广东佛山市第一中学2026-2027学年高二上学期开学检测数学试题

**基本信息** 2026年高二开学检测数学试卷，覆盖复数、立体几何、函数等核心知识，通过分层设计（如解答题从线面平行证明到翻折二面角计算），考查数学思维与空间观念，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、直线方程、函数奇偶性|基础概念辨析，如第4题结合奇函数性质考查运算能力| |多选题|3/18|直线性质、三角函数图像|多角度能力考查，如第11题翻折后三棱锥体积与外接球，培养空间观念| |填空题|3/15|圆锥侧面积、直线方程、函数最值|简洁考查公式应用，如第12题圆锥侧面展开与底面半径关系| |解答题|5/77|立体几何证明与夹角、圆轨迹、解三角形、翻折二面角|梯度设计，15题证线面平行（基础），19题翻折问题求二面角余弦值（创新），体现数学思维逻辑推理|

2026年高二年级开学检测试卷 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.在复平面内，复数2=)对应的点位于() 2+i1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.直线1经过点(2,3)，且倾斜角α=45°，则直线1的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y+5=0 C.x-y+1=0 D.x-y-5=0 3.点P坐标为(1,2)，直线1为x-2y+5=0,则P到直线的距离为() A.35 B.4V5 c.5 D.2V5 5 5 5 5 4.已知函数f()为奇函数，当x>0时，fx)=2+l,则f(-)=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 5.已知P4UB-分P回名P(到-子则作A与B的关系是《) A.A与B互斥不对立 B.A与B对立 C.A与B相互独立 D.A与B既互斥又独立 6.在正四面体ABCD中，M,N分别是棱AB,CD中点，则直线AN与CM所成角的正弦值为() A.⑤ B.3 D.6 3 3 3 7.在△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=?,则△ABC外接圆的半径为() 3 A.7 B.V②7 c.2 D.2V21 3 3 3 3 8.已知x,y是正实数，且x+2y=1,则下列说法正确的是() A.y的最大值为} B.3 ,+。的最小值为3+1 x+1'2y C.+2的最小值为4 y x D.(x-3y)y的最大值为 20 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.关于直线：x+√2y+2=0,下列说法正确的有() 试卷第1页（共4页） A.直线I的斜率为 B.直线1的倾斜角为3n C.直线I在x轴上的截距为-2 D.直线I不经过第一象限 10.己知函数f(x)=sinxcosx+V3cos2x,则() A.f(x)的最小正周期为π B.f(y的最大值为1+ 2 C.曲线y=f(x)的一条对称轴为x=刀 6 D.将f(x)的图象向右平移亚个单位长度后得到一个偶函数的图象 12 11.如图，在矩形AEFC中，AE=2√3，EF=4,B为EF的中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使 点E、F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则() B A.PB⊥AC B.三棱锥P-ABC的体积为4V2 3 C.三棱锥P-ABC外接球的半径为V22 D.直线PA与BC所成角的余弦值为 6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知圆锥的侧面积为4π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 13.过点P(1,-1)且垂直于1：x-2y+1=0的直线方程为 14.函数f(x)=V(x-1)+9+V(x-5+4的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB∥CD,且AB=1,CD=2,BC=2√2，PA=1, AB⊥BC,N为PD的中点 试卷第2页（共4页) B D (1)求证：AW∥平面PBC; (2)求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值， 16.(15分)已知圆C的圆心为点C,其在直线x-2y+4=0上，且与x轴交于两点A(-5,0)、B(1,0). (I)求△ABC的面积： (2)求圆C的标准方程： (3)已知Q(2,1),点P在圆C上运动，求线段P9中点M的轨迹方程. 17.(15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,己知sinC=√2cosB,a2+b2-c2=√2ab (I)求B: (2)若c=2√2时，求△ABC的面积. I8.(I7分)如图，将aMBC绕边BC旋转得到aDBC,其中AC=BC=2,AC⊥BC,AB⊥平面ABC,AE=2 3，连 结DE,F,G分别是BC,BD的中点，DFII平面ABE. D B (1)求证：CD⊥DE; (2)求CG与平面ABE所成角的正弦值. 试卷第3页（共4页） 19.(17分)如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，AD⊥AE,AE=√2 将△ADE沿AD翻折至△ADP,如图2.点M在PD上. P(E) B B D D 图1 图2 (I)若M为PD中点，证明：PB/平面MAC; (2)若AM⊥CD,且四棱锥M-ABCD与三棱锥M-ABP的体积相等.证明：平面PAD⊥平面PCD.: (3)求二面角P-CD-A的余弦值的最小值. 试卷第4页（共4页） 2026年高二年级开学检测试卷 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．点坐标为，直线为，则到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数为奇函数，当时，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．已知，，，则事件与的关系是（    ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 6．在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，， ，则外接圆的半径为（　　） A． B． C． D． 8．已知x，y是正实数，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．关于直线，下列说法正确的有（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线在轴上的截距为 D．直线不经过第一象限 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．曲线的一条对称轴为 D．将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 11．如图，在矩形中，，，为的中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ）    A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球的半径为 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_____ 13．过点 且垂直于的直线方程为_______ 14．函数的最小值为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：∥平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．（15分）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 17．（15分）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求B； (2)若时，求的面积. 18．（17分）如图，将绕边旋转得到，其中平面，连结分别是的中点，平面．    (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 19．（17分）如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱形，，，.将沿AD翻折至，如图2.点M在PD上.      (1)若M为PD中点，证明：平面MAC； (2)若，且四棱锥与三棱锥的体积相等.证明：平面平面.； (3)求二面角的余弦值的最小值. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 C D C A B D CD AB 题号 11 答案 ACD 12.√2 13.2x+y-1=0 14.V4 15.(1)证明：如图所示 D 取 中点为，连接 PC M NM MB 所以NM∥2DC且MM=Dc 又因为4B∥2DC且4B=DC 所以NM∥AB,NM=AB,所以四边形NMBA为平行四边形. 所以AN∥BM,又因为AN￠平面PBC,BMc平面PBC 所以AN∥平面PBC. (2)如图所示 Z个 N B A 1 取DC中点为E,以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为'轴，AP为z轴 建立空间直角坐标系，所以4(0,0,0)，P(0,0,),B(01,0.D(22,-l,0).C221,0) 设平面PBC的法向量为m=(x,y2),因为BP=(0,-1,1),BC=(220,0） BP-m=-y+z=0 则BCm=2√2x=0所以令y=1,得m=(01,) 设平面PDC的法向量为i=(a,6c,因为PD-(22,-l-,Dc=02,0) PD-n=2v2a-b-c=0 则 DCn=2b=0所以令a=V2:得i=(N2,0,4) cos m,n 所以 |m√2x83 所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为3 16.(1)因为4(-5,0)BL.0 所以线段B的中垂线方程为X=-2, 易知点C为直线x=-2与直线x-2y+4=0的交点， x=-2 x=-2 联立x-2y+4=0得=1，放点C(21,故c4x1×6x1-3 (2)由(1)可知圆C的半径为BC=V1+2)+(0-1=V10 故圆C的标准方程为x+2)+(0y-}=10 [x-6+2 2 (3)设点 ,由线段中点坐标公式可得 P(xo,%）M(x,y) y=6+1,所以5=2x-2, 2 =2y-1 因为点p在图c上，所以(2x-2+2+2y-1-=10,化简得+--多 故点M的轨迹方程为2+0-- 2+b2-c2=√2ab 17.(1)因为 由余弦定理得oC-4+-C_2ab2 2ab2ab2，则 nC=v1-cosC 2 又因为sinC=2cosB'可得cosB-sinC1 22， 因为B∈O,,所以B= 3 (2)由(1)知， sinc=2 B=I 2且3， 2w2x 因为 ,由正弦定理bc,可得b=CSnB 2=23 sin C 2 c=2W2 sin B sin C 2 sin 4=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C= 又由 2×2+22=4严 S=1bcsin4=x2x2x6+23+ 所以△ABC的面积为2 2 4 18.(1)证明：过点D作DH⊥AC,连接FH. 因为AC⊥BC,DC⊥BC,ACODC=C, 所以BC⊥平面ACD,因为BCC平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ACD 又因为DH⊥AC,DHc平面ACD,平面ACD∩平面ABC=AC, 所以DH⊥平面ABC. 因为AE⊥平面ABC,所以DH/IAE, 所以DHII平面ABE 因为DFI/平面ABE,DFC平面DFH,DHC平面DFH,同时DEODH=D, 所以平面DFH 1平面ABE, 所以FHII平面ABE. 因为FHc平面ABC,平面ABC∩平面ABE=AB, 所以FH IIAB,所以H是AC中点， 所DE-号5.所以CE-CD+DE 所以CD⊥DE (2)如图，以AC中点H为原点，HA为x轴，HD为z轴，过点H作BC的平行线为y轴，建立空间直角 坐标系， z个 D G C H B 则4a0c-a0.oa同)，-i20,cl}a号5 uc-传9B-(220亚-n2 设”=：少2)是平面4B5的一个法向量， i.AB=-2x+2y=0 n-29-0 则 取=1，则 n=(1,1,0) 所以sin8=cos(CG, CG.n 3 cc网 2x24, 所以CG与平面ABE所成角的正弦值为4· 19.(1)证明：连接AC,BD相交于点O,连接OM, AI四边形 为菱形，所以为中点，又M为PD中点， E D F ABCD O BD 所以PBIIOM,又OMC平面MAC,PBa平面MAC, 所以PBII平面MAC. （2)证明：因为 VM-ARCD =2VM-A8D=VA-ABP V-ABD=VM-AD+VM-ABP 所以4-m=am,即M是PD靠近D的三等分点， 则-写P+号D,又D1E:征=2·A=1 3 3 3 则AM2+DM2=AD,即AM⊥DM,AM⊥PD, 又AM⊥CD,PD∩CD=D,PD,CDc平面PCD, 所以AM⊥平面PCD,又AMc平面PAD, 所以平面PAD⊥平面PCD (3)延长CD交AE于F,作PH⊥AE交AE于H, 过H作H1DF交DF于e,连接PD,设P0=89e(@,, 又AD⊥AE,AD⊥PA,AEOPA=A,AE,PAC平面PAE, 所以AD⊥平面PAE,PHC平面PAE,∴.AD⊥PH, 又PH⊥AE,AD∩AE=A,AD,AEC平面ADE, 所以PH⊥平面ADE,即PH⊥平面ADF,又DEC平面ADF,所以PH⊥DF, 又H0⊥DF,PH∩H犯=O,PH,H0c平面POH, 所以DF⊥平面POH,DF⊥PO,DF⊥H0, 所以∠PQH就是二面角P-CD-A的平面角， 在AADF中，MD=L∠ADF=行，所以A=5, LPAO=0,AE=PA=2 ..PH=2sin 0,FH=3-2cos0 sin∠AFD=0=)-→H0=55。 os0 DE 2 FH 22 tan∠PQH=PH √2sin0_2W2sin0 coso 3-2cos0 =t>0 HO32 22 则y=22sim0+V21cos0=v8+276n(0+pl,其中tamp-克： :0∈(0，π).V3t=V8+2sin(0+p)≤V8+2 ,解得0<1≤2V2, m∠Pore(o2],.os∠PoHe3 所以 即二面角P-CD-A的余弦值的最小值3