专题04 勾股定理（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期新教材浙教版

**基本信息** 汇编浙江多地八年级期中真题，聚焦勾股定理及逆定理，融合赵爽弦图、秋千测距等数学文化与实际情境，覆盖计算、证明、应用等分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约16题|勾股定理应用（最短路径、折叠）、逆定理判定|结合电工布线、钓鱼竿等生活场景，融入《周髀算经》文化素材| |填空|约20题|赵爽弦图推导、网格计算、动点最值|设计折叠对称、中点性质等综合问题，体现数形结合| |解答|约28题|综合证明（角平分线与勾股定理结合）、实际应用（村庄取水点优化）|设置分层探究题，如“倍增三角形”定义新题型，衔接中考命题趋势|

专题04 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．B 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．D 11．D 12．C 13．B 14．A 15．D 16．B 17．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 18．【答案】（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为 ，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①，② 【分析】 本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）① 由勾股定理直接求出；② 设，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）① 当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ② 设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】 解：连接，如图， 根据题意，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理及直角三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，先由勾股定理得，再证明（）得，从而即可得解。 【详解】 解：∵，，， ∴，， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 21．【答案】（1） 解：∵， ， ∴，即；     （2）新路比原路短千米     （3）的长为千米      【分析】 此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设千米，则千米． 在中，，即， 解得：， 即千米，（千米）． ∴新路比原路短千米． (3) 小问详解： 解：设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴的长为千米． 22．【答案】（1）     （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， 又∵        ，    ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，        又∵ ，       ∴， 又∵ ，                  ∴， ∴． 23．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据，可得，根据角平分线和垂直的性质可得，根据等边对等角的性质即可求解； （2）根据可证，如图所示，连接，可证，由此可得，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，且，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形中角的相互转换，掌握直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24．【答案】问题背景：证明：∵， ∴. 又∵，， ∴， ∴； 类比探究：证明：过点A作，且，连结与， ∵在中，，且 ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴，， ∵在中，， ∴中，有， 即. ； 【分析】 （1）证即可；（2）证得，，结合，即可求证；（3）法① ：过点D作，使得，且，则为等边三角形.连结交于点F，过点E作的延长线交于点H.证得，，结合题意推出，，即可求解；法② ：过点C作，使得， 且，则为等边三角形. 连结并延长，过点D作交于点F.推出为等边三角形，证得，即可求解； 【详解】 （1）略 （2）略 （3）法① ：过点D作，使得，且，则为等边三角形.连结交于点F，过点E作的延长线交于点H. ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，得， ∴，，， ∴， ∴， 即， 法② ：过点C作，使得， 且，则为等边三角形. 连结并延长，过点D作交于点F. ∵为等边三角形， ∴， ， ∵， ， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则在中，有，， ∴在中，. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，学会举一反三，做出正确的辅助线是解题关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查了两点之间的距离公式、实数的加法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出动点第次运动的路径长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】 解：动点第1次运动的路径长为， 动点第2次运动的路径长为， 动点第3次运动的路径长为， 动点第4次运动的路径长为， 则动点第次运动的路径总长为， 观察可知，动点运动的路径长是以为一个循环往复的， ∵， ∴经过第110次运动后，动点经过的路径长为， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，过点作于点，作于点，先求出的长，再利用三角形的面积公式求出的长，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，作于点， ∵平分， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， 又∵平分，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 27．【答案】（1）如图1所示：即为所求作；      （2）如图2，点G即为所求， 【分析】 题目主要考查勾股定理与网格，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意，利用网格作三角形即可； （2）利用网格作出等腰直角三角形即可 (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 28．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）3      【分析】 （1）根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出，进而得到，即可得证； （2）作于点F，角平分线的性质得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 作于点F，如图所示， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 由（1）知：， ∴， 即的长度为3． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，等积法求线段的长．掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 29．【答案】（1） 证明：由折叠可知， 四边形是矩形， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）.      【分析】 本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理． 由折叠可知，根据矩形的对边互相平行，可得：，等量代换可得：，可证结论成立； 设，则，利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值，即为线段的长． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：四边形是矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 30．【答案】14 【分析】 本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 31．【答案】 【分析】 设,则根据勾股定理计算即可，本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】 解：设,则．                     在中,由勾股定理得, 即,                                  解得．                                  答：秋千的长度为． 32．【答案】7或17 【分析】 此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 依题意有以下两种情况： ① 当点D在上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得； ② 当点D在的延长线上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得， 综上所述即可得出答案． 【详解】 解：依题意有以下两种情况： ① 当点D在上时，如图1所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得：， ； ② 当点D在的延长线上时，如图2所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 综上所述：或 故答案为：17或 33．【答案】（1） ① 证明：∵是的平分线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ②     （2），      【分析】 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）① 先证明，，推导出，则，即可解答；② 由，得到，，证明，得到，推导出，则，即可解答； （2）先求出，，，，推导出，得到，，则，即可解答． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵射线 ∴ ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵与关于直线对称 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∴． 34．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，，利用可证得； （2）根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 35．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理、半圆面积公式，解题思路是先由半圆面积公式表示出各半圆面积与对应边长的关系，再利用勾股定理得出边长平方的等量关系，结合求解；解题关键是建立边长平方与半圆面积的联系并运用勾股定理，易错点是半圆面积公式的应用及勾股定理的变形，运用了方程思想与几何公式结合的方法技巧． 【详解】 解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 36．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，勾股定理、角所对直角边等于斜边一半，等知识，根据角所对直角边等于斜边一半得，由勾股定理得，得出，由线段垂直平分线的性质可得，而的周长；建立平面直角坐标系如图，取点关于的对称点，则，当三点共线时，最小，求出，根据两点间距离公式可求出的长． 【详解】 解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴的周长； ∵， ∴， 建立平面直角坐标系如图， 取点关于的对称点，则， 当三点共线时，最小， ∵， ∴，即， ， ∴的最小值为． 故答案为：；． 37．【答案】3 【分析】 本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】 解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的运用，根据正方形的面积公式结合勾股定理计算即可求出． 【详解】 解：分别以，，为边长向外作正方形， ，，． ， ． ， ． 故答案为:． 39．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，等积法求高，根据勾股定理求出的长，等积法求出边上的高线的长，再利用勾股定理和中线的定义求出中点到高的距离，然后根据新定义，进行求解即可． 【详解】 解：如图，，为的高，为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故中边的“中偏度值”为； 故答案为：． 40．【答案】2或 【分析】 此题考查了勾股定理，分情况进行解答即可． 【详解】 解：根据“倍增三角形”的定义，最大边等于最小边的三倍．在直角三角形中，，为斜边，且，因此是最大边． 设最小边为，则，即， 解得．最小边为2，可能是直角边或．根据勾股定理， 若为最小边，则，； 若为最小边，则，．因此的可能值为2或． 故答案为：2或． 41．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；过作于，连接，由，设，，由折可得，，，，得到，推出，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】 解：过作于，连接， ∵， ∴设，则， ∵在长方形中， ∴，，， ∵将沿折叠，使得点C落在上， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∴，， 在中， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 42．【答案】或 【分析】 本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】 解：由折叠性质得，，， 当时，设， 得， ， ， 在中，， ∴， ， ； 当时， ， 是的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ， 当或时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 43．【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】 解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 44．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）     （3）      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． (3) 小问详解： 解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 根据基本作图，得，根据勾股定理得，利用三角形面积的不变性计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，勾股定理的应用，熟练掌握作图和定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 46．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ；     （2）     （3） 证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ．， 平分．      【分析】 （1）利用即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，则，结合全等三角形的性质及角的和差求解即可； （3）过点作于点，根据三角形面积求出，再根据角平分线的判定定理即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 47．【答案】 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形，同时运用勾股定理进行计算． 过点，作，，根据勾股定理得出和的长度，再得出、的长度，进而得出和的长度，最后利用勾股求出的长度． 【详解】 解：分别过点，，作，，，垂足分别为，，，连接，如图， ，，， ，． ，． ． ，， 为等腰直角三角形． 设，则， 在中，， ，解得． ． ． ，， ． 在和中， ． ，． ． 在中，． 故答案为：． 48．【答案】（1） 证明：设，，， 则， 在中，， ， 是等腰三角形；     （2）①5或6；②9或10或      【分析】 （1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论； （2）由的面积求出、、、；① 当时，；当时，；得出方程，解方程即可； ② 根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，而， ， 则，，，． ① 当时，， 即， ， 当时，， 得：， 若的边与平行时，值为5或6． ②点是边的中点，， ， 当点在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点运动到点，不构成三角形 当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则， ； 如果，则点运动到点， ； 如果， 过点作于，如图3所示： ， ， 在中，； ，， 则在中，， ． 综上所述，符合要求的值为9或10或． 故答案为：9或10或． 【点睛】 此题是三角综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想． 49．【答案】[初步思考]（）证明：在右侧作，且，连接，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）； [延伸思考]（）． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． [初步思考]（）在右侧作，且，连接，，通过角度和差可得，证明，根据性质可得； （）由是等腰直角三角形，，则，通过全等三角形性质及角度和差可得，设，则，由勾股定理得，即，解得即可； [延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，，同（）理得，所以，由，，可得到，证明，设，则，由勾股定理得，即，解得即可． 【详解】 [初步思考]（）略 （）解：如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； [延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 50．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了角的平分线的性质定理，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据角的平分线性质定理解答即可； （2）在中可得长度，由题意进而可得，设，，可得，由可得，解得，由勾股定理解得，即可求得． 【详解】 解：（1）如图， 是的角平分钱，且，， ， 故答案为：； （2）如图， 中，，， 由勾股定理得：， ． 平分， ． 设，， ， ，， ， ， ． 中，， ， ． 51．【答案】（1） 证明：∵， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）     （3） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握掌握三角形的判定与性质． （1）证明即可； （2）先由全等三角形得到，则设，在中，由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理建立方程求解； （3）先证明，再证明，即可全等三角形的对应边相等证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 设， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∴； (3) 小问详解： 略 52．【答案】 【分析】 先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积． 【详解】 过点作，交于，交于，如图， ，， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键． 53．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质推出，，连接、、，将的周长转化为，其中的长度为定值，得到当、、三点共线时，有最小值，进而解题． 【详解】 解：如图，连接、、， 由轴对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由题意知，、关于对称，即垂直平分， ∵F是直线上的一动点， ∴， ∴，其中， 当、、三点共线时，有最小值， 即周长的最小值为； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为： ． 54．【答案】 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，，在中，根据得，则，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．A 2．D 3．【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ 即：， ∴是直角三角形；     （2）      【分析】 本题主要应用勾股定理的逆定理判断三角形形状，以及利用角平分线的性质求解线段长度． ()根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长满足(为最长边)，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；得出是直角三角形即可； ()根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；得出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵是直角三角形， ∴ ， ∵，平分，， ∴． 4．【答案】 【分析】 根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】 解：，，， ， ，， ， 是直角三角形，， 阴影， 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长． 5．【答案】①     ② 160 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】 解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 6．【答案】（1） 如图1，      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的画法以及直角三角形的构造，熟练掌握轴对称的性质和直角三角形的定义是解题的关键． （1）要画出与关于直线成轴对称的图形，需分别找出、、三点关于直线的对称点，再依次连接这些对称点． （2）要画出与不全等的直角三角形，需根据直角三角形的定义，结合格点的特点，确定直角顶点和另外两个顶点的位置． (1) 小问详解： 解：分别作出点、、关于直线的对称点、、； 顺次连接、、，得到． (2) 小问详解： 解：以为直角边，在格点上找到点，使得，连接、、，得到． ∵,, ∴， ∴是直角三角形，. 7．【答案】（1）；     （2） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，且， ∴， ， 为等腰直角三角形． 【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理和等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）由勾股定理直接可求，的长； （2）根据勾股定理求出和的值，再运用勾股定理的逆定理即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可得，； ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 8．【答案】 【分析】 此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 连接．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据割补法求解即可． 【详解】 解：连接． ∵， ∴， 由勾股定理可知； ∵， ∴是直角三角形， ∴这块地的面积为． 9．【答案】（1） 由题意可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （）由题意可得，，，，证明即可； （）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可解决问题； （）过点作于点，与相交于点，证明，根据勾股定理求出，然后根据即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理及逆定理等知识，解题的关键是掌握知识点的应用，添加辅助线利用面积法证明线段相等是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (3) 小问详解： 解：过点作于点，与相交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 10．【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  3．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）一个直角三角形，若三边的平方和为128，则斜边长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在中，、的中垂线分别交于点和点，已知，，若，则的长为（     ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 6．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（       ） A. 6 B.  C. 10 D. 13 7．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（     ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 8．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，在中，，，，点O是的中点，连接并延长至点D，使，作交的延长线于点E，则的长为（     ） A. 9 B.  C. 8 D.  9．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（     ） A. 6 B.  C.  D. 8 10．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，在中，的中垂线分别交于点D，E，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（       ） A.      B.      C.      D.      13．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，中，若，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形连接，则这个六边形的面积为（    ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 14．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，在中，，则的面积是（    ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图是一个卡通头像，其脸部是正方形，帽子右侧是以为斜边的，帽子左侧是，若，，，则正方形的边长为（       ）． A.  B. 9 C.  D.  16．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（       ） A. 3 B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为　　　　． 18．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 19．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则　　　　　　． 21．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． （1）图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． （3）在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 22．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． （1）若，则的度数为_____． （2）求证：． （3）已知，求的值． 23．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）已知为直角三角形，，作．平分，点为的中点，过作，且，． （1）求证：； （2）求的长 24．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）问题背景：如图1，在与中，，，．求证：． 类比探究：如图2，在中，，，点D为边上任意一点（不是中点），求证：． 拓展应用：如图3，在四边形中，，，，，，求的长． 25．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为　　　　　　． 26．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，中，，平分，，，则的长为　　　　　　． 27．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）以格点为顶点，作，使，，． （2）在（1）的基础上，在线段上画一点G，使． 28．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求CM的长度． 29．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，，．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是） （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 30．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为　　　　　　． 31．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，秋千在平衡位置时，下端A距地面，当秋千荡到的位置时，下端距平衡时的水平距离为，距地面，求秋千的长度． 32．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）若是边上的高，，则　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）已知：在中，，P是延长线上一点，作与关于直线对称． （1）如图1，是的平分线，且交于点D． ①求证：； ②若，当射线时，求线段的长； （2）如图2，连结分别交于点E，F．当，的面积为3时，求和的面积． 34．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在中，，，点，分别在，上，连接，．已知，． （1）求证：． （2）若，求的长． 35．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，中，，，，D为边上一动点，垂直平分分别交于E，交于F．当时，连接，则的周长为　　　　　　；当D为上任意一点时，取中点G，则的最小值为　　　　　　． 37．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为　　　　　　． 38．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，中，，分别以，，为边长向外作正方形，三个正方形面积分别为，若，则　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·浙江绍兴元培教育集团·期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值“．在中，，则中边的“中偏度值”为　　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）我们定义：最大边等于最小边的三倍的三角形叫做“倍增三角形”．如果是“倍增三角形”，且，，则　　　　　　． 41．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则　　　　　　． 43．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是　　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 45．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则　　　　　　． 46．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，，求证：平分． 47．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）在四边形中，，，，，则对角线的长为　　　　　　． 48．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图1，中，于，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）． ①若的边与平行，求的值； ②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 49．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）【问题背景】如图，是等腰直角三角形，，，点为中点．点是线段上一个动点，在线段上取一点使得． 【提出问题】当点在线段上移动时，的长度是否发生变化？ 【初步思考】小明通过尝试画出在不同位置时的图形，发现的长度发生了变化．于是他采用以下思路进行说理： 思路：求出在两个不同位置时，的长度． 先求出点在特殊位置时的长度： 如图，当点与点重合时，易求得． 再求出点不与两端点，重合时的长度： 如图，小明在右侧作，且．连接，．可证得：．请你根据以下问题帮小明继续完成探究： （1）求证：． （2）当时，求的长度． 【延伸思考】如图，当点运动到线段上时，点落在线段的延长线上．如果题干中其余条件不变．请解决以下问题： （3）当时，_____．（直接写出答案） 50．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 如图1，在中，，若平分，则有． 对此结论，小华同学的证法如下： 过点作于点，于点，过点作于点，因为是的角平分线，且，， 所以______________， 因为， 所以 因为，∴， 所以 所以 【尝试探究】 （1）请将小华同学的证明过程补充完整． 【迁移应用】 （2）如图2，在中，，，，平分交于点，于点．求的长． 51．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图1，在中，，是边上一点，于点，． （1）求证：； （2）若，，求长； （3）若，如图2，其他条件不变，过点作交延长线于点，与的延长线交于点，求证：． 52．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为　　　　　　　　　　． 53．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是　　　　　　　　　． 54．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则　　　　　　　　　　． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中能判断是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A. 三边的长度分别为1，2， B.  C.  D. ， 3．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ． （1）判断 的形状，并说明理由； （2）求 的长． 4．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 5．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则　　　　　　　　　　　度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为　　　　　　　　　　　米． 6．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在的方格纸中，已知格点和格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画，使与关于直线成轴对称． （2）在图2中画，使与不全等． 7．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图为边长是1的正方形构成的网格，点A、B、C、D均在格点上． （1）直接写出下列线段的长度：__________，__________； （2）连接BD，判断的形状，并说明理由． 8．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图所示，一块土地，已知， ，，求这块土地的面积 9．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图1，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图，当时，，，求四边形的面积． 10．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，先连接，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】 解：连接，如图所示： 依题意，， 则， ∴电线管的长度至少要 故选：B． 2．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理，根据题意，先求出，再结合把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，故，，然后根据勾股定理列式计算得，即可作答． 【详解】 解：∵钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为， ∴， ∵把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为， ∴，， 则， ∴ 故选：A 3．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）一个直角三角形，若三边的平方和为128，则斜边长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 利用勾股定理，设斜边为c，则两直角边的平方和等于斜边的平方，结合三边平方和建立方程求解． 本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 【详解】 解：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c， ∵ （勾股定理），且 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ （负值舍去）， 故斜边长为8， 故选：C． 4．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】 由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 5．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在中，、的中垂线分别交于点和点，已知，，若，则的长为（     ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的性质得到，，再根据勾股定理求出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】 解：∵、的中垂线分别交于点和点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（       ） A. 6 B.  C. 10 D. 13 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】 解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（     ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】 解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，在中，，，，点O是的中点，连接并延长至点D，使，作交的延长线于点E，则的长为（     ） A. 9 B.  C. 8 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识﹒先根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理求出﹒证明得到，，根据勾股定理即可求出﹒ 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴, ∴﹒ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，﹒ 故选：B 9．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（     ） A. 6 B.  C.  D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：连接， ∵， ∴F是中点， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，在中，的中垂线分别交于点D，E，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的应用和线段垂直平分线的性质，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 设，根据线段垂直平分线的性质可得，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】 解：设， ∵，是的中垂线， ∴， ∴在中，， ∴ 解得， ∴的长是， 故选D． 11．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查折叠的性质，勾股定理，先由② 得，求出，得，勾股定理求出，根据折叠的性质求出a，b，c的值即可比较． 【详解】 解：由② 得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， 图3中， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 12．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】 解：A、梯形的面积为：， 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故A选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：， 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴C选项不能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故D选项能证明勾股定理； 故选：C． 【点睛】 本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 13．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，中，若，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形连接，则这个六边形的面积为（    ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 过E作的垂线，垂足为M，过D作的垂线，垂足为N，由正方形的性质得证明，，得出对应边相等，进而由勾股定理求出，然后由，列式计算即可． 【详解】 解：如图，过E作的垂线，垂足为M，过D作的垂线，垂足为N， ，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ，，， 在与中， ， ， ，， 同理可证， ，， 中，，， ， ， 故选：B． 14．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，在中，，则的面积是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点A作于点D，由等腰三角形的性质得出，再由勾股定理求出，然后由三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：如图，过点A作于点D， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故选： 15．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图是一个卡通头像，其脸部是正方形，帽子右侧是以为斜边的，帽子左侧是，若，，，则正方形的边长为（       ）． A.  B. 9 C.  D.  【答案】D 【分析】 过点B作，与的延长线交于点G，证明得，再根据三角形面积之和为，得出的方程，求得，最后根据勾股定理求得结果． 【详解】 解：过点B作，与的延长线交于点G， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ，， ， 在和中， ． ，． ， ． 即． ． ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，勾股定理，关键是构造全等三角形． 16．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（       ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】 解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 17．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 18．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【答案】（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为 ，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①，② 【分析】 本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）① 由勾股定理直接求出；② 设，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）① 当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ② 设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 19．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】 解：连接，如图， 根据题意，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理及直角三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，先由勾股定理得，再证明（）得，从而即可得解。 【详解】 解：∵，，， ∴，， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． （1）图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． （3）在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 【答案】（1） 解：∵， ， ∴，即；     （2）新路比原路短千米     （3）的长为千米      【分析】 此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设千米，则千米． 在中，，即， 解得：， 即千米，（千米）． ∴新路比原路短千米． (3) 小问详解： 解：设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴的长为千米． 22．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． （1）若，则的度数为_____． （2）求证：． （3）已知，求的值． 【答案】（1）     （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解： ∵， ∴， 又∵        ，    ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，        又∵ ，       ∴， 又∵ ，                  ∴， ∴． 23．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）已知为直角三角形，，作．平分，点为的中点，过作，且，． （1）求证：； （2）求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据，可得，根据角平分线和垂直的性质可得，根据等边对等角的性质即可求解； （2）根据可证，如图所示，连接，可证，由此可得，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，且，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形中角的相互转换，掌握直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）问题背景：如图1，在与中，，，．求证：． 类比探究：如图2，在中，，，点D为边上任意一点（不是中点），求证：． 拓展应用：如图3，在四边形中，，，，，，求的长． 【答案】问题背景：证明：∵， ∴. 又∵，， ∴， ∴； 类比探究：证明：过点A作，且，连结与， ∵在中，，且 ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴，， ∵在中，， ∴中，有， 即. ； 【分析】 （1）证即可；（2）证得，，结合，即可求证；（3）法① ：过点D作，使得，且，则为等边三角形.连结交于点F，过点E作的延长线交于点H.证得，，结合题意推出，，即可求解；法② ：过点C作，使得， 且，则为等边三角形. 连结并延长，过点D作交于点F.推出为等边三角形，证得，即可求解； 【详解】 （1）略 （2）略 （3）法① ：过点D作，使得，且，则为等边三角形.连结交于点F，过点E作的延长线交于点H. ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，得， ∴，，， ∴， ∴， 即， 法② ：过点C作，使得， 且，则为等边三角形. 连结并延长，过点D作交于点F. ∵为等边三角形， ∴， ， ∵， ， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则在中，有，， ∴在中，. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，学会举一反三，做出正确的辅助线是解题关键． 25．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了两点之间的距离公式、实数的加法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出动点第次运动的路径长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】 解：动点第1次运动的路径长为， 动点第2次运动的路径长为， 动点第3次运动的路径长为， 动点第4次运动的路径长为， 则动点第次运动的路径总长为， 观察可知，动点运动的路径长是以为一个循环往复的， ∵， ∴经过第110次运动后，动点经过的路径长为， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，中，，平分，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，过点作于点，作于点，先求出的长，再利用三角形的面积公式求出的长，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，作于点， ∵平分， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得， 又∵平分，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）以格点为顶点，作，使，，． （2）在（1）的基础上，在线段上画一点G，使． 【答案】（1）如图1所示：即为所求作；      （2）如图2，点G即为所求， 【分析】 题目主要考查勾股定理与网格，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意，利用网格作三角形即可； （2）利用网格作出等腰直角三角形即可 (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 28．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求CM的长度． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）3      【分析】 （1）根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出，进而得到，即可得证； （2）作于点F，角平分线的性质得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 作于点F，如图所示， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 由（1）知：， ∴， 即的长度为3． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，等积法求线段的长．掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 29．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，，．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是） （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：由折叠可知， 四边形是矩形， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）.      【分析】 本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理． 由折叠可知，根据矩形的对边互相平行，可得：，等量代换可得：，可证结论成立； 设，则，利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值，即为线段的长． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：四边形是矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 30．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为　　　　　　． 【答案】14 【分析】 本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 31．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，秋千在平衡位置时，下端A距地面，当秋千荡到的位置时，下端距平衡时的水平距离为，距地面，求秋千的长度． 【答案】 【分析】 设,则根据勾股定理计算即可，本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】 解：设,则．                     在中,由勾股定理得, 即,                                  解得．                                  答：秋千的长度为． 32．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）若是边上的高，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】7或17 【分析】 此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 依题意有以下两种情况： ① 当点D在上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得； ② 当点D在的延长线上时，证明是等腰直角三角形得，在中，由勾股定理得，进而得， 综上所述即可得出答案． 【详解】 解：依题意有以下两种情况： ① 当点D在上时，如图1所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得：， ； ② 当点D在的延长线上时，如图2所示： 是边BC上的高， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 综上所述：或 故答案为：17或 33．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）已知：在中，，P是延长线上一点，作与关于直线对称． （1）如图1，是的平分线，且交于点D． ①求证：； ②若，当射线时，求线段的长； （2）如图2，连结分别交于点E，F．当，的面积为3时，求和的面积． 【答案】（1） ① 证明：∵是的平分线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ②     （2），      【分析】 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）① 先证明，，推导出，则，即可解答；② 由，得到，，证明，得到，推导出，则，即可解答； （2）先求出，，，，推导出，得到，，则，即可解答． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵射线 ∴ ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵与关于直线对称 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∴． 34．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在中，，，点，分别在，上，连接，．已知，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，，利用可证得； （2）根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 35．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理、半圆面积公式，解题思路是先由半圆面积公式表示出各半圆面积与对应边长的关系，再利用勾股定理得出边长平方的等量关系，结合求解；解题关键是建立边长平方与半圆面积的联系并运用勾股定理，易错点是半圆面积公式的应用及勾股定理的变形，运用了方程思想与几何公式结合的方法技巧． 【详解】 解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 36．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，中，，，，D为边上一动点，垂直平分分别交于E，交于F．当时，连接，则的周长为　　　　　　；当D为上任意一点时，取中点G，则的最小值为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，勾股定理、角所对直角边等于斜边一半，等知识，根据角所对直角边等于斜边一半得，由勾股定理得，得出，由线段垂直平分线的性质可得，而的周长；建立平面直角坐标系如图，取点关于的对称点，则，当三点共线时，最小，求出，根据两点间距离公式可求出的长． 【详解】 解：∵中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴的周长； ∵， ∴， 建立平面直角坐标系如图， 取点关于的对称点，则， 当三点共线时，最小， ∵， ∴，即， ， ∴的最小值为． 故答案为：；． 37．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】 解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 38．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，中，，分别以，，为边长向外作正方形，三个正方形面积分别为，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的运用，根据正方形的面积公式结合勾股定理计算即可求出． 【详解】 解：分别以，，为边长向外作正方形， ，，． ， ． ， ． 故答案为:． 39．（25-26学年八上·浙江绍兴元培教育集团·期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值“．在中，，则中边的“中偏度值”为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，等积法求高，根据勾股定理求出的长，等积法求出边上的高线的长，再利用勾股定理和中线的定义求出中点到高的距离，然后根据新定义，进行求解即可． 【详解】 解：如图，，为的高，为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故中边的“中偏度值”为； 故答案为：． 40．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）我们定义：最大边等于最小边的三倍的三角形叫做“倍增三角形”．如果是“倍增三角形”，且，，则　　　　　　． 【答案】2或 【分析】 此题考查了勾股定理，分情况进行解答即可． 【详解】 解：根据“倍增三角形”的定义，最大边等于最小边的三倍．在直角三角形中，，为斜边，且，因此是最大边． 设最小边为，则，即， 解得．最小边为2，可能是直角边或．根据勾股定理， 若为最小边，则，； 若为最小边，则，．因此的可能值为2或． 故答案为：2或． 41．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；过作于，连接，由，设，，由折可得，，，，得到，推出，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】 解：过作于，连接， ∵， ∴设，则， ∵在长方形中， ∴，，， ∵将沿折叠，使得点C落在上， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∴，， 在中， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 42．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，连接．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据和两种情况展开讨论，当，设可得，根据折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设，，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】 解：由折叠性质得，，， 当时，设， 得， ， ， 在中，， ∴， ， ； 当时， ， 是的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ， 当或时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 43．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】 解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 44．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． （1）作关于直线对称的图形； （2）若网格中最小正方形的边长为，求的面积； （3）在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）     （3）      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． (3) 小问详解： 解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据基本作图，得，根据勾股定理得，利用三角形面积的不变性计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，勾股定理的应用，熟练掌握作图和定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，，求证：平分． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ；     （2）     （3） 证明：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ．， 平分．      【分析】 （1）利用即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，则，结合全等三角形的性质及角的和差求解即可； （3）过点作于点，根据三角形面积求出，再根据角平分线的判定定理即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 47．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）在四边形中，，，，，则对角线的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形，同时运用勾股定理进行计算． 过点，作，，根据勾股定理得出和的长度，再得出、的长度，进而得出和的长度，最后利用勾股求出的长度． 【详解】 解：分别过点，，作，，，垂足分别为，，，连接，如图， ，，， ，． ，． ． ，， 为等腰直角三角形． 设，则， 在中，， ，解得． ． ． ，， ． 在和中， ． ，． ． 在中，． 故答案为：． 48．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图1，中，于，且． （1）试说明是等腰三角形； （2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒）． ①若的边与平行，求的值； ②若点是边的中点，问在点运动的过䅅中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：设，，， 则， 在中，， ， 是等腰三角形；     （2）①5或6；②9或10或      【分析】 （1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论； （2）由的面积求出、、、；① 当时，；当时，；得出方程，解方程即可； ② 根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，而， ， 则，，，． ① 当时，， 即， ， 当时，， 得：， 若的边与平行时，值为5或6． ②点是边的中点，， ， 当点在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点运动到点，不构成三角形 当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则， ； 如果，则点运动到点， ； 如果， 过点作于，如图3所示： ， ， 在中，； ，， 则在中，， ． 综上所述，符合要求的值为9或10或． 故答案为：9或10或． 【点睛】 此题是三角综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想． 49．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）【问题背景】如图，是等腰直角三角形，，，点为中点．点是线段上一个动点，在线段上取一点使得． 【提出问题】当点在线段上移动时，的长度是否发生变化？ 【初步思考】小明通过尝试画出在不同位置时的图形，发现的长度发生了变化．于是他采用以下思路进行说理： 思路：求出在两个不同位置时，的长度． 先求出点在特殊位置时的长度： 如图，当点与点重合时，易求得． 再求出点不与两端点，重合时的长度： 如图，小明在右侧作，且．连接，．可证得：．请你根据以下问题帮小明继续完成探究： （1）求证：． （2）当时，求的长度． 【延伸思考】如图，当点运动到线段上时，点落在线段的延长线上．如果题干中其余条件不变．请解决以下问题： （3）当时，_____．（直接写出答案） 【答案】[初步思考]（）证明：在右侧作，且，连接，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （）； [延伸思考]（）． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． [初步思考]（）在右侧作，且，连接，，通过角度和差可得，证明，根据性质可得； （）由是等腰直角三角形，，则，通过全等三角形性质及角度和差可得，设，则，由勾股定理得，即，解得即可； [延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，，同（）理得，所以，由，，可得到，证明，设，则，由勾股定理得，即，解得即可． 【详解】 [初步思考]（）略 （）解：如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； [延伸思考]（）如图，在右侧作，且，连接，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 50．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 如图1，在中，，若平分，则有． 对此结论，小华同学的证法如下： 过点作于点，于点，过点作于点，因为是的角平分线，且，， 所以______________， 因为， 所以 因为，∴， 所以 所以 【尝试探究】 （1）请将小华同学的证明过程补充完整． 【迁移应用】 （2）如图2，在中，，，，平分交于点，于点．求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了角的平分线的性质定理，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据角的平分线性质定理解答即可； （2）在中可得长度，由题意进而可得，设，，可得，由可得，解得，由勾股定理解得，即可求得． 【详解】 解：（1）如图， 是的角平分钱，且，， ， 故答案为：； （2）如图， 中，，， 由勾股定理得：， ． 平分， ． 设，， ， ，， ， ， ． 中，， ， ． 51．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图1，在中，，是边上一点，于点，． （1）求证：； （2）若，，求长； （3）若，如图2，其他条件不变，过点作交延长线于点，与的延长线交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）     （3） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握掌握三角形的判定与性质． （1）证明即可； （2）先由全等三角形得到，则设，在中，由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理建立方程求解； （3）先证明，再证明，即可全等三角形的对应边相等证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 设， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∴； (3) 小问详解： 略 52．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积． 【详解】 过点作，交于，交于，如图， ，， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键． 53．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质推出，，连接、、，将的周长转化为，其中的长度为定值，得到当、、三点共线时，有最小值，进而解题． 【详解】 解：如图，连接、、， 由轴对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 由题意知，、关于对称，即垂直平分， ∵F是直线上的一动点， ∴， ∴，其中， 当、、三点共线时，有最小值， 即周长的最小值为； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为： ． 54．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，，在中，根据得，则，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中能判断是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理依次判断出四个选项中三角形的形状即可． 【详解】 A．当时， ， ． 是直角三角形，故A选项符合题意； B．， 围不成三角形，故B选项不符合题意； C． ， ∴设，， ∴， 围不成三角形，故C选项不符合题意； D． ， ． 又， ， 则， 是钝角三角形．故D选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A. 三边的长度分别为1，2， B.  C.  D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理和、等腰三角形的性质，逐项分析判断是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】 解：A、∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴， 解得， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴设，，， ∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∴是锐角三角形，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ． （1）判断 的形状，并说明理由； （2）求 的长． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ 即：， ∴是直角三角形；     （2）      【分析】 本题主要应用勾股定理的逆定理判断三角形形状，以及利用角平分线的性质求解线段长度． ()根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长满足(为最长边)，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；得出是直角三角形即可； ()根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；得出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵是直角三角形， ∴ ， ∵，平分，， ∴． 4．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】 解：，，， ， ，， ， 是直角三角形，， 阴影， 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长． 5．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则　　　　　　　　　　　度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为　　　　　　　　　　　米． 【答案】①     ② 160 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】 解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 6．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在的方格纸中，已知格点和格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画，使与关于直线成轴对称． （2）在图2中画，使与不全等． 【答案】（1） 如图1，      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的画法以及直角三角形的构造，熟练掌握轴对称的性质和直角三角形的定义是解题的关键． （1）要画出与关于直线成轴对称的图形，需分别找出、、三点关于直线的对称点，再依次连接这些对称点． （2）要画出与不全等的直角三角形，需根据直角三角形的定义，结合格点的特点，确定直角顶点和另外两个顶点的位置． (1) 小问详解： 解：分别作出点、、关于直线的对称点、、； 顺次连接、、，得到． (2) 小问详解： 解：以为直角边，在格点上找到点，使得，连接、、，得到． ∵,, ∴， ∴是直角三角形，. 7．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图为边长是1的正方形构成的网格，点A、B、C、D均在格点上． （1）直接写出下列线段的长度：__________，__________； （2）连接BD，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；     （2） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，且， ∴， ， 为等腰直角三角形． 【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理和等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）由勾股定理直接可求，的长； （2）根据勾股定理求出和的值，再运用勾股定理的逆定理即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可得，； ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图所示，一块土地，已知， ，，求这块土地的面积 【答案】 【分析】 此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 连接．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据割补法求解即可． 【详解】 解：连接． ∵， ∴， 由勾股定理可知； ∵， ∴是直角三角形， ∴这块地的面积为． 9．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图1，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图，当时，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 由题意可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （）由题意可得，，，，证明即可； （）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可解决问题； （）过点作于点，与相交于点，证明，根据勾股定理求出，然后根据即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理及逆定理等知识，解题的关键是掌握知识点的应用，添加辅助线利用面积法证明线段相等是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； (3) 小问详解： 解：过点作于点，与相交于点， 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 10．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，已知点是等边内一点，连接，，，为外一点，且，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理． （1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $