专题02 全等三角形（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期新教材浙教版

**基本信息** 专题聚焦全等三角形四大核心考点，汇编浙江多所初中期中真题，覆盖性质、判定、角平分线及垂直平分线，注重基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|选择约20题填空约15题解答约20题|全等性质（对应边/角相等）、判定（SSS/SAS/ASA等）、角平分线性质、垂直平分线性质|结合浙江多地期中真题，融入实际情境（如工人用角尺分角）和模型应用（“手拉手”“一线三直角”），梯度分明（基础题如性质判断，综合题如动态几何证明）|

专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 线段的垂直平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 全等三角形的面积一定相等 C. 形状相同的两个三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等 4．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）若，，，则　　　　　　　度． 5．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，，与，与分别是对应点，根据图中给定的数量条件，则　　　　　　　　　　度． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是(          ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（       ） A. SSS B. AAS C. ASA D. SAS 3．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 4．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）一个三角形的一部分被墨水弄污，小红又重新画一个和它一模一样的三角形，其根据为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）下列各图中，一定全等的是（       ） A. 顶角相等的两个等腰三角形 B. 有两边和一角分别相等的等腰三角形 C. 各有一个角是，腰长都是的两个等腰三角形 D. 底边和顶角都相等的两个等腰三角形 6．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（       ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 7．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF 8．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 9．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，，，再添加一个条件仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，中，，分别以为边在的同侧作正方形、，四块阴影部分的面积分别为．若已知，则的值为（     ） A. 18 B. 24 C. 25 D. 36 11．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为   边上一动点，当的值最小时，的度数是（       ） A. 118° B. 125° C. 136° D. 124° 12．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D.  13．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（       ） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 8 14．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：． 15．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在和中，，，．求证：． 16．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是　　　　　　． 17．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，已知．求的度数． 18．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）已知：如图，，，点E、F在线段上，且，请说明的理由． 19．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　　　． 20．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是：　　　　　　． 21．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 22．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： 　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，交于点E，已知，只添加一个条件，使，你添加的是　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知， ，． 求证：． 25．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知，要证明，还需要添加条件为　　　　　　（只写一种即可）． 26．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 27．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，已知，添加一个条件　　　　　　　　　　，使得． 28．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： （1）； （2）． 29．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）（多选）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE． 30．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）证明命题“等腰三角形两腰上的高线相等”是真命题．（请根据题意和给定的图形写出已知、求证、证明过程） 31．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，已知，还需要一个条件　　　　　　　　，根据“”可直接证明． 32．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 33．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌． 34．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，，求的长． 35．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． （1）若，求证：； （2）若，，求的度数． 36．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：　　　　　　　　，使． 37．（25-26学年八上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 38．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，已知∠ACB=∠DBC，请添加一个条件　　　　　　　　，使得△ABC≌△DCB． 39．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，外角的角平分线上取一点使得，作于点，于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 40．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）在中，，为内一点，连结，，延长到点，使得． （1）如图1，延长到点，使得，连结，． ①求证：； ②若，求证：． （2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 41．（25-26学年八上·浙江绍兴元培教育集团·期中）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是　　　　　　． 42．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 43．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 44．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，点是的中点，要使，还需添加一个条件可以是　　　　　　．（只需写出一种情况） 45．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，点在上，使．    （1）求证：． （2）请判断之间的数量关系，并说明理由． 46．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 47．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，______cm． （2）如图①，当______时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 48．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，点B，D分别在AC的两侧，，．求证：． 49．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）按要求解答问题： （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：       ． 50．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，是边长为的等边三角形，为中点．    （1）求的长． （2）如图，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，为线段上一动点．    ①当时，求的长； ②若，且，求的最小值． 51．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，中，，点D，E分别为线段上的点，，连接，已知， （1）若，则　　　　　　　　　　°； （2）若，则　　　　　　　　　　°． 52．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）【定义】只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“非全等三角形”．如图，与中，，，，，所以与是一对“非全等三角形”． 【判定】（）如图，四边形中，平分，，，请你判断与是不是一对“非全等三角形”． 【性质】（）在一对“非全等三角形”中，其中一对相等的边所对的角互补． 如图，与是一对“非全等三角形”，，，，，求证：． 【运用】（）如图，在四边形中，，，，，求的长． 53．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连结，．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点C顺时针旋转一定的角度，记与交于点F，猜想的度数并证明； （3）如图3，在中，，过外一点D，作，和边交于F，连结，过点A作于E，若，，，请求出的值． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 2．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则点到直线的距离是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，的平分线为的面积是（     ） A. 7 B. 2 C.  D. 14 4．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积是（       ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 5．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）在Rt中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，是的角平分线，，点P在上，连接，则的最小值为　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）（多选）如图，在中，．    （1）尺规作图，作出的角平分线;(要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法) （2）若，求的面积． 9．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN//BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　　　　　． 11．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在中，，．结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段的长是　　　　　　　　　． 考点04 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则a与b互为倒数 C. 直角三角形两个锐角互余 D. 角平分线上的一点到角的两边距离相等 2．（25-26学年八上·浙江台州·期中）下列定理中有逆定理的是（　　） A. 直角都相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 对顶角相等 D. 内错角相等，两直线平行 3．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（       ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（     ） A. 13 B. 14 C. 18 D. 21 5．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠PAC＝x°，则∠1的度数是（　　）°． A. 90﹣x B. x C. 90﹣x D. 60﹣x 6．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个角是直角，那么它们相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D. 对顶角相等 7．（25-26学年八上·浙江台州·期中）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A.      B.      C.      D.      8．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 9．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）“如果，那么”的逆命题是　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．这逆命题是　　　　命题（填“真或假”） 17．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示．为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P．要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）． 18．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）命题：“如果，那么”的逆命题是　　　　　　．（填“真命题”或“假命题”） 19．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）命题“如果，那么”的逆命题为　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 21．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）已知，如图，四边形 （1）用直尺和圆规，在线段上找一点，使得，连接，（不写作法，保留作图痕迹）： （2）在（1）的图形中，若，且，求的长． 22．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）尺规作图：已知，求作： （1）的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 （2）的中线；保留作图痕迹，不写作法 （3）的高线保留作图痕迹，不写作法 25．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 26．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为　　　　　　． 27．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，已知，请按要求完成尺规作图： （1）在图1中，画出的角平分线； （2）在图2中，画出等腰三角形，使点E在边上． 28．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为．    （1）求的长； （2）分别连接、、，若的周长为，求的长． 29．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，已知，，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； （2）求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 线段的垂直平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．D 2．C 3．B 4．【答案】50 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，利用全等三角形的性质确定的值是解题关键．首先根据全等三角形的性质确定的值，再在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可． 【详解】 解：如下图， ∵，，， ∴， ∴在中，． 故答案为：50． 5．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C 13．B 14．【答案】证明：∵， ∴， 在与中， ∴（）， ∴． 【分析】 ；本题考查平行线的性质、 全等三角形判定及性质，运用了转化角的思想与全等证明的方法技巧，解题思路：先由得角相等，再结合已知的角和边，用 证 ，从而得． 【详解】 略 15．【答案】证明：在和中， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．在和中，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】 略 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可得，据此利用可证明． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴，即， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，证明，则，即可作答． 【详解】 解：在与中 ∵ ∴ ∴． ∵， ∴． 18．【答案】证明：， ， 在和中， ，  ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据平行线的性质可得，然后利用证明，即可解答． 【详解】 略 19．【答案】135° 【分析】 直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 20．【答案】或 【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定定理，依据是公共边，依据或可证明． 【详解】 解：在与中， ， ∴， 可以去掉； 在与中， ， ∴， 可以去掉； 故答案为：或． 21．【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 22．【答案】 【分析】 在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】 解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 23．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 已知，，则需添加角等或边等，结合全等三角形的判定求解即可． 【详解】 解：∵，， 当时，； 或时，； 或时，， 故答案为：（答案不唯一）． 24．【答案】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据可得，利用即可证明． 【详解】 略 25．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，由三角形的判定方法可得到答案． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 26．【答案】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】 略 27．【答案】或或 【分析】 本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】 解：，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 28．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查两个直角三角形全等的判定与性质，熟记两个直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理直接求证即可得到答案； （2）由（1）中两个直角三角形全等，得到，等量代换即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．【答案】证明：∵AC是∠BAE的平分线， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠C＝∠E，AB＝AD． ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴BC＝DE． 【分析】 根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE，即可得到结果； 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了三角形的全等判定及性质，准确利用角平分线的进行计算是解题的关键． 30．【答案】已知：如图，在中，于点D，于点E． 求证： ． 证明：于点D,于点E ∴ ∴． 【分析】 本题考查全等三角形在证明三角形两腰上的高相等的应用，等腰三角形的定义，真命题的证明，掌握角角边的证明方法是本题关键． 通过角角边证明，从而得出对应边（高）相等． 【详解】 略 31．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据已知条件为两边，可选择一边或已知两边的夹角相等，据此作答即可． 【详解】 解：在和中，， 当添加条件为时，可根据证明； 故答案为：． 32．【答案】（1） 证明：在和中， （），     （2）30度      【分析】 本题考查三角形外角性质及全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是对性质和判定的熟练掌握． （1）根据三角形全等的判定推出； （2）再根据三角形外角性质求出的度数，根据三角形全等的性质：对应角相等，即可证明，即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是的外角， ， ． 由（1）知， ． 33．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴AF+CF=DE+CF, ∴， ∴≌． 【分析】 利用平行线的性质，补充证明全等的角元素，立足已知等线段，利用等量加等量和线段，转化新等量线段，为全等提供边元素． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了平行线条件下的三角形全等，熟练运用平行线的性质，灵活选择三角形全等的方法是解题的关键． 34．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、余角性质，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 35．【答案】（1） 证明：∵． ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）先证明，得出，即可求出的值，进而可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 36．【答案】（或，或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、解题即可． 【详解】 解：若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌． 故答案为：（或，或） ． 37．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）①； ②2； （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）① 首先由得到，进而可求出； ② 由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】 （1）略 （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．【答案】∠A=∠D（其它合理答案亦可） 【分析】要使△ABC≌△DCB，已知BC=CB，∠ACB=∠DBC，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】可以添加∠A=∠D，利用AAS判定△ABC≌△DCB． 故答案为∠A=∠D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 39．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵外角的角平分线上取一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂线的定义得到，，根据证明，得到，根据证明，即可证明； （2）根据得到，根据三角形内角和得到，进而得到，根据等边对等角即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 40．【答案】（1） ① 证明：在与中， ， ∴； ② 证明：∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴．     （2） 补全后的图形如图所示， ， 证明：延长到点M，使，连接，， ∵，， ∴ 垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴ ， ∴ ．      【分析】 （1）① 利用已知条件直接证明即可，② 由全等三角形的性质得出，推出，再由即可证明； （2）延长到点M，使，连接，，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等，正确作辅助线，证明是解题的关键． 41．【答案】 【分析】 用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据作图步骤有，从而可知，判断的依据是． 【详解】 解：由用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知，如图所示： ， 判断的依据是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形尺规作图中作两个角相等得到的三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 42．【答案】（1） 证明：如图，连接，     在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用定理可证，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长至点，根据全等三角形的对应角相等以及条件可得，再由三角形的外角性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，延长至点， 由（1）知， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 43．【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 44．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】 解：时 又点是的中点 又 故答案为：（答案不唯一） 45．【答案】（1） 证明：，平分， ，， 又， ；     （2） 解：，理由如下： ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得，根据可证明； （2）由，可得，再证明，可得，由线段的数量关系即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 46．【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系， 过点B作交直线于点D，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据即可求得点坐标； 过点B作交于点E，由题意得，进一步利用证明，则结合即可求得点坐标； 过点B作交于点E，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式． (1) 小问详解： 解：过点B作交直线于点D，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵点A坐标为，C的坐标为， ∴， ∴， 则点B的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点B作交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则， 那么，点B的坐标； (3) 小问详解： 解：过点B作交于点E，如图， 则， ∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 则． 47．【答案】（1）4     （2）或     （3）运动的速度为或或或．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； (3) 小问详解： 设点的运动速度为， ① 当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ② 当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③ 当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④ 当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 48．【答案】证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 先证明，得到，则，即可解答． 【详解】 略 49．【答案】（1）     （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ．      （3）或或      【分析】 （1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 50．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由等边三角形的性质得，，再利用勾股定理解答即可求解； （）① 取中点，连接，同理（）可得，再证明，得到，即可求解；② 在上取点，使，同理（）可得，得到，即得，进而可得，得到，即得到，得到，再得到，解得，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵是边长为的等边三角形，点为中点， ∴，， 在中，，， ∴； (2) 小问详解： 解：① 取中点，连接，则，    同理（）可得，， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； ② 在上取点，使， 同理① 可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 51．【答案】① 15    ② 12 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，正确构造等边三角形是解题的关键． （1）以为边，在下方作等边，连接，则， 设，则，，由，求出，然后证明，证明，则，最后由求解； （2）构造同样辅助线求解． 【详解】 解：（1）以为边，在下方作等边，连接， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15； （2）以为边，在下方作等边，连接， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 52．【答案】（）是一对“非全等三角形”； （）证明：在上取点，使， ，， ， ，， ， ， ， 又， ； （） 【分析】 （）过点作的延长线于点，于点，由角平分线的性质可得，，进而可证，得到，又由可得到，最后根据“非全等三角形”的定义即可判断； （）在上取点，使，可证，得到，，即得，即得到，进而由即可求证； （）延长至，使，作于，连接，则，由（）的结论可得，即得，即可证，得到，可得是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角的判定和性质等，理解题意并正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 （）解：如图，过点作的延长线于点，于点，则， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在与中，，，，， ∴与是一对“非全等三角形”， （）略 （）延长至，使，作于，连接， 则， ，，， 与是一对“非全等三角形”， 由（）得，， ∵， ， 又， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ∴， ． 53．【答案】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即． ∴． ． （2）解：猜想， 同理（1）可得，∴， 记与的交点为P， ∵， ∴． （3） 【分析】 （1）证：用等边三角形性质得全等条件（），由全等对应边相等得结论． （2）证：由全等得角相等，结合对顶角和三角形内角和推导． （3）求面积差：构造辅助线证全等，将面积差转化为规则三角形的面积，代入公式计算． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图，在上找一点G，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，∴， ∴， ∴，∴． 又，∴，， ，且， ∴ ． 【点睛】 本题考查的知识点：等边三角形性质、全等三角形（SAS）、三角形面积公式．使用的方法：构造法（作辅助线）、转化思想（线段/面积差通过全等转化）．解题关键：利用等边三角形边/角条件证全等，实现量的转化．易错点：全等对应关系错误，面积差转化逻辑不清． 考点03 角的平分线 1．A 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．【答案】5 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质求出，根据垂线段最短得到答案． 【详解】 解：作于， ∵是的角平分线，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：5． 8．【答案】（1）如图：BD即为所求；    （2）6． 【分析】 （1）根据角平分线的尺规作图的作法作图即可； （2）作DE⊥AB于E，由∠C=90°结合角平分线的性质知DC=DE，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）如图：作DE⊥AB于E ∵∠C=90°， BD平分∠ABC ∴DE=DC=2 ∴S△ABD=×AB×DE=×6×2=6． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的作法，掌握角平分线的尺规作图及其性质是解答本题的关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质定理．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据等面积法求出即可． 【详解】 解： 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值．     ，点是底边边的中点， ， ∵的面积是60， ∴， ∴， ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，是边上的中点， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 10．【答案】15 【分析】 由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN//BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC． 【详解】 解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO， ∵MN//BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴BM＝OM，CN＝ON， ∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15． 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了角平分线的相关计算问题，掌握角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．先证明，可得出，，从而得出即可解答． 【详解】 解：平分，， ,， 在和中， ， ，， ，，， ， 故答案为： ． 12．【答案】 【分析】 本题考查了作垂直平分线，作角平分线，等腰三角形三线合一，勾股定理，角平分线的性质定理． 根据作图可知是线段的垂直平分线，平分，作交于I，作交于，设交于K，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，可得，根据角平分线的性质得到，据等面积法求出，即可求出的长． 【详解】 解：由作图可知是线段的垂直平分线，平分， ∴ 如图，作交于I，作交于，设交于K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 考点04 线段的垂直平分线 1．A 2．D 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．D 11．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】 根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】 解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 12．【答案】两直线平行，同旁内角互补 【详解】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补． 详解： 命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为两直线平行，同旁内角互补． 点睛：考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【分析】 本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】 解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 14．【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】 解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 15．【答案】如果，那么 【分析】 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案． 【详解】 解：“如果，那么”的逆命题是： “如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点睛】 本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义． 16．【答案】① 两直线平行，内错角相等    ② 真 【分析】 先写出原命题的逆命题，然后根据平行线的性质判断即可． 【详解】 解：内错角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，内错角相等，这逆命题是真命题； 故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；真． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是运用平行线的性质等知识，难度不大． 17．【答案】解：点P的位置如图所示： 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，垂直平分线的尺规作图，先连接，根据点P到村庄A，B，C的距离都相等，得出点是在的垂直平分线的交点上，故分别作出的垂直平分线，其交点即为点． 【详解】 略 18．【答案】假命题 【分析】 本题主要考查了逆命题的概念，真假命题的概念，理解命题的相关概念是解决此题的关键；先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可； 【详解】 解：由题意可知：逆命题为如果，那么， 绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题； 故答案为：假命题. 19．【答案】如果，那么 【分析】 此题考查了逆命题．把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】 解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 20．【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 21．【答案】（1） 解：作的中垂线交于点，      （2）      【分析】 本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质； （1）在线段上的一点到的距离相等，即，由垂直平分线的性质可知，点在线段的垂直平分线上； （2）由三角形全等可得，，根据，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由知（1）， 又， ， ， ∴ 22．【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】 本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】 解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 23．【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】 本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题． 内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 【详解】 解：内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 24．【答案】（1）如图，即为所求．      （2）如图，即为所求．      （3）如图，即为所求． 【分析】 本题考查作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （3）结合三角形的高的定义作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 25．【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ；     （2）      【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ，， ． 26．【答案】5 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 27．【答案】（1） 如图：即为所求；      （2） 如图，点即为所求， 【分析】 本题考查了尺规作图—作角平分线，尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图可得， 故为等腰三角形． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据已知可得，再利用等量代换即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据已知和（1）的结论可得，即可解答． (1) 小问详解： 解：边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为； (2) 小问详解： 解：如图：    是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为． 29．【答案】（1） 解：如图所示： 图中垂直平分线即为所求；     （2）      【分析】 本题考查基本作图-作垂直平分线、三角形中求角度，熟练掌握垂直平分线的作法、三角形相关性质是解决问题的关键． （1）直接由垂直平分线的尺规作图方法作图即可得到答案； （2）由垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形性质得到，接着由三角形内角和定理求出，从而三角形结合表示出求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示： 由（1）知，是线段的垂直平分线， ， 则， 在中，，，则， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 线段的垂直平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全等三角形的对应角（边）相等的性质及等角对等边进行推理论证． 【详解】 解：∵， ∴，，，， ∴． 可知不一定成立， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边，还考查了等角对等边． 2．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 根据全等三角形对应角相等，，所以． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 全等三角形的面积一定相等 C. 形状相同的两个三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】 题目主要考查全等三角形的性质，熟练掌握是解题关键． 根据全等三角形的定义和性质，判断各选项的正确性． 【详解】 解：∵ 全等三角形大小形状完全相同， ∴ 全等三角形的面积一定相等，故B是真命题； A：两个等边三角形不一定全等，如边长分别为2和3的等边三角形，故为假命题； C：形状相同的三角形相似但不一定全等，故为假命题； D：面积相等的三角形不一定全等，如底和高不同的三角形，故为假命题； 故选：B． 4．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）若，，，则　　　　　　　度． 【答案】50 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，利用全等三角形的性质确定的值是解题关键．首先根据全等三角形的性质确定的值，再在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可． 【详解】 解：如下图， ∵，，， ∴， ∴在中，． 故答案为：50． 5．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，，与，与分别是对应点，根据图中给定的数量条件，则　　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是(          ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】 解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 2．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形，他画图的依据是（       ） A. SSS B. AAS C. ASA D. SAS 【答案】C 【分析】 图中三角形没被遮住的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：由图可知，三角形两角及夹边还存在， ∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形， 所以，依据是ASA． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．（25-26学年八上·浙江杭州观成中学·期中）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【分析】 利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】 A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）一个三角形的一部分被墨水弄污，小红又重新画一个和它一模一样的三角形，其根据为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【详解】 解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的， 所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：D． 5．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）下列各图中，一定全等的是（       ） A. 顶角相等的两个等腰三角形 B. 有两边和一角分别相等的等腰三角形 C. 各有一个角是，腰长都是的两个等腰三角形 D. 底边和顶角都相等的两个等腰三角形 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】 A．顶角相等的两个等腰三角形，缺少对应边相等，故两三角形不一定全等，故选项错误； B．相等的角有可能一个是两边的夹角，另一个是一边的对角，故两三角形不一定全等，故选项错误； C．的角不一定都是顶角或顶角，有可能一个是顶角，另一个是底角，故两三角形不一定全等，故选项错误； D．底边和顶角都相等的两个等腰三角形一定全等，故选项正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟知可以判断两个三角形的全等的有：，，，，是解本题的关键． 6．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（       ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】 解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF 【答案】B 【分析】 全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可． 【详解】 解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以得出△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、由BC∥EF，得出∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】 本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 8．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】 解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 9．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，，，再添加一个条件仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解答此题的关键是明确全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】 解：∵，， A．当， ∴ ∴，故选项A不符合题意； B．当，不能判断，故选项B符合题意； C．当， ∴，故选项C不符合题意； D．当， ∴，故选项D不符合题意； 故选：B． 10．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，中，，分别以为边在的同侧作正方形、，四块阴影部分的面积分别为．若已知，则的值为（     ） A. 18 B. 24 C. 25 D. 36 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可． 【详解】 解：过F作于D，连接，     ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 由可得：， ∴， ∵，即，且，， ∴，又， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 11．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为   边上一动点，当的值最小时，的度数是（       ） A. 118° B. 125° C. 136° D. 124° 【答案】D 【分析】 先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】 解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 12．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D.  【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】 解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 13．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（       ） A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和三角形的面积公式，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．因为求的阴影部分面积其实是两个三角形的面积和，转化为两个三角形的面积问题，然后作出对应三角形的高，并合理转化高，发现每个三角形都与等底等高，验证即可求解． 【详解】 解：如图，过点D作交的延长线于点P，过点C作交的延长线于点Q，过点G作交的延长线于点S，过点C作交的延长线于点T，作交于点H， ∴，， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，同理可证， ∴，， ∴， 故选：B． 14．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在与中， ∴（）， ∴． 【分析】 ；本题考查平行线的性质、 全等三角形判定及性质，运用了转化角的思想与全等证明的方法技巧，解题思路：先由得角相等，再结合已知的角和边，用 证 ，从而得． 【详解】 略 15．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．在和中，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可得，据此利用可证明． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴，即， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）如图，已知．求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，证明，则，即可作答． 【详解】 解：在与中 ∵ ∴ ∴． ∵， ∴． 18．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）已知：如图，，，点E、F在线段上，且，请说明的理由． 【答案】证明：， ， 在和中， ，  ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据平行线的性质可得，然后利用证明，即可解答． 【详解】 略 19．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　　　． 【答案】135° 【分析】 直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 20．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是：　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定定理，依据是公共边，依据或可证明． 【详解】 解：在与中， ， ∴， 可以去掉； 在与中， ， ∴， 可以去掉； 故答案为：或． 21．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 22．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： 　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】 解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 23．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，交于点E，已知，只添加一个条件，使，你添加的是　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 已知，，则需添加角等或边等，结合全等三角形的判定求解即可． 【详解】 解：∵，， 当时，； 或时，； 或时，， 故答案为：（答案不唯一）． 24．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知， ，． 求证：． 【答案】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据可得，利用即可证明． 【详解】 略 25．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知，要证明，还需要添加条件为　　　　　　（只写一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，由三角形的判定方法可得到答案． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 26．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】 略 27．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，已知，添加一个条件　　　　　　　　　　，使得． 【答案】或或 【分析】 本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】 解：，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 28．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，于点为上一点，连接交于点．若． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ；     （2） 证明：， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查两个直角三角形全等的判定与性质，熟记两个直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理直接求证即可得到答案； （2）由（1）中两个直角三角形全等，得到，等量代换即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）（多选）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE． 【答案】证明：∵AC是∠BAE的平分线， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠C＝∠E，AB＝AD． ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴BC＝DE． 【分析】 根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE，即可得到结果； 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了三角形的全等判定及性质，准确利用角平分线的进行计算是解题的关键． 30．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）证明命题“等腰三角形两腰上的高线相等”是真命题．（请根据题意和给定的图形写出已知、求证、证明过程） 【答案】已知：如图，在中，于点D，于点E． 求证： ． 证明：于点D,于点E ∴ ∴． 【分析】 本题考查全等三角形在证明三角形两腰上的高相等的应用，等腰三角形的定义，真命题的证明，掌握角角边的证明方法是本题关键． 通过角角边证明，从而得出对应边（高）相等． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，已知，还需要一个条件　　　　　　　　，根据“”可直接证明． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据已知条件为两边，可选择一边或已知两边的夹角相等，据此作答即可． 【详解】 解：在和中，， 当添加条件为时，可根据证明； 故答案为：． 32．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， （），     （2）30度      【分析】 本题考查三角形外角性质及全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是对性质和判定的熟练掌握． （1）根据三角形全等的判定推出； （2）再根据三角形外角性质求出的度数，根据三角形全等的性质：对应角相等，即可证明，即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是的外角， ， ． 由（1）知， ． 33．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴AF+CF=DE+CF, ∴， ∴≌． 【分析】 利用平行线的性质，补充证明全等的角元素，立足已知等线段，利用等量加等量和线段，转化新等量线段，为全等提供边元素． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了平行线条件下的三角形全等，熟练运用平行线的性质，灵活选择三角形全等的方法是解题的关键． 34．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、余角性质，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 35．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． （1）若，求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵． ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）由可得，再证明即可解答； （2）先证明，得出，即可求出的值，进而可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：　　　　　　　　，使． 【答案】（或，或） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、解题即可． 【详解】 解：若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌； 若添加， 在和中， ∴≌． 故答案为：（或，或） ． 37．（25-26学年八上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）①； ②2； （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）① 首先由得到，进而可求出； ② 由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】 （1）略 （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，已知∠ACB=∠DBC，请添加一个条件　　　　　　　　，使得△ABC≌△DCB． 【答案】∠A=∠D（其它合理答案亦可） 【分析】要使△ABC≌△DCB，已知BC=CB，∠ACB=∠DBC，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】可以添加∠A=∠D，利用AAS判定△ABC≌△DCB． 故答案为∠A=∠D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 39．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，外角的角平分线上取一点使得，作于点，于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵外角的角平分线上取一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据垂线的定义得到，，根据证明，得到，根据证明，即可证明； （2）根据得到，根据三角形内角和得到，进而得到，根据等边对等角即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 40．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）在中，，为内一点，连结，，延长到点，使得． （1）如图1，延长到点，使得，连结，． ①求证：； ②若，求证：． （2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ① 证明：在与中， ， ∴； ② 证明：∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴．     （2） 补全后的图形如图所示， ， 证明：延长到点M，使，连接，， ∵，， ∴ 垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴ ， ∴ ．      【分析】 （1）① 利用已知条件直接证明即可，② 由全等三角形的性质得出，推出，再由即可证明； （2）延长到点M，使，连接，，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等，正确作辅助线，证明是解题的关键． 41．（25-26学年八上·浙江绍兴元培教育集团·期中）如下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定的依据是　　　　　　． 【答案】 【分析】 用直尺和圆规作一个角等于已知角，根据作图步骤有，从而可知，判断的依据是． 【详解】 解：由用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知，如图所示： ， 判断的依据是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形尺规作图中作两个角相等得到的三角形全等的判定定理，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 42．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接，     在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用定理可证，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长至点，根据全等三角形的对应角相等以及条件可得，再由三角形的外角性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，延长至点， 由（1）知， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 43．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 44．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，点是的中点，要使，还需添加一个条件可以是　　　　　　．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据三角形全等所需条件，进行添加即可，答案不唯一． 【详解】 解：时 又点是的中点 又 故答案为：（答案不唯一） 45．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，点在上，使．    （1）求证：． （2）请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，平分， ，， 又， ；     （2） 解：，理由如下： ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的性质得，根据可证明； （2）由，可得，再证明，可得，由线段的数量关系即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 46．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标． （3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系， 过点B作交直线于点D，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据即可求得点坐标； 过点B作交于点E，由题意得，进一步利用证明，则结合即可求得点坐标； 过点B作交于点E，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式． (1) 小问详解： 解：过点B作交直线于点D，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵点A坐标为，C的坐标为， ∴， ∴， 则点B的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点B作交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 则， 那么，点B的坐标； (3) 小问详解： 解：过点B作交于点E，如图， 则， ∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 则． 47．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，______cm． （2）如图①，当______时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】（1）4     （2）或     （3）运动的速度为或或或．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； (3) 小问详解： 设点的运动速度为， ① 当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ② 当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③ 当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④ 当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 48．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，点B，D分别在AC的两侧，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 先证明，得到，则，即可解答． 【详解】 略 49．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）按要求解答问题： （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：       ． 【答案】（1）     （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ．      （3）或或      【分析】 （1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 50．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）如图，是边长为的等边三角形，为中点．    （1）求的长． （2）如图，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，为线段上一动点．    ①当时，求的长； ②若，且，求的最小值． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由等边三角形的性质得，，再利用勾股定理解答即可求解； （）① 取中点，连接，同理（）可得，再证明，得到，即可求解；② 在上取点，使，同理（）可得，得到，即得，进而可得，得到，即得到，得到，再得到，解得，即可求解； (1) 小问详解： 解：∵是边长为的等边三角形，点为中点， ∴，， 在中，，， ∴； (2) 小问详解： 解：① 取中点，连接，则，    同理（）可得，， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； ② 在上取点，使， 同理① 可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 51．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，中，，点D，E分别为线段上的点，，连接，已知， （1）若，则　　　　　　　　　　°； （2）若，则　　　　　　　　　　°． 【答案】① 15    ② 12 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，正确构造等边三角形是解题的关键． （1）以为边，在下方作等边，连接，则， 设，则，，由，求出，然后证明，证明，则，最后由求解； （2）构造同样辅助线求解． 【详解】 解：（1）以为边，在下方作等边，连接， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15； （2）以为边，在下方作等边，连接， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 52．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）【定义】只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“非全等三角形”．如图，与中，，，，，所以与是一对“非全等三角形”． 【判定】（）如图，四边形中，平分，，，请你判断与是不是一对“非全等三角形”． 【性质】（）在一对“非全等三角形”中，其中一对相等的边所对的角互补． 如图，与是一对“非全等三角形”，，，，，求证：． 【运用】（）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】（）是一对“非全等三角形”； （）证明：在上取点，使， ，， ， ，， ， ， ， 又， ； （） 【分析】 （）过点作的延长线于点，于点，由角平分线的性质可得，，进而可证，得到，又由可得到，最后根据“非全等三角形”的定义即可判断； （）在上取点，使，可证，得到，，即得，即得到，进而由即可求证； （）延长至，使，作于，连接，则，由（）的结论可得，即得，即可证，得到，可得是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角的判定和性质等，理解题意并正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 （）解：如图，过点作的延长线于点，于点，则， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在与中，，，，， ∴与是一对“非全等三角形”， （）略 （）延长至，使，作于，连接， 则， ，，， 与是一对“非全等三角形”， 由（）得，， ∵， ， 又， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ∴， ． 53．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）（1）如图1，已知：和是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连结，．求证：． （2）在（1）的条件下，如图2，将绕点C顺时针旋转一定的角度，记与交于点F，猜想的度数并证明； （3）如图3，在中，，过外一点D，作，和边交于F，连结，过点A作于E，若，，，请求出的值． 【答案】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即． ∴． ． （2）解：猜想， 同理（1）可得，∴， 记与的交点为P， ∵， ∴． （3） 【分析】 （1）证：用等边三角形性质得全等条件（），由全等对应边相等得结论． （2）证：由全等得角相等，结合对顶角和三角形内角和推导． （3）求面积差：构造辅助线证全等，将面积差转化为规则三角形的面积，代入公式计算． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）如图，在上找一点G，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，∴， ∴， ∴，∴． 又，∴，， ，且， ∴ ． 【点睛】 本题考查的知识点：等边三角形性质、全等三角形（SAS）、三角形面积公式．使用的方法：构造法（作辅助线）、转化思想（线段/面积差通过全等转化）．解题关键：利用等边三角形边/角条件证全等，实现量的转化．易错点：全等对应关系错误，面积差转化逻辑不清． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【分析】 本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】 解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 2．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则点到直线的距离是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查角平分线的性质及尺规作图、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键． 过D作于H，根据作图过程，得平分，再根据角平分线的性质得到即可求解． 【详解】 解：过D作于H， 根据作图过程，得平分，又，， ∴， 即点到直线的距离是6． 故选：A． 3．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，的平分线为的面积是（     ） A. 7 B. 2 C.  D. 14 【答案】A 【分析】 本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度．过D作于G，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】 解：过D作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴ 故选：A． 4．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积是（       ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】B 【分析】 本题考查求三角形面积，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键． 过点作于，如图所示，由角平分线性质得到，再由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】 解：过点作于，如图所示： ，是角平分线， ， 的面积是， 故选：B． 5．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】 解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 6．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）在Rt中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质并利用面积法建立方程是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），通过面积法建立方程求出的长，最后用的长减去的长得到的长． 【详解】 解：在中，，，， ， 由作图可知，是的平分线，过点作于， ，，平分， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 7．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）如图，是的角平分线，，点P在上，连接，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质求出，根据垂线段最短得到答案． 【详解】 解：作于， ∵是的角平分线，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：5． 8．（25-26学年八上·浙江杭州·期中）（多选）如图，在中，．    （1）尺规作图，作出的角平分线;(要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法) （2）若，求的面积． 【答案】（1）如图：BD即为所求；    （2）6． 【分析】 （1）根据角平分线的尺规作图的作法作图即可； （2）作DE⊥AB于E，由∠C=90°结合角平分线的性质知DC=DE，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）如图：作DE⊥AB于E ∵∠C=90°， BD平分∠ABC ∴DE=DC=2 ∴S△ABD=×AB×DE=×6×2=6． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的作法，掌握角平分线的尺规作图及其性质是解答本题的关键． 9．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在等腰中，点D是底边边的中点，M，N分别是和上的动点，若，的面积是60，则的最小值　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质定理．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值，根据等面积法求出即可． 【详解】 解： 如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则所求的最小值．     ，点是底边边的中点， ， ∵的面积是60， ∴， ∴， ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，是边上的中点， ， ， ， 解得：， 的最小值， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，MN经过点O，且MN//BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是　　　　　． 【答案】15 【分析】 由在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN//BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC． 【详解】 解：∵在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO， ∵MN//BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC， ∴BM＝OM，CN＝ON， ∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15． 故答案为：15． 【点睛】 本题考查了角平分线的相关计算问题，掌握角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 11．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在的边上取点，使．过点作于点，若平分，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．先证明，可得出，，从而得出即可解答． 【详解】 解：平分，， ,， 在和中， ， ，， ，，， ， 故答案为： ． 12．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）如图，在中，，．结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段的长是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了作垂直平分线，作角平分线，等腰三角形三线合一，勾股定理，角平分线的性质定理． 根据作图可知是线段的垂直平分线，平分，作交于I，作交于，设交于K，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，可得，根据角平分线的性质得到，据等面积法求出，即可求出的长． 【详解】 解：由作图可知是线段的垂直平分线，平分， ∴ 如图，作交于I，作交于，设交于K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 考点04 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则a与b互为倒数 C. 直角三角形两个锐角互余 D. 角平分线上的一点到角的两边距离相等 【答案】A 【分析】 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】 解：A、逆命题是“若，则”，因为当时，可以相等，也可以互为相反数，故为假命题； B、逆命题是“若与互为倒数，则”，是真命题； C、逆命题是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题； D、逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题． 故选：A． 【点睛】 本题考查了命题的真假判断、角的互余，倒数，角的平分线的判定，数的平方与平方根的概念，熟练掌握相关知识是解答的关键． 2．（25-26学年八上·浙江台州·期中）下列定理中有逆定理的是（　　） A. 直角都相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 对顶角相等 D. 内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题． 分别写出每一个选项的逆命题，再判断真假即可． 【详解】 解：A、直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，为假命题，故选项不符合题意； B、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，故选项不符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故选项不符合题意； D、内错角相等，两直线平行逆命题是两直线平行，内错角相等，是定理；故选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（       ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【分析】 根据作一个角的角平分线、作一个角等于已知角和线段垂直平分线的尺规作图方法逐个判断即可； 本题主要考查了尺规作图相关知识，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【详解】 解：① 作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线． 图① 的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以① 的作法正确； ② 作一个角等于已知角：其尺规作图的基本步骤是先作一条射线作为新角的一条边，以原角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点，并以射线端点为圆心，该长度为半径画弧，交射线于一点；再以原角上其中一个交点为圆心，两交点距离的长度为半径画弧，并以射线上的交点为圆心，该长度为半径画弧，于前弧交于一点，最后过射线端点和这个交点作射线，两条射线的夹角即为所求角． 图②的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以②的作法正确； ③作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线． 图③中没有体现完整的尺规作图过程，线段下方没有交点，所以③的作法错误； 故选：A． 4．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（     ） A. 13 B. 14 C. 18 D. 21 【答案】A 【分析】 根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴， AC＝8，BC＝5， △BCE的周长为， 故选A 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠PAC＝x°，则∠1的度数是（　　）°． A. 90﹣x B. x C. 90﹣x D. 60﹣x 【答案】A 【分析】 连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，PB＝PC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】 解：连接PB、PC， ∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC， ∴∠PBA＝∠PAB，∠PBC＝∠PCB，PA＝PC， ∴∠PCA＝∠PAC＝x°，∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝∠B， ∴2∠B+2x°＝180°， 解得，∠B＝90°﹣x°， ∴∠DPE＝180°﹣∠B＝90°+x°， ∴∠1＝180°﹣∠DPE＝（90﹣x）°， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．（25-26学年八上·浙江协作学校·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A. 等边三角形是锐角三角形 B. 如果两个角是直角，那么它们相等 C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 D. 对顶角相等 【答案】C 【分析】 本题考查判断命题的真假、逆命题，涉及垂直平分线判定定理、等边三角形的定义、对顶角等，熟知相关知识是解答的关键．先写出各选项中命题的逆命题，再根据相关知识可判断选项C的逆命题是线段垂直平分线的判定定理，成立． 【详解】 解：A、逆命题：锐角三角形是等边三角形，假命题（反例：锐角等腰三角形非等边），故选项A不符合题意； B、逆命题：相等的角是直角，假命题（反例：角相等非直角），故选项B不符合题意； C、逆命题：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，真命题（垂直平分线判定定理），故选项C符合题意； D、逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：等腰三角形底角相等，非对顶角），故选项D不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年八上·浙江台州·期中）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断． 【详解】 解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD， ∴点D即为线段AB的中点， ∴CD为△ABC的边AB上的中线． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查三角形一边的中线的作法；作该边的中垂线，找出该边的中点是解题关键． 8．（25-26学年八上·浙江台州·期中）如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，根据可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为所以，连接，由是等腰直角三角形，即．又因为，得垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴．故① 正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵， ∴． ∴；． ∵， ∴；故② 正确； 在和中， ∵平分， ∴． 又∵ ∴． ∴． 又由（2）知， ∴；故③ 正确； 连接． ∵是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴垂直平分． ∴ 在中，是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④ 错误． 综上，正确的是① ② ③ ， 故选：C． 9．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的内容是解题的关键； 先将转化为，再依据线段垂直平分线的性质分析各选项作图痕迹是否满足． 【详解】 解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意； 故选： D． 10．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】 解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 11．（25-26学年八上·浙江杭州拱墅区·期中）“等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：　　　　　　　　　　． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】 根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】 解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 12．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】两直线平行，同旁内角互补 【详解】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补． 详解： 命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为两直线平行，同旁内角互补． 点睛：考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 13．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　　． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【分析】 本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】 解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 14．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】 解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 15．（25-26学年八上·浙江温州新希望联盟学校·期中）“如果，那么”的逆命题是　　　　　　　　　　　． 【答案】如果，那么 【分析】 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案． 【详解】 解：“如果，那么”的逆命题是： “如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点睛】 本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义． 16．（25-26学年八上·浙江舟山·期中）命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．这逆命题是　　　　命题（填“真或假”） 【答案】① 两直线平行，内错角相等    ② 真 【分析】 先写出原命题的逆命题，然后根据平行线的性质判断即可． 【详解】 解：内错角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，内错角相等，这逆命题是真命题； 故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；真． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是运用平行线的性质等知识，难度不大． 17．（25-26学年八上·浙江杭州余杭区·期中）为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示．为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P．要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）． 【答案】解：点P的位置如图所示： 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，垂直平分线的尺规作图，先连接，根据点P到村庄A，B，C的距离都相等，得出点是在的垂直平分线的交点上，故分别作出的垂直平分线，其交点即为点． 【详解】 略 18．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）命题：“如果，那么”的逆命题是　　　　　　．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】 本题主要考查了逆命题的概念，真假命题的概念，理解命题的相关概念是解决此题的关键；先根据题意交换题设和结论得到逆命题，再根据绝对值的概念得到结果即可； 【详解】 解：由题意可知：逆命题为如果，那么， 绝对值相等的两个数，有可能相等也有可能互为相反数，故逆命题为假命题； 故答案为：假命题. 19．（25-26学年八上·浙江温州三校联考·期中）命题“如果，那么”的逆命题为　　　　　　　　　． 【答案】如果，那么 【分析】 此题考查了逆命题．把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】 解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 20．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 21．（25-26学年八上·浙江杭州钱江外国语·期中）已知，如图，四边形 （1）用直尺和圆规，在线段上找一点，使得，连接，（不写作法，保留作图痕迹）： （2）在（1）的图形中，若，且，求的长． 【答案】（1） 解：作的中垂线交于点，      （2）      【分析】 本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质； （1）在线段上的一点到的距离相等，即，由垂直平分线的性质可知，点在线段的垂直平分线上； （2）由三角形全等可得，，根据，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由知（1）， 又， ， ， ∴ 22．（25-26学年八上·浙江宁波鄞州区·期中）定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】 本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】 解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 23．（25-26学年八上·浙江宁波·期中）定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是　　　　　　　　　　　． 【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】 本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题． 内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 【详解】 解：内错角相等，两直线平行有逆定理，逆定理为两直线平行，内错角相等． 故答案为：两直线平行，内错角相等． 24．（25-26学年八上·浙江浙北六校·期中）尺规作图：已知，求作： （1）的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 （2）的中线；保留作图痕迹，不写作法 （3）的高线保留作图痕迹，不写作法 【答案】（1）如图，即为所求．      （2）如图，即为所求．      （3）如图，即为所求． 【分析】 本题考查作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （3）结合三角形的高的定义作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ；     （2）      【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ，， ． 26．（25-26学年八上·浙江绍兴一中·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 27．（25-26学年八上·浙江温州新质教育联盟·期中）如图，已知，请按要求完成尺规作图： （1）在图1中，画出的角平分线； （2）在图2中，画出等腰三角形，使点E在边上． 【答案】（1） 如图：即为所求；      （2） 如图，点即为所求， 【分析】 本题考查了尺规作图—作角平分线，尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图可得， 故为等腰三角形． 28．（25-26学年八上·浙江台州·期中）在中，AB边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．的周长为．    （1）求的长； （2）分别连接、、，若的周长为，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后根据已知可得，再利用等量代换即可解答； （2）利用线段垂直平分线的性质可得，，再根据已知和（1）的结论可得，即可解答． (1) 小问详解： 解：边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为； (2) 小问详解： 解：如图：    是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ， ， 的长为． 29．（25-26学年八上·浙江初中名校发展共同体·期中）如图，已知，，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； （2）求的度数． 【答案】（1） 解：如图所示： 图中垂直平分线即为所求；     （2）      【分析】 本题考查基本作图-作垂直平分线、三角形中求角度，熟练掌握垂直平分线的作法、三角形相关性质是解决问题的关键． （1）直接由垂直平分线的尺规作图方法作图即可得到答案； （2）由垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形性质得到，接着由三角形内角和定理求出，从而三角形结合表示出求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示： 由（1）知，是线段的垂直平分线， ， 则， 在中，，，则， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $