下（单位：km）∶ ．若检修队所乘汽车每千米耗油，问： （1）检修队收工地在何处？ （2）从出发到收工共耗油多少升？ 【答案】（1）在A处     （2）12.6升      【分析】 （1）将所有数据相加，根据和的情况进行说明即可； （2）将所有数据的绝对值相加，用和乘以汽车每千米的油耗即可得解． (1) 小问详解： ， ∴检修队收工地在A处； (2) 小问详解： ， 升； ∴从出发到收工共耗油12.6升． 【点睛】 本题考查正负数的实际应用和有理数的加法运算．根据题意正确的列出代数式是解题的关键． 19．（25-26学年七上·天津南开·期中）若，，且，则的值为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 由绝对值的性质可知和的可能取值，再根据条件筛选出满足条件的和的值，最后计算的值． 【详解】 由， 可得：或；或； 由于，当时，必须大于，但，无解； 当时，，结合，得或，均满足， 因此，当，时，； 当，时，； 综上值为或， 故答案为：或． 20．（25-26学年七上·广西柳州·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法分配律计算即可． 【详解】 解：原式 . 21．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）一只小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： （1）小虫最后是否会回到出发点O？ （2）在爬行的过程中，如果每爬行1厘米奖励2粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】（1）小虫最后不会回到出发点O     （2）108粒      【分析】 本题考查了有理数的加法运算，正负数的应用，有理数的乘法应用，绝对值的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把数值通过加法列式，再计算得出结果为，故小虫最后不会回到出发点O； （2）先求出小虫爬行的总路程，再结合每爬行1厘米奖励2粒芝麻，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：小虫最后不会回到出发点O，理由如下： ， ∴小虫最后不会回到出发点O； (2) 小问详解： 解：依题意，（厘米）， ∴（粒）． 22．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为　　　　　　尺． 【答案】 【分析】 本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式． 根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可． 【详解】 解：（尺） 故答案为：． 23．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）国庆长假后，某高速公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护，约定向东巡视为正，向西巡视为负，当天的行驶记录如下（单位：）：． （1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）若汽车耗油量为，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】（1）在出发点的东边，距出发点     （2）升      【分析】 本题考查正数和负数的意义及有理数加减混合运算，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示；理解“正”和“负”的相对性并熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）求出这组数据的和，根据结果的正负即可的养护小组最后到达的位置； （2）求出这组数据的绝对值的和，即行驶的总里程，乘以，即可得答案． (1) 小问详解： 解：， 即最后到达的地方在出发点的东边，距出发点； (2) 小问详解： 解：， 升， 即这次养护共耗油升． 24．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：．解：　　第一步　　第二步　　第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 【答案】解：原解题步骤从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 ． 【分析】 本题考查了有理数的混合运算． 原解题步骤第一步使用乘法分配律计算时忘掉了符号；根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】 略 25．（25-26学年七上·山西太原·期中）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试．分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 道法 地理 历史 物理 化学 生物 相对分数 已知该产品的地理测试分数为分． （1）请补全上表； （2）在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为______分．最低分为______分； （3）求该产品在本次测试中全科目的总分． 【答案】（1） 补全表格如下：     （2），     （3）      科目 语文 数学 英语 道法 地理 历史 物理 化学 生物 相对分数 【分析】 本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）求出地理的相对分数，再补全表格即可求解； （2）用基准分数加上最高的相对分数可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上最低的相对分数可求出该产品所得的最低分； （3）先求出所有相对分数的和，再用基准分数科目数相对分数的和，即可求解． (1) 小问详解： 解：该产品的地理测试分数为分， 地理的相对分数为（分）； (2) 小问详解： 该产品所得最高分为（分）， 该产品所得最低分为（分）， 故答案为：，； (3) 小问详解： （分）， 该产品在本次测试中全科目的总分为：（分）． 26．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）已知有理数，． （1）若，，则______，______（填“”，“”或“”）； （2）若，，则_____，______（填“”，“”或“”）； （3）已知，，且，，求的值． 【答案】（1），     （2），     （3）      【分析】 本题考查了绝对值，有理数的乘法和加法运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）由可得，或，，结合，即可求解； （2）由可得，或，，结合，即可求解； （3）根据绝对值的定义可得，，由，，可得，，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ，或，， 又， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： ， ，或，， 又， ，， 故答案为：，； (3) 小问详解： ，， ，， ，， 与异号，且正数的绝对值较大， ∴为正数，为负数， ，， ． 27．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）“十一”第一天，出租车司机张师傅沿东西走向的康庄大道上运送乘客，如果约定向东为正，向西为负，当天从停靠点 A 出发连续运送八位乘客的行驶记录如下（单位：千米）：， ， ， ， ， ， ，． （1）求张师傅最后到达的地方在停靠点 A 的什么方向？与停靠点 A 相距多少千米？ （2）若出租车每行驶 1 千米耗油 0.1 升，则运送这八位乘客共耗油多少升？ 【答案】（1）西方，相距10千米     （2）8.4升      【分析】 （）把各数相加计算即可求解； （）利用绝对值的意义求出总路程，再乘以每千米耗油即可求解； 本题考查了绝对值的意义，有理数加法、乘法运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 答：张师傅最后到达的地方在停靠点的西方，与停靠点相距千米； (2) 小问详解： 解：， ， 答：运送这八位乘客共耗油升； 28．（25-26学年七上·北京海淀·期中）用晶圆制造芯片涉及上千道工序，一枚晶圆可制造的有效芯片约为500颗．现随机抽取八枚品圆、统计其制造的有效芯片数量，以500颗为标准数量，超过的颗数记为正数，不足的颗数记为负数，记录如下： 晶圆编号 1 2 3 4 5 6 7 8 有效芯片情况 已知4号晶圆制造的有效芯片为513颗， （1）a的值为　　　　　　； （2）在这八枚晶圆中，一枚晶圆制造的有效芯片数量最多为　　　　　　颗，最少为　　　　　　颗； （3）求这八枚晶圆制造的有效芯片的总数量． 【答案】（1）13     （2）520；490     （3）这八枚晶圆制造的有效芯片的总数量为4041颗      【分析】 本题考查正负数表示相反意义量，有理数四则运算的实际应用，掌握正负数表示相反意义量，有理数的运算法则是解题关键． （1）利用有理数减法的实际应用即可求求解； （2）根据表格，利用有理数的加减法计算即可解答； （3）根据有理数的乘法运算求解即可． (1) 小问详解： 解：， 则a的值为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据表格，在这八枚晶圆中，一枚晶圆制造的有效芯片数量最多为（颗），最少为（颗）， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：根据题意，得 （颗） 答：这八枚晶圆制造的有效芯片的总数量为颗． 考点04 有理数的除法 1．（2026·高考真题）定义运算，比如，下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②此运算中的字母均不能取零；③；④，其中正确的是（       ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【分析】 根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断． 【详解】 ①，① 正确； ② ∵， ∴且，∴② 正确； ③ ∵，， ∴，∴③ 正确； ④ ∵ ， ， ∴， ∴④ 错误． 综上，正确的结论为① ② ③， 故选B． 【点睛】 本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键． 2．（25-26学年七上·北京海淀·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查有理数的加减乘除运算法则，需根据规则逐一计算判断． 【详解】 解：A. ， A错误，不符合题意；        B. ，B错误，不符合题意； C. ， C正确，符合题意；        D. ，D错误，不符合题意． 故选：C． 3．（七上·北京燕山地·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，正确从数轴得到的大小以及正负是解题的关键． 由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【详解】 解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 4．（25-26学年七上·天津南开·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则，先乘除后加减，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】 解：A：，而选项结果为，故A错误； B：，而选项结果为，故B错误； C：先计算乘法，再计算减法，故C正确； D：先计算乘法，再计算加法，而选项结果为，故D错误； 故选：C． 5．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，根据有理数在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了通过数轴判断式子正负，利用数轴比较有理数的大小，根据数轴可得，，所以，从而可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：根据数轴可得：，， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：其中不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了利用数轴判断式子的正负，由数轴可得，且，再逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由数轴可得：，且， ∴，，，， 故选：A． 7．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. a+b＞0 B. a﹣b＞0 C. ab＞0 D. ＜0 【答案】D 【分析】 根据题意可知，且，由此对各选项逐一判断即可． 【详解】 由数轴可知，且， ∴a+b<0，故A错误，不符合题意； a﹣b<0，故B错误，不符合题意； ab<0，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了数轴，根据数在数轴上的位置判断数的符号和式子的符号是解题的关键． 8．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此进行计算即可； （2）根据有理数的除法运算法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，据此进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 9．（七上·北京燕山地·期中）少年儿童标准体重（单位：）常用于评估7至16岁儿童体重的合理性，一种计算公式为：标准体重（公斤）（年龄），下表是七年级数学探究小组的5位同学（年龄都是13岁）的体重（单位：）情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．已知编号5的同学的体重是． 编号 1 2 3 4 5 体重情况 0 （1）①体重是标准体重的同学的编号是____________； ②求出表格中的值； （2）求这5位同学的体重的平均值． 【答案】（1）①；②     （2）这五位同学的体重的平均值为．      【分析】 本题考查的是正负数的应用，平均数的含义． （1）① 结合题意号同学的体重刚好等于标准体重可得答案，② 根据计算公式先求解标准体重，再求解m即可． （2）根据平均数的含义列式，再计算即可． (1) 小问详解： 解：① 由题意可得：体重是标准体重的同学的编号是． ② 由题意可得：标准体重为：， ∴． (2) 小问详解： 解：（千克）． ∴这五位同学的体重的平均值为． 10．（25-26学年七上·云南昆明·期中）在光照充足、四季常青的云南，鲜花是大自然最好的馈赠，丰富的花卉资源，让云南一年四季鲜花不断．某花卉公司对2024年鲜花品种的销售情况进行了统计，绘制成如下统计图： （1）2024年花卉公司鲜花的总销售量为__________万支，销售数量最多的花卉品种比销售数量最少的花卉品种多售出__________万支； （2）根据统计结果，该花卉公司销售玫瑰和向日葵的总量是百合的__________倍． 【答案】（1）200，60；     （2）4      【分析】 本题考查了扇形统计图，条形统计图，有理数的混合运算的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据玫瑰的数量除以占比，得出鲜花的总销售量，再观察条形统计图得出销售数量最多的花卉品种是玫瑰80万支，销售数量最少的花卉品种是向日葵万支，然后列式计算，即可作答． （2）理解题意，列式计算得销售玫瑰和向日葵的总量是百合的4倍，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，（万支）， （万支）， 即2024年花卉公司鲜花的总销售量为200万支，销售数量最多的花卉品种比销售数量最少的花卉品种多售出60万支； 故答案为：200，60； (2) 小问详解： 解：依题意，， ∴该花卉公司销售玫瑰和向日葵的总量是百合的4倍． 11．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）10月16日是世界粮食日，为引导学生形成节约粮食的意识和行为习惯，某中学开展“最美餐桌”活动，要求学生对每天的剩饭量进行统计，若剩饭超过的部分记为“”，剩饭量低于的部分记为“”，下表记录了小明一周7天的剩饭量数据： 星期 一 二 三 四 五 六 日 剩饭量 （1）小明剩饭量最多的一天比最少的一天多多少？ （2）若规定每周剩饭量不超过则达标，请通过计算说明小明这周剩饭量是否达标． 【答案】（1）     （2）不达标      【分析】 本题考查了正数和负数的意义，有理数的加法的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）用剩饭量最多的一天减去最少得一天的重量即可得解； （2）求出小明这周的剩饭量总量，与进行比较即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：小明剩饭量最多的一天比最少的一天多； (2) 小问详解： 解：， ， ∵， ∴小明这周剩饭量不达标． 12．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要　　　　　　　　　　　　分钟． 【答案】85 【分析】 本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：（分钟）； 故答案为85． 13．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）阅读计算 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）开始出现错误的步骤是第_______步； （2）请写出这个计算题的正确解题步骤． 【答案】（1）一     （2） 解： ．      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）运用有理数的加减运算，括号里算得的结果是，由此可得第一步出错； （2）先通分计算括号的数，再运用有理数的乘除混合运算即可求解． (1) 小问详解： 解：根据有理数的加减运算，括号里的结果为： ， 由此可得第一步开始出错， 故答案为：一； (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）某酒店今年推出卖卤菜的摊位，计划每天接待100人次，实际每天的客流量与计划相比，超出记为正数，不足记为负数．以下是最近7天的客流记录（单位：人次）： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 记录（单位：人次） （1）这7天中客流量最多的一天比最少一天增加多少人次？ （2）这7天的总客流量是多少人次？ （3）假设每位买卤菜平均消费50元，其中成本为30元（即每接待1人，平均为30元成本），另外每天固定成本1500元（如租金、工资等），若需前8天总利润达到5000元，那么第8天的客流量比前7天的平均客流量增加了多少人次? 【答案】（1）32人次     （2）728人次     （3）18人次      【分析】 本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行求解； （2）由题意可先得出表格数据的总和，然后问题可求解； （3）由题意易得第8天与前7天的利润差，然后问题可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：（人次）， 答：这7天中客流量最多的一天比最少一天多了32人次． (2) 小问详解： 解：， （人次）， 答：这7天的总客流量是728人次． (3) 小问详解： 解：（元）， （人次）； 答：第8天的客流量比前7天的平均客流量多18人次． 15．（25-26学年七上·江西南昌·期中）小南同学今年3月1号体重为，为响应国家卫健委“体重管理年”号召，积极参加体育锻炼，合理膳食．下表是往后每个月1号的体重变化情况，用正数记录体重比上个月的上升数，用负数记录体重比上个月的下降数．（单位：） 月份 4 5 6 7 8 9 10 体重变化 （1）在表格中，小南体重最低是___________月； （2）目前，国际上常用身体质量指数（，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．小南在10月1号这天量得身高为，请判断小南这天体重是否属于正常范围，并说明理由． 【答案】（1）9     （2）是      【分析】 本题考查了正数和负数的意义，有理数的加法的应用，有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别计算出各个月的体重，比较即可得解； （2）计算出判断即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， ∵， ∴在表格中，小南体重最低是9月； (2) 小问详解： 解：小南这天体重是属于正常范围，理由如下： 由题意可得， ∵中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 故小南这天体重是属于正常范围． 16．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）10月1日“河山添锦绣”巡游活动在光谷东湖高新大道举行，巡道员沿东西向的高新大道进行巡视维护．若规定向东为正方向，巡道员从驻地出发先走了后到达地，又走了到达地，然后继续走了到达地，最后返回驻地． （1）、、三地距离驻地最远的是___________地，地距离驻地___________； （2）若巡道员在巡视过程中的平均速度为，则巡视员完成巡视工作需要多长时间？（结果精确到）． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）分别求出三地离O的距离，通过比较作出判断； （2）根据题意，列出算式计算即可． (1) 小问详解： 解：巡道员从驻地出发先走了后到达地， 此时离驻地的距离为， 又走了到达地，， 此时离驻地的距离为， 然后继续走了到达地，此时离驻地为，此时离驻地的距离为， ， 所以、、三地距离驻地最远的是地，地距离驻地为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 巡道员完成巡视工作需要． 17．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 （1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？ 【答案】（1）平均质量比标准质量多，多1.2克；     （2）抽样检测的总质量是9024克．      【分析】 本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，平均数的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格中的数据计算与标准质量的差值的总数，再除以20，如果是正数，即多，如果是负数，即少； （2）根据标准质量结合前边的结论进行计算抽样检测的总质量． (1) 小问详解： 解：（克）， （克）， ∴这批样品的平均质量比标准质量多，多克； (2) 小问详解： 解：（克）， ∴抽样检测的总质量是9024克． 18．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）某陶瓷厂计划一周生产陶瓷工艺品350个，平均每天生产40个，但实际每天生产量与计划相比有出入，下表是某周的生产情况（以40个为标准，超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） （1）根据记录的数据，该厂本周产量最多的一天比最少的一天多______个； （2）该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为多少个？ （3）已知该厂实行每周计件工资制，每周结算一次，每生产一个工艺品可得5元，若超额完成任务（以280个为标准），则超过部分每个另奖10元，少生产每个扣3元，试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】（1）     （2）该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为个     （3）该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元      【分析】 本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用． （1）根据正数和负数的意义并结合题意列式计算即可得解； （2）根据正数和负数的意义并结合题意列式计算即可得解； （3）利用基本工资加上超额完成的奖励公式列式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：根据记录的数据，该厂本周产量最多的一天比最少的一天多（个）， 故答案为：27； (2) 小问详解： 解：（个）， 故该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为个； (3) 小问详解： 解：（元）， 故该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 19．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． （1）若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； （2）若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】（1）     （2）225，150      【分析】 本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． (1) 小问详解： 解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 20．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律可以使得运算更加简单． （1）下面是计算主要过程，请在如表的方框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数加法法则；②加法交换律；③加法结合律；④分配律；⑤有理数乘法法则；⑥有理数除法法则． （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） ． （2）请使用适当的运算律计算： 【答案】（1）⑥ ，④ ，⑤ ，② ，③ ，①     （2）      【分析】 本题考查了有理数的运算法则． （1）根据有理数的运算法则，运算律解答即可； （2）将除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可． (1) 小问详解： 解： （依据：有理数的除法法则） （依据：分配律） （依据：有理数乘法法则） （依据：加法交换律） （依据：加法结合律） （依据：有理数加法法则） ． 故答案为：⑥ ，④ ，⑤ ，② ，③ ，①； (2) 小问详解： 解： ． 21．（25-26学年七上·广东中山·期中）某司机在东西走向的路上开车接送乘客，从他早晨由A地出发开始（取向东为正），到晚上送走最后一位乘客为止，一天的行驶里程记录如下（单位：）：，，，，，， （1）该司机最后离出发点A地多远？在哪个方向上？ （2）若汽车每行驶耗油，则该汽车今天耗油多少？ 【答案】（1）该司机最后离出发点A地，在A地的西方     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把这些正数和负数全部相加，然后再进行计算即可解答； （2）把这些正数和负数的绝对值全部相加，然后再进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 该司机最后离出发点地，在地的西方； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， ， 该汽车今天耗油． 22．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）同安区某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表所示（进库为正，出库为负，单位：吨），表中星期五的进出数被墨水涂污了． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周天 合计 （1）认真观察如表，请你算出周五的进出数，并说明该数字的实际意义； （2）如果进库和出库的装卸费都是每吨45元，那么该仓库的老板这一周要付多少元的装却费？ 【答案】（1），表示运出货物6吨     （2）8280元      【分析】 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）用合计的进出情况减去除周五外其他六天的进出情况即可得到答案； （2）求出这一周进出情况的总和，再乘以45即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ， ∴周五的进出数为，表示运出货物6吨； (2) 小问详解： 解： 元， 答：该仓库的老板这一周要付8280元的装卸费． 考点05 乘方 1．（2026·高考真题）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】 解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 2．（2026·高考真题）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（     ） A. 34 B. 194 C. 1234 D. 6154 【答案】B 【分析】 本题主要考查了用数字表示事件，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可． 【详解】 解：． 故选B． 3．（25-26学年七上·河南·期中）在有理数，，，，中，负整数一共有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的运算、负整数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 分别计算每个有理数的值，判断其是否为负整数即可． 【详解】 解：，是负整数； ， 不是负整数； ， 不是负整数； ，是负整数； ，是负整数； ∴ 负整数一共有3个． 故选：C． 4．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）下列选项中，结果为负数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相反数的意义，求一个数的绝对值，有理数的乘方运算，有理数的乘法运算，根据运算法则即可求解． 【详解】 A. ，结果不是负数，故该选项不符合题意；        B. ，结果是负数，故该选项符合题意； C. ，结果不是负数，故该选项不符合题意；        D. ，结果不是负数，故该选项不符合题意， 故选：B． 5．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）下列式子可以表示成的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查有理数乘方，关键是理解乘方的含义，乘方表示几个相同因数的积的简便运算． 根据乘方的定义运算即可． 【详解】 解：中3是底数，4是指数，表示4个3相乘， 即． 故选：B． 6．（25-26学年七上·广东中山·期中）下面说法正确的是（       ） A. 任何有理数的绝对值都是正数 B. 负数的奇次幂是正数 C. 一个负数的绝对值是它的相反数 D. 的倒数是1 【答案】C 【分析】 本题考查有理数的绝对值、幂的运算、相反数和倒数的概念；根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A．有理数的绝对值是非负数，包含了0，不符合题意； B．负数的奇次幂是负数，不符合题意； C．负数的绝对值等于它的相反数，例如，3是的相反数，符合题意； D．的倒数是，而不是1，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年七上·河南·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【分析】 本题考查有理数的混合运算，需按照运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，逐一验证每位同学的计算是否正确即可． 【详解】 解：∵ 甲：，故甲错误； ∵ 乙：，故乙错误； ∵ 丙：，故丙错误； ∵ 丁：，且分配律计算也正确，故丁正确； ∴ 做对的同学是丁， 故选：D． 8．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【分析】 本题考查了有理数的乘方；根据题意列出相对应的算式并计算是解题的关键．根据每剪一次，绳子剩下一半列算式求解． 【详解】 解：一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃去一半，还剩米； 第二次吃去剩下的一半，还剩米， 第三次吃去剩下的一半，还剩米， 如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为米， 故选：B． 9．（25-26学年七上·天津南开·期中）下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的乘方运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一运算判断即可． 【详解】 A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误； 故选：C． 10．（25-26学年七上·山西太原·期中）已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，那么（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据数轴上点的位置可得，进而根据相反数的定义，绝对值的意义，以及有理数的乘法进行计算，即可求解． 【详解】 解：根据数轴上点的位置可得，则 A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了在数轴上表示有理数，相反数的定义，绝对值的意义，以及有理数的乘法，得出是解题的关键． 11．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）下列说法正确的是（　　） A. 正数和负数互为相反数 B. 0没有相反数 C. 任何数都不等于它的相反数 D. 互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等 【答案】D 【分析】 只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义逐项判断即可． 本题考查相反数的概念和性质，熟练掌握相反数的定义和偶次幂的性质是解题的关键． 【详解】 解：对于A：正数和负数不一定互为相反数，如3和不是相反数，则A错误； 对于B：0的相反数是0，则B错误； 对于C：0的相反数是0，相等，则C错误； 对于D：设与互为相反数，则，对于正偶数，有，即互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等，则D正确； 故选：D． 12．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）将按从小到大的顺序排列是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘方．根据乘方法则计算各数，根据有理数大小比较的法则比较即可． 【详解】 解：，，， ， ． 故选：B． 13．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】 解：甲：，故甲不正确； 乙：，故乙不正确； 丙：，故丙不正确； 丁：，故丁正确； 所以，我认为做对的同学是丁， 故选：D． 14．（25-26学年七上·广东中山·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入，则输出的结果是（       ） A.  B. 7 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，根据程序流程图列式计算即可得解，读懂程序流程图，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】 解：由程序图可知，若输入， 则 ， 第二次， 则 ， 输出的结果是， 故选：C． 15．（七上·北京燕山地·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（       ） A. 24个 B. 26个 C. 28个 D. 30个 【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的混合运算的实际应用，由题意得两人背单词的总数量为个，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，两人背单词的总数量为个， 同学比同学多背诵的单词数量为个， ∴同学背诵的单词数量为个， 故选：D． 16．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A. 11 B.  C. 13 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，理解程序的要求是解题的关键． 利用程序图进行运算即可解答． 【详解】 解：当时，， ∴当时，，符合要求， ∴最后输出的结果是：13． 故选：C． 17．（25-26学年七上·江西南昌·期中）如图所示，已知点在数轴上表示的数为，则下列各式不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了数轴的相关知识点，有理数的乘方，由数轴可得，再根据有理数的乘方法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：D． 18．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，不同进位制的数字之间也能进行转换，例如二进制数可转化为十进制数（规定当时，）则二进制数转化为八进制数可以表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查有理数的混合运算的应用，根据题意列得正确的算式是解题的关键． 先将展开计算得，再将根据题意写成八进制数． 【详解】 解：对展开计算， ， ， 故转化为八进制数可以表示为． 故选：B． 19．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）下列各式结果是负数的是（     ） A.  B.  C. 的倒数 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相反数，绝对值，倒数的定义，有理数的乘方运算，正数和负数定义，根据相反数，绝对值，倒数定义，有理数的乘方运算法则，负数定义解答即可． 【详解】 解：A．，3是正数，不是负数，故选项A不符合题意； B．，3是正数，不是负数，故选项B不符合题意； C．的倒数是，是负数，故选项C符合题意； D．，9是正数，不是负数，故选项D不符合题意． 故选：C． 20．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）已知，求的值是（     ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了非负数的性质、有理数的乘方，由非负数的性质求出，，再根据有理数的乘方法则计算即可得解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 21．（2026·高考真题）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的乘法运算律进行计算即可得出答案； （2）先计算乘方、再计算括号里面的、然后计算乘法、最后计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 22．（2026·高考真题）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有　　　　　　　　　　个． 【答案】 【分析】 本题主要考查新定义下的实数运算；根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则n是“好数”，据此判断即可． 【详解】 解：根据题意， ∵， ∴8是好数； ∵， ∴9是好数； ∵，11是一个质数， ∴10不是好数； ∵， ∴11是好数； ∵，13是一个质数， ∴12不是好数． 综上，可得在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有3个：8、9、11． 故答案为：． 23．（2026·高考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】 ∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 24．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）计算的结果为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 25．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为5，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】26 【分析】 此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出，，的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：，，或， 则， 则原式， 故答案为：26． 26．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）[教材尝试·交流变式]有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：． （1）现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24； （2）现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24． 【答案】（1）（答案不唯一）     （2）（答案不唯一）      【分析】 本题考查的是有理数的混合运算， （1）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． （2）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； 27．（七上·北京燕山地·期中）计算： （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1）     （2）5     （3）25     （4）7      【分析】 本题考查的是有理数的混合运算． （1）先计算减法，再计算加法运算． （2）先计算除法，再计算乘法． （3）直接利用分配律进行计算即可． （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减运算即可． (1) 小问详解： 解：． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解： ． (4) 小问详解： 解： ． 28．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换．例如，二进制数“110”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“110101”换成十进制数表示的数为 　　　　　　　． 【答案】53 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】 解：， 则二进制中的数110101等于十进制中的数为53． 故答案为：53． 29．（25-26学年七上·云南昆明·期中）若，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了非负数的性质，绝对值项和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 和 的值． 【详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ，即 ； ∵ ， ∴ ，即 ． 则 ． 故答案为：． 30．（25-26学年七上·云南昆明·期中）中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米．（备注：，结果保留） （1）营养舱的高度为__________厘米，底面半径为__________厘米； （2）求该微型种植舱模型的体积． 【答案】（1）20，30     （2）立方厘米      【分析】 本题考查了圆柱的体积，圆锥的体积，含乘方的有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算得营养舱的高度为20厘米，结合圆周长公式进行列式计算，得底面半径为30厘米，即可作答． （2）分别算出圆柱的体积，圆锥的体积，再相加，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的， ∴（厘米）， ∵生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米． ∴（厘米）， 即营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； (2) 小问详解： 解：由（1）得营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； ∴圆柱形生长舱的高度为（厘米）， 则（立方厘米）， ∴该微型种植舱模型的体积为立方厘米． 31．（25-26学年七上·云南昆明·期中）规定一种新运算法则：，例如：．用上述法则计算的结果是　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 此题考查了列代数式以及有理数的混合运算．原式利用已知的新定义计算即可求出代数式． 【详解】 解：∵， ∴ ． 故答案为：15． 32．（25-26学年七上·江西南昌·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先去括号，然后再从左到右依次计算即可． （2）先计算乘方，再利用乘法分配律计算乘法，最后再计算加减法． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 33．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）先算出乘方，括号里的减法，再算乘法，最后算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 34．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）如图是一个计算机的运算程序，若输入的的值为，则输出的的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查代数式求值、有理数的混合运算，理解程序的运行过程并掌握代数式的求值方法、有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据运算程序列出关于x的代数式，将代入并计算代数式的值，若结果小于2，则直接输出；否则，将结果作为x的值重复前面的计算即可． 【详解】 解：当时， ， ； 当时， ， ∵， ∴输出的结果y是． 故答案为． 35．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序是解决此题的关键． （1）根据乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 36．（25-26学年七上·广西柳州·期中）计算： 【答案】1 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，先计算乘方，同时计算绝对值，再算括号内，然后计算除法，最后算加减． 【详解】 解：原式                                  ． 37．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算，绝对值是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算加减，即可求解； （2）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 38．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）小于的最大整数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查乘方运算，有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算，再找出小于它的最大整数即可． 【详解】 解：， ∵， ∴小于的最大整数是． 故答案为：． 39．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题为新定义运算问题，考查了有理数的运算等知识，理解新定义的运算程序，转化为有理数的运算是解题关键． （1）根据运算程序将化为，再进行计算即可求解； （2）先计算得20，再计算即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 40．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）琪琪在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了程序图． 输入1，根据程序图计算后得到，输出即可． 【详解】 解：， 即输出的结果是． 故答案为：． 41．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 42．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案蕴含丰富的数学元素，会徽下方是用中国古代的计数符号写的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如（规定当时，），电子计算机中使用的是二进制，如，换算成十进制数是6，则八进制数字换算成十进制数是　　　　　　． 【答案】342 【分析】 本题主要考查了八进制数与十进制数的转换，含乘方的有理数混合运算，理解题意，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据题目所给的转换公式列式计算求解即可． 【详解】 解： ， 即八进制数字换算成十进制数是342， 故答案为：342． 43．（25-26学年七上·北京海淀·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法可以解答本题； （3）根据乘法分配律计算； （4）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 44．（25-26学年七上·北京海淀·期中）若有理数a，b满足，则代数式的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘方，绝对值的非负性． 根据平方的非负性和绝对值的非负性，求出a和b的值，再计算它们的乘积即可． 【详解】 解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 45．（25-26学年七上·河南·期中）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互相转换，例如，二进制数转换为十进制数为．依此算法，将二进制数转换成十进制数为　　　　　． 【答案】41 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 根据二进制数的每一位乘以2的相应次幂后求和即可得到十进制数，即可求解． 【详解】 解：二进制数转换为十进制数为． 故答案为：41． 46．（25-26学年七上·河南·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 47．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）如图，第十四届国际数学教育大会ICME-14会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是由四个二进制数组成，将它们转换成八进制数为3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（注：）表示ICME-14的举办年份．则十进制数5050换算成八进制数是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了十进制数转换为八进制数．八进制数转换为十进制数使用按权展开法，即将每位数字乘以8的相应幂次后求和；十进制数转换为八进制数使用除8取余法，即将十进制数连续除以8，记录余数，直到商为0，然后将余数逆序排列． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ∴十进制数5050换算成八进制数是． 故答案为：． 48．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）若（x-2）2+|y+3|=0，则yx=　　　　　　　　　． 【答案】9 【详解】 解：∵（x﹣2）2+|y+3|=0， ∴x﹣2=0，y+3=0， ∴x=2，y=﹣3， ∴yx=（﹣3）2=9． 故答案为9． 【点睛】 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0． 49．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）27     （2）      【分析】 本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数加减运算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先算乘方，然后按照有理数的加减运算法则计算即可； （2）直接运算含乘方的有理数混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 50．（25-26学年七上·天津南开·期中）计算 （1）； （2）： （3）． 【答案】（1）     （2）49     （3）      【分析】 本题考查含乘方的有理数的混合运算，绝对值，乘法分配律，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可； （2）先算乘除，再根据乘法分配律进行计算即可； （3）先算乘方与绝对值，再计算乘除，最后算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 51．（25-26学年七上·山西太原·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．（1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）利用有理数乘除法法则计算即可； （3）先利用乘法分配律计算，再进行有理数混合运算即可； （4）按照有理数四则混合运算法则计算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算小括号里面的． (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ； (3) 小问详解： 解： ， ， ； (4) 小问详解： 解： ， ， ． 52．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了化简绝对值和有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据绝对值的性质、有理数乘方运算法则、有理数乘除运算法则和加减运算法则求解即可． 【详解】 原式． 53．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）定义一种新运算：． 例如． 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）32     （2）39      【分析】 本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： ． 54．（25-26学年七上·广西柳州·期中）我们定义一种新运算“☆”：对于任意有理数和，有．例如：．则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 根据新运算的定义计算即可. 【详解】 解： 由定义 先计算： 再计算 ： 故答案为：. 55．（25-26学年七上·广西柳州·期中）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是___________． （2）【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】（1）46     （2）58     （3）42天      【分析】 （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可； （3）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解：101110转化为十进制数是 ， 故答案为：46； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为 所以，孩子已经出生了42天． 【点睛】 本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． 56．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）规定*是一种新的运算符号，且a*b＝a2+a×b﹣a+2，例如：2*3＝22+2×3﹣2+2＝10，请你根据上面的规定可求：1*3*5的值为　　　　　． 【答案】47. 【分析】先根据新定义计算1*3，再将所得结果与5进行“*”运算，据此可得． 【详解】解：1*3*5 =(12+1×3-1+2)*5 =5*5 =52+5×5-5+2 =47. 故答案为47. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握新运算的规律是解题的关键，是一道新题型． 57．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据运算规律计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： 58．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）若，则的值为 　　　 【答案】16 【分析】 本题主要考查了非负数的性质、有理数的乘方运算等知识点，掌握几个非负数的和为0、则每个非负数均为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求得a和b的值，然后再计算乘方即可． 【详解】 解：∵， 、， ∴ 且 ， ∴，． ∴． 故答案为：16． 59．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． （1）将二进制数转换为十进制数； （2）将十进制数转换为七进制数； （3）一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解二进制转换十进制数的方法，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为七进制的方法列式计算即可； （3）先将四进制数转十进制得到的表达式，再利用“能被 3 整除”的数的性质求解． (1) 小问详解： 解： ； 将二进制数转换为十进制数为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴将十进制数转换为七进制数为； (3) 小问详解： 解：由题意得，， ∵，为整数， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵为整数，且， ∴， ∴． 60．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0     （2）     （3）     （4）1      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）根据乘法分配律计算； （3）先算乘方，再算乘除； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 61．（25-26学年七上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用． （1）如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数． （2）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）求出最左边的一列三个数字和，再结合纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，计算即可得解； （2）根据八进制换成十进制数的计算方法列式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等， 最左边的一列三个数字和为， 右下角代表的数是； (2) 小问详解： 解：八进制数3745换算成十进制数是， 八进制2026换算成十进制数是． 62．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）10     （2）     （3）24     （4）5      【分析】 本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除法计算法则求解即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案； （4）利用乘法分配律求解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 63．（25-26学年七上·天津南开·期中）定义“”运算： ；； ；； ；； （1）对于任意有理数，， ①若有理数，同号，结果为________（用含有，的式子表示）； ②若有理数，异号，结果为________（用含有，的式子表示）； （2）计算：________； （3）有理数，，使得．则________，________． 【答案】（1）；     （2）     （3）1，．      【分析】 本题考查新定义下的运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义下的运算进行计算即可； （2）根据新定义下的运算进行计算即可； （3）根据新定义下的运算进行计算即可． (1) 小问详解： 解：① ∵有理数，同号， ∴． 故答案为：． ② ∵有理数，异号， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： ． 故答案为：17． (3) 小问详解： ∵有理数，，使得， ∴， 解得． 故答案为：1，． 考点06 科学记数法 1．（2026·高考真题）杭州奥体中心体育场因其特殊的外表被称为“大莲花”，它的占地面积为平方米，这个数用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】 解：． 故选：C． 2．（25-26学年七上·天津南开·期中）我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是米．数据用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】 解：． 故选：C． 3．（25-26学年七上·云南昆明·期中）花江峡谷大桥是世界第一高桥，主桥跨径在山区桥梁跨径中居世界第一、桥梁高度居世界第一，被称为“横竖”都是世界第一大桥．2025年9月28日正式开通，至9月30日花江峡谷大桥旅游区累计接待游客45000余人次．其中数字45000用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了科学记数法的形式，解决此题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，其中；根据科学记数法的形式一一判断即可； 【详解】 解：， 故选 B． 4．（25-26学年七上·江西南昌·期中）“运动赣鄱・活力江西”2025年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）在南昌市八一体育场开幕，揭幕战由东道主南昌队迎战景德镇队，观众席上气氛火热，共有14521名球迷现场助威，将14521用科学记数法可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了科学记数法，科学记数法的标准形式为，其中 ，将14521 的小数点向左移动 4 位，得到1.4521，因此指数为4． 【详解】 解：∵科学记数法要求满足 ， ∴， ∴故选C． 5．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）青海湖位于青海省北部，是中国面积最大的内陆湖泊、咸水湖泊，被誉为“高原蓝宝石”．2025年国庆中秋假期，青海湖景区累计接待游客112800人次，同比上升，创旅游接待新记录，数据112800用科学记数法可以表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法；科学记数法的标准形式为，其中，为整数． 【详解】 解：用科学记数法表示为． 故选：B． 6．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）根据《2024年全国科技经费投入统计公报》，家具制造业研究与试验发展经费约8300000000元．数据8300000000用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】 解：数据8300000000用科学记数法表示为， 故选：B． 7．（25-26学年七上·广西柳州·期中）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：数字15000000000用科学记数法表示为． 故选：B． 8．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）据了解，2025年10月1号，共有万人在天安门广场观看升旗仪式，庆祝新中国76周年华诞．数字121000用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法．将121000用科学记数法表示，需要写成形式，其中，为整数，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，， 故选：B 9．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）钓鱼岛海域面积约为，用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将写成的形式即可，其中，n为正整数，解题的关键是注意n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：保留1位整数是1.7，小数点向左移动5位， 因此， 故选D． 10．（25-26学年七上·北京海淀·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会在北京天安门广场隆重举行．据统计，网络视听平台直播收视逾亿人次．将用科学记数法表示应为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，表现形式为的形式，其中，为正整数，小数点向左移动位数即为n的值，据此即可解答． 【详解】 解：用科学记数法表示为， 故选：B． 11．（25-26学年七上·河南·期中）自2025年大年初一上映以来，《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，接连刷新票房纪录，截至7月22日，票房累计超过154亿，成为中国影史上首部票房突破百亿元的电影．数据154亿用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查科学记数法，将一个数写成的形式，其中，原数大于10时，n是正整数． 将154亿转换为科学记数法，需确保系数在1到10之间． 【详解】 解：154亿 ， 故选C． 12．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录．截至9月5日10时，全媒体渠道总触达人次约33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】 解：数据“33940000000”用科学记数法表示为； 故选D． 13．（七上·北京燕山地·期中）截止到2025年10月17日，电影《哪吒2》的全球总票房突破159亿元人民币，位居全球影史票房榜第五名，成为首部跻身此列的亚洲电影，这一成绩不仅是中国动画工业的一次飞跃，更是中国文化自信与科技自信的双重胜利，数据15900000000用科学记数法表示应为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：， 故选：D． 14．（25-26学年七上·山西太原·期中）天问二号是中国首个执行小行星伴飞与采样返回任务的探测器．截至2025年10月1日，天问二号探测器已在轨飞行125天，距离地球约万千米，在轨飞行正常．将数据“万千米”用科学记数法表示正确的是（     ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【分析】 本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】 解：万千米千米千米． 故选：A． 15．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）人类的遗传物质是很长的链状结构，最短的21号染色体核苷酸数量约有46700000．46700000用科学记数法表示应为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了科学记数法，将数据46700000用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】 解：46700000用科学记数法表示应为， 故选：D． 16．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为亿千米，那么用科学记数法表示1个天文单位是(单位：千米)(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：将亿千米用科学记数法表示为：千米． 故选：D． 17．（25-26学年七上·广东中山·期中）今年国庆中秋“双节”叠加，中山文旅市场火热．全市以“香山古城、大涌红博城、中山影视城”为核心，联动镇街构建“”文旅体系，激活全域旅游．据初步统计，10月1日日，全市累计接待游客万人次，旅游收入亿元．其中数据“亿”用科学记数法可表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键．本题先确定，即可得到答案． 【详解】 解：亿， 故选B 18．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（     ）. A. 35× B. 3.5× C. 3.5× D. 3.5× 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】350000000=3.5×， 故选C. 【点睛】此题考查科学记数法的表示大于1的数的方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题关键. 19．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）中国空间站“天宫”的建设引起了全世界的瞩目，其重量为180000千克，把180000用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】 解：把180000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 20．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）2025年国庆中秋假期，武汉江滩累计接待游客超1200000人次．1200000用科学记数法表示是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将数字用科学记数法表示，即写成的形式，其中且为整数，比原来的整数位数少1 ；本题主要考查了科学记数法表示较大的数，确定与的值是解题的关键． 【详解】 解：可表示为 ； 故答案为：． 考点07 近似数 1．（2026·高考真题）下列由四舍五入法得到的近似数，对其描述正确的是（       ） A. 1.20精确到十分位 B. 1.20万精确到百分位 C. 1.20万精确到万位 D. 精确到千位 【答案】D 【分析】根据近似数的精确度分别进行判断． 【详解】解：A、1.20精确到百分位，所以A选项的说法不正确； B、1.20万精确到百位，所以B选项的说法不正确； C、1.20万精确到百位，所以C选项的说法不正确； D、精确到千位，所以D选项的说法正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了近似数和精确度，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 2．（2026·高考真题）如图为嘉琪同学的答卷，他的得分应是（       ） 姓名：嘉琪                                 得分：______ 填空（每小题20分，共100分） ①的平方根是 ②的相反数是 ③将3.14159精确到百分位是3.14 ④算术平方根与立方根相等的数是0或1 ⑤ A. 40分 B. 60分 C. 80分 D. 100分 【答案】B 【分析】 根据算术平方根，立方根，相反数的定义分析即可． 【详解】 ①的平方根是，故不正确； ②的相反数是，正确； ③将3.14159精确到百分位是3.14，正确； ④算术平方根与立方根相等的数是0或1，正确； ⑤，故不正确． 所以嘉琪的得分应是60分． 故选B． 【点睛】 本题考查了算术平方根，立方根，相反数的定义，熟练掌握概念是解答本题的关键． 3．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）用四舍五入法对3.8963取近似数，精确到0.01，得到的正确结果是（　　） A. 3.89 B. 3.9 C. 3.90 D. 3.896 【答案】C 【分析】对一个数精确到哪一位就是对这一位后面的数字进行四舍五入． 【详解】解：用四舍五入法对3.8963取近似数，精确到0.01，得到的正确结果是3.90； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入． 4．（25-26学年七上·北京海淀·期中）《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（　　） A. 3 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了数的近似，准确分析判断是解题的关键． 把千分位上的数字8进行四舍五入即可． 【详解】 解：精确到百分位得到的近似数是． 故选：D． 5．（25-26学年七上·河南·期中）下列说法正确的是（     ） A. 近似数与的精确度一样 B. 精确到万分位 C. 2000与近似数的意义完全一样 D. 精确到百分位 【答案】B 【分析】 本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 根据近似数的精确度对各选项进行判断即可． 【详解】 解：A、近似数精确到百分位，精确到十分位，原说法错误； B、精确到万分位，原说法正确； C、2000精确到个位，精确到百位，原说法错误； D、精确到百位，原说法错误； 故选：B． 6．（七上·北京燕山地·期中）用四舍五入法取近似数：　　　　　　　　　　　　（精确到百分位）． 【答案】 【分析】 本题考查了求一个数的近似数，根据四舍五入规则把千分位上的数进行四舍五入是解题的关键． 将精确到百分位，就是将千分位数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】 解：∵千分位上的数字是，而，故舍去， ∴， 故答案为：． 7．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）有一个数学概念叫“黄金分割比”，它的值约为，将用四舍五入法精确到是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了近似数和有效数字，用到的知识点是四舍五入法取近似值，解题的关键是找出末位数字． 根据四舍五入法，精确到需看小数点后第四位数字，小于5则舍去，大于或等于5则向前一位进一． 【详解】 数字精确到时，小数点后第三位为8，第四位为0，0小于5， 因此第三位8保持不变，故结果为． 故答案为：． 8．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）四舍五入法取近似值：将精确到约是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了近似数． 精确到即保留一位小数，需看百分位数字，根据四舍五入法取近似值． 【详解】 将精确到，百分位数字是6，，向十分位进一，十分位， 故答案为：． 9．（25-26学年七上·广东中山·期中）用四舍五入法将精确到十分位为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查用四舍五入法写小数的近似值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 按照四舍五入法写出该数的近似值即可． 【详解】 解：精确到十分位是， 故答案为：． 10．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）由四舍五入法得到的近似数1.3万，精确到　　　　　　位． 【答案】千 【分析】 本题主要考查了求精确度，将近似数1.3万还原为13000，确定数字3所在的数位即可． 【详解】 解：1.3万，数字3位于千位上，因此近似数1.3万精确到千位． 故答案为：千． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．B 2．【答案】0 【分析】 本题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数的两个数相加得0是解题的关键． 根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 【详解】 解：若有理数a与b互为相反数，则， 故答案为：0． 3．【答案】（1）2千米，在出发点的正西方向；     （2）需要加油，理由： 依题意，小张全天路程的总和为：， 需要加油．      【分析】 （1）根据题意与绝对值的意义可知，距上午出发点的距离是所有数的和的绝对值，所有数的和的符号代表了在出发点的方向； （2）根据绝对值的意义可知，所有数的绝对值的和即为小张全天的路程总和，再计算实际耗油量即可判断． (1) 小问详解： 小张距上午出发点的距离是2千米，在出发点的正西方向． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查正负数在生活中的实际应用，准确理解题意并运用绝对值的意义解题是本题的关键． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数的加法，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2即可列式求解，掌握有理数加法的运算法则是关键． 【详解】 解：根据图1可知：白色表示负数，黑色表示正数， 图2表示的计算过程为：． 故答案为：． 5．【答案】② ④ 【分析】 相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，对四个命题逐一分析每个命题的正确性． 【详解】 解：① 不正确：反例： 若，，则， 但，， 故，不满足 ． ② 正确：若，则不等式两边同乘，不等号方向改变， 得， 即的相反数小于的相反数． ③ 不正确：反例：若，，则， 但，， 故，不满足． ④ 正确：若，，则，， 故，即． 故答案为：② ④ ． 【点睛】 本题考查了相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点02 有理数的减法 1．D 2．A 3．D 4．C 5．D 6．【答案】7 【分析】 本题考查有理数的加减运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】 解： ， 故答案为：7． 7．【答案】9 【分析】 直接用最高气温减去最低气温即可得到答案． 【详解】 解：， ∴该天最高气温比最低气温高， 故答案为：9． 【点睛】 本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确计算是解题的关键． 8．【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查有理数加减运算;理解拆项法，简化运算是解题的关键． （1）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理； （2）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理． (1) 小问详解： 原式． (2) 小问详解： 原式 ． 9．【答案】（1）守门员最后回到了球门线上     （2）这位守门员一共跑动48米．      【分析】 本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用． （1）求出所有数据的和，根据和的情况进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值进行相加，即可得出结果． (1) 小问详解： 解：； 故守门员最后回到了球门线上； (2) 小问详解： 解：（米）； 答：这位守门员一共跑了48米． 10．【答案】（1）由题意得， “⊕”运算的运算法则如下：同号两数进行“⊕”运算，结果为两数的差的绝对值；异号两数进行“⊕”运算，结果为两数差的绝对值的相反数；一个数与0进行运算“⊕”运算和0与一个数进行运算“⊕”运算，结果为原数． （2）4； （3）交换律（为有理数）成立，理由如下： 若a，b同号，，， ； 若a，b异号，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ； 若，，，， 综上，交换律交换律（为有理数）成立， 【分析】 （1）依据给出的算式归纳即可； （2）利用（1）中归纳的法则解答即可； （3）利用（1）中归纳的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，熟练掌握新定义逼格熟练应用是解题的关键． 【详解】 解：（1）略 （2） ； （3）略 11．【答案】（1）8     （2）能完成     （3）8385元      【分析】 本题考查了正数与负数，有理数混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，可以计算出生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了多少架无人机； （2）把表格中的生产量都相加，根据和的正负即可得出结论； （3）根据题意，可以列出算式，然后计算即可． (1) 小问详解： 解：（架）， 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车8架， 故答案为：8； (2) 小问详解： 解：， 所以第一周该公司能完成生产计划； (3) 小问详解： 解： （元）， 答：第一周该工作小组的收入为8385元． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数和分数。 （2）运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 (1) 小问详解： 解：由拆项法可知，， 故答案为：． (2) 小问详解： ． 13．【答案】10或14 【分析】 本题主要考查了整数的加减运算的应用，理解游戏过程以及分类讨论思想是解题的关键． 先分析确定胜负情况，然后运用整数的加减运算求解即可． 【详解】 解：小亮出现一次3连胜前进：； 小伟出现一次3连胜和一次4连胜，； 其余10回合为小亮胜6回合或小伟胜5回合， ① 当其余10回合小亮胜6回合时，则负4回合，总共负11回合， ∴其余10回合小伟负6回合时，则胜4回合，总共负9回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； ② 当其余10回合小亮胜5回合时，则负5回合，总共负12回合， ∴其余10回合小伟负5回合时，则胜5回合，总共负8回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； 综上，游戏结束时两人相距为10或14米． 故答案为：10或14． 考点03 有理数的乘法 1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．B 10．C 11．【答案】（1）小李在迎泽公园门口西边2处     （2）第6位     （3）6.8立方米     （4）56.8元      【分析】 本题考查正负数的意义，理解有理数的意义，明确符号和绝对值的意义是正确解答的前提． （1）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （2）分别计算出送每一个顾客时，距公园的距离，进而得出答案； （3）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （4）八名顾客均有起步价，再求出超出3千米的加价 即可求出总车费． (1) 小问详解： 解：， 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在迎泽公园门口西边处． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， ， ． ∴将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远． (3) 小问详解： 解：， 答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米． (4) 小问详解： 解：元， 答：小李这天上午共得车费56.8元． 12．【答案】 【分析】 直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】 根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数． 所以的倒数为． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键 13．【答案】乘法的交换律和乘法的结合律 【分析】 本题考查了有理数的乘法运算律，在计算过程中，通过改变因子的顺序和分组，简化运算步骤，这涉及乘法运算律的应用． 【详解】 解：的过程中运用的运算律是乘法的交换律和乘法的结合律， 故答案为：乘法的交换律和乘法的结合律． 14．【答案】 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零；由题意得且；即可求解； 【详解】 解：∵ 且 ，且 ， ∴且； 解得，； ∴； 故答案为： 15．【答案】-0.2 【分析】 根据倒数的定义即可得出答案． 【详解】 解：的倒数是； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了倒数的定义．解题的关键是掌握若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 16．【答案】（1）5.5千克     （2）超过8千克     （3）508千克      【分析】 此题考查正数和负数，有理数混合运算的应用，解题关键在于利用图中信息进行计算． （1）根据最大数减去最小数，可得最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克； （2）根据有理数的运算，可得20筐白菜总计超过或不足多少千克； （3）根据标准重量+超过的重量可得总重量． (1) 小问详解： 解：（千克）， 答：20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重5.5千克； (2) 小问详解： （千克） 答：与标准质量比较，20筐白菜总计超过8千克； (3) 小问详解： (千克) 答：20筐白菜总重量为508千克． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义的运算规则进行计算． （1）直接根据新运算解答即可； （2）直接根据新运算解答即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：， ． 18．【答案】（1）在A处     （2）12.6升      【分析】 （1）将所有数据相加，根据和的情况进行说明即可； （2）将所有数据的绝对值相加，用和乘以汽车每千米的油耗即可得解． (1) 小问详解： ， ∴检修队收工地在A处； (2) 小问详解： ， 升； ∴从出发到收工共耗油12.6升． 【点睛】 本题考查正负数的实际应用和有理数的加法运算．根据题意正确的列出代数式是解题的关键． 19．【答案】或 【分析】 本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 由绝对值的性质可知和的可能取值，再根据条件筛选出满足条件的和的值，最后计算的值． 【详解】 由， 可得：或；或； 由于，当时，必须大于，但，无解； 当时，，结合，得或，均满足， 因此，当，时，； 当，时，； 综上值为或， 故答案为：或． 20．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法分配律计算即可． 【详解】 解：原式 . 21．【答案】（1）小虫最后不会回到出发点O     （2）108粒      【分析】 本题考查了有理数的加法运算，正负数的应用，有理数的乘法应用，绝对值的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把数值通过加法列式，再计算得出结果为，故小虫最后不会回到出发点O； （2）先求出小虫爬行的总路程，再结合每爬行1厘米奖励2粒芝麻，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：小虫最后不会回到出发点O，理由如下： ， ∴小虫最后不会回到出发点O； (2) 小问详解： 解：依题意，（厘米）， ∴（粒）． 22．【答案】 【分析】 本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式． 根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可． 【详解】 解：（尺） 故答案为：． 23．【答案】（1）在出发点的东边，距出发点     （2）升      【分析】 本题考查正数和负数的意义及有理数加减混合运算，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示；理解“正”和“负”的相对性并熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）求出这组数据的和，根据结果的正负即可的养护小组最后到达的位置； （2）求出这组数据的绝对值的和，即行驶的总里程，乘以，即可得答案． (1) 小问详解： 解：， 即最后到达的地方在出发点的东边，距出发点； (2) 小问详解： 解：， 升， 即这次养护共耗油升． 24．【答案】解：原解题步骤从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： 原式 ． 【分析】 本题考查了有理数的混合运算． 原解题步骤第一步使用乘法分配律计算时忘掉了符号；根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】 略 25．【答案】（1） 补全表格如下：     （2），     （3）      科目 语文 数学 英语 道法 地理 历史 物理 化学 生物 相对分数 【分析】 本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）求出地理的相对分数，再补全表格即可求解； （2）用基准分数加上最高的相对分数可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上最低的相对分数可求出该产品所得的最低分； （3）先求出所有相对分数的和，再用基准分数科目数相对分数的和，即可求解． (1) 小问详解： 解：该产品的地理测试分数为分， 地理的相对分数为（分）； (2) 小问详解： 该产品所得最高分为（分）， 该产品所得最低分为（分）， 故答案为：，； (3) 小问详解： （分）， 该产品在本次测试中全科目的总分为：（分）． 26．【答案】（1），     （2），     （3）      【分析】 本题考查了绝对值，有理数的乘法和加法运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）由可得，或，，结合，即可求解； （2）由可得，或，，结合，即可求解； （3）根据绝对值的定义可得，，由，，可得，，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ，或，， 又， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： ， ，或，， 又， ，， 故答案为：，； (3) 小问详解： ，， ，， ，， 与异号，且正数的绝对值较大， ∴为正数，为负数， ，， ． 27．【答案】（1）西方，相距10千米     （2）8.4升      【分析】 （）把各数相加计算即可求解； （）利用绝对值的意义求出总路程，再乘以每千米耗油即可求解； 本题考查了绝对值的意义，有理数加法、乘法运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 答：张师傅最后到达的地方在停靠点的西方，与停靠点相距千米； (2) 小问详解： 解：， ， 答：运送这八位乘客共耗油升； 28．【答案】（1）13     （2）520；490     （3）这八枚晶圆制造的有效芯片的总数量为4041颗      【分析】 本题考查正负数表示相反意义量，有理数四则运算的实际应用，掌握正负数表示相反意义量，有理数的运算法则是解题关键． （1）利用有理数减法的实际应用即可求求解； （2）根据表格，利用有理数的加减法计算即可解答； （3）根据有理数的乘法运算求解即可． (1) 小问详解： 解：， 则a的值为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据表格，在这八枚晶圆中，一枚晶圆制造的有效芯片数量最多为（颗），最少为（颗）， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：根据题意，得 （颗） 答：这八枚晶圆制造的有效芯片的总数量为颗． 考点04 有理数的除法 1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此进行计算即可； （2）根据有理数的除法运算法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，据此进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 9．【答案】（1）①；②     （2）这五位同学的体重的平均值为．      【分析】 本题考查的是正负数的应用，平均数的含义． （1）① 结合题意号同学的体重刚好等于标准体重可得答案，② 根据计算公式先求解标准体重，再求解m即可． （2）根据平均数的含义列式，再计算即可． (1) 小问详解： 解：① 由题意可得：体重是标准体重的同学的编号是． ② 由题意可得：标准体重为：， ∴． (2) 小问详解： 解：（千克）． ∴这五位同学的体重的平均值为． 10．【答案】（1）200，60；     （2）4      【分析】 本题考查了扇形统计图，条形统计图，有理数的混合运算的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据玫瑰的数量除以占比，得出鲜花的总销售量，再观察条形统计图得出销售数量最多的花卉品种是玫瑰80万支，销售数量最少的花卉品种是向日葵万支，然后列式计算，即可作答． （2）理解题意，列式计算得销售玫瑰和向日葵的总量是百合的4倍，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，（万支）， （万支）， 即2024年花卉公司鲜花的总销售量为200万支，销售数量最多的花卉品种比销售数量最少的花卉品种多售出60万支； 故答案为：200，60； (2) 小问详解： 解：依题意，， ∴该花卉公司销售玫瑰和向日葵的总量是百合的4倍． 11．【答案】（1）     （2）不达标      【分析】 本题考查了正数和负数的意义，有理数的加法的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）用剩饭量最多的一天减去最少得一天的重量即可得解； （2）求出小明这周的剩饭量总量，与进行比较即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：小明剩饭量最多的一天比最少的一天多； (2) 小问详解： 解：， ， ∵， ∴小明这周剩饭量不达标． 12．【答案】85 【分析】 本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：（分钟）； 故答案为85． 13．【答案】（1）一     （2） 解： ．      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）运用有理数的加减运算，括号里算得的结果是，由此可得第一步出错； （2）先通分计算括号的数，再运用有理数的乘除混合运算即可求解． (1) 小问详解： 解：根据有理数的加减运算，括号里的结果为： ， 由此可得第一步开始出错， 故答案为：一； (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1）32人次     （2）728人次     （3）18人次      【分析】 本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行求解； （2）由题意可先得出表格数据的总和，然后问题可求解； （3）由题意易得第8天与前7天的利润差，然后问题可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：（人次）， 答：这7天中客流量最多的一天比最少一天多了32人次． (2) 小问详解： 解：， （人次）， 答：这7天的总客流量是728人次． (3) 小问详解： 解：（元）， （人次）； 答：第8天的客流量比前7天的平均客流量多18人次． 15．【答案】（1）9     （2）是      【分析】 本题考查了正数和负数的意义，有理数的加法的应用，有理数的混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别计算出各个月的体重，比较即可得解； （2）计算出判断即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， 小南月份的体重为， ∵， ∴在表格中，小南体重最低是9月； (2) 小问详解： 解：小南这天体重是属于正常范围，理由如下： 由题意可得， ∵中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 故小南这天体重是属于正常范围． 16．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）分别求出三地离O的距离，通过比较作出判断； （2）根据题意，列出算式计算即可． (1) 小问详解： 解：巡道员从驻地出发先走了后到达地， 此时离驻地的距离为， 又走了到达地，， 此时离驻地的距离为， 然后继续走了到达地，此时离驻地为，此时离驻地的距离为， ， 所以、、三地距离驻地最远的是地，地距离驻地为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 巡道员完成巡视工作需要． 17．【答案】（1）平均质量比标准质量多，多1.2克；     （2）抽样检测的总质量是9024克．      【分析】 本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，平均数的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格中的数据计算与标准质量的差值的总数，再除以20，如果是正数，即多，如果是负数，即少； （2）根据标准质量结合前边的结论进行计算抽样检测的总质量． (1) 小问详解： 解：（克）， （克）， ∴这批样品的平均质量比标准质量多，多克； (2) 小问详解： 解：（克）， ∴抽样检测的总质量是9024克． 18．【答案】（1）     （2）该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为个     （3）该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元      【分析】 本题考查了正数和负数、有理数的混合运算的应用． （1）根据正数和负数的意义并结合题意列式计算即可得解； （2）根据正数和负数的意义并结合题意列式计算即可得解； （3）利用基本工资加上超额完成的奖励公式列式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：根据记录的数据，该厂本周产量最多的一天比最少的一天多（个）， 故答案为：27； (2) 小问详解： 解：（个）， 故该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为个； (3) 小问详解： 解：（元）， 故该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 19．【答案】（1）     （2）225，150      【分析】 本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． (1) 小问详解： 解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 20．【答案】（1）⑥ ，④ ，⑤ ，② ，③ ，①     （2）      【分析】 本题考查了有理数的运算法则． （1）根据有理数的运算法则，运算律解答即可； （2）将除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可． (1) 小问详解： 解： （依据：有理数的除法法则） （依据：分配律） （依据：有理数乘法法则） （依据：加法交换律） （依据：加法结合律） （依据：有理数加法法则） ． 故答案为：⑥ ，④ ，⑤ ，② ，③ ，①； (2) 小问详解： 解： ． 21．【答案】（1）该司机最后离出发点A地，在A地的西方     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把这些正数和负数全部相加，然后再进行计算即可解答； （2）把这些正数和负数的绝对值全部相加，然后再进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 该司机最后离出发点地，在地的西方； (2) 小问详解： 解：由题意得： ， ， 该汽车今天耗油． 22．【答案】（1），表示运出货物6吨     （2）8280元      【分析】 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）用合计的进出情况减去除周五外其他六天的进出情况即可得到答案； （2）求出这一周进出情况的总和，再乘以45即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ， ∴周五的进出数为，表示运出货物6吨； (2) 小问详解： 解： 元， 答：该仓库的老板这一周要付8280元的装卸费． 考点05 乘方 1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．D 12．B 13．D 14．C 15．D 16．C 17．D 18．B 19．C 20．C 21．【答案】（1）     （2）5      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的乘法运算律进行计算即可得出答案； （2）先计算乘方、再计算括号里面的、然后计算乘法、最后计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 22．【答案】 【分析】 本题主要考查新定义下的实数运算；根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则n是“好数”，据此判断即可． 【详解】 解：根据题意， ∵， ∴8是好数； ∵， ∴9是好数； ∵，11是一个质数， ∴10不是好数； ∵， ∴11是好数； ∵，13是一个质数， ∴12不是好数． 综上，可得在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有3个：8、9、11． 故答案为：． 23．【答案】8 【分析】 本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】 ∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 24．【答案】 【分析】 本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 25．【答案】26 【分析】 此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出，，的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：，，或， 则， 则原式， 故答案为：26． 26．【答案】（1）（答案不唯一）     （2）（答案不唯一）      【分析】 本题考查的是有理数的混合运算， （1）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． （2）根据运算规则先列式，再计算24点即可得到答案． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； 27．【答案】（1）     （2）5     （3）25     （4）7      【分析】 本题考查的是有理数的混合运算． （1）先计算减法，再计算加法运算． （2）先计算除法，再计算乘法． （3）直接利用分配律进行计算即可． （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减运算即可． (1) 小问详解： 解：． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解： ． (4) 小问详解： 解： ． 28．【答案】53 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】 解：， 则二进制中的数110101等于十进制中的数为53． 故答案为：53． 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了非负数的性质，绝对值项和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 和 的值． 【详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ，即 ； ∵ ， ∴ ，即 ． 则 ． 故答案为：． 30．【答案】（1）20，30     （2）立方厘米      【分析】 本题考查了圆柱的体积，圆锥的体积，含乘方的有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算得营养舱的高度为20厘米，结合圆周长公式进行列式计算，得底面半径为30厘米，即可作答． （2）分别算出圆柱的体积，圆锥的体积，再相加，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的， ∴（厘米）， ∵生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米． ∴（厘米）， 即营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； (2) 小问详解： 解：由（1）得营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米； ∴圆柱形生长舱的高度为（厘米）， 则（立方厘米）， ∴该微型种植舱模型的体积为立方厘米． 31．【答案】15 【分析】 此题考查了列代数式以及有理数的混合运算．原式利用已知的新定义计算即可求出代数式． 【详解】 解：∵， ∴ ． 故答案为：15． 32．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先去括号，然后再从左到右依次计算即可． （2）先计算乘方，再利用乘法分配律计算乘法，最后再计算加减法． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）先算出乘方，括号里的减法，再算乘法，最后算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 34．【答案】 【分析】 本题考查代数式求值、有理数的混合运算，理解程序的运行过程并掌握代数式的求值方法、有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据运算程序列出关于x的代数式，将代入并计算代数式的值，若结果小于2，则直接输出；否则，将结果作为x的值重复前面的计算即可． 【详解】 解：当时， ， ； 当时， ， ∵， ∴输出的结果y是． 故答案为． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序是解决此题的关键． （1）根据乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 36．【答案】1 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，先计算乘方，同时计算绝对值，再算括号内，然后计算除法，最后算加减． 【详解】 解：原式                                  ． 37．【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算，绝对值是解题的关键． （1）先计算乘除，再计算加减，即可求解； （2）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 38．【答案】 【分析】 本题考查乘方运算，有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算，再找出小于它的最大整数即可． 【详解】 解：， ∵， ∴小于的最大整数是． 故答案为：． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题为新定义运算问题，考查了有理数的运算等知识，理解新定义的运算程序，转化为有理数的运算是解题关键． （1）根据运算程序将化为，再进行计算即可求解； （2）先计算得20，再计算即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 40．【答案】 【分析】 本题考查了程序图． 输入1，根据程序图计算后得到，输出即可． 【详解】 解：， 即输出的结果是． 故答案为：． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 42．【答案】342 【分析】 本题主要考查了八进制数与十进制数的转换，含乘方的有理数混合运算，理解题意，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据题目所给的转换公式列式计算求解即可． 【详解】 解： ， 即八进制数字换算成十进制数是342， 故答案为：342． 43．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法可以解答本题； （3）根据乘法分配律计算； （4）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 44．【答案】 【分析】 本题考查了有理数的乘方，绝对值的非负性． 根据平方的非负性和绝对值的非负性，求出a和b的值，再计算它们的乘积即可． 【详解】 解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 45．【答案】41 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 根据二进制数的每一位乘以2的相应次幂后求和即可得到十进制数，即可求解． 【详解】 解：二进制数转换为十进制数为． 故答案为：41． 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 47．【答案】 【分析】 本题考查了十进制数转换为八进制数．八进制数转换为十进制数使用按权展开法，即将每位数字乘以8的相应幂次后求和；十进制数转换为八进制数使用除8取余法，即将十进制数连续除以8，记录余数，直到商为0，然后将余数逆序排列． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ∴十进制数5050换算成八进制数是． 故答案为：． 48．【答案】9 【详解】 解：∵（x﹣2）2+|y+3|=0， ∴x﹣2=0，y+3=0， ∴x=2，y=﹣3， ∴yx=（﹣3）2=9． 故答案为9． 【点睛】 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0． 49．【答案】（1）27     （2）      【分析】 本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数加减运算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先算乘方，然后按照有理数的加减运算法则计算即可； （2）直接运算含乘方的有理数混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 50．【答案】（1）     （2）49     （3）      【分析】 本题考查含乘方的有理数的混合运算，绝对值，乘法分配律，掌握知识点是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可； （2）先算乘除，再根据乘法分配律进行计算即可； （3）先算乘方与绝对值，再计算乘除，最后算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 51．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．（1）利用有理数加减法法则计算即可； （2）利用有理数乘除法法则计算即可； （3）先利用乘法分配律计算，再进行有理数混合运算即可； （4）按照有理数四则混合运算法则计算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算小括号里面的． (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ； (3) 小问详解： 解： ， ， ； (4) 小问详解： 解： ， ， ． 52．【答案】 【分析】 本题主要考查了化简绝对值和有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据绝对值的性质、有理数乘方运算法则、有理数乘除运算法则和加减运算法则求解即可． 【详解】 原式． 53．【答案】（1）32     （2）39      【分析】 本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： ． 54．【答案】 【分析】 本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 根据新运算的定义计算即可. 【详解】 解： 由定义 先计算： 再计算 ： 故答案为：. 55．【答案】（1）46     （2）58     （3）42天      【分析】 （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可； （3）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解：101110转化为十进制数是 ， 故答案为：46； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为 所以，孩子已经出生了42天． 【点睛】 本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． 56．【答案】47. 【分析】先根据新定义计算1*3，再将所得结果与5进行“*”运算，据此可得． 【详解】解：1*3*5 =(12+1×3-1+2)*5 =5*5 =52+5×5-5+2 =47. 故答案为47. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握新运算的规律是解题的关键，是一道新题型． 57．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据运算规律计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： 58．【答案】16 【分析】 本题主要考查了非负数的性质、有理数的乘方运算等知识点，掌握几个非负数的和为0、则每个非负数均为0是解题的关键． 先根据非负数的性质求得a和b的值，然后再计算乘方即可． 【详解】 解：∵， 、， ∴ 且 ， ∴，． ∴． 故答案为：16． 59．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解二进制转换十进制数的方法，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为七进制的方法列式计算即可； （3）先将四进制数转十进制得到的表达式，再利用“能被 3 整除”的数的性质求解． (1) 小问详解： 解： ； 将二进制数转换为十进制数为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴将十进制数转换为七进制数为； (3) 小问详解： 解：由题意得，， ∵，为整数， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵为整数，且， ∴， ∴． 60．【答案】（1）0     （2）     （3）     （4）1      【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）根据乘法分配律计算； （3）先算乘方，再算乘除； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 61．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）求出最左边的一列三个数字和，再结合纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，计算即可得解； （2）根据八进制换成十进制数的计算方法列式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等， 最左边的一列三个数字和为， 右下角代表的数是； (2) 小问详解： 解：八进制数3745换算成十进制数是， 八进制2026换算成十进制数是． 62．【答案】（1）10     （2）     （3）24     （4）5      【分析】 本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除法计算法则求解即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案； （4）利用乘法分配律求解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 63．【答案】（1）；     （2）     （3）1，．      【分析】 本题考查新定义下的运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义下的运算进行计算即可； （2）根据新定义下的运算进行计算即可； （3）根据新定义下的运算进行计算即可． (1) 小问详解： 解：① ∵有理数，同号， ∴． 故答案为：． ② ∵有理数，异号， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： ． 故答案为：17． (3) 小问详解： ∵有理数，，使得， ∴， 解得． 故答案为：1，． 考点06 科学记数法 1．C 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．B 11．C 12．D 13．D 14．A 15．D 16．D 17．B 18．C 19．【答案】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】 解：把180000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 20．【答案】 【分析】 将数字用科学记数法表示，即写成的形式，其中且为整数，比原来的整数位数少1 ；本题主要考查了科学记数法表示较大的数，确定与的值是解题的关键． 【详解】 解：可表示为 ； 故答案为：． 考点07 近似数 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．【答案】 【分析】 本题考查了求一个数的近似数，根据四舍五入规则把千分位上的数进行四舍五入是解题的关键． 将精确到百分位，就是将千分位数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】 解：∵千分位上的数字是，而，故舍去， ∴， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查了近似数和有效数字，用到的知识点是四舍五入法取近似值，解题的关键是找出末位数字． 根据四舍五入法，精确到需看小数点后第四位数字，小于5则舍去，大于或等于5则向前一位进一． 【详解】 数字精确到时，小数点后第三位为8，第四位为0，0小于5， 因此第三位8保持不变，故结果为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了近似数． 精确到即保留一位小数，需看百分位数字，根据四舍五入法取近似值． 【详解】 将精确到，百分位数字是6，，向十分位进一，十分位， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查用四舍五入法写小数的近似值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 按照四舍五入法写出该数的近似值即可． 【详解】 解：精确到十分位是， 故答案为：． 10．【答案】千 【分析】 本题主要考查了求精确度，将近似数1.3万还原为13000，确定数字3所在的数位即可． 【详解】 解：1.3万，数字3位于千位上，因此近似数1.3万精确到千位． 故答案为：千． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 7大高频考点概览 考点01 有理数的加法 考点02 有理数的减法 考点03 有理数的乘法 考点04 有理数的除法 考点05 乘方 考点06 科学记数法 考点07 近似数 考点01 有理数的加法 1．（25-26学年七上·山西太原·期中）依据“有理数加法法则”进行异号两数相加时，用到以下操作： ①将绝对值较大的加数的符号作为和的符号 ②用较大的绝对值减去较小的绝对值 ③求两个加数的绝对值，并比较它们的大小 下列操作顺序正确的是（     ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 2．（25-26学年七上·云南昆明·期中）若a与b互为相反数，则　　　　　　　　． 3．（25-26学年七上·广西柳州·期中）出租车司机小张某天上午营运全是在东西走向的天目山路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午的行程是（单位：千米）： ， ， ，，，，，． （1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为0.7升/千米，出车时，油箱有油50升，间：小张今天上午是否需要加油？请说明理由． 4．（25-26学年七上·天津南开·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是　　　　　　． 5．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）若为有理数，则下列结论正确的有　　　　　　　．（只需填写序号） ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 考点02 有理数的减法 1．（25-26学年七上·广东中山·期中）在数轴上若将一点从原点处先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度到达点M，则点M表示的数是（       ） A. 5 B.  C. 2 D.  2．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）已知，，且，则的值为（       ） A. 或 B. 8或2 C. 或2 D. 8或 3．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）把写成省略括号的和的形式是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）如下是李叔叔月日至月日的微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款,月日：扫二维码付款给便利店后余额为（　　） 零钱明细 扫二维码付款给超市月号：        余额 扫二维码付款给便利店月号：        余额 微信红包月号：        余额 微信红包月号：        余额 扫二维码付款给肉食店月号：        余额 A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）如图，点、对应的数是、，点在和对应的两点（包括这两点）之间移动，点在和0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的取值中，可以比小的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·天津南开·期中）计算的结果为　　　　　　　　． 7．（25-26学年七上·广西柳州·期中）如图是我市某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高　　　　　　． 小雪 气温：~ 风向风力：微风 8．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 9．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）某足球守门员练习折返跑，若以球门线为基准，向前跑记为正，返回跑记为负，一段时间内，他的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，（假定开始时，守门员正好在球门线上）． （1）守门员最后是否回到了球门线上？ （2）这段时间内，守门员一共跑了多少米？ 10．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 （1）归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 （2）计算：； 【拓展延伸】 （3）探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 11．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）某科技公司工作小组计划每天生产40架无人机，但实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是该工作小组第一周的生产情况（超过每天计划量为正，低于每天计划量为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产量 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产____架； （2）第一周该公司能否完成生产计划； （3）该公司实行每天计件工资制，每生产一架无人机可得30元，若当天生产量超过计划量，则超过部分每架额外奖励5元；若当天生产量低于计划量，则每少一架扣除10元；则第一周该工作小组的收入为多少？ 12．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． （1）上述材料中，序号①的内容为___________； （2）利用上述材料的方法计算：． 13．（25-26学年七上·北京海淀·期中）在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距　　　　　　　　　　米 考点03 有理数的乘法 1．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）﹣6的倒数是（　　） A. ﹣ B.  C. ﹣6 D. 6 2．（25-26学年七上·天津南开·期中）的相反数的倒数是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）有理数的倒数等于（　　） A.  B.  C. 3 D.  4．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）下列四个数中，的倒数是（       ） A.  B.  C.  D. 2 5．（25-26学年七上·广西柳州·期中）的倒数是（       ） A. 2025 B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）2025的相反数是（     ） A. 2025 B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·河南·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 倒数等于本身的数是、0、1 B. 一对相反数的平方也互为相反数 C. 两个有理数的差一定小于被减数 D. 数轴上的点不都表示有理数 9．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）若，则下列说法正确的是（　　） A. 同号 B. 异号，若，则 C. 异号，若，则 D. 以上均有可能 10．（25-26学年七上·北京海淀·期中）如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A. 点A左侧 B. 点A与点C之间 C. 点C与点B之间 D. 点B右侧 11．（2026·高考真题）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ （3）若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ （4）若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 12．（25-26学年七上·云南昆明·期中）﹣2的倒数是　　　． 13．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）计算的过程中运用的运算律是　　　　　　． 14．（25-26学年七上·广西柳州·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）-5的倒数是　　　　　　　 16．（25-26学年七上·河南·期中）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？ （2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）20筐白菜总重量为多少千克． 17．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： （1）求的值； （2）求的值． 18．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）某检修队从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，这个检修队一天中的行程记录如下（单位：km）∶ ．若检修队所乘汽车每千米耗油，问： （1）检修队收工地在何处？ （2）从出发到收工共耗油多少升？ 19．（25-26学年七上·天津南开·期中）若，，且，则的值为　　　　　　　　． 20．（25-26学年七上·广西柳州·期中）计算：． 21．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）一只小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： （1）小虫最后是否会回到出发点O？ （2）在爬行的过程中，如果每爬行1厘米奖励2粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 22．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根据题意，第三日蒲生长的长度为　　　　　　尺． 23．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）国庆长假后，某高速公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护，约定向东巡视为正，向西巡视为负，当天的行驶记录如下（单位：）：． （1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）若汽车耗油量为，则这次养护共耗油多少升？ 24．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：．解：　　第一步　　第二步　　第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 25．（25-26学年七上·山西太原·期中）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试．分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 道法 地理 历史 物理 化学 生物 相对分数 已知该产品的地理测试分数为分． （1）请补全上表； （2）在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为______分．最低分为______分； （3）求该产品在本次测试中全科目的总分． 科目 语文 数学 英语 道法 地理 历史 物理 化学 生物 相对分数 26．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）已知有理数，． （1）若，，则______，______（填“”，“”或“”）； （2）若，，则_____，______（填“”，“”或“”）； （3）已知，，且，，求的值． 27．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）“十一”第一天，出租车司机张师傅沿东西走向的康庄大道上运送乘客，如果约定向东为正，向西为负，当天从停靠点 A 出发连续运送八位乘客的行驶记录如下（单位：千米）：， ， ， ， ， ， ，． （1）求张师傅最后到达的地方在停靠点 A 的什么方向？与停靠点 A 相距多少千米？ （2）若出租车每行驶 1 千米耗油 0.1 升，则运送这八位乘客共耗油多少升？ 28．（25-26学年七上·北京海淀·期中）用晶圆制造芯片涉及上千道工序，一枚晶圆可制造的有效芯片约为500颗．现随机抽取八枚品圆、统计其制造的有效芯片数量，以500颗为标准数量，超过的颗数记为正数，不足的颗数记为负数，记录如下： 晶圆编号 1 2 3 4 5 6 7 8 有效芯片情况 已知4号晶圆制造的有效芯片为513颗， （1）a的值为　　　　　　； （2）在这八枚晶圆中，一枚晶圆制造的有效芯片数量最多为　　　　　　颗，最少为　　　　　　颗； （3）求这八枚晶圆制造的有效芯片的总数量． 考点04 有理数的除法 1．（2026·高考真题）定义运算，比如，下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②此运算中的字母均不能取零；③；④，其中正确的是（       ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 2．（25-26学年七上·北京海淀·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（七上·北京燕山地·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·天津南开·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，根据有理数在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：其中不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. a+b＞0 B. a﹣b＞0 C. ab＞0 D. ＜0 8．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）计算： （1）； （2）． 9．（七上·北京燕山地·期中）少年儿童标准体重（单位：）常用于评估7至16岁儿童体重的合理性，一种计算公式为：标准体重（公斤）（年龄），下表是七年级数学探究小组的5位同学（年龄都是13岁）的体重（单位：）情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．已知编号5的同学的体重是． 编号 1 2 3 4 5 体重情况 0 （1）①体重是标准体重的同学的编号是____________； ②求出表格中的值； （2）求这5位同学的体重的平均值． 10．（25-26学年七上·云南昆明·期中）在光照充足、四季常青的云南，鲜花是大自然最好的馈赠，丰富的花卉资源，让云南一年四季鲜花不断．某花卉公司对2024年鲜花品种的销售情况进行了统计，绘制成如下统计图： （1）2024年花卉公司鲜花的总销售量为__________万支，销售数量最多的花卉品种比销售数量最少的花卉品种多售出__________万支； （2）根据统计结果，该花卉公司销售玫瑰和向日葵的总量是百合的__________倍． 11．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）10月16日是世界粮食日，为引导学生形成节约粮食的意识和行为习惯，某中学开展“最美餐桌”活动，要求学生对每天的剩饭量进行统计，若剩饭超过的部分记为“”，剩饭量低于的部分记为“”，下表记录了小明一周7天的剩饭量数据： 星期 一 二 三 四 五 六 日 剩饭量 （1）小明剩饭量最多的一天比最少的一天多多少？ （2）若规定每周剩饭量不超过则达标，请通过计算说明小明这周剩饭量是否达标． 12．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要　　　　　　　　　　　　分钟． 13．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）阅读计算 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）开始出现错误的步骤是第_______步； （2）请写出这个计算题的正确解题步骤． 14．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）某酒店今年推出卖卤菜的摊位，计划每天接待100人次，实际每天的客流量与计划相比，超出记为正数，不足记为负数．以下是最近7天的客流记录（单位：人次）： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 记录（单位：人次） （1）这7天中客流量最多的一天比最少一天增加多少人次？ （2）这7天的总客流量是多少人次？ （3）假设每位买卤菜平均消费50元，其中成本为30元（即每接待1人，平均为30元成本），另外每天固定成本1500元（如租金、工资等），若需前8天总利润达到5000元，那么第8天的客流量比前7天的平均客流量增加了多少人次? 15．（25-26学年七上·江西南昌·期中）小南同学今年3月1号体重为，为响应国家卫健委“体重管理年”号召，积极参加体育锻炼，合理膳食．下表是往后每个月1号的体重变化情况，用正数记录体重比上个月的上升数，用负数记录体重比上个月的下降数．（单位：） 月份 4 5 6 7 8 9 10 体重变化 （1）在表格中，小南体重最低是___________月； （2）目前，国际上常用身体质量指数（，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．小南在10月1号这天量得身高为，请判断小南这天体重是否属于正常范围，并说明理由． 16．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）10月1日“河山添锦绣”巡游活动在光谷东湖高新大道举行，巡道员沿东西向的高新大道进行巡视维护．若规定向东为正方向，巡道员从驻地出发先走了后到达地，又走了到达地，然后继续走了到达地，最后返回驻地． （1）、、三地距离驻地最远的是___________地，地距离驻地___________； （2）若巡道员在巡视过程中的平均速度为，则巡视员完成巡视工作需要多长时间？（结果精确到）． 17．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 （1）这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？ 18．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）某陶瓷厂计划一周生产陶瓷工艺品350个，平均每天生产40个，但实际每天生产量与计划相比有出入，下表是某周的生产情况（以40个为标准，超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） （1）根据记录的数据，该厂本周产量最多的一天比最少的一天多______个； （2）该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为多少个？ （3）已知该厂实行每周计件工资制，每周结算一次，每生产一个工艺品可得5元，若超额完成任务（以280个为标准），则超过部分每个另奖10元，少生产每个扣3元，试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 19．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． （1）若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； （2）若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 20．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律可以使得运算更加简单． （1）下面是计算主要过程，请在如表的方框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中． ①有理数加法法则；②加法交换律；③加法结合律；④分配律；⑤有理数乘法法则；⑥有理数除法法则． （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） （依据：______） ． （2）请使用适当的运算律计算： 21．（25-26学年七上·广东中山·期中）某司机在东西走向的路上开车接送乘客，从他早晨由A地出发开始（取向东为正），到晚上送走最后一位乘客为止，一天的行驶里程记录如下（单位：）：，，，，，， （1）该司机最后离出发点A地多远？在哪个方向上？ （2）若汽车每行驶耗油，则该汽车今天耗油多少？ 22．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）同安区某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表所示（进库为正，出库为负，单位：吨），表中星期五的进出数被墨水涂污了． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周天 合计 （1）认真观察如表，请你算出周五的进出数，并说明该数字的实际意义； （2）如果进库和出库的装卸费都是每吨45元，那么该仓库的老板这一周要付多少元的装却费？ 考点05 乘方 1．（2026·高考真题）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·高考真题）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（     ） A. 34 B. 194 C. 1234 D. 6154 3．（25-26学年七上·河南·期中）在有理数，，，，中，负整数一共有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）下列选项中，结果为负数的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）下列式子可以表示成的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·广东中山·期中）下面说法正确的是（       ） A. 任何有理数的绝对值都是正数 B. 负数的奇次幂是正数 C. 一个负数的绝对值是它的相反数 D. 的倒数是1 7．（25-26学年七上·河南·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）一根1米长的竹叶，第一次被熊猫吃掉一半，第二次吃掉剩下的一半．如此吃下去，第五次后剩下的竹叶长度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9．（25-26学年七上·天津南开·期中）下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·山西太原·期中）已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，那么（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）下列说法正确的是（　　） A. 正数和负数互为相反数 B. 0没有相反数 C. 任何数都不等于它的相反数 D. 互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等 12．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）将按从小到大的顺序排列是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 14．（25-26学年七上·广东中山·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入，则输出的结果是（       ） A.  B. 7 C.  D.  15．（七上·北京燕山地·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（       ） A. 24个 B. 26个 C. 28个 D. 30个 16．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A. 11 B.  C. 13 D.  17．（25-26学年七上·江西南昌·期中）如图所示，已知点在数轴上表示的数为，则下列各式不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，不同进位制的数字之间也能进行转换，例如二进制数可转化为十进制数（规定当时，）则二进制数转化为八进制数可以表示为（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）下列各式结果是负数的是（     ） A.  B.  C. 的倒数 D.  20．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）已知，求的值是（     ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 6 21．（2026·高考真题）计算： （1）； （2）． 22．（2026·高考真题）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有　　　　　　　　　　个． 23．（2026·高考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）计算的结果为　　　　　　． 25．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为5，则的值为　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）[教材尝试·交流变式]有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24．例如1，2，3，4可做如下运算：． （1）现有4个有理数：，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24； （2）现有4个有理数：1，2，4，，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24． 27．（七上·北京燕山地·期中）计算： （1）； （2）； （3） （4） 28．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”二进制数和十进制数可以互换．例如，二进制数“110”换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制数“110101”换成十进制数表示的数为 　　　　　　　． 29．（25-26学年七上·云南昆明·期中）若，则　　　　　　　． 30．（25-26学年七上·云南昆明·期中）中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为厘米．（备注：，结果保留） （1）营养舱的高度为__________厘米，底面半径为__________厘米； （2）求该微型种植舱模型的体积． 31．（25-26学年七上·云南昆明·期中）规定一种新运算法则：，例如：．用上述法则计算的结果是　　　　　　　． 32．（25-26学年七上·江西南昌·期中）计算： （1）； （2）． 33．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）计算： （1）； （2）． 34．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）如图是一个计算机的运算程序，若输入的的值为，则输出的的值为　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）计算： （1）； （2）． 36．（25-26学年七上·广西柳州·期中）计算： 37．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）计算： （1）． （2）． 38．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）小于的最大整数为　　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：． （1）求的值； （2）求的值． 40．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）琪琪在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是　　　　　　　． 41．（25-26学年七上·河北石家庄栾城区·期中）计算： （1）． （2）． 42．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案蕴含丰富的数学元素，会徽下方是用中国古代的计数符号写的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如（规定当时，），电子计算机中使用的是二进制，如，换算成十进制数是6，则八进制数字换算成十进制数是　　　　　　． 43．（25-26学年七上·北京海淀·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 44．（25-26学年七上·北京海淀·期中）若有理数a，b满足，则代数式的值为　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年七上·河南·期中）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互相转换，例如，二进制数转换为十进制数为．依此算法，将二进制数转换成十进制数为　　　　　． 46．（25-26学年七上·河南·期中）计算： （1）； （2）． 47．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）如图，第十四届国际数学教育大会ICME-14会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是由四个二进制数组成，将它们转换成八进制数为3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（注：）表示ICME-14的举办年份．则十进制数5050换算成八进制数是　　　　　　　． 48．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）若（x-2）2+|y+3|=0，则yx=　　　　　　　　　． 49．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）计算： （1）； （2）． 50．（25-26学年七上·天津南开·期中）计算 （1）； （2）： （3）． 51．（25-26学年七上·山西太原·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 52．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）计算：． 53．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）定义一种新运算：． 例如． 求下列各式的值： （1）； （2）． 54．（25-26学年七上·广西柳州·期中）我们定义一种新运算“☆”：对于任意有理数和，有．例如：．则的值为　　　　　　　　　　　． 55．（25-26学年七上·广西柳州·期中）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… （1）【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是___________． （2）【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数； （3）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 56．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）规定*是一种新的运算符号，且a*b＝a2+a×b﹣a+2，例如：2*3＝22+2×3﹣2+2＝10，请你根据上面的规定可求：1*3*5的值为　　　　　． 57．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 58．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）若，则的值为 　　　 59．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数当．同理，二进制数转换为十进制数为．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数转换为八进制数，因为，所以，所以转换为八进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． （1）将二进制数转换为十进制数； （2）将十进制数转换为七进制数； （3）一个四进制数转换为十进制数为，其中为整数，且3，若能被整除，求的值． 60．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 61．（25-26学年七上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用． （1）如图1是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数． （2）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．问：八进制2026换算成十进制是多少？（注：） 62．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 63．（25-26学年七上·天津南开·期中）定义“”运算： ；； ；； ；； （1）对于任意有理数，， ①若有理数，同号，结果为________（用含有，的式子表示）； ②若有理数，异号，结果为________（用含有，的式子表示）； （2）计算：________； （3）有理数，，使得．则________，________． 考点06 科学记数法 1．（2026·高考真题）杭州奥体中心体育场因其特殊的外表被称为“大莲花”，它的占地面积为平方米，这个数用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·天津南开·期中）我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是米．数据用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·云南昆明·期中）花江峡谷大桥是世界第一高桥，主桥跨径在山区桥梁跨径中居世界第一、桥梁高度居世界第一，被称为“横竖”都是世界第一大桥．2025年9月28日正式开通，至9月30日花江峡谷大桥旅游区累计接待游客45000余人次．其中数字45000用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·江西南昌·期中）“运动赣鄱・活力江西”2025年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）在南昌市八一体育场开幕，揭幕战由东道主南昌队迎战景德镇队，观众席上气氛火热，共有14521名球迷现场助威，将14521用科学记数法可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）青海湖位于青海省北部，是中国面积最大的内陆湖泊、咸水湖泊，被誉为“高原蓝宝石”．2025年国庆中秋假期，青海湖景区累计接待游客112800人次，同比上升，创旅游接待新记录，数据112800用科学记数法可以表示为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·贵州铜仁·期中）根据《2024年全国科技经费投入统计公报》，家具制造业研究与试验发展经费约8300000000元．数据8300000000用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·广西柳州·期中）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球，据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）据了解，2025年10月1号，共有万人在天安门广场观看升旗仪式，庆祝新中国76周年华诞．数字121000用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·四川绵阳安州区·期中）钓鱼岛海域面积约为，用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·北京海淀·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会在北京天安门广场隆重举行．据统计，网络视听平台直播收视逾亿人次．将用科学记数法表示应为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年七上·河南·期中）自2025年大年初一上映以来，《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，接连刷新票房纪录，截至7月22日，票房累计超过154亿，成为中国影史上首部票房突破百亿元的电影．数据154亿用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录．截至9月5日10时，全媒体渠道总触达人次约33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（七上·北京燕山地·期中）截止到2025年10月17日，电影《哪吒2》的全球总票房突破159亿元人民币，位居全球影史票房榜第五名，成为首部跻身此列的亚洲电影，这一成绩不仅是中国动画工业的一次飞跃，更是中国文化自信与科技自信的双重胜利，数据15900000000用科学记数法表示应为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年七上·山西太原·期中）天问二号是中国首个执行小行星伴飞与采样返回任务的探测器．截至2025年10月1日，天问二号探测器已在轨飞行125天，距离地球约万千米，在轨飞行正常．将数据“万千米”用科学记数法表示正确的是（     ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 15．（25-26学年七上·湖南岳阳·期中）人类的遗传物质是很长的链状结构，最短的21号染色体核苷酸数量约有46700000．46700000用科学记数法表示应为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年七上·新疆治区阿克苏·期中）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为亿千米，那么用科学记数法表示1个天文单位是(单位：千米)(       ) A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年七上·广东中山·期中）今年国庆中秋“双节”叠加，中山文旅市场火热．全市以“香山古城、大涌红博城、中山影视城”为核心，联动镇街构建“”文旅体系，激活全域旅游．据初步统计，10月1日日，全市累计接待游客万人次，旅游收入亿元．其中数据“亿”用科学记数法可表示为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年七上·福建厦门湖里区·期中）节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（     ）. A. 35× B. 3.5× C. 3.5× D. 3.5× 19．（25-26学年七上·黑龙江龙东地·期中）中国空间站“天宫”的建设引起了全世界的瞩目，其重量为180000千克，把180000用科学记数法表示为　　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）2025年国庆中秋假期，武汉江滩累计接待游客超1200000人次．1200000用科学记数法表示是　　　　　　　　　　　． 考点07 近似数 1．（2026·高考真题）下列由四舍五入法得到的近似数，对其描述正确的是（       ） A. 1.20精确到十分位 B. 1.20万精确到百分位 C. 1.20万精确到万位 D. 精确到千位 2．（2026·高考真题）如图为嘉琪同学的答卷，他的得分应是（       ） 姓名：嘉琪                                 得分：______ 填空（每小题20分，共100分） ①的平方根是 ②的相反数是 ③将3.14159精确到百分位是3.14 ④算术平方根与立方根相等的数是0或1 ⑤ A. 40分 B. 60分 C. 80分 D. 100分 3．（25-26学年七上·湖北武汉东湖高新区·期中）用四舍五入法对3.8963取近似数，精确到0.01，得到的正确结果是（　　） A. 3.89 B. 3.9 C. 3.90 D. 3.896 4．（25-26学年七上·北京海淀·期中）《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（　　） A. 3 B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·河南·期中）下列说法正确的是（     ） A. 近似数与的精确度一样 B. 精确到万分位 C. 2000与近似数的意义完全一样 D. 精确到百分位 6．（七上·北京燕山地·期中）用四舍五入法取近似数：　　　　　　　　　　　　（精确到百分位）． 7．（25-26学年七上·青海海东平安区·期中）有一个数学概念叫“黄金分割比”，它的值约为，将用四舍五入法精确到是　　　　　． 8．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）四舍五入法取近似值：将精确到约是　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年七上·广东中山·期中）用四舍五入法将精确到十分位为　　　　　　　　． 10．（25-26学年七上·浙江初中名校发·期中）由四舍五入法得到的近似数1.3万，精确到　　　　　　位． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $