专题03 特殊三角形（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期新教材浙教版

**基本信息** 专题聚焦特殊三角形，涵盖轴对称及性质、等腰/等边/直角三角形5大高频考点，精选浙江多地期中真题，情境贴近生活与时代，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约30题|轴对称（节能标志、奥运图标识别）、等腰三角形（三线合一应用）|时代情境（AI标志、新能源汽车图标）| |填空|约15题|直角三角形（中线性质）、等边三角形（动态问题）|分层设计（基础判断到计算推理）| |解答|约20题|等腰三角形证明、图形折叠与最值|数学思维（分类讨论、对称转化）|

专题03 特殊三角形 考点01 轴对称及其性质 考点02 画轴对称的图形 考点03 等腰三角形 考点04 等边三角形 考点05 直角三角形 考点01 轴对称及其性质 1．B 2．A 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 11．D 12．D 13．A 14．D 15．A 16．【答案】 【分析】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】 解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 考点02 画轴对称的图形 1．A 2．【答案】（1） 如图，即为所求，   ，      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，平移作图，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，并根据图形写出、的坐标； （2）根据平移的特点作图即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ． 3．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了对称轴的性质，作轴对称图形，求网格三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）根据割补法求解面积； （3）作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点，由于此时，根据两点之间线段最短即可说理． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积， 故答案为：3； (3) 小问详解： 略 考点03 等腰三角形 1．D 2．B 3．A 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．A 12．B 13．A 14．D 15．D 16．C 17．C 18．A 19．C 20．C 21．C 22．B 23．D 24．A 25．【答案】（1）     （2）与，或与      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； (1) 小问详解： 解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； (2) 小问详解： 当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 26．【答案】36° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】∵等腰三角形的一个底角为， ∴等腰三角形的顶角， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 27．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，根据外角求出相邻内角，进而根据等腰三角形的性质求出底角即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵外角是， ∴相邻内角为， ∵等腰三角形的底角不能为钝角， ∴的内角是顶角， ∴底角度数为， 故答案为：． 28．【答案】1或4 【分析】 本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．分当是直角时，当是直角时两种情况分别求解． 【详解】 解：分以下两种情况讨论： 如图，当是直角时， ，， ， ； 当是直角时， ，， ， ， 综上所述，的长为1或4， 故答案为：1或4． 29．【答案】（1） 证明：∵， ∴在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）由得，然后通过等角对等边即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．【答案】（1）     （2） 证明：由（1）得：， ∴． 又∵，， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，（1）根据等边对等角求出，再结合直角三角形两锐角互余即可得出，进而可得， （2）根据，可得，由此即可利用证明结论． (1) 小问详解： 解：∵是的角平分线，， ∴． ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴． (2) 小问详解： 略 31．【答案】①；②；③；④ 等角对等边 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据证明得到，再由等角对等边即可得出答案． 【详解】 证：， ， 在和中， ， ， ∴， ∴．（④ 等角对等边）． 32．【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE， 又∵∠C＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴AB=AD． （2）40°． 【分析】 （1）由∠1＝∠2，得∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，利用“AAS”证明△ABC≌△ADE，进而证明AB＝AD． （2）由△ABC≌△ADE可知，∠C＝∠AED，AE＝AC，得∠C＝∠AEC，利用∠BED＝180°−∠AED−∠AEC求解． 【详解】 （1）略 （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠AED＝70°，AE＝AC， ∴∠C＝∠AEC＝70°， ∴∠BED＝180°−∠AED−∠AEC＝180°−70°−70°＝40°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，根据AAS证明三角形全等，运用全等三角形性质及等边对等角进行角度计算是解题关键． 33．【答案】（1）     （2） 证明：连结，如图所示： ∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴．（等腰三角形三线合一）      【分析】 本题主要考查直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）连结，由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵是边上的高线， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 34．【答案】（1） 证明：∵、是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，即可得出； （2）根据，得出，根据，求出，根据等腰三角形的判定得出答案即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：略. 35．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 36．【答案】80度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．【答案】（1），     （2） 证明：∵是的平分线， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理推出，通过证明，得到，利用周角的定义得出，根据三角形外角的性质得到，得到，推出，再利用全等三角形的性质以及等量代换即可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴的度数为，的度数为； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 38．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 39．【答案】（1） 如图， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与边可能会有2个交点， ∴小明作法中存在问题；     （2） 证明：如图，连接， 由作图得，， ∵，，点为的中点， ∴，，平分， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴．      【分析】 本题考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）由作图可得，以点为圆心，长为半径作弧，与边可能会有2个交点，据此即可解答； （2）连接，通过证明，得到，则有，根据垂直的定义即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．【答案】① x度    ② 1 【分析】 此题考查了轴对称性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，，由对称得到，，，，证明出，得到； 如图所示，连接，证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】 ∵在等腰直角中，，， ∴，， ∵点关于直线的对称点恰好落在上， ∴，，， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴； 如图所示，连接 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：，1． 41．【答案】15 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到米，由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴米， 又∵，， 米． 故答案为：15． 42．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质易得，然后可求出，进而得到． 【详解】 解：延长交于点， ∵平分，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 43．【答案】（1）     （2） 证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 同理． 因为， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以．      【分析】 此题考查了同角的余角相等，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据同角得余角相等得到即可； （2）根据同角得余角相等得到，然后等量代换得到，然后证明出，得到，即可证明出． (1) 小问详解： 如图所示， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，即； (2) 小问详解： 略 44．【答案】等腰三角形三线合一，，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，，，，，全等三角形的对应角相等． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，即可得到结论． 【详解】 略 45．【答案】或90或45 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】 解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 46．【答案】证明：∵， ∴， ∵是底边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键； 根据可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，推出，即得结论． 【详解】 略 47．【答案】∵BG，CF分别是AC，AB边上的高线， ， ∴∠BFC=∠CGB=． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵BC=CB， ∴△BCF≌△CBG， ∴BG=CF． 【分析】 根据条件只要证明△BCF≌△CBG，写出理由即可解决问题． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、高的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型． 48．【答案】 【分析】 本题考查平行线性质，以及等腰三角形判定，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关性质、定义．利用平行线性质得到，，利用角平分线定义得到，，再结合等量代换和等腰三角形性质，推出求解，即可解题． 【详解】 解：过点作交于点，交于点， ，， 中，，的平分线相交于点， ，， ，， ，， ， ． 故答案为：． 49．【答案】见解析； 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 50．【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【分析】 （1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 51．【答案】（1）如图，      （2）如图： 【分析】 本题考查了网格上的无刻度直尺作图，涉及勾股定理和等腰三角形的判定与性质，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，确定，然后取格点A，利用勾股定理和等腰三角形的性质画图即可． （2）在上取格点F，则，根据网格特点得到点O是的中点，根据勾股定理和等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． (1) 小问详解： 解：取格点A，则，，则等腰三角形即为所求作： (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 在上取格点F，则；取格点M、N，连接，，两线交于点O，则点O是的中点，根据等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． 52．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴ ∴；     （2）     （3）时，的值最小，的面积为      【分析】 本题考查了勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形三边关系等知识点． （1）可得，根据三角形的外角得到， 则，即可证明； （2）可设，则，由，得到，故可得，解方程即可； （3）先根据角直角三角形的性质以及勾股定理求出，过点作交射线于点，由三角形三边关系得到，当点重合，即重合时，等号成立，则，那么，而，故，则当重合时，取得最小值，再由三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由(1)知， ∴ 设， ∵点F为的中点， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴， 解得 即； (3) 小问详解： 解：当时，的值最小，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，则， 过点作交射线于点， ∴，， ∵， 当点重合，即重合时，等号成立， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当重合时，，取得最小值，如图： 此时， ∴的面积． 53．【答案】（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴ ∵， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， ； （2） 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证； （2）连接，过点作于点，证明，和，得出，进而得到，即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）连接，过点作于点， ∵， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ∴． 54．【答案】（1）是     （2） 解：， ， ， 在中，，又， ， ∴， ∵， ∴， ， 是“倍角三角形”；     （3）或或或      【分析】 本题主要考查三角形内角和定理、角平分线性质、等腰三角形性质及“倍角三角形”定义，熟练掌握三角形内角和为、等腰三角形底角相等及“倍角三角形”的角的倍数关系是解题关键． （1）先利用三角形内角和求出，再由角平分线定义得，最后求，判断是否存在角的2倍关系． （2）由得等角，推出，结合已知条件和三角形内角和，推导与的2倍关系． （3）我们先设，根据三角形内角和求出．然后分两种维度讨论：一是作为“倍角三角形”的六种角度关系；二是作为等腰三角形的三种情况（、、）．通过结合这两种情况，分类计算出所有符合条件的的度数． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 平分， ， ∴在中，， ， 是“倍角三角形”， 故答案为：是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设，则， 情况1：中，时，即， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去，角度不能为负）； 若，则，即， 解得； 若，则（舍去，三角形内角和超过180°）； 情况2：中，， ∵,， ∴， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，即（舍去，内角和超过）； 情况3：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况4：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况5：中，时，即， 解得， 则，， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 情况6：中，时，即， ∴， ∴， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，（舍去，内角和超过）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 综上，所有可能的的度数为或或或. 55．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）     （3） 结论：，理由如下： 如图，连接，作延长线，垂足为G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，得到，证明，即可得证； （2）连结，根据轴对称的性质及角的等量代换即可解答； （3）结论：．作，垂足为G，连接，证明，利用勾股定理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，点是点关于的对称点，连接， ∵点与点C关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 56．【答案】或 【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∴，， 由折叠可知：， 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意）； 当，即时， ∵， ∴， 解得， 即； 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 考点04 等边三角形 1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．【答案】三个内角都相等的三角形是等边三角形 【分析】 本题考查逆命题的概念，逆命题是通过交换原命题的条件和结论形成的． 【详解】 解：原命题的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于60°”，交换条件和结论后，逆命题为“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”． 故答案为∶三个内角都等于60°的三角形是等边三角形． 8．【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，再由证得，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，则，再由（1）得，得出，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等边三角形， ， ， 由（1）得：， ， ． 9．【答案】（1）是     （2） 证明：是等腰三角形，， ， 和是“孪生等腰三角形”， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ；     （3） ，理由如下： 由（2）易知， ， 在和中， ， ．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，灵活运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定得出与是等边三角形，进而利用全等三角形的判定解答即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，进而利用证明和全等解答即可； （3）利用证明和全等，进而根据全等三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：和是“孪生等腰三角形”， ，， 是等边三角形， ， 和都是等边三角形， ， ， 即， 在与中， ， ， 故答案为：是； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 略． 10．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质是解题的关键． （1）要证明，先利用等边三角形的性质得到，，再结合已知，根据全等三角形判定定理（）即可证明． （2）先由全等三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质，将转化为，进而结合等边三角形内角为60°的性质求出度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．【答案】（1） ① 证明：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②     （2）或或      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． （1）① 根据即可证明； ② 利用等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质得到，进而证明，再根据三角形内角和求出结论； （2）分点D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． (1) 小问详解： 解：① 略 ②， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）知，当时，则有， ∴为等边三角形， ① 如图1，当点D在线段上时， 此时， ∴． ② 如图2，当点D在的延长线上时， 此时， ③ 如图3，当点D在的延长线上，且时， 此时． ④ 如图4，当点D在的延长线上，且时， 此时． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 12．【答案】A；【知识拓展】，；【尝试应用】（1）；（2）3 【分析】 本题主要考查了轴对称最短路径问题等内容，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由材料可直接得解； 知识拓展根据三角形三边关系即可得解； 尝试应用（1）由题得，进而，当且仅当B、P、M三点共线时取等，据此求出长度； （2）由知识拓展可直接得解． 【详解】 由材料可知其数学原理为两点之间，线段最短； 故答案为：A； 知识拓展根据三角形三边关系可知，当且仅当C、A、B三点共线时取等； 故答案为：，； 尝试应用（1）如图，连接， 为等边三角形，D为中点， 垂直平分， ， ，当且仅当B、P、M三点共线时取等，此时最小值为的长度， 为中点， ，， ， 的最小值为； （2）由知识拓展可知，， 当点P位于点A位置时取等，此时， 的最大值为 13．【答案】2 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，找到点N的运动路线是解答的关键．连接，利用证明，由全等三角形的性质得，再利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵是高所在直线上一点，是等边三角形，， ，，点N的运动轨迹为如图所示直线， ， ∴， 故当时，最短，最短为， 故答案为：2． 14．【答案】（1）①，； ②证明：如图所示， 是的垂直平分线， 点关于对称， ， ，， 则， 在等边中，再由，可得， ， ， 在和中，， ， ，且是的一个外角， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 作于，如图所示： ，， ， 即；     （2）      【分析】 （1）① 由等边三角形性质，结合垂直平分线的判定得到，再由等腰三角形三线合一性质得到平分，即可得到的度数；再由含直角三角形性质及勾股定理求出求解即可得到答案； ② 由垂直平分线性质得到，进而得到，再由等腰直角三角形性质，求出，作于，如图所示，得到，，数形结合表示出即可得证； （2）由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质易得，从而确定在点运动过程中，动点在直线上运动，则由垂线段最短可知，当时，有最小值，作于，连接，如图所示，先判断为等边三角形，进而得到，在中，由含直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：①均为等边三角形， ，， 是线段的垂直平分线， 即， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ； 如图所示： ，， 由等腰三角形三线合一性质得到， 在中，设，则， 由勾股定理可得， ， 是线段的垂直平分线， ， 在中，，则， 解得， 则， ； ② 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图所示： 由垂直平分线的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又四边形的内角和为， ∴， ， ∴， 在等腰中，由三角形内角和定理可得， 即在点运动过程中，动点在直线上运动，且， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时，过点作于，连接，如图所示： ， 在中，点为中点，即是斜边上的中线，则， 即是等边三角形， ， 又，， ， ， 于，， ， ∴， 在中，，， 设，则，由勾股定理得， 解得， ． 【点睛】 本题考查几何综合，综合性强，难度较大，涉及等边三角形判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形性质、含直角三角形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记三角形相关判定与性质是解决问题的关键． 考点05 直角三角形 1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．【答案】 【分析】 根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【详解】 解： 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12， 由勾股定理得： ∵CD是直角三角形ACB的斜边AB上中线， ∴CD= AB=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 由题意可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】 解：如图， 根据题意得：， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 8．【答案】① 65    ② 15 【分析】 本题考查了三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用角的和差关系可得：，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得；然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用勾股定理可得，最后根据三角形的中线定义可得的面积，从而进行计算即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； ∵，是的中线， ∴， ∵，则， ∴， ∴ ； 故答案为：①65；②15． 9．【答案】（1） 证明：∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵G是的中点， ∴；     （2） 证明：∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （3）．      【分析】 （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等边三角形； （3）根据（2）中的结论及的长度可求出和的长度，根据是中点可得的长度，再根据勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知：是是等边三角形，且， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键． 10．【答案】（1）①； ②， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ； （2）解：． 理由如下：如图，， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ． 【分析】 本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）① 根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到； ② 根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算，证明结论； （2）仿照（1）的证明方法解答即可． 【详解】 解：（1）①是的中点，，， ， 故答案为：． ② 略 （2）略 11．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）根据和是直角三角形，点E是的中点，由此可得出结论； （2）过点E作于G，由（1）的结论得，证明是等腰直角三角形，得，则，再由三角形面积公式求出，进而得，由此可得的长． 此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 小问详解： 解：过点E作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 12．【答案】（1），     （2） 解：如图， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴．     （3）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，能够综合应用上述知识点是解题的关键． （1）判断出是等腰直角三角形，即可求解； （2）根据等角对等边先证，再证，推出，可得，即可证明； （3）连结，作于K．由直角三角形斜边中线的性质，可得，，再由勾股定理解求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连结，作于K． 在中，，，点为的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊三角形 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 画轴对称的图形 考点03 等腰三角形 考点04 等边三角形 考点05 直角三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）下面是四幅校徽标志，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）下列图标中，属于轴对称图形（不考虑颜色）的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）为了保护环境，国家大力支持新能源，以下是四个新能源汽车的（图标），其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）在以下绿色食品、节能、节水、可回收四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）以下图形是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）在回收、不可回收、绿色食品、节能四个标志中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若，则∠MGE的度数为（       ） A. 50° B. 90° C. 40° D. 80° 12．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）下面四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ 　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则　　　　　　　． 考点02 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知点关于y轴的对称点为，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在边长为的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）将向右平移个单位，画出平移后的 （3）求的面积． 3．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）的面积是______． （3）在直线上找一点，使的长最短． 考点03 等腰三角形 1．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 勾股定理的逆定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 2．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，已知，点P在边上，，点C、D在边上，，若，则（　　） A.  B. 2 C.  D. 3 3．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（　　） A. 34° B. 30° C. 28° D. 26° 4．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 等边对等角 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 5．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）已知等腰三角形的一个底角是，则该等腰三角形的顶角度数是（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，研学活动中，小佳参与滑雪项目，沿倾斜角为的滑道从A点滑行至B点，已知，则小佳的高度下降了（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（       ）． A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 8．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（       ） A. 有两个角相等 B. 两个内角互余 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 9．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若，则的长度是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上．轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是（       ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 11．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（       ）． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 垂直平分线段 13．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数是（       ） A.  B.  C. 或 D.  14．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（　   　） A. 9cm B. 5cm C. 6cm或5cm D. 5cm或9cm 15．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）等腰三角形的一个外角等于130°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 50°  C. 65°或40° D. 50°或65° 16．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（     ） A. 10 B. 12 C. 12.5 D. 13.5 17．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，一张长方形纸条，将纸条分别沿和折叠，使顶点，，，分别落在，，，处，点，，在同一条直线上，交于点，若求的长度，只要知道下列选项中哪条线段的长（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（       ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 19．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=50°，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则∠BPC 的度数可能是 A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 20．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③ 21．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（       ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 24．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，，，点D、E是边上的两个动点，且满足，则当以，，的长为边长构成直角三角形时可能是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 26．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为　　　　　． 27．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数为　　　　　　度． 28．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，，，P为上一点，若为直角三角形，则　　　　　　． 29．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，在和中，，，与交于点． （1）证明：； （2）求证：． 30．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，等腰中，，，是的角平分线，于点E，且与交于点H． （1）求的度数； （2）求证：． 31．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在中，，于点E，于点F，若．求证：．    请你补全下述证明过程中的条件或依据： 证：∵，， ∴， 在和中，，①（___________）（②__________）， ∴（③___________）， ∴， ∴（④___________）． 32．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）（多选）如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠C＝70°，求∠BED的度数． 33．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． （1）已知，求的度数． （2）若，求证：． 34．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． （1）求证：； （2）请判断是等腰三角形吗？并说明理由． 35．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 36．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在中，，，点为内一点，，，的平分线交的延长线于点，连接． （1）的度数为________，的度数为________； （2）求证：． 38．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 39．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图1，在中，，，点为的中点，点是上一点，连接．小明：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小华：小明，你的作法有问题．应当以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接（如图2），则． 小明：哦．．．我明白了！ （1）指出小明作法中存在的问题． （2）给出小华作法中的证明． 40．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在等腰直角中，，，是上一点，连接，，点关于直线的对称点恰好落在上，则的度数为　　　　　；连接交于点．若，则的长为　　　　　． 41．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走了30米，到达处，测得，则树高为　　　　　米． 42．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为　　　　　． 43．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且． （1）若，求的度数． （2）求证：． 44．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）已知：如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：． 下面是李丽的部分说理过程，请你帮她补充完整证明过程： ∵，点是的中点，∴，（       ）， ∴是线段的垂直平分线，∴______（       ）， 在和中，∵， ∴（______）， ∴（______）． 45．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，　　　　　　　　． 46．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，是底边上的高线，交AC于点．求证：是等腰三角形． 47．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，△ABC中，，BG，CF分别是AC，AB边上的高线，求证：． 48．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，已知中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为　　　　　　． 49．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 50．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）（多选）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 51．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） （1）在图1中画出以为一边，面积为6的等腰三角形． （2）在图2中画出的角平分线． 52．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图1，在中，，，，点为边上一点，在的延长线上取一点，使得，线段交边于点． （1）求证：． （2）若点为的中点，求的长度． （3）如图2，连结，当的长为何值时，的值最小，请说明理由．并求此时的面积． 53．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 54．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”． （1）如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”； （3）如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数． 55．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，已知和，，，，点C关于直线的对称点为H，交的平分线于点F，连结． （1）求证：； （2）求的度数； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 56．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则　　　　　　． 考点04 等边三角形 1．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 2．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（     ） A. 6 B. 7 C.  D.  3．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，原图是一块边长为1，面积记为的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为正三角形纸板后得到图①，面积记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图②、③面积依次记为，，……，记第块纸板的面积为 ，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）在中，，点在边上，，以下说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上，点在上． （1）求证： （2）求的度数． 9．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图①，是的边上的任意一点，、分别在和边上，且，，则和叫做“孪生等腰三角形”． （1）如图②，若是等边三角形，和是“孪生等腰三角形”，请判断与______是/否全等； （2）如图③，若是等腰三角形，，和是“孪生等腰三角形”，证明； （3）如图④，若（2）中点在的延长线上，其它条件不变，是否依然有，若是，请证明，若不是，请说明理由． 10．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在等边三角形边，上分别取点P，Q，且，连接，交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 11．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． （1）当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． （2）当时，若中最小角为，求的度数． 12．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）浙教版教材八上第56页有个例题如图，分析中讲到：“显然：当点，P，B同在一直线上时，最短． 例2：如图，直线l表示草原上的一条河面．一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中．他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线． 分析：如图，设P是直线上任意一点，连结，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，则显然，当点，P，B同在一直线上时，最短，即路程最短． 请问这里所根据的数学原理是_____ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【知识拓展】小陈老师说用类似的原理还可以解决下面的问题：在直线l上找一点Q，使得的值最大．聪明的小婷同学说：“只要连接，并延长，与直线l的交点就是点Q的位置． 如图1，若点A、B、Q在同一直线上，则，若取直线上其余位置任一点C，则______（填或或或），由此可知的最大值是线段______的长度． 【尝试应用】如图2，已知是边长为6的等边三角形，点D和点M分别为边和的中点，点P为上的一个动点． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 13．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，点在线段的垂直平分线上，为垂足，以为边作等边三角形，（逆时针排列）连接，直线交于点． （1）点在线段上方，连接： ①如图1，若为等边三角形，直接写出的值及的度数； ②如图2，若为等腰直角三角形，求证：． （2）如图3，连接，移动点，当最小时，，求线段的长． 考点05 直角三角形 1．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（     ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 2．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A. 2 B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）根据下列条件能判定是直角三角形的有（       ） ①； ②； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（       ）． A. 5 B. 2.5 C. 3.5 D. 4.5 6．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝　　　　　． 7．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）将一把直尺和一块含有角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若，则的度数为　　　　　°． 8．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，，是的中线．若，则　　　　　　　　　　度；若，，则的面积为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结，，取的中点为点G． （1）求证：； （2）当时，求证：是等边三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 10．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 11．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，已知为的中点． （1）如图1，求证：是等腰三角形． （2）如图2，与交于点F，若，，求的长． 12．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）已知：中，，，． （1）求的度数和边的长． （2）如图1，的直角顶点D为的中点，两直角边分别与的两直角边交于P、Q两点，于M，于N，若，求证：． （3）如图2，在中，，将绕的中点D旋转，使顶点F落在的延长线上，若，求此时的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊三角形 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 画轴对称的图形 考点03 等腰三角形 考点04 等边三角形 考点05 直角三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】 解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）下面是四幅校徽标志，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】 解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）下列图标中，属于轴对称图形（不考虑颜色）的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念：识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐一判断即得． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）为了保护环境，国家大力支持新能源，以下是四个新能源汽车的（图标），其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义，逐项判定即可． 【详解】 解：A、该图是轴对称图形，故此选项符合题意； B、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（对称轴）折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）在以下绿色食品、节能、节水、可回收四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 7．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）以下图形是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】 因为图A不是轴对称图形，所以A不符合题意； 因为图B不是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C是轴对称图形，所以C符合题意； 因为图D不是轴对称图形，所以D不符合题意． 故选：C． 8．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．进行分析即可． 【详解】 解：A、项目图标不是轴对称图形； B、项目图标是轴对称图形； C、项目图标不是轴对称图形； D、项目图标不是轴对称图形． 故选：B． 9．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）在回收、不可回收、绿色食品、节能四个标志中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 10．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A. 是轴对称图形，故该选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 11．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）在△ABC中，将∠B，∠C按如图方式折叠，点B，C均落在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕．若，则∠MGE的度数为（       ） A. 50° B. 90° C. 40° D. 80° 【答案】D 【分析】 根据图形对折的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】 解：由题意知：， ∵， ∴ ∴ 故选D； 【点睛】 本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 12．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）下面四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，据此解答即可． 【详解】 解：A.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 13．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 14．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ 　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合． 15．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的定义，熟记轴对称的定义是解本题的关键． 根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】 解：选项中B，C，D均有对称轴，为轴对称图形， A不是轴对称图形， 故选：A 16．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】 解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 考点02 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知点关于y轴的对称点为，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得、的值，再求解即可． 【详解】 解：∵点关于y轴的对称点为点， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在边长为的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）将向右平移个单位，画出平移后的 （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求，   ，      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，平移作图，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，并根据图形写出、的坐标； （2）根据平移的特点作图即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ． 3．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）的面积是______． （3）在直线上找一点，使的长最短． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了对称轴的性质，作轴对称图形，求网格三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）根据割补法求解面积； （3）作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点，由于此时，根据两点之间线段最短即可说理． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积， 故答案为：3； (3) 小问详解： 略 考点03 等腰三角形 1．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（     ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 勾股定理的逆定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】 解：， 是等腰三角形， 是的中点， ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一” 故选：D． 2．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，已知，点P在边上，，点C、D在边上，，若，则（　　） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查的是含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识．过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（　　） A. 34° B. 30° C. 28° D. 26° 【答案】A 【分析】 根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据三角形外角的性质得到∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论． 【详解】 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AC的垂直平分线l交BC于点D， ∴AD=DC， ∴∠DAC=∠C， ∵∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C， ∴∠ADB=2∠B， ∵∠BAD=78°， ∴∠B+∠ADB+∠BAD=∠B+2∠B+78°=180°， ∴∠B=34°， 故选：A． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质证得∠ADB=2∠B是解题的关键． 4．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 等边对等角 B. 周长相等的两个等腰三角形全等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】 本题主要考查了命题真假判断，结合全等三角形的判定，三角形的边角关系，等腰三角形的性质进行证明，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 根据三角形的边角关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B进行判断；根据等腰三角形的性质对C进行判断；线段垂直平分线的判定可对D进行判断． 【详解】 解：A、在一个三角形中，等边对等角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，原命题为假命题，故本选项不符合题意； D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项符合题意； 故选：D 5．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）已知等腰三角形的一个底角是，则该等腰三角形的顶角度数是（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 利用两个底角相等和三角形内角和求解即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的两个底角相等，且一个底角为， ∴另一个底角也为． 又∵三角形内角和为， ∴顶角度数为． 故选D． 6．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，研学活动中，小佳参与滑雪项目，沿倾斜角为的滑道从A点滑行至B点，已知，则小佳的高度下降了（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 考查含角的直角三角形性质．解题关键是识别直角三角形，利用“角所对直角边是斜边的一半”直接计算；易错点是混淆斜边与直角边的关系，或误判直角三角形的构成．首先确定图形为（），，为斜边；其次依据含角的直角三角形性质，得高度下降的距离（）是斜边的一半；最后代入，计算得． 【详解】 解：在中，，，． ． 故选：B． 7．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（       ）． A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】B 【分析】 本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】 解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 8．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（       ） A. 有两个角相等 B. 两个内角互余 C. 有一个角 D. 两条直角边相等 【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】 解：．有两个角相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．两个内角互余，则第三个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点．若，则的长度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，然后结合角平分线的定义和等腰三角形的判定得出，然后利用含30°的直角三角形的性质得出AF的长度，进而得到BF的长度，最后利用即可解答． 【详解】 根据题意可知，AF平分 ， ， ． ∵AF平分， ， ， ． ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查直角三角形两锐角互余，角平分线的尺规作图及定义，等腰三角形的判定，含30°的直角三角形的性质，线段的和，掌握这些性质和定理是解题的关键． 10．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上．轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是（       ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【分析】 根据题中所给信息，求出△ABC是等腰直角三角形，然后根据已知数据得出AC=BC的值即可． 【详解】 解：根据题意，∠BCD=30°， ∵∠ACD=60°， ∴∠ACB=30°+60°=90°， ∴∠CBA=75°-30°=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵BC=50×0.5=25（海里）， ∴AC=BC=25（海里）， 故答案为：D． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形与方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键． 11．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由DE垂直平分AB，得BE=AE．欲求BE，可求AE．由BE=AE，得∠B=∠BAE=15°，那么∠AEC=∠B+∠BAE=30°．根据含30度角的直角三角形的性质，得AE=2AC=6cm，从而解决此题． 【详解】 解：∵DE垂直平分AB， ∴BE=AE． ∴∠B=∠BAE=15°． ∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°． ∵∠ACB=90°，∠AEC=30°， ∴AE=2AC=6cm． ∴BE=AE=6cm． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键． 12．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论不正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 垂直平分线段 【答案】B 【分析】 根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，根据作图可知，，垂直平分，得到，推出，进而得到，三线合一，推出垂直平分线段，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，进行判断即可． 【详解】 由作图可知：， ∴垂直平分， 又∵点E在上， ∴B，故A正确，但不合题意； ∵ ∴，又 ∴，又 ∴ ∵垂直平分， ∴是等腰三角形， ∴ 又， ∴， ∴，故C正确，但不符合题意． 由可知，垂直平分线段， 故D正确，但不符合题意． 由点A在线段的垂直平分线上知， ， ∴． 故B不正确，但符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查含30度的直角三角形，中垂线的作图，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 13．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，分这个外角是顶角的外角和底角的外角两种情况讨论，结合三角形外角的性质，三角形内角和定理求解即可. 【详解】 解：设底角为，则顶角为． ∵ 若外角是顶角的外角，则顶角的外角等于两个底角之和， 即， ∴ ． ∵ 若外角是底角的外角，则底角的外角等于顶角与另一个底角之和， 即， ∴ ． 此时三角形两底角之和为 ，不符合三角形内角和定理，故舍去． ∴ 底角为． 故选：A 14．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（　   　） A. 9cm B. 5cm C. 6cm或5cm D. 5cm或9cm 【答案】D 【详解】 根据题意画出图形，如图所示， 设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y， ∵BD是腰上的中线，∴AD=DC=x, ① 若AB+AD的长为12，则2x+x=12，解得x=4，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5，所以等腰三角形的底边为5； ② 若AB+AD的长为9，则2x+x=9，解得x=3，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9，所以等腰三角形的底边为9； 故选D. 15．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）等腰三角形的一个外角等于130°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 50°  C. 65°或40° D. 50°或65° 【答案】D 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为130°， ∴与这个外角相邻的角的度数为50°， ∴当50°角是顶角时，其底角为65°； 当50°角是底角时，底角为50°． 故选D． 点睛：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，在中，沿着过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点D处，折痕为，若，，则的周长是（     ） A. 10 B. 12 C. 12.5 D. 13.5 【答案】C 【分析】 本题主要考查折叠的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质及等腰三角形的判定是解题的关键；由折叠的性质可得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 17．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，一张长方形纸条，将纸条分别沿和折叠，使顶点，，，分别落在，，，处，点，，在同一条直线上，交于点，若求的长度，只要知道下列选项中哪条线段的长（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查折叠的性质，平行线的性质，等角对等边，根据折叠得到，平行线的性质，得到，等量代换结合等角对等边，得到，线段的和差关系得到，即可得出结果． 【详解】 解：∵折叠， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴只需要知道的长即可得到的长度； 故选：C． 18．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（       ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【分析】 根据中垂线的性质，两点关于对称，连接，交于点，此时的周长最小，利用等腰三角形的性质，求出，进而求出的周长的最小值即可． 【详解】 解：∵的周长， ∴当最小时，的周长最小． ∵是的垂直平分线， ∴两点关于对称， ∴， 连接，交于点，此时的周长最小， ∵，D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：A． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质和中垂线的性质，以及利用轴对称解决周长最小问题．熟练掌握相关知识点以及将军饮马问题，是解题的关键． 19．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B=50°，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则∠BPC 的度数可能是 A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】C 【分析】根据等边对等角可得∠B＝∠ACB＝50°,再根据三角形内角和计算出∠A 的度数,然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A , 再因为∠B＝50°，所以∠BPC＜180°－50°＝130°进而可得答案. 【详解】∵AB＝AC，∠B＝50°， ∴∠B＝∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°－50°×2＝80°， ∵∠BPC＝∠A＋∠ACP， ∴∠BPC＞∠A， ∴∠BPC＞80°. ∵∠B＝50°， ∴∠BPC＜180°－50°＝130°， 则∠BPC的值可能是100°. 故选C. 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质,关键是掌握等腰三角形两底角相等. 20．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，点在边上，点在内部，，，，给出下列结论，①；②；③；④其中一定正确的所有序号是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】C 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． 利用“”证明，然后根据性质即可判断① 结论；利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质，即可判断④ 结论；利用全等三角形的性质进行等角替换，即可判断③ 结论；无法判断② 结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故① 正确； ∴， ∵，， ∴， ∴，故④ 正确； ∵， ∴， ∴，故③ 正确； 无法判断，故② 错误； ∴正确的是① ③ ④ ， 故选：C． 21．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质找出规律是解题的关键． 由等边三角形的性质得出，证明，则，推出，同理，，记各等边三角形的边长依次为：，则，，从而可得出结果． 【详解】 解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 同理，， 记各等边三角形的边长依次为：， ， ， ， ， ， ∴的边长为， 故选：C． 22．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称求最小值，全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作如图所示的辅助线，根据轴对称的性质证得是等腰三角形，求得，再利用证明，，根据全等三角形的性质可得，，再由即可求解． 【详解】 解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值． ，，； ， ， 在中，，， ； 在和中， ， ≌， ， 同理， ． 故选：B． 23．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（       ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 24．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，，，点D、E是边上的两个动点，且满足，则当以，，的长为边长构成直角三角形时可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，直角三角形的性质．将绕点A逆时针旋转得到，得到，，，，证明，求得，由题意得，据此求解即可． 【详解】 解：将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： ∵，， ∴， ∴． 由旋转的性质得，，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以，，的长为边长构成直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 25．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）一个等腰三角形的周长是． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】（1）     （2）与，或与      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； (1) 小问详解： 解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； (2) 小问详解： 当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 26．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为　　　　　． 【答案】36° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】∵等腰三角形的一个底角为， ∴等腰三角形的顶角， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 27．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）已知等腰三角形的一个外角是，则它的底角度数为　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，根据外角求出相邻内角，进而根据等腰三角形的性质求出底角即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵外角是， ∴相邻内角为， ∵等腰三角形的底角不能为钝角， ∴的内角是顶角， ∴底角度数为， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，，，P为上一点，若为直角三角形，则　　　　　　． 【答案】1或4 【分析】 本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．分当是直角时，当是直角时两种情况分别求解． 【详解】 解：分以下两种情况讨论： 如图，当是直角时， ，， ， ； 当是直角时， ，， ， ， 综上所述，的长为1或4， 故答案为：1或4． 29．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，在和中，，，与交于点． （1）证明：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）由得，然后通过等角对等边即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，等腰中，，，是的角平分线，于点E，且与交于点H． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：由（1）得：， ∴． 又∵，， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，（1）根据等边对等角求出，再结合直角三角形两锐角互余即可得出，进而可得， （2）根据，可得，由此即可利用证明结论． (1) 小问详解： 解：∵是的角平分线，， ∴． ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴． (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在中，，于点E，于点F，若．求证：．    请你补全下述证明过程中的条件或依据： 证：∵，， ∴， 在和中，，①（___________）（②__________）， ∴（③___________）， ∴， ∴（④___________）． 【答案】①；②；③；④ 等角对等边 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据证明得到，再由等角对等边即可得出答案． 【详解】 证：， ， 在和中， ， ， ∴， ∴．（④ 等角对等边）． 32．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）（多选）如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠C＝70°，求∠BED的度数． 【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE， 又∵∠C＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴AB=AD． （2）40°． 【分析】 （1）由∠1＝∠2，得∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，利用“AAS”证明△ABC≌△ADE，进而证明AB＝AD． （2）由△ABC≌△ADE可知，∠C＝∠AED，AE＝AC，得∠C＝∠AEC，利用∠BED＝180°−∠AED−∠AEC求解． 【详解】 （1）略 （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠AED＝70°，AE＝AC， ∴∠C＝∠AEC＝70°， ∴∠BED＝180°−∠AED−∠AEC＝180°−70°−70°＝40°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，根据AAS证明三角形全等，运用全等三角形性质及等边对等角进行角度计算是解题关键． 33．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，中，是边上的高线，是边上的中线，． （1）已知，求的度数． （2）若，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：连结，如图所示： ∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴．（等腰三角形三线合一）      【分析】 本题主要考查直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）连结，由题意易得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵是边上的高线， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． （1）求证：； （2）请判断是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵、是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，即可得出； （2）根据，得出，根据，求出，根据等腰三角形的判定得出答案即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：略. 35．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 36．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】80度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在中，，，点为内一点，，，的平分线交的延长线于点，连接． （1）的度数为________，的度数为________； （2）求证：． 【答案】（1），     （2） 证明：∵是的平分线， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据角的和差关系即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理推出，通过证明，得到，利用周角的定义得出，根据三角形外角的性质得到，得到，推出，再利用全等三角形的性质以及等量代换即可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴的度数为，的度数为； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 38．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 39．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图1，在中，，，点为的中点，点是上一点，连接．小明：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小华：小明，你的作法有问题．应当以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接（如图2），则． 小明：哦．．．我明白了！ （1）指出小明作法中存在的问题． （2）给出小华作法中的证明． 【答案】（1） 如图， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与边可能会有2个交点， ∴小明作法中存在问题；     （2） 证明：如图，连接， 由作图得，， ∵，，点为的中点， ∴，，平分， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴．      【分析】 本题考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）由作图可得，以点为圆心，长为半径作弧，与边可能会有2个交点，据此即可解答； （2）连接，通过证明，得到，则有，根据垂直的定义即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在等腰直角中，，，是上一点，连接，，点关于直线的对称点恰好落在上，则的度数为　　　　　；连接交于点．若，则的长为　　　　　． 【答案】① x度    ② 1 【分析】 此题考查了轴对称性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，，由对称得到，，，，证明出，得到； 如图所示，连接，证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】 ∵在等腰直角中，，， ∴，， ∵点关于直线的对称点恰好落在上， ∴，，， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴； 如图所示，连接 ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：，1． 41．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走了30米，到达处，测得，则树高为　　　　　米． 【答案】15 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到米，由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴米， 又∵，， 米． 故答案为：15． 42．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质易得，然后可求出，进而得到． 【详解】 解：延长交于点， ∵平分，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，已知，点为垂足，于点，的延长线交于点，且． （1）若，求的度数． （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 同理． 因为， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以．      【分析】 此题考查了同角的余角相等，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据同角得余角相等得到即可； （2）根据同角得余角相等得到，然后等量代换得到，然后证明出，得到，即可证明出． (1) 小问详解： 如图所示， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，即； (2) 小问详解： 略 44．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）已知：如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：． 下面是李丽的部分说理过程，请你帮她补充完整证明过程： ∵，点是的中点，∴，（       ）， ∴是线段的垂直平分线，∴______（       ）， 在和中， ∵， ∴（______）， ∴（______）． 【答案】等腰三角形三线合一，，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，，，，，全等三角形的对应角相等． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，即可得到结论． 【详解】 略 45．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，　　　　　　　　． 【答案】或90或45 【分析】 此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】 解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 46．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，是底边上的高线，交AC于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵是底边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键； 根据可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，推出，即得结论． 【详解】 略 47．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，△ABC中，，BG，CF分别是AC，AB边上的高线，求证：． 【答案】∵BG，CF分别是AC，AB边上的高线， ， ∴∠BFC=∠CGB=． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵BC=CB， ∴△BCF≌△CBG， ∴BG=CF． 【分析】 根据条件只要证明△BCF≌△CBG，写出理由即可解决问题． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、高的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型． 48．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，已知中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，则线段的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线性质，以及等腰三角形判定，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关性质、定义．利用平行线性质得到，，利用角平分线定义得到，，再结合等量代换和等腰三角形性质，推出求解，即可解题． 【详解】 解：过点作交于点，交于点， ，， 中，，的平分线相交于点， ，， ，， ，， ， ． 故答案为：． 49．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】见解析； 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 50．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）（多选）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【分析】 （1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 51．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） （1）在图1中画出以为一边，面积为6的等腰三角形． （2）在图2中画出的角平分线． 【答案】（1）如图，      （2）如图： 【分析】 本题考查了网格上的无刻度直尺作图，涉及勾股定理和等腰三角形的判定与性质，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，确定，然后取格点A，利用勾股定理和等腰三角形的性质画图即可． （2）在上取格点F，则，根据网格特点得到点O是的中点，根据勾股定理和等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． (1) 小问详解： 解：取格点A，则，，则等腰三角形即为所求作： (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 在上取格点F，则；取格点M、N，连接，，两线交于点O，则点O是的中点，根据等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． 52．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图1，在中，，，，点为边上一点，在的延长线上取一点，使得，线段交边于点． （1）求证：． （2）若点为的中点，求的长度． （3）如图2，连结，当的长为何值时，的值最小，请说明理由．并求此时的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴ ∴；     （2）     （3）时，的值最小，的面积为      【分析】 本题考查了勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形三边关系等知识点． （1）可得，根据三角形的外角得到， 则，即可证明； （2）可设，则，由，得到，故可得，解方程即可； （3）先根据角直角三角形的性质以及勾股定理求出，过点作交射线于点，由三角形三边关系得到，当点重合，即重合时，等号成立，则，那么，而，故，则当重合时，取得最小值，再由三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由(1)知， ∴ 设， ∵点F为的中点， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴， 解得 即； (3) 小问详解： 解：当时，的值最小，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，则， 过点作交射线于点， ∴，， ∵， 当点重合，即重合时，等号成立， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当重合时，，取得最小值，如图： 此时， ∴的面积． 53．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）（1）阅读理解： 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．（结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明） 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． （2）问题解决： 如图2，四边形中，、，过点作，垂足为点，若，，请求出的长度． 【答案】（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴ ∵， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∴， ， ， ； （2） 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证； （2）连接，过点作于点，证明，和，得出，进而得到，即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）连接，过点作于点， ∵， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∵， ， ∴． 54．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”． （1）如图1，在中，，，为角平分线，则___________“倍角三角形”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，在中，，，求证：是“倍角三角形”； （3）如图3，在中，，把分成和两个小三角形，若为等腰三角形，是“倍角三角形”，请直接写出所有可能的的度数． 【答案】（1）是     （2） 解：， ， ， 在中，，又， ， ∴， ∵， ∴， ， 是“倍角三角形”；     （3）或或或      【分析】 本题主要考查三角形内角和定理、角平分线性质、等腰三角形性质及“倍角三角形”定义，熟练掌握三角形内角和为、等腰三角形底角相等及“倍角三角形”的角的倍数关系是解题关键． （1）先利用三角形内角和求出，再由角平分线定义得，最后求，判断是否存在角的2倍关系． （2）由得等角，推出，结合已知条件和三角形内角和，推导与的2倍关系． （3）我们先设，根据三角形内角和求出．然后分两种维度讨论：一是作为“倍角三角形”的六种角度关系；二是作为等腰三角形的三种情况（、、）．通过结合这两种情况，分类计算出所有符合条件的的度数． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 平分， ， ∴在中，， ， 是“倍角三角形”， 故答案为：是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设，则， 情况1：中，时，即， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去，角度不能为负）； 若，则，即， 解得； 若，则（舍去，三角形内角和超过180°）； 情况2：中，， ∵,， ∴， 解得， ∴， ，， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，即（舍去，内角和超过）； 情况3：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况4：中，时，（舍去，角度不能为负）； 情况5：中，时，即， 解得， 则，， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，即， 解得（舍去）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 情况6：中，时，即， ∴， ∴， ， 由为等腰三角形，分以下子情况： 若，则，（舍去，内角和超过）； 若，则，即， 解得； 若，则，（舍去，内角和超过）； 综上，所有可能的的度数为或或或. 55．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，已知和，，，，点C关于直线的对称点为H，交的平分线于点F，连结． （1）求证：； （2）求的度数； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）     （3） 结论：，理由如下： 如图，连接，作延长线，垂足为G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，得到，证明，即可得证； （2）连结，根据轴对称的性质及角的等量代换即可解答； （3）结论：．作，垂足为G，连接，证明，利用勾股定理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，点是点关于的对称点，连接， ∵点与点C关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 56．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∴，， 由折叠可知：， 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意）； 当，即时， ∵， ∴， 解得， 即； 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 考点04 等边三角形 1．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【分析】 ① 利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ② 因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③ 证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④ 首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP． 【详解】 解：① 如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故① 正确； ② 由① 知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故② 不正确； ③ ∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③ 正确； ④ 如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO＋∠OPE＝60°， ∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④ 正确； 本题正确的结论有：① ③ ④ ， 故选A. 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 2．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（     ） A. 6 B. 7 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．证明，可得，，结合三角形外角的性质可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 3．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，原图是一块边长为1，面积记为的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为正三角形纸板后得到图①，面积记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图②、③面积依次记为，，……，记第块纸板的面积为 ，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键． 由题意，表示剪去n个小正三角形后剩余图形的面积．和分别表示剪去2024个和2025个小正三角形后的剩余面积，其差值等于第2025个被剪去的小正三角形的面积．利用正三角形面积公式和边长变化规律，可计算该面积． 【详解】 解：∵ 第n个被剪去的小正三角形的边长， ∴ 其面积． ∵ ∴． 故选：C． 4．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质（三边相等、三个角都是60°，三线合一性质）以及全等三角形的判定（：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）和性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）．先根据等边三角形的三线合一性质先判断与的位置关系，再通过角度计算和全等三角形的判定与性质来判断逐项分析其余结论是否正确． 【详解】 是等边三角形， ， 是的平分线， ，, ， 和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是的平分线， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， 即① ② ③ ④都正确， 故选：． 5．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）在中，，点在边上，，以下说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形．熟练掌握这些定理，能借助已知条件，选择合适的定理分析是解题关键．根据，证明是等边三角形，得出，从而可判断选项A、B；根据，得出，从而根据含角的直角三角形性质可判断选项C、 D． 【详解】 解：A、∵，， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ，故该选项不符合题意； B、∵，， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故该选项不符合题意； D、∵，， ， ，故该选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】 解：如图，连接，过点作于E，于F， 则，  由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 故选：D． 7．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是　　　　　　． 【答案】三个内角都相等的三角形是等边三角形 【分析】 本题考查逆命题的概念，逆命题是通过交换原命题的条件和结论形成的． 【详解】 解：原命题的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于60°”，交换条件和结论后，逆命题为“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”． 故答案为∶三个内角都等于60°的三角形是等边三角形． 8．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上，点在上． （1）求证： （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，再由证得，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，则，再由（1）得，得出，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等边三角形， ， ， 由（1）得：， ， ． 9．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图①，是的边上的任意一点，、分别在和边上，且，，则和叫做“孪生等腰三角形”． （1）如图②，若是等边三角形，和是“孪生等腰三角形”，请判断与______是/否全等； （2）如图③，若是等腰三角形，，和是“孪生等腰三角形”，证明； （3）如图④，若（2）中点在的延长线上，其它条件不变，是否依然有，若是，请证明，若不是，请说明理由． 【答案】（1）是     （2） 证明：是等腰三角形，， ， 和是“孪生等腰三角形”， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ；     （3） ，理由如下： 由（2）易知， ， 在和中， ， ．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，灵活运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定得出与是等边三角形，进而利用全等三角形的判定解答即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，进而利用证明和全等解答即可； （3）利用证明和全等，进而根据全等三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：和是“孪生等腰三角形”， ，， 是等边三角形， ， 和都是等边三角形， ， ， 即， 在与中， ， ， 故答案为：是； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 略． 10．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在等边三角形边，上分别取点P，Q，且，连接，交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质是解题的关键． （1）要证明，先利用等边三角形的性质得到，，再结合已知，根据全等三角形判定定理（）即可证明． （2）先由全等三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质，将转化为，进而结合等边三角形内角为60°的性质求出度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． （1）当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． （2）当时，若中最小角为，求的度数． 【答案】（1） ① 证明：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②     （2）或或      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． （1）① 根据即可证明； ② 利用等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质得到，进而证明，再根据三角形内角和求出结论； （2）分点D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． (1) 小问详解： 解：① 略 ②， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：由（1）知，当时，则有， ∴为等边三角形， ① 如图1，当点D在线段上时， 此时， ∴． ② 如图2，当点D在的延长线上时， 此时， ③ 如图3，当点D在的延长线上，且时， 此时． ④ 如图4，当点D在的延长线上，且时， 此时． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 12．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）浙教版教材八上第56页有个例题如图，分析中讲到：“显然：当点，P，B同在一直线上时，最短． 例2：如图，直线l表示草原上的一条河面．一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中．他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线． 分析：如图，设P是直线上任意一点，连结，以直线l为对称轴，作与线段成轴对称的线段，则显然，当点，P，B同在一直线上时，最短，即路程最短． 请问这里所根据的数学原理是_____ A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【知识拓展】小陈老师说用类似的原理还可以解决下面的问题：在直线l上找一点Q，使得的值最大．聪明的小婷同学说：“只要连接，并延长，与直线l的交点就是点Q的位置． 如图1，若点A、B、Q在同一直线上，则，若取直线上其余位置任一点C，则______（填或或或），由此可知的最大值是线段______的长度． 【尝试应用】如图2，已知是边长为6的等边三角形，点D和点M分别为边和的中点，点P为上的一个动点． （1）求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】A；【知识拓展】，；【尝试应用】（1）；（2）3 【分析】 本题主要考查了轴对称最短路径问题等内容，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由材料可直接得解； 知识拓展根据三角形三边关系即可得解； 尝试应用（1）由题得，进而，当且仅当B、P、M三点共线时取等，据此求出长度； （2）由知识拓展可直接得解． 【详解】 由材料可知其数学原理为两点之间，线段最短； 故答案为：A； 知识拓展根据三角形三边关系可知，当且仅当C、A、B三点共线时取等； 故答案为：，； 尝试应用（1）如图，连接， 为等边三角形，D为中点， 垂直平分， ， ，当且仅当B、P、M三点共线时取等，此时最小值为的长度， 为中点， ，， ， 的最小值为； （2）由知识拓展可知，， 当点P位于点A位置时取等，此时， 的最大值为 13．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，找到点N的运动路线是解答的关键．连接，利用证明，由全等三角形的性质得，再利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵是高所在直线上一点，是等边三角形，， ，，点N的运动轨迹为如图所示直线， ， ∴， 故当时，最短，最短为， 故答案为：2． 14．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，点在线段的垂直平分线上，为垂足，以为边作等边三角形，（逆时针排列）连接，直线交于点． （1）点在线段上方，连接： ①如图1，若为等边三角形，直接写出的值及的度数； ②如图2，若为等腰直角三角形，求证：． （2）如图3，连接，移动点，当最小时，，求线段的长． 【答案】（1）①，； ②证明：如图所示， 是的垂直平分线， 点关于对称， ， ，， 则， 在等边中，再由，可得， ， ， 在和中，， ， ，且是的一个外角， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 作于，如图所示： ，， ， 即；     （2）      【分析】 （1）① 由等边三角形性质，结合垂直平分线的判定得到，再由等腰三角形三线合一性质得到平分，即可得到的度数；再由含直角三角形性质及勾股定理求出求解即可得到答案； ② 由垂直平分线性质得到，进而得到，再由等腰直角三角形性质，求出，作于，如图所示，得到，，数形结合表示出即可得证； （2）由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质易得，从而确定在点运动过程中，动点在直线上运动，则由垂线段最短可知，当时，有最小值，作于，连接，如图所示，先判断为等边三角形，进而得到，在中，由含直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：①均为等边三角形， ，， 是线段的垂直平分线， 即， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ； 如图所示： ，， 由等腰三角形三线合一性质得到， 在中，设，则， 由勾股定理可得， ， 是线段的垂直平分线， ， 在中，，则， 解得， 则， ； ② 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图所示： 由垂直平分线的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又四边形的内角和为， ∴， ， ∴， 在等腰中，由三角形内角和定理可得， 即在点运动过程中，动点在直线上运动，且， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时，过点作于，连接，如图所示： ， 在中，点为中点，即是斜边上的中线，则， 即是等边三角形， ， 又，， ， ， 于，， ， ∴， 在中，，， 设，则，由勾股定理得， 解得， ． 【点睛】 本题考查几何综合，综合性强，难度较大，涉及等边三角形判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形性质、含直角三角形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记三角形相关判定与性质是解决问题的关键． 考点05 直角三角形 1．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（     ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 【答案】A 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】 解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 2．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理是解题的关键． 由，D为的中点，，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长，然后由勾股定理求得的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）根据下列条件能判定是直角三角形的有（       ） ①； ②； ③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理进行判断．利用三角形的内角和定理，即可分别进行判断． 【详解】 解：① ∵且， ∴， ∴， 故能判定是直角三角形； ② ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 故能判定是直角三角形； ③设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故能判定是直角三角形； ∴ ① ② ③均能判定是直角三角形，共个． 故选：D． 4．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解． 【详解】 解：中，，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】 本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 5．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（       ）． A. 5 B. 2.5 C. 3.5 D. 4.5 【答案】B 【分析】 根据勾股定理求出斜边，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得． 【详解】 根据勾股定理得 斜边= 则这个直角三角形斜边上的中线长为2.5 故选B 【点睛】 本题考查直角三角形斜边中线和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 6．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝　　　　　． 【答案】 【分析】 根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【详解】 解： 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12， 由勾股定理得： ∵CD是直角三角形ACB的斜边AB上中线， ∴CD= AB=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）将一把直尺和一块含有角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若，则的度数为　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 由题意可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】 解：如图， 根据题意得：， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 8．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）如图，在中，，是的中线．若，则　　　　　　　　　　度；若，，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】① 65    ② 15 【分析】 本题考查了三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用角的和差关系可得：，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得；然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用勾股定理可得，最后根据三角形的中线定义可得的面积，从而进行计算即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； ∵，是的中线， ∴， ∵，则， ∴， ∴ ； 故答案为：①65；②15． 9．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结，，取的中点为点G． （1）求证：； （2）当时，求证：是等边三角形； （3）在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵G是的中点， ∴；     （2） 证明：∵、分别是边、上的高线， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （3）．      【分析】 （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等边三角形； （3）根据（2）中的结论及的长度可求出和的长度，根据是中点可得的长度，再根据勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知：是是等边三角形，且， ∵， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键． 10．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①； ②， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ； （2）解：． 理由如下：如图，， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ． 【分析】 本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）① 根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到； ② 根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算，证明结论； （2）仿照（1）的证明方法解答即可． 【详解】 解：（1）①是的中点，，， ， 故答案为：． ② 略 （2）略 11．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，已知为的中点． （1）如图1，求证：是等腰三角形． （2）如图2，与交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）根据和是直角三角形，点E是的中点，由此可得出结论； （2）过点E作于G，由（1）的结论得，证明是等腰直角三角形，得，则，再由三角形面积公式求出，进而得，由此可得的长． 此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 小问详解： 解：过点E作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 12．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）已知：中，，，． （1）求的度数和边的长． （2）如图1，的直角顶点D为的中点，两直角边分别与的两直角边交于P、Q两点，于M，于N，若，求证：． （3）如图2，在中，，将绕的中点D旋转，使顶点F落在的延长线上，若，求此时的长． 【答案】（1），     （2） 解：如图， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴．     （3）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，能够综合应用上述知识点是解题的关键． （1）判断出是等腰直角三角形，即可求解； （2）根据等角对等边先证，再证，推出，可得，即可证明； （3）连结，作于K．由直角三角形斜边中线的性质，可得，，再由勾股定理解求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连结，作于K． 在中，，，点为的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $