广州市2026-2027学年高二上学期开学模拟卷数学试题

**基本信息** 以统计、立体几何、概率等知识为载体，通过文旅满意度调查、“乒协杯”比赛等真实情境，考查数学眼光（如数据观察）、数学思维（如逻辑推理）与数学语言（如模型表达），适配高二开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|百分位数、互质概率、圆锥体积最值|基础巩固，如第1题考查统计基本量| |多选|3/18|复数性质、正三棱台线面关系|能力提升，如第10题综合空间观念| |填空|3/15|独立事件概率、正方体轨迹、三角形重心|创新应用，如第13题结合几何直观| |解答|5/77|频率分布直方图、三棱锥证明与计算、比赛概率模型|综合探究，如第18题构建体育比赛概率模型，体现数据意识与应用能力|

广州市2026-2027学年高二上学期开学模拟卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题19小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 一，单选题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.样本数据6，7，9，12，13，15，17，20，26，28的第30百分位数是（ ） A．9 B.12 C.10.5 D.9.5 2. 在  中， 为边  的中点，点  在边  上且为靠近点  的三等分点， 直线  与线段  相交于点 。若 ，则实数  A.   B.   C.   D.  3. 从3至9这7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A.   B.   C.   D.  4. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5.记  的内角  的对边分别为 ，若 ，， 则  ( ) A.  B.  C.  D.  6. 已知平面内两个单位向量  的夹角为 （）。若向量  与 向量  的夹角为 ，则  的值为（ ） A.  B.  C.  D.  7.已知球  的体积为 ， 四点均在球  的球面上， 为等边三角形， ，则  的面积为（ ） A.  B.  C.  D.  8.等腰  中，， 为  边上一点，且满足 ，， 则  面积的最大值为（ ） A. B.  C.  D.  二，多选题(本大题共3小题，每小题6分，满分18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分。) 9.已知复数 （为虚数单位），为复数，则下列结论中正确的是（ ） A.  B.  C. 若 ，则  D. 若 ，则  为纯虚数 10. 在正三棱台中，为的中点，为 的中点。则下列结论正确的是（） A.  B.  平面 C.  平面  D. 平面  平面  11. 记  内角  的对边分别为 ，已知 ，则下列选项正确的（ ） A.  B.  的最小值为  C. D.  的取值范围是  三，填空题(本大题共3小题，每小题5分，满分15分。) 12. 甲、乙两人独立破译某新型系统密码，甲能破译该密码的概率为 ，乙能破译该密码的概率为 ，则该密码被成功破译的概率为 ______。 13. 已知正方体  的棱长为 ， 为该正方体表面上的一个动点，满足 ，则动点  的轨迹长度为_________。 14. 在  中，重心  满足 ，则  的最小值为_______。 四，解答题(本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 15.某地为提升文旅经济，在端午假期面向部分游客发起满意度调查，调查维度包括饮食、住宿、交通、服务等，满意度得分采用百分制且所有参与调查的游客打分均不低于50分，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中  (1)求的值； (2)估计此次调查中综合满意度得分的众数和上四分位数； (3)估计此次调查中综合满意度得分的平均分, 若参与本次调查的游客共有1200名，估计在参与调查的 1200名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数． 16.如图，在三棱锥  中，，平面  平面 ，平面  平面 。(1) 证明： 平面 ；(2) 若二面角  的平面角的正切值为 ， 求直线  与平面  所成角的正弦值。 17.在中，为边上一点，已知 ，，，。 (1)求线段 的长；(2)延长至，使，设为中点，连接，求的长度。 18. 某学校“乒协杯”年级决赛由A班、B班对决。两班各派出三名选手，实力从强到弱依次为一单，二单，三单。比赛规则如下：比赛依次进行三场对位：A 一单 VS B 一单、A 二单 VS B 二单、A 三单 VS B 三单；每场对位固定进行两小局，所有小局比赛结果相互独立；单场计分规则如下：若某选手两局全胜，本场积2分，对手积0分；若双方一胜一负打平，本场两人各积1分；在三场全部结束后统计两班总积分；若两班总积分相等，则进行加赛：两班一单再进行一局决胜，胜者班级夺冠。已知各对位A单局胜率： 对位情况 A班对应选手单局胜率 A 一单 vs B 一单 A 二单 vs B 二单 A 三单 vs B 三单 (1) 求A班二单所在场次，A班不败的概率；(2) 求本次决赛需要进行加赛的概率； (3) 求B班最终夺冠的概率。 19.如图，在三棱锥  中，，，，点  分别是棱  上的动点（不含端点）。 (1) 若  平面 ， ① 求  的长度； ② 求直线  与平面  所成角的正弦值； (2) 若三棱锥  的内切球半径 ，求  长度的最小值。 广州市2026-2027学年高二上学期开学模拟卷 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C C A D C B D A ABC ACD AB 0.88 1.C【答案解析】共  个数据。， 是整数，所以第 30 百分位数为第  项和第  项数据的平均值，即第 3 项和第 4 项的平均值：10.5 2.C【答案解析】设 ，。因为点  为边  的中点，所以 。因为点  在边  上且为靠近点  的三等分点，所以 。因为点  在线段  上，可设 。又因为  三点共线，点  在直线  上，所以可设 。可得方程组：。将  代入第一式：，解得 。 3.A【答案解析】从  这 7 个数中随机取 2 个不同的数，总的基本事件数为： 两个数不互质（即最大公约数大于 1）的组合共有：3 的倍数组合：，共 3 种； 4 的倍数组合：，共 1 种；2 的倍数组合（剔除已计）：，共 2 种。 不互质的组合总共有  种。所以互质的组合数为种。所求概率 。 4.D 【答案解析】设圆锥的底面半径为 ，高为 。可得，，，，，将  代入上式得：，将  的最大值代入  的表达式中： 5.C【答案解析】由余弦定理得 。因为 ，所以 ，代入得：又已知 ，将两个等式联立，得上式两边同时除以 （因为 ）：令 ，则得到方程 ，即 。解得：。所以 （或）。由得 . ，得：。， ，  两式相加得： 6.B 【答案解析】由于  是单位向量，因此：....已知  与  的夹角为 ，所以：,. .解得.因为 ，所以 。,. 7.D 【答案解析】 ，解得球半径 。因为 ，所以点  在平面  上的正投影一定是  的外接圆圆心，记为 。设 设 （在直角  中，由勾股定理得：。 在直角  中， ，即 。解得，。。将  代入：。 8.A 【答案解析】设等腰三角形的腰长为 （），顶角 （）。 ， 。在  中，由余弦定理：，解得 。由三角形面积公式：将  的表达式代入上式，得面积  关于  的函数：令 （显然 ），则原式可化为： 移项整理得：由于  符合辅助角公式  的结构，则 ，其中 。即：。要使该等式关于  有解，必须满足 ，解得  的最大值为：。（当  时取到最大值，此时  存在，满足题意。）由 ，则  的最大值为：。 9.ABC 【答案解析】复数  的模长 ，辐角 。所以， 的三角形式为：， 。。A 正确。，利用复数与共轭复数的性质，可得B 正确。，因为从三角形式可知 ，所以：C 正确。D 项：若 ，则  为纯虚数  和  分别代表以  为邻边的平行四边形的两条对角线的长度。对角线相等，说明这个平行四边形是矩形。矩形的邻边互相垂直，即向量 。  的辐角是两角之和 。两角之差是 ，并不代表它们的和是 ，因此不能保证乘积是纯虚数。D 错误。 10.ACD 【答案解析】对于选项A：在正三棱台  中，上下底面都是正三角形，且对应边互相平行。因为  为  的中点，所以  是正三角形  的高线，即 。又因为 ，所以 。故 A 正确。 为  的中点，因为  在侧面  上，所以点  在平面  上。直线  经过点 ，即直线  与平面  有公共点 。若直线与平面平行，则它们不能有公共点，因此  不可能平行于平面 。故 B 错误。在正三棱台中，对应边互相平行，所以 。因为  平面 ，且  不在平面  内，根据线面平行的判定定理，可得  平面 。故 C 正确。在等腰梯形（侧面） 中， 分别为上下底边的中点，所以 。又因为  是底面正三角形  的高线，所以 。由于  与  相交于点 ，且都在平面  内，所以  平面 。又因为  平面 ，根据面面垂直的判定定理，可得平面  平面 。故 D 正确。 11.AB 【答案解析】根据余弦定理：。已知 ，代入余弦定理中，得故 A 正确。由选项A可知，。将  代入：根据基本不等式，当  时，（当且仅当  时取等号）。所以 。故  的最小值为 ，B 正确。由三角恒等式，。 我们考察题中右侧的式子：，而 。 比较可知：，即 。题中选项C多乘了一个 ，故 C 错误。 设 ，由  得 。，根据三角形三边关系  和 ，可以推导出  需要满足 。解得 。 令 ，则 ，该函数在  时单调递增。可得  的取值范围为 。故 D 错误。 12.0.88 【答案解析】密码被成功破译的对立事件是“甲和乙都没能破译密码”。甲不能破译的概率为 ；乙不能破译的概率为 。因为两人破译相互独立，所以两人都没破译成功的概率为 。因此，密码被成功破译的概率为 。 13. 【答案解析】正方体  中，  平面 ，  平面 ，所以 。又因为  是正方形，所以 ，且 、 平面 ，所以  平面 ， 平面 ，所以 。同理可得 ，且 ，， 平面 ，所以  平面 。因为 ，所以  平面 ，且  为该正方体表面上的一个动点，所以  为  的三边上的一个动点，因此动点  的轨迹长度为 ，因为  是棱长为  的正方体，所以 ，所以 。因此动点  的轨迹长度为 。 14. 【答案解析】设三角形三边分别为 ，，。由重心性质可知：，即 。已知 ，将上述向量式两边平方得：。因为数量积为0，所以有 。根据三角形重心到顶点的距离与中线的关系（重心分中线为2:1），并结合中线长公式，可得：代入中线长公式  等，整理化简得：。 由余弦定理得：将  代入上式，得：。 因为 （当且仅当  时取等号），所以：。 15.由频率分布直方图可得，，——2分 又，解得。——3分 （2）由频率分布直方图，本次综合满意度得分的众数估计为，——5分 因为前3组频率之和为0.6，第四组频率为0.3，故上四分位数在， 则上四分位数估计为：。——7分 （3）平均分为9分 平均分，故不低于平均分的频率为，11分 则打分不低于平均分的人数估计为人。——13分 16. （1）在  内任取一点 ，过点  作  于 ， 因为平面  平面 ，平面  平面 ，所以  平面 ，——2分 又  平面 ，所以 。过  作  于 ，同理可得 ，——3分 又  平面 ， 平面 ，，所以  平面 。——5分 （2）取  的中点 ，连接 。因为  是等边三角形，所以 ，且 。 又因为  平面 ，所以 。 因为 ，所以  平面 。——6分 在平面  中，过点  作  于点 ，连接 。 因为  平面 ，所以 。 又因为 ，且 ，所以  平面 ，从而 。 所以  就是二面角  的平面角。——8分 依题意，。 在 Rt 中，，所以  ——9分 又  中，，所以 ，故 ， 所以 ，又  为等边三角形，故 ， 所以三棱锥  的体积 。——11分 设点  到平面  的距离为 ，直线  与平面  所成角为 。则 。 在 Rt 中，有 。 在 Rt 中，有 。 所以，在  中，，。 取  的中点 ，连接 。由等腰三角形性质可知 ，且 。 根据勾股定理，高 。 ——12分 ——13分 ——15分 17.（1） ，则 。——1分  ，则  ——2分 ——3分   ——4分 解得 ——6分 （2）【方法一】设平面向量 ，。 在  中： 利用差角公式求 ：。 所以 。——7分 由于  在  延长线上，可得 。——8分 。 。 所以 。——10分 。——11分 。 。——12分  。——13分 ——15分 【方法2】在  中： 利用差角公式求 ：。——7分 所以  ——8分 ——9分 所以 。——11分 ——13分 ——15分 18. 设第1场（A一单）、第2场（A二单）、第3场（A三单）中，A班选手获胜的局数事件为 。 因为每场固定打两小局，若A班得2分（两局全胜），则记事件为 ；若A班得1分（一胜一负），则记事件为 ；若A班得0分（两局全负），则记事件为 。 各场次的单局胜率及对应事件的概率分别为： · 第1场（A一单）：A胜率 ，B胜率 。 ， ，  ——1分 · 第2场（A二单）：A胜率 ，B胜率 。 ， ，  ——2分 · 第3场（A三单）：A胜率 ，B胜率 。 ， ，  ——3分 (1) ——4分 （若只答第一问没有进行前面每一种情况的计算，则也是4分） (2)三场结束后进行加赛，意味着三场结束后A班与B班总积分相等，即A班三场总共恰好获得  分。设事件  为需要进行加赛。 满足总分  分的积分组合只有两种情况： 各一场和  各一场。 因为三个场次的结果互相独立，且排列不同情况互斥，所以：积分组合为 。 第1场0分，第2场1分，第3场2分： 第1场0分，第2场2分，第3场1分： 第1场1分，第2场0分，第3场2分： 第1场1分，第2场2分，第3场0分： 第1场2分，第2场0分，第3场1分： 第1场2分，第2场1分，第3场0分： 积分组合为 ：即三场各得1分： ——8分（两条1分） ——10分 (3) B班最终夺冠包含两种互斥情况：情况一（B常规赛获胜）和情况二（常规赛打平，并在加赛中获胜）。 情况一：三场结束后B班总分领先（即A班总分  分）。 · A班得0分（三场均输）： ——11分 · A班得1分（三场中恰有一场得1分，其余为0分）： ： ： ： ——12分 · A班得2分 ： ： ： ： ： ：——13分 ——14分 情况二：常规赛打平（即总积分相等），并在加赛中B获胜。 ——15分 B班最终夺冠的概率为上述两种情况的概率之和： ——17分 19.(1) ① 由  平面 ，因为  平面 ，可得 。 又因为 ，且 ，所以 。——2分 因为  平面 ，可得 。 又因为  且 ，所以 ，且 。——3分 ② 由 ① 知：，因为 ，所以  为  的中点。 所以  到平面  的距离等于点  到平面  的距离。 又由  平面 ，所以  到平面  的距离为 。——4分 在  中，由余弦定理得 ， 即 。——5分 设  与平面  所成的角为 ，则 。——6分 (2) 解：因为 ，设点  在平面  的射影为 ， 则点  在  的角平分线上，过点  作 ，垂足为 ，连接 。 因为  平面 ， 平面 ，所以 。 又因为 ，且  平面 ，所以  平面 。 因为  平面 ，所以 。——8分 在直角  中，可得 。 在直角  中，。 在直角  中，可得 ， ，则 。 所以 。——11分 设 ，可得 ，，。 在  中，由余弦定理得 。 同理可得：，。 设 ，可得 。——12分 代入整理得 。 由 。 又由 ， 所以 。 可得：。——14分 将其代入 ， 整理得 ，即 。 又由 。 因为 ，所以 ，——15分 即 。解得  或 （舍去）。 当且仅当  时，等号成立。 此时  取得最小值，可得  为等边三角形，即  的最小值 。——17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市2026-2027学年高二上学期开学模拟卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题19小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 一，单选题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.样本数据6，7，9，12，13，15，17，20，26，28的第30百分位数是（ ） A．9 B.12 C.10.5 D.9.5 2. 在  中， 为边  的中点，点  在边  上且为靠近点  的三等分点， 直线  与线段  相交于点 。若 ，则实数  A.   B.   C.   D.  3. 从3至9这7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A.   B.   C.   D.  4. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，体积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5.记  的内角  的对边分别为 ，若 ，， 则  ( ) A.  B.  C.  D.  6. 已知平面内两个单位向量  的夹角为 （）。若向量  与 向量  的夹角为 ，则  的值为（ ） A.  B.  C.  D.  7.已知球  的体积为 ， 四点均在球  的球面上， 为等边三角形， ，则  的面积为（ ） A.  B.  C.  D.  8.等腰  中，， 为  边上一点，且满足 ，， 则  面积的最大值为（ ） A. B.  C.  D.  二，多选题(本大题共3小题，每小题6分，满分18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。选项全对得6分，漏选得部分分，错选得0分。) 9.已知复数 （为虚数单位），为复数，则下列结论中正确的是（ ） A.  B.  C. 若 ，则  D. 若 ，则  为纯虚数 10. 在正三棱台中，为的中点，为 的中点。则下列结论正确的是（） A.  B.  平面 C.  平面  D. 平面  平面  11. 记  内角  的对边分别为 ，已知 ，则下列选项正确的（ ） A.  B.  的最小值为  C. D.  的取值范围是  三，填空题(本大题共3小题，每小题5分，满分15分。) 12. 甲、乙两人独立破译某新型系统密码，甲能破译该密码的概率为 ，乙能破译该密码的概率为 ，则该密码被成功破译的概率为 ______。 13. 已知正方体  的棱长为 ， 为该正方体表面上的一个动点，满足 ，则动点  的轨迹长度为_________。 14. 在  中，重心  满足 ，则  的最小值为_______。 四，解答题(本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 15.某地为提升文旅经济，在端午假期面向部分游客发起满意度调查，调查维度包括饮食、住宿、交通、服务等，满意度得分采用百分制且所有参与调查的游客打分均不低于50分，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中  (1)求的值； (2)估计此次调查中综合满意度得分的众数和上四分位数； (3)估计此次调查中综合满意度得分的平均分, 若参与本次调查的游客共有1200名，估计在参与调查的 1200名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数． 16.如图，在三棱锥  中，，平面  平面 ，平面  平面 。(1) 证明： 平面 ；(2) 若二面角  的平面角的正切值为 ， 求直线  与平面  所成角的正弦值。 17.在中，为边上一点，已知 ，，，。 (1)求线段 的长；(2)延长至，使，设为中点，连接，求的长度。 18. 某学校“乒协杯”年级决赛由A班、B班对决。两班各派出三名选手，实力从强到弱依次为一单，二单，三单。比赛规则如下：比赛依次进行三场对位：A 一单 VS B 一单、A 二单 VS B 二单、A 三单 VS B 三单；每场对位固定进行两小局，所有小局比赛结果相互独立；单场计分规则如下：若某选手两局全胜，本场积2分，对手积0分；若双方一胜一负打平，本场两人各积1分；在三场全部结束后统计两班总积分；若两班总积分相等，则进行加赛：两班一单再进行一局决胜，胜者班级夺冠。已知各对位A单局胜率： 对位情况 A班对应选手单局胜率 A 一单 vs B 一单 A 二单 vs B 二单 A 三单 vs B 三单 (1) 求A班二单所在场次，A班不败的概率；(2) 求本次决赛需要进行加赛的概率； (3) 求B班最终夺冠的概率。 19.如图，在三棱锥  中，，，，点  分别是棱  上的动点（不含端点）。 (1) 若  平面 ， ① 求  的长度； ② 求直线  与平面  所成角的正弦值； (2) 若三棱锥  的内切球半径 ，求  长度的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $