专题5：追及、相遇问题 讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦匀变速直线运动中的追及、相遇问题，系统梳理速度、位移、时间关系，以“速度相等”临界条件为核心，结合时间位移关系及匀减速物体停止判断，构建从基础公式到分析法、函数法、图像法等多方法的学习支架。 资料通过初速度大小者追及等典型问题分类，结合警车追货车、接力赛交接棒等情境题组，以图像法分析v-t图像面积与交点等科学思维方法，培养学生运动观念和科学推理能力。课中辅助分层教学，课后题组训练助力学生查漏补缺，提升实际问题解决能力。

必修一 第二章匀变速直线运动的研究 专题5：追及、相遇问题 名师点拨 素养提升 1.处理追及、相碰问题的注意事项： 我们研究物体做直线运动过程中：（1）三个物理量：速度v、位移x、时间t。（2）三个基本公式：速度公式（v-t间关系式），位移公式（x-t间关系式），导出公式（v-x间关系式），因此追及相碰问题就是研究两个物体间运动的速度、时间、位移关系，总结如下： ①抓住一个临界条件：两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判断的切入点，在题中出现“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，对应的是该问题临界状态。 ②两个关系：时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ③注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，要注意追上前该物体是否已经停止。 （3）能否追上的判断方法 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0＜xB，则此时能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则此时恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0＞xB，则此时不能追上． （4）若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动． 2.追及、相遇问题的多方法求解 (1)分析法:应用运动学公式,抓住“一个临界条件”“两个关系”,列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程,再求解。 (2)函数法:设相遇时间为t,根据条件列出方程,得到关于t的一元二次方程,再利用数学求极值的方法求解。在这里,常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。 (3)图像法:在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇,速度—时间图像抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 （4）相对运动法：以其中一个物体为参考系，确定另一个物体的相对初速度和相对加速度，就把研究两个物体的运动问题，转化为研究一个物体的运动问题。 3.几种典型的追及问题的分析 (1)初速度小者追初速度大者 追及类型 图像描述 相关结论 匀加速追匀速 设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶ ①.t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大; ②.t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x; ③ t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小 ④一定能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀加速 (2)初速度大者追初速度小者（避免碰撞类问题） 追及类型 图像描述 相关结论 匀减速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶ ①若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件; ②若△x < x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0-△x; ③若△x > x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速 4.利用图像处理追及相遇问题 1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题 (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v-t图像分析追及相遇问题:在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像,再通过图像分析计算得出结果,这样更直观、简捷。 3.转换图像分析：若为x-t图像,注意交点的意义,图像相交即代表两物体相遇;若为a-t图像,可转化为v-t图像进行分析。 巩固提高 题组训练 题组训练一：初速度小者追初速度大者 【题组训练1】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度不能超过90km/h。 （1）从警车发动开始计时，两车经过多长时间相距最远？ （2）警车在追赶货车的过程中，两车相距的最远距离是多少？ （3）警车能否在加速阶段追上货车？（请计算说明） 【题组训练2】2025年11月9日至21日，粤港澳大湾区成功举办了第十五届全运会，在男子4×100m接力决赛中湖北队以38.60秒夺冠。运动员在赛前进行了接力赛交接棒的练习。甲、乙两位运动员能达到的最大速度均为m/s。甲运动员以最大速度匀速运动至离接力区前端m处时，由于体力原因开始以做匀减速运动，进入接力区后又做匀速运动。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置甲向乙发出起跑口令的标记。在某次练习中，甲在距离接力区前端d处做了标记，当甲跑到此标记时向乙发出起跑口令。（忽略声音传播的时间及人的反应时间），接力区的长度L＝30m，乙起跑后以做匀加速运动，假设练习时两人均做直线运动，且交接棒动作不影响运动员的速度。 (1)求甲在减速阶段的运动时间（结果可用分数表示）； (2)若甲在接力区恰能在两人速度相等时追上乙并瞬间完成交接棒。求甲追上乙时，乙的速度大小： (3)在第（2）问的情境下，求标记处离接力区前端的距离d（结果可用分数表示）。 题组训练二：初速度大者追初速度小者 【题组训练3】一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为(　　) A.21.6 km/h B.18 km/h C.16 km/h D.12 km/h 【题组训练4】（多选）汽车A沿水平车道以vA=12 m/s的速度向前做匀减速直线运动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2,此时发现在相邻车道前方相距x0=7 m处有以vB=4 m/s的速度同向运动的汽车B匀速行驶,从此刻开始计时,经多长时间两车并排(即相遇)(　　) A.1 s B.6.25 s C.7 s D.7.25 s 题组训练三：不在同一直线上运动的相撞 【题组训练5】（多选）2023年4月17日，AITO问界M5华为高阶智能驾驶版首发，可以实现无人驾驶。如图所示，车道宽为2.7m，长为12m的货车以v1=10m/s的速度匀速直线行驶，距离斑马线20m时，一自行车以v3=2m/s的速度匀速直线行驶，恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰好和货车车尾齐平，轿车以v2=15m/s速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a=10m/s2。当货车在侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车。则下列判断正确的是（    ） A． 货车不减速也不会与自行车相撞 B．轿车不减速也不会与自行车相撞 C．轿车探测到自行车立即制动不会与自行车相撞 D．轿车探测到自行车立即制动会与自行车相撞 【题组训练6】（多选）如图，甲、乙两车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线向前匀速行驶，当甲、乙两车的车头到十字路口（道路中心线）的距离分别为30m、40m时，道口恰处于红、绿灯转换，甲、乙两车均未采取任何减速或制动等措施，以致两车相碰。已知两车型号相同，车的车长为4.72m，车宽为1.84m，并已知甲车的车速为40km/h，设两车相碰前均匀速行驶，则在穿过路口过程中，乙车车速的可能为（    ）    A．35km/h B．40km/h C．55km/h D．60km/h 题组训练四：多次相遇 【题组训练7】相距为s0的甲、乙两辆汽车同向行驶在一条平直公路上,其v-t图像如图所示,图中△MNP的面积为s,初始时甲车在前,乙车在后,下列说法正确的是(　　) A.若s=s0,则t0时刻后乙车追上甲车 B.若s>s0,则t0时刻前乙车追上甲车 C.若s<s0,则甲、乙两车可能相遇2次 D.若s>s0,则甲、乙两车一定只能相遇1次 【题组训练8】（多选）在 18 届青少年机器人大赛中，某小队以线上一点为原点，沿赛道向前建立 x 轴，他们为机器人甲乙编写的程序是，让他们的位移 x（ m）随时间 t（ s）变化规律分别为：，则（   ） A．从原点出发后的较短时间内，乙在前，甲在后 B．甲乙再次相遇前，最大距离 9m C．两机器人在 x=54m 处再次相遇 D．8s 时，两机器人相遇 题组训练五：利用图像处理追及、相遇问题 【题组训练9】（多选）都江堰既是中国古代水利工程技术的伟大奇迹，也是世界水利工程的璀璨明珠。在都江堰研学时，甲、乙两同学在某段直道上运动的v-t图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．在0~t1内，甲的平均速度大于 B．在0~t2内，甲的加速度始终不为零 C．甲、乙不可能在t2时刻相遇 D．在0~t1内的某个时刻，甲、乙的加速度相同 【题组训练10】（多选）甲、乙两车由同一位置出发，沿同一方向在一平直道路上行驶，它们运动的图像如图所示，其中甲车做匀变速直线运动，它的图像为抛物线的一部分，时对应图像的最高点（该点的切线与轴平行）；乙车的图像为直线.则在过程中，下列说法正确的是（    ） A．车的初速度为 B．甲车的初速度为 C．甲车的加速度大小为 D．甲、乙两车在处相遇 【题组训练11】某一长直的赛道上,一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进,这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求: (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小; (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小; (3)追上之前两车的最大距离。 精选精练 自我检测 一、单选题 1．一辆摩托车行驶时能达到的最大速度是32m/s，现从静止出发，以的加速度做匀加速直线运动，去追赶前面75m处以10m/s的速度行驶的汽车，则摩托车追上汽车所用的时间为（     ） A．5s B．15s C．16s D．25s 2．甲、乙两物体从同一地点沿同一直线同向并排运动，两物体运动的图像如图所示，关于它们在内的运动过程中判断正确的是（　　） A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动 B．2s末两物体相距最远 C．6s末，甲、乙两物体再次相遇 D．2s后，甲、乙两物体的速度方向相反 3．如图甲所示，在2025年9月3日的阅兵仪式上，具备高运动性能的机器狼正式亮相。为进一步检测其运动性能，科研人员在平直路面上对甲、乙两只机器狼开展了运动专项测试，并绘制出其运动的位移一时间（x-t）图像，甲图线为过坐标原点的倾斜直线，乙图线为的抛物线，则在前5s 内（　　） A．甲、乙之间的距离先减小后增大 B．乙运动的加速度大小为1.2m/s2 C．甲、乙相距的最大距离为2m D．t=2.5s 时，甲、乙相距最远 4．在研发无人驾驶汽车的过程中，对比甲、乙两辆车的运动，两车在计时起点时刚好经过同一位置沿同一方向做直线运动，它们的速度随时间变化的关系如图所示，由图可知（　　） A．甲车任何时刻加速度大小都不为零 B．在0~3s内，t=3s时两车相距最远 C．在t=9s时，两车又一次经过同一位置 D．甲车在t=6s时的加速度与t=9s时的加速度相同 5．甲乙两车行驶在某一长直公路的相邻两车道上，沿同一方向做直线运动。在时甲车在乙车前方9m处，两车运动的图像如图所示，由图像可得（　　） A．时两车相遇 B．时两车相遇 C．相遇前两车之间的最大距离为12m D．相遇前两车之间的最大距离为9m 6．两辆汽车A、B从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方（v2）随位置（x）的变化图像如图所示，下列判断正确的是（　　） A．汽车A的加速度大小为4m/s2 B．停止前，汽车A速度大小为2m/s时两车间的距离最大 C．汽车A、B在x＝9m处相遇 D．汽车A、B在x＝8m处相遇 7．动物横穿公路是交通管理中的一个难题。无人驾驶汽车以20m/s的速度匀速行驶。它车头装有一个激光雷达，就像车辆的“眼睛”，“看”到前方30m处有动物横穿公路，启动自主制动系统，制动系统反应时间为0.1s，反应后系统自动刹车，汽车做匀减速直线运动。若汽车未撞上动物停下，则汽车的最小加速度大小约为（　　） A． B． C． D． 8．甲、乙两玩具赛车并排停在平直轨道上，某时刻，甲车以大小为10m/s的速度开始运动，乙车立即启动追赶甲车。若甲车做加速度大小为的匀减速直线运动，乙车先由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，速度增大到后做匀速直线运动。乙车从启动到追上甲车所用的时间为（　　） A． B． C． D． 9．某自动驾驶电动汽车B在市区平直道路上开启跟车模式，其安全跟车距离x与跟车速度v关系：x=1.5v（x、v均采用国际制单位）。当实际车距小于该设定值时，汽车会启动减速，其中仅电机动能回收减速时的加速度大小为2.0m/s2。某次行驶中，该电动汽车B与前车A速度相同，均以v=16m/s的速度匀速行驶，且保持着设定的安全跟车距离。若前车A突然以恒定加速度刹车，电动汽车B为保证自身仅通过动能回收减速就能避免追尾，则前车A刹车的最大加速度大小为（忽略自动驾驶系统的反应时间，两车均做匀减速直线运动，最终均会静止）（　　） A．3.2m/s2 B．4.0m/s2 C．4.8m/s2 D．5.0m/s2 10．A火车以速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足（　　） A． B． C． D． 11．如图是某时刻甲、乙两物体从同一位置出发的运动图像，则下列说法正确的是（　　） A．乙做匀速直线运动 B．前20s内，乙物体的位移大小为 C．甲、乙在40s末相遇 D．若出发前甲在乙前方处，则甲、乙在末相遇 12．如图所示，一全长为4m的小轿车和一全长为12m的大货车在一平直双车道公路（不计车道的宽度）上分别以大小为、的加速度相向做匀加速直线运动．若当两车头的距离为20m时，轿车和货车的速度大小分别为、，则两车从开始相遇到开始分离的时间为（    ） A．1s B．2s C．3s D．5s 13．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，它们的v−t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则（　　） A．在t=1s时，甲车在乙车后 B．在t=0时，甲车在乙车前7.5m C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为30m 14．根据我国道路交通管理的相关规定，同一车道行驶的机动车，后车必须根据行驶速度、天气和路面情况，与前车保持必要的安全距离。如图所示安全距离示意图，标出了一般情况下汽车在不同行驶速度下所对应的大致安全的刹车距离。在通常情况下，驾驶者的反应时间平均为0.4s~1.5s，下列说法正确的是（　　） A．反应时间是指刹车后的0.4s~1.5s一段时间 B．由图可知，只要前车与后车间距大于刹车距离，即可避免追尾事故发生 C．由图可知，当行驶速度增加时，汽车加速度在逐渐减小 D．由图可知，随着行驶速度的增大，反应距离与刹车距离的比值逐渐减小 二、多选题 15．在一次某品牌新能源汽车的性能测试中，在同一平直轨道上视为质点的甲、乙两辆车从同一地点开始运动，其速度大小v随时间t的变化关系如图所示，关于两车的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．15s时，乙车追上甲车 B．加速过程中乙车的加速度大于甲车 C．乙车开始运动时，甲车前进了100m D．乙车追上甲车前，甲、乙两车间的最大距离为100m 16．两辆汽车A、B在同一直线上同向行驶，A的速度为v1，B的速度为v2（v2>v1），当B在A后方s0处时，B开始刹车，加速度大小为a，下列说法正确的是（　　） A．若，则两车不会相撞 B．若，则两车刚好相撞 C．若，则两车会相撞 D．两车速度相等时，距离最小 17．甲、乙两物体沿同一直线运动，甲的图像、乙的图像分别如图1、2所示，甲从坐标原点出发。下列说法正确的是（　　） A．内甲、乙均做沿轴正方向的匀加速直线运动 B．前内，甲、乙间的最大距离为 C．时甲、乙的位置坐标均为 D．时甲、乙间的距离为20m 18．小明和小华沿同一直线跑道同向运动，0时刻开始计时，小明和小华的图像如右图所示，已知在 t=9s 时小明和小华在同一位置，根据图中所给信息，下列说法正确的是（　　） A． 小明和小华在0时刻相距40m B．t=5s 时，小华正在追赶小明 C．0~9s内，小明和小华间的最大距离为42.25m D．小华在做匀加速直线运动且加速度大小为 19．如图所示，折线表示乙物体从A地向B地运动的图像，直线表示同时开始运动的甲物体由静止从A地向B地运动的图像。则在的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．在0~1s内，甲、乙两物体的速度方向相反 B．在4s~5s内，甲物体加速度比乙物体大 C．在时，甲、乙两物体相距最远 D．在0~5s内，甲、乙两物体位移相同 20．如图甲，“和谐号”和“复兴号”两动车在平行轨道做直线运动，其图像如图乙所示。时两车头刚好并齐，此后“和谐号”立刻加速，则在0~32s内，以下说法正确的是（　　） A．“复兴号”的最大速度为 B．末两车头再次并齐 C．末两车头相距最远 D．“和谐号”的位移比“复兴号”的小 21．如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0~5s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是（　　） A．A车运动的加速度大小为1m/s2 B．t＝3.5s时，两车的速度相同 C．A车追上B车的最短时间为7.2s D．两车相遇两次 22．甲、乙两辆汽车沿同一条平直的公路行驶，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标，它们的v−t图像如图所示，关于两车的运动，下列说法正确的是（　　） A．甲乙两车运动的方向相同 B．在0~10s内两车逐渐靠近 C．在5~15s内两车的位移相等 D．在t=10s时两车在公路上相遇 23．龟兔赛跑的故事家喻户晓，比赛中乌龟和兔子沿长为x的直线赛道运动的x-t图像如图所示，则（     ） A．兔子比乌龟出发的时间晚 B．兔子在时间内做匀速直线运动 C．兔子先通过预定位移到达终点 D．乌龟和兔子在比赛过程中相遇2次 三、解答题 24．汕北大道是贯穿广东省汕头市南北的交通大动脉。2024年国庆期间，一辆载玩具的货车因故障停在汕北大道某车道上，由于司机的疏忽，未在后方放置安全三角警示牌，一辆汽车以72km/h的速度在该车道上匀速直线行驶，在距离货车尾部60m处汽车驾驶员才发现情况并作出反应，以大小为的加速度刹车制动。通常认为，在人的反应时间内，汽车仍保持原速行驶。求： (1)汽车从刹车到停止所用的时间； (2)为使汽车不撞到货车，汽车驾驶员的反应时间的最大值。 25．某大雾天气，能见度只有40m，一客车出现故障，停在高速路上，司机按交通法规定在车后150m处放置了警示牌，若某小车以108km/h的速度行驶，司机看见警示牌后的反应时间为1s，小车刹车后可视为匀减速直线运动，其加速度大小为2.5m/s2，试分析小车是否会撞上客车？ 26．一辆汽车正以的速度行驶，发现前方处发生交通事故便立即紧急刹车开始做匀减速直线运动，经过后速度大小变为。求： (1)汽车做匀减速直线运动的加速度大小； (2)汽车能否避免碰撞事故车辆； (3)汽车刹车后的速度大小及刹车后内的平均速度大小。 27．如图所示，一汽车停在距离小山坡底部右侧处，因气象灾害产生的泥石流从小山坡上的点由静止开始以的加速度沿着小山坡向下加速下滑，泥石流通过坡底连接处的速率不变，然后在水平地面上做匀减速直线运动，加速度大小点到坡底的距离，泥石流、汽车均可视为质点。 (1)求泥石流到达坡底的速度大小； (2)若泥石流到达坡底瞬间，司机发现险情并立即启动车辆以的加速度匀加速向右运动，已知司机驾车逃生成功，求泥石流与汽车间的最小距离； (3)若汽车加速度的最大值，求在恰好逃生成功的情况下，司机发现险情时泥石流已在水平地面上运动的时间。 28．电动伸缩门由于方便美观广泛用于学校和小区等场所。一辆宽L＝2m的汽车以4m/s速度匀速直线行驶到A位置时，电动门开始以0.5m/s速度从门柱C匀速向左打开，汽车运动到AB之间的D位置（图中未画出）时开始以a=4m/s匀减速刹车，在B处恰好停下，汽车左前端恰好没碰到电动门，汽车右端距离门柱C水平距离d＝0.5m，求： (1)汽车匀减速刹车的距离； (2)AB间的距离。 29．随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而，开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图所示，一辆出租车在平直公路上以的速度匀速行驶，此时车的正前方处有一辆电动车，正以的速度匀速行驶，出租车司机此时开始低头看手机后才发现危险，立即采取紧急制动措施，已知出租车刹车制动的加速度大小为。通过计算判断电动车是否被撞？若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞？ 30．公路上有甲、乙两辆汽车在同一直线上沿相同方向运动，甲车在前。t=0时刻，两车相距15m。此后，两车速率平方与位移的关系如图，求： (1)甲车的加速度大小； (2)两车都停止以后，它们之间的距离； (3)两车之间的最小距离。 31．在一条平直的公路上，一人骑自行车以v1=10m/s的恒定速度追赶前面以v2=20m/s速度匀速行驶的汽车，当两者相距d=30m时，汽车驾驶员发现骑自行车的人正在追赶自己，他立即刹车做匀减速运动，加速度大小为a=5m/s2，求： (1)经过多长时间，自行车速度与汽车速度相等； (2)刹车后自行车与汽车的最大距离； (3)刹车后经过多长时间，自行车追上汽车。 32．如图所示，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道宽的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v甲=10m/s，v乙=20m/s。两车车长均为L=4.0m，车宽均忽略不计。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别为s甲=26m，s乙=24m时，乙车意识到有撞车的危险立即刹车做匀减速直线运动，但甲车却仍保持原有运动状态向前行驶。求： (1)甲车自图中位置至通过中心线的时间 (2)为了避免两车相撞且让甲车先通过中心点O，则乙车的加速度应该满足什么条件？ 33．A、B两辆自动驾驶的测试车，在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为，B车的速度大小为，如图所示。当A、B两车相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为，从此时开始计时，求： (1)B车从刹车到停下所用的时间； (2)A车追上B车之前，两者相距的最大距离。 34．为了交通安全，公路上行驶的车辆之间要保持安全的距离。汽车在公路上出现故障时，应在汽车后放置三角警示牌（如图所示），以提醒后面的车辆。在某一最高限速为的路段，一汽车因故障停下来检修，由于当时天气原因导致视线不好，驾驶员只能看清前方处的物体，若后方来车司机的反应时间为。紧急刹车后，汽车减速的加速度为，重力加速度取，求：若汽车司机把警示牌放在距离车辆处，通过计算判断后方来车是否会与故障汽车发生碰撞？ 35．甲、乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以的速度做匀速直线运动，乙车以的初速度，的加速度做匀加速直线运动，求： (1)经多长时间两车相遇； (2)经过多长时间两车速度相等； (3)已知相遇前速度相等时两车距离最远，最远距离是多少。 36.如图所示，在平直公路上有甲、乙两辆小汽车从相距m的A、B两地同向同时出发。已知甲车在前，乙车在后，甲车初速度大小为，加速度大小为，乙车的初速度大小为，加速度大小为，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动，两车均可视为质点。 (1)通过计算说明两车是否能相遇，若不能相遇，求两车间相距的最小距离； (2)若甲车加速度大小未知，其他条件均不变，要使甲、乙两车能相遇两次，则甲车的加速度大小应满足什么条件？（结果可以保留分数） 37.一辆公交车在路口等候绿灯，当绿灯亮时，公交车以的加速度由静止开始做匀加速直线运动，此时恰有一名送餐员骑一辆电动车以的速度匀速从旁边超过公交车前端，已知公交车在加速至后做匀速直线运动。（两车都可视为质点） (1)求公交车追上电动车之前两者间的最大距离； (2)判断公交车加速至时是否追上电动车；并求追上电动车所需的总时间t。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修一 第二章匀变速直线运动的研究 专题5：追及、相遇问题 名师点拨 素养提升 1.处理追及、相碰问题的注意事项： 我们研究物体做直线运动过程中：（1）三个物理量：速度v、位移x、时间t。（2）三个基本公式：速度公式（v-t间关系式），位移公式（x-t间关系式），导出公式（v-x间关系式），因此追及、相碰问题就是研究两个物体间运动的速度、时间、位移关系，总结如下： ①抓住一个临界条件：两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判断的切入点，在题中出现“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，对应的是该问题临界状态。 ②两个关系：时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ③注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，要注意追上前该物体是否已经停止。 （3）能否追上的判断方法 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0＜xB，则此时能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则此时恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0＞xB，则此时不能追上． （4）若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动． 2.追及、相遇问题的多方法求解 (1)分析法:应用运动学公式,抓住“一个临界条件”“两个关系”,列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程,再求解。 (2)函数法:设相遇时间为t,根据条件列出方程,得到关于t的一元二次方程,再利用数学求极值的方法求解。在这里,常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。 (3)图像法:在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇,速度—时间图像抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。 （4）相对运动法：以其中一个物体为参考系，确定另一个物体的相对初速度和相对加速度，就把研究两个物体的运动问题，转化为研究一个物体的运动问题。 3.几种典型的追及问题的分析 (1)初速度小者追初速度大者 追及类型 图像描述 相关结论 匀加速追匀速 设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶ ①.t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大; ②.t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x; ③ t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小 ④一定能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀加速 (2)初速度大者追初速度小者（避免碰撞类问题） 追及类型 图像描述 相关结论 匀减速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶ ①若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件; ②若△x < x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0-△x; ③若△x > x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速 4.利用图像处理追及相遇问题 1.x-t图像、v-t图像中的追及相遇问题 (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2.利用v-t图像分析追及相遇问题:在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v-t图像,再通过图像分析计算得出结果,这样更直观、简捷。 3.转换图像分析：若为x-t图像,注意交点的意义,图像相交即代表两物体相遇;若为a-t图像,可转化为v-t图像进行分析。 巩固提高 题组训练 题组训练一：初速度小者追初速度大者 【题组训练1】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度不能超过90km/h。 （1）从警车发动开始计时，两车经过多长时间相距最远？ （2）警车在追赶货车的过程中，两车相距的最远距离是多少？ （3）警车能否在加速阶段追上货车？（请计算说明） 【答案】（1）4s；（2）75 m；（3）见解析 【解析】(1)当两车速度相等时，它们的距离最远，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等，则 (2) 4s内两车的位移分别为：x货=(t0+t1)×v货=(5. 5+4)×10 m=95 m， 所以两车间的最远距离：Δx=x货-x警=75 m （3）vm=90 km/h=25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间： x货1=(t0+t2)×v货=(5. 5+10)×10 m=155 m 因为x货1>x警1，故此时警车尚未追上货车 【题组训练2】2025年11月9日至21日，粤港澳大湾区成功举办了第十五届全运会，在男子4×100m接力决赛中湖北队以38.60秒夺冠。运动员在赛前进行了接力赛交接棒的练习。甲、乙两位运动员能达到的最大速度均为m/s。甲运动员以最大速度匀速运动至离接力区前端m处时，由于体力原因开始以做匀减速运动，进入接力区后又做匀速运动。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置甲向乙发出起跑口令的标记。在某次练习中，甲在距离接力区前端d处做了标记，当甲跑到此标记时向乙发出起跑口令。（忽略声音传播的时间及人的反应时间），接力区的长度L＝30m，乙起跑后以做匀加速运动，假设练习时两人均做直线运动，且交接棒动作不影响运动员的速度。 (1)求甲在减速阶段的运动时间（结果可用分数表示）； (2)若甲在接力区恰能在两人速度相等时追上乙并瞬间完成交接棒。求甲追上乙时，乙的速度大小： (3)在第（2）问的情境下，求标记处离接力区前端的距离d（结果可用分数表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）甲减速阶段初速度为，位移，加速度，由匀变速直线运动位移公式 ， 代入数据整理得 解得（，甲减速到0仅需，舍去） （2）甲减速结束进入接力区时的速度 ，可得 甲进入接力区后做匀速运动，速度相等时完成交接，因此乙的速度等于甲此时的速度，即 （3）设从甲发口令到交接棒总时间为，乙做匀加速运动 可得。 乙的位移 交接棒时甲进入接力区后匀速跑了，运动时间 甲从标记跑到减速起点（离接力区前端处）的时间 这段位移为 联立可得 题组训练二：初速度大者追初速度小者 【题组训练3】一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为(　　) A.21.6 km/h B.18 km/h C.16 km/h D.12 km/h 【答案】A 【解析】轿车速度为v轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v货，当二者速度相等时，距离最近， 有t＝，t＋22 m＝v货t＋120 m， 解得v货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A正确，B、C、D错误。 【题组训练4】（多选）汽车A沿水平车道以vA=12 m/s的速度向前做匀减速直线运动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2,此时发现在相邻车道前方相距x0=7 m处有以vB=4 m/s的速度同向运动的汽车B匀速行驶,从此刻开始计时,经多长时间两车并排(即相遇)(　　) A.1 s B.6.25 s C.7 s D.7.25 s 【答案】AD 【解析】两车相遇时满足vAt-at2=vBt+x0,解得t=1 s或者t=7 s(舍去）, 6 s时A车停止运动), t=1 s时A车、B车第一次相遇,此时A车速度为v=vA-at=10 m/s, A车刹车时间为tA==6 s,故A车停时B车还未追上。 第一次相遇后A车运动位移为xA==25 m, 则B车经tB= s追上A车,故下个相遇时刻是t2=1 s+ s=7.25 s, 故选A、D。 题组训练三：不在同一直线上运动的相撞 【题组训练5】（多选）2023年4月17日，AITO问界M5华为高阶智能驾驶版首发，可以实现无人驾驶。如图所示，车道宽为2.7m，长为12m的货车以v1=10m/s的速度匀速直线行驶，距离斑马线20m时，一自行车以v3=2m/s的速度匀速直线行驶，恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰好和货车车尾齐平，轿车以v2=15m/s速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a=10m/s2。当货车在侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车。则下列判断正确的是（    ） A． 货车不减速也不会与自行车相撞 B．轿车不减速也不会与自行车相撞 C．轿车探测到自行车立即制动不会与自行车相撞 D．轿车探测到自行车立即制动会与自行车相撞 【答案】AC 【解析】AB．人过路口的时间 在这段时间内，货车的位移 轿车的位移，A正确，B错误； CD．自行车过路口时，轿车雷达可探测到障碍物的时间 此时轿车距路口的距离 轿车开始制动到停下来的时间 所需要的制动距离 二者不会相撞，C正确，D错误。 故选AC。 【题组训练6】（多选）如图，甲、乙两车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线向前匀速行驶，当甲、乙两车的车头到十字路口（道路中心线）的距离分别为30m、40m时，道口恰处于红、绿灯转换，甲、乙两车均未采取任何减速或制动等措施，以致两车相碰。已知两车型号相同，车的车长为4.72m，车宽为1.84m，并已知甲车的车速为40km/h，设两车相碰前均匀速行驶，则在穿过路口过程中，乙车车速的可能为（    ）    A．35km/h B．40km/h C．55km/h D．60km/h 【答案】CD 【解析】设为车长为L，车宽为d；乙车速度最大时，乙车与甲车的车头相碰，如图1    则有 ，解得 当乙车速度最小时，乙车与甲车的车尾相碰，如图2    则有，解得 即乙的速度范围为 故选CD。 题组训练四：多次相遇 【题组训练7】相距为s0的甲、乙两辆汽车同向行驶在一条平直公路上,其v-t图像如图所示,图中△MNP的面积为s,初始时甲车在前,乙车在后,下列说法正确的是(　　) A.若s=s0,则t0时刻后乙车追上甲车 B.若s>s0,则t0时刻前乙车追上甲车 C.若s<s0,则甲、乙两车可能相遇2次 D.若s>s0,则甲、乙两车一定只能相遇1次 【答案】B 【解析】由图像可知,甲、乙两车做匀减速运动,若s=s0,可知t0时刻两车速度相等时两车恰好相遇,故A错误; 若s>s0,两车应在t0时刻前相遇,设两车在t1时刻相遇,如图所示,此时刻乙车追上甲车,乙车的速于度大甲车速度,之后在t2时刻甲车追上乙车,两车可再次相遇,故B正确,D错误; 若s<s0,在速度相等时乙车没有追上甲车,以后甲车速度大于乙车速度, 因此以后也不可能追上,故C错误。 【题组训练8】（多选）在 18 届青少年机器人大赛中，某小队以线上一点为原点，沿赛道向前建立 x 轴，他们为机器人甲乙编写的程序是，让他们的位移 x（ m）随时间 t（ s）变化规律分别为：，则（   ） A．从原点出发后的较短时间内，乙在前，甲在后 B．甲乙再次相遇前，最大距离 9m C．两机器人在 x=54m 处再次相遇 D．8s 时，两机器人相遇 【答案】ABC 【解析】根据位移时间公式与比较系数可得甲的初速度为，，乙做速度为的匀速直线运动，根据位移关系式可知从原点出发后的较短时间内，乙在前，甲在后，故A正确； 当速度相等时相距最远，则有：，代入数据可得：，则甲运动的位移为：，乙的位移为：，距离为：，故B正确； 再次相遇时位移相等：，解得：，则乙运动的位移为：，故C正确， D错误．所以ABC正确，D错误． 题组训练五：利用图像处理追及、相遇问题 【题组训练9】（多选）都江堰既是中国古代水利工程技术的伟大奇迹，也是世界水利工程的璀璨明珠。在都江堰研学时，甲、乙两同学在某段直道上运动的v-t图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．在0~t1内，甲的平均速度大于 B．在0~t2内，甲的加速度始终不为零 C．甲、乙不可能在t2时刻相遇 D．在0~t1内的某个时刻，甲、乙的加速度相同 【答案】AD 【解析】A．如图所示 作出线段OP，OP对应的平均速度大小为，在0~t1内，甲的v-t图像与t轴所围区域的面积大于OP与t轴所围区域的面积，因此在0~t1内，甲的平均速度大于，故A正确； B．甲的v-t图像在t1时刻的斜率为0（顶点处切线水平），即此时甲的加速度为0，故B错误； C．甲在0~t2内的位移大于乙在0~t2内的位移，若在t=0时刻乙位于甲的前方，则甲、乙可能在t2时刻相遇，故C错误； D．乙的v-t图像的斜率不变，加速度恒定且为正，甲的v-t图像在0~t1内的斜率为正，在t=0时刻，甲的v-t图像的斜率大于乙的v-t图像的斜率，且甲的v-t图像在t1时刻的斜率为0，因此在0~t1内的某个时刻，甲、乙的v-t图像的斜率相同，在该时刻，甲、乙的加速度相同，故D正确。 故选AD 【题组训练10】（多选）甲、乙两车由同一位置出发，沿同一方向在一平直道路上行驶，它们运动的图像如图所示，其中甲车做匀变速直线运动，它的图像为抛物线的一部分，时对应图像的最高点（该点的切线与轴平行）；乙车的图像为直线.则在过程中，下列说法正确的是（    ） A．车的初速度为 B．甲车的初速度为 C．甲车的加速度大小为 D．甲、乙两车在处相遇 【答案】AD 【解析】C．根据甲的运动图像可知，在10s末甲的速度减为0，反向思考甲从静止开始做匀加速运动，根据运动学公式，有可求出甲运动的加速度大小为，故C错误； B．设甲的初速度为，则，故B错误； AD．根据图像可知甲乙在8s末相遇，甲在前8s内运动的位移为 此时乙的运动速度为，故AD正确。 故选AD。 【题组训练11】某一长直的赛道上,一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进,这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求: (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小; (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小; (3)追上之前两车的最大距离。 【答案】　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m 【解析】　(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为v1=a1t1=2×3 m/s=6 m/s。 （2）设经t2时间追上安全车,由位移关系得v0t2+200 m=1, 解得t2=20 s,此时赛车的速度v=a1t2=2×20 m/s=40 m/s。 (3)方法一:分析法： 当两车速度相等时,两车相距最远,由v0=a1t3得两车速度相等时,经过的时间t3= s=5 s,追上之前两车最远相距Δs=v0t3+200 m-1 m=225 m。 方法二:极值法 Δs=v0t+200 m-a1t2=10t+200 m-t2, 当t= s=5 s时,Δs有极值,相距最远,将t=5 s代入解得Δsmax=225 m。 方法三:图像法 如图所示,当赛车速度等于安全车速度时,即v0=a1t0=10 m/s,得t0=5 s时相距最远,Δsmax=v0t0-t0+200 m=225 m。 精选精练 自我检测 一、单选题 1．一辆摩托车行驶时能达到的最大速度是32m/s，现从静止出发，以的加速度做匀加速直线运动，去追赶前面75m处以10m/s的速度行驶的汽车，则摩托车追上汽车所用的时间为（     ） A．5s B．15s C．16s D．25s 【答案】B 【解析】设摩托车追上汽车所用时间为，汽车初始领先距离为、速度为，由位移关系得代入，，，解得或，负值不合题意，取，追上时摩托车的速度为 该速度小于最大速度，说明摩托车在达到最大速度前已追上汽车。 故选B。 2．甲、乙两物体从同一地点沿同一直线同向并排运动，两物体运动的图像如图所示，关于它们在内的运动过程中判断正确的是（　　） A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动 B．2s末两物体相距最远 C．6s末，甲、乙两物体再次相遇 D．2s后，甲、乙两物体的速度方向相反 【答案】C 【解析】A．甲图线与时间轴平行，其速度不变，做匀速直线运动，乙先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，故A错误； B．甲、乙两物体从同一地点沿同一直线同向并排运动，根据图线与时间轴围成的面积表示位移，可知2s末两个物体的位移相同，即此时并排运动，t=4s末两个物体的速度相同，位移之差达到最大，则两物体相距最远，故B错误； D．2s后，甲乙的速度都为正值，速度方向相同，故D错误； C．根据图线与时间轴围成的面积表示位移可知，甲在6s内运动的位移为 乙在6s内运动位移,所以6s末，甲、乙两物体再次相遇，故C正确。 故选C。 3．如图甲所示，在2025年9月3日的阅兵仪式上，具备高运动性能的机器狼正式亮相。为进一步检测其运动性能，科研人员在平直路面上对甲、乙两只机器狼开展了运动专项测试，并绘制出其运动的位移一时间（x-t）图像，甲图线为过坐标原点的倾斜直线，乙图线为的抛物线，则在前5s 内（　　） A．甲、乙之间的距离先减小后增大 B．乙运动的加速度大小为1.2m/s2 C．甲、乙相距的最大距离为2m D．t=2.5s 时，甲、乙相距最远 【答案】D 【解析】A．由图可知，甲、乙之间的距离先增大后减小，在相遇，故A错误； B．乙图线为的抛物线，对比初速度为零的匀加速直线运动位移时间公式 可得，故B错误； CD．根据图线的斜率表示速度，可知甲线的斜率一直不变，故甲一直做匀速直线运动，速度为，而乙做初速度为零的匀加速直线运动，则有 当甲、乙的速度相等时，两者相距的距离最大，则有，解得 故甲的位移为，乙的位移为 则最大距离为，故C错误，D正确。 故选D。 4．在研发无人驾驶汽车的过程中，对比甲、乙两辆车的运动，两车在计时起点时刚好经过同一位置沿同一方向做直线运动，它们的速度随时间变化的关系如图所示，由图可知（　　） A．甲车任何时刻加速度大小都不为零 B．在0~3s内，t=3s时两车相距最远 C．在t=9s时，两车又一次经过同一位置 D．甲车在t=6s时的加速度与t=9s时的加速度相同 【答案】B 【解析】A．根据v-t图像的斜率等于加速度可知，甲车的加速度在某些时刻为零，故A错误； B．在前3s内，甲车的速度比乙车的大，两者出发点相同，则甲车在乙车的前方，两者间距逐渐增大，所以在t=3s时，两车相距最远，故B正确； C．根据“面积”表示位移，可知t=9s时，两车不在同一位置，故C错误； D．根据斜率表示加速度，斜率的正负表示加速度的方向，则知甲车在t=6s时的加速度与t=9s时的加速度方向不同，故D错误。 故选B。 5．甲乙两车行驶在某一长直公路的相邻两车道上，沿同一方向做直线运动。在时甲车在乙车前方9m处，两车运动的图像如图所示，由图像可得（　　） A．时两车相遇 B．时两车相遇 C．相遇前两车之间的最大距离为12m D．相遇前两车之间的最大距离为9m 【答案】C 【解析】AB．由图可知甲以做匀速直线运动，乙的加速度为 设两车经历时间t相遇，则有即，联立解得  （舍），故AB错误； CD．设两车经历t2相距最远，则有，解得 甲车运动的位移为，乙车运动的位移为 相遇前两车之间的最大距离为，故C正确，D错误。 故选C。 6．两辆汽车A、B从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方（v2）随位置（x）的变化图像如图所示，下列判断正确的是（　　） A．汽车A的加速度大小为4m/s2 B．停止前，汽车A速度大小为2m/s时两车间的距离最大 C．汽车A、B在x＝9m处相遇 D．汽车A、B在x＝8m处相遇 【答案】C 【解析】A．根据匀变速直线运动的规律可知，，整理可得 v2﹣x图像的斜率表示2a，由图像可得汽车A的加速度大小为 汽车B的加速度大小为，故A错误； B．由选项A分析，有v02=36m2/s2，可得汽车A的初速度为v0=6m/s 汽车A、B速度相同时，相距最远，即vA＝v0﹣aAt＝aBt，解得vA＝2m/s，故B错误； CD．由图可知，汽车B做初速度为零的匀加速直线运动，汽车A做初速度为6m/s的匀减速直线运动，设汽车A经过t0时间速度减为零，由运动学公式可得v0=aAt0，代入数据可得t0＝3s 该段时间内汽车B的位移为 由图像可得该段时间内汽车A的位移为x＝9m，故汽车A、B在x＝9m处相遇，故C正确，D错误。 故选C。 7．动物横穿公路是交通管理中的一个难题。无人驾驶汽车以20m/s的速度匀速行驶。它车头装有一个激光雷达，就像车辆的“眼睛”，“看”到前方30m处有动物横穿公路，启动自主制动系统，制动系统反应时间为0.1s，反应后系统自动刹车，汽车做匀减速直线运动。若汽车未撞上动物停下，则汽车的最小加速度大小约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】汽车未撞上动物，则最多运动30m就应停下来，在反应时间内做匀速直线运动，发生的位移 做匀减速直线运动的位移 由匀变速直线运动的规律，有 解得，故选D。 8．甲、乙两玩具赛车并排停在平直轨道上，某时刻，甲车以大小为10m/s的速度开始运动，乙车立即启动追赶甲车。若甲车做加速度大小为的匀减速直线运动，乙车先由静止开始做加速度大小为的匀加速直线运动，速度增大到后做匀速直线运动。乙车从启动到追上甲车所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设乙车、甲车的加速度大小分别为、，乙车从追上甲车所用的时间为t，乙车的加速时间为t1，则有 追上时，代入数据 解得（负值舍去） 因为甲车减速到零的时间为，所以4s符合实际。 故选B。 9．某自动驾驶电动汽车B在市区平直道路上开启跟车模式，其安全跟车距离x与跟车速度v关系：x=1.5v（x、v均采用国际制单位）。当实际车距小于该设定值时，汽车会启动减速，其中仅电机动能回收减速时的加速度大小为2.0m/s2。某次行驶中，该电动汽车B与前车A速度相同，均以v=16m/s的速度匀速行驶，且保持着设定的安全跟车距离。若前车A突然以恒定加速度刹车，电动汽车B为保证自身仅通过动能回收减速就能避免追尾，则前车A刹车的最大加速度大小为（忽略自动驾驶系统的反应时间，两车均做匀减速直线运动，最终均会静止）（　　） A．3.2m/s2 B．4.0m/s2 C．4.8m/s2 D．5.0m/s2 【答案】A 【解析】两车均做匀减速直线运动直到静止，位移满足关系 解得 故选A。 10．A火车以速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、B速度关系 由A、B位移关系，解得 所以要使两车不相撞， 故选A。 11．如图是某时刻甲、乙两物体从同一位置出发的运动图像，则下列说法正确的是（　　） A．乙做匀速直线运动 B．前20s内，乙物体的位移大小为 C．甲、乙在40s末相遇 D．若出发前甲在乙前方处，则甲、乙在末相遇 【答案】C 【解析】A．由题图可知，乙做匀加速直线运动，故A错误； B．根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知前20s内，乙物体的位移大小为，故B错误； C．根据图像与横轴围成的面积表示位移，可知前40s内，甲、乙两物体的位移相等，且甲、乙两物体从同一位置出发，则甲、乙在40s末相遇，故C正确； D．若出发前甲在乙前方处，由于内甲的速度一直大于乙的速度，所以甲、乙在末没有相遇，故D错误。 故选C。 12．如图所示，一全长为4m的小轿车和一全长为12m的大货车在一平直双车道公路（不计车道的宽度）上分别以大小为、的加速度相向做匀加速直线运动．若当两车头的距离为20m时，轿车和货车的速度大小分别为、，则两车从开始相遇到开始分离的时间为（    ） A．1s B．2s C．3s D．5s 【答案】A 【解析】设从两车头的距离为20m到两车开始相遇的时间为，有，解得 设从两车头的距离为20m到两车开始分离的时间为，有，解得 可得两车从开始相遇到开始分离的时间 故选A。 13．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，它们的v−t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则（　　） A．在t=1s时，甲车在乙车后 B．在t=0时，甲车在乙车前7.5m C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为30m 【答案】B 【解析】AC．v−t图像中图线与坐标轴围成的面积表示位移，根据v−t图像可知在1~3 s内两车位移相等，可以判断在t=1 s时，甲、乙车并排行驶，故AC错误； B．由前面分析，可知在t=0时，甲车在乙车前Δx= m−×1×10 m=7.5 m处，故B正确； D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的位移，以对甲车Δx′= m=40 m，故D错误。 故选B。 14．根据我国道路交通管理的相关规定，同一车道行驶的机动车，后车必须根据行驶速度、天气和路面情况，与前车保持必要的安全距离。如图所示安全距离示意图，标出了一般情况下汽车在不同行驶速度下所对应的大致安全的刹车距离。在通常情况下，驾驶者的反应时间平均为0.4s~1.5s，下列说法正确的是（　　） A．反应时间是指刹车后的0.4s~1.5s一段时间 B．由图可知，只要前车与后车间距大于刹车距离，即可避免追尾事故发生 C．由图可知，当行驶速度增加时，汽车加速度在逐渐减小 D．由图可知，随着行驶速度的增大，反应距离与刹车距离的比值逐渐减小 【答案】D 【解析】A．反应时间是指驾驶员从发现情况到采取刹车动作之前的时间，并非刹车后的时间，故A错误； B．要避免追尾事故，前车与后车间距应大于停车距离（停车距离包括反应距离和刹车距离），而不是仅大于刹车距离，故B错误； C．为初速度，为加速度，为刹车距离，根据 从图中数据可以得出三次加速度大小分别为，，，故C错误； D．时，比值为1；时，比值为0.75；时，比值为0.5，可见，随着行驶速度的增大，反应距离与刹车距离的比值逐渐减小，故D正确。 故选D。 二、多选题 15．在一次某品牌新能源汽车的性能测试中，在同一平直轨道上视为质点的甲、乙两辆车从同一地点开始运动，其速度大小v随时间t的变化关系如图所示，关于两车的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．15s时，乙车追上甲车 B．加速过程中乙车的加速度大于甲车 C．乙车开始运动时，甲车前进了100m D．乙车追上甲车前，甲、乙两车间的最大距离为100m 【答案】BD 【解析】A．根据图像与坐标轴围成的面积表示位移，可知甲、乙两车15s的位移分别为，，可知，又两辆车从同一地点开始运动，故在15s时乙车没追上甲车，故A错误； B．根据图像的斜率表示加速度，可知在加速过程中甲的加速度大小为，，可知，故B正确； C．根据图像与坐标轴围成的面积表示位移，由图可知甲运动了10s后，乙才开始运动，则10s内甲前进的距离为，故C错误； D．当甲、乙两车有共同速度时，乙车追上甲车前，甲、乙两车间的距离最大，由图可知，在两者速度相同，则最大距离为，故D正确。 故选BD。 16．两辆汽车A、B在同一直线上同向行驶，A的速度为v1，B的速度为v2（v2>v1），当B在A后方s0处时，B开始刹车，加速度大小为a，下列说法正确的是（　　） A．若，则两车不会相撞 B．若，则两车刚好相撞 C．若，则两车会相撞 D．两车速度相等时，距离最小 【答案】AD 【解析】ABC．对B车，共速时，根据，可知，B车位移 若，则，两车不会相撞 若，则，因为A车仍在运动，所以此时两车不会相撞 若，则，因为A车仍在运动，可能此时B仍未追上A车，所以此时两车可能不会相撞，故A正确BC错误； D．后面车的速度大，且在减速，所以当两车速度相等时，距离最小，故D正确。 故选AD。 17．甲、乙两物体沿同一直线运动，甲的图像、乙的图像分别如图1、2所示，甲从坐标原点出发。下列说法正确的是（　　） A．内甲、乙均做沿轴正方向的匀加速直线运动 B．前内，甲、乙间的最大距离为 C．时甲、乙的位置坐标均为 D．时甲、乙间的距离为20m 【答案】BC 【解析】A．由题图可知内甲做沿轴正方向的匀加速直线运动，乙做沿轴正方向的匀速直线运动，故A错误； B．前内，由图1可知甲在后，做初速度为0的匀加速直线运动，加速度大小为 由图2可知乙在前，从的位置开始匀速直线运动，速度大小为 当甲、乙速度相等时相距最远，有，解得 此时甲、乙间的最大距离，故B正确； C．内甲的位移 因此2s时甲的位置坐标为，由图2可知2s时乙的位置坐标也为12m，故C正确； D．由图1可知3s时甲的位移 由图2可知3s时乙回到其出发点的位置，可知此时甲、乙间的距离为18m，故D错误。 故选BC。 18．小明和小华沿同一直线跑道同向运动，0时刻开始计时，小明和小华的图像如右图所示，已知在 t=9s 时小明和小华在同一位置，根据图中所给信息，下列说法正确的是（　　） A．小明和小华在0时刻相距40m B．t=5s 时，小华正在追赶小明 C．0~9s内，小明和小华间的最大距离为42.25m D．小华在做匀加速直线运动且加速度大小为 【答案】BC 【解析】D．由匀变速直线运动的位移公式，可得 对比小华的图线可知，解得，小华做匀加速直线运动，故D错误； A．由相似三角形可知，小华图线与纵轴的交点坐标为1m/s。根据可知，小华物体的初速度。由小明的图线可知，小明做匀速直线运动，速度为v=6m/s，在t=9s时两者的位移分别为，，此时到达同一位置，故在0时刻，小明在小华前36m处，故A错误； B．由于是初速度小的小华追初速度大的小明，加速追匀速，只会相遇一次，t=9s时相遇，则时，小华正在追赶小明。故B正确； C．当速度相等时，相距最远，则，代入数据可得 内，最大距离为，故C正确。 故选BC。 19．如图所示，折线表示乙物体从A地向B地运动的图像，直线表示同时开始运动的甲物体由静止从A地向B地运动的图像。则在的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．在0~1s内，甲、乙两物体的速度方向相反 B．在4s~5s内，甲物体加速度比乙物体大 C．在时，甲、乙两物体相距最远 D．在0~5s内，甲、乙两物体位移相同 【答案】CD 【解析】A．在0~1s内，甲、乙两物体的速度均为正，说明速度方向相同，故A错误； B．在4s~5s内，乙物体的图象更陡，说明乙物体的加速度比甲物体大，故B错误； C．前，甲、乙两物体均向正方向运动，且甲在后、乙在前，乙的速度大于甲的速度，距离越来越大，时，甲、乙两物体速度相等，相距最远，故C正确； D．图象与时间轴所包围的面积表示位移，由图可知，甲、乙两物体在0~5s内的位移大小均为，方向沿正方向，故D正确。 故选CD。 20．如图甲，“和谐号”和“复兴号”两动车在平行轨道做直线运动，其图像如图乙所示。时两车头刚好并齐，此后“和谐号”立刻加速，则在0~32s内，以下说法正确的是（　　） A．“复兴号”的最大速度为 B．末两车头再次并齐 C．末两车头相距最远 D．“和谐号”的位移比“复兴号”的小 【答案】AC 【解析】A．由乙图可知，8-32s内复兴号的加速度为，t=8s时复兴号的速度为，t=32s时复兴号的速度为，故A正确； BC．由乙图可知，t=0时两车车头刚好并排，在0-24s内，和谐号的速度一直比复兴号的大，两者间距逐渐增大；在24-32s内，复兴号的速度一直比和谐号的大，两者间距逐渐减小，在24s末两车速度相等，故两车头相距最远，故B错误，C正确； D．根据图像与时间轴所围的面积表示位移，可得0-32s内，和谐号的位移为 复兴号的位移为，可知，故D错误。 故选AC。 21．如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0~5s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是（　　） A．A车运动的加速度大小为1m/s2 B．t＝3.5s时，两车的速度相同 C．A车追上B车的最短时间为7.2s D．两车相遇两次 【答案】BC 【解析】A．A车的图线是抛物线的一部分，可知A车做匀变速直线运动，由题图乙可知当t＝2 s时x＝10 m，当t＝5 s时x＝40 m，代入，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A错误； B．由题图乙可知B车匀速运动的速度vB＝ m/s＝10 m/s 两车速度相同，有v0＋at＝vB，解得t＝3.5 s，故B正确； CD．A车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短，由vmax＝v0＋at0 可知A车的加速时间t0＝6 s A车追上B车时满足vBt＝＋vmax（t－t0） 解得t＝7.2 s，此后A车速度大于B车，不会再相遇，故两车相遇一次，故C正确，D错误。 故选BC。 22．甲、乙两辆汽车沿同一条平直的公路行驶，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标，它们的v−t图像如图所示，关于两车的运动，下列说法正确的是（　　） A．甲乙两车运动的方向相同 B．在0~10s内两车逐渐靠近 C．在5~15s内两车的位移相等 D．在t=10s时两车在公路上相遇 【答案】AC 【解析】A．两车的速度均为正值，代表与规定正方向相同，故A正确； B．在0~10s内，乙车的速度一直比甲车的大，则两车应逐渐远离，故B错误； C．在5s~15s内，两车的运动图线与坐标轴围成的面积相等，则两车位移相等，故C正确； D．在t=10s时两车速度相等，相距最远，故D错误。 故选AC。 23．龟兔赛跑的故事家喻户晓，比赛中乌龟和兔子沿长为x的直线赛道运动的x-t图像如图所示，则（     ） A．兔子比乌龟出发的时间晚 B．兔子在时间内做匀速直线运动 C．兔子先通过预定位移到达终点 D．乌龟和兔子在比赛过程中相遇2次 【答案】AD 【解析】A．乌龟在时刻从起点出发，兔子在时刻才从起点出发，因此兔子比乌龟出发的时间晚，故A正确； B．图像的斜率表示速度，在时间内，图像的斜率为零，说明兔子速度为零（静止），而匀速运动要求速度非零且恒定，故B错误； C．由图可知，乌龟在时刻到达终点，兔子在时刻没有到达终点，因此乌龟先到达终点，故C错误； D．图像的交点代表二者相遇，图中共有、两个交点，说明比赛过程中二者相遇次，故D正确。故选AD。 三、解答题 24．汕北大道是贯穿广东省汕头市南北的交通大动脉。2024年国庆期间，一辆载玩具的货车因故障停在汕北大道某车道上，由于司机的疏忽，未在后方放置安全三角警示牌，一辆汽车以72km/h的速度在该车道上匀速直线行驶，在距离货车尾部60m处汽车驾驶员才发现情况并作出反应，以大小为的加速度刹车制动。通常认为，在人的反应时间内，汽车仍保持原速行驶。求： (1)汽车从刹车到停止所用的时间； (2)为使汽车不撞到货车，汽车驾驶员的反应时间的最大值。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）以汽车行驶的方向为正方向，已知初速度，加速度，汽车刹车做减速运动，解得汽车从刹车到停止所用的时间 （2）汽车减速过程，反应时间内汽车做匀速直线运动 汽车运动距离，解得 则汽车驾驶员的反应时间最大值为1s 25．某大雾天气，能见度只有40m，一客车出现故障，停在高速路上，司机按交通法规定在车后150m处放置了警示牌，若某小车以108km/h的速度行驶，司机看见警示牌后的反应时间为1s，小车刹车后可视为匀减速直线运动，其加速度大小为2.5m/s2，试分析小车是否会撞上客车？ 【答案】会相撞，理由见解析。 【解析】小车在反应时间内走过的位移大小 设小车刹车后匀减速至停止通过的位移大小为，则有，解得 因，故小车会撞上客车。 26．一辆汽车正以的速度行驶，发现前方处发生交通事故便立即紧急刹车开始做匀减速直线运动，经过后速度大小变为。求： (1)汽车做匀减速直线运动的加速度大小； (2)汽车能否避免碰撞事故车辆； (3)汽车刹车后的速度大小及刹车后内的平均速度大小。 【答案】(1)(2)汽车能避免碰撞事故车辆 (3)汽车刹车后的速度大小为零；刹车内得平均速度大小为 【解析】（1）由题意， 由得 因此汽车做匀减速直线运动的加速度大小为 （2）由计算出汽车停下需要的距离为，因此汽车能避免碰撞事故车辆。 （3）汽车停下需要的时间 因此汽车刹车后的速度大小为零，内的平均速度大小为 27．如图所示，一汽车停在距离小山坡底部右侧处，因气象灾害产生的泥石流从小山坡上的点由静止开始以的加速度沿着小山坡向下加速下滑，泥石流通过坡底连接处的速率不变，然后在水平地面上做匀减速直线运动，加速度大小点到坡底的距离，泥石流、汽车均可视为质点。 (1)求泥石流到达坡底的速度大小； (2)若泥石流到达坡底瞬间，司机发现险情并立即启动车辆以的加速度匀加速向右运动，已知司机驾车逃生成功，求泥石流与汽车间的最小距离； (3)若汽车加速度的最大值，求在恰好逃生成功的情况下，司机发现险情时泥石流已在水平地面上运动的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据匀加速直线运动的规律有，代入数据解得 （2）设汽车从开始运动到与泥石流的速度相等所用的时间为，则该时间内泥石流的位移 该时间内汽车的位移 则泥石流与汽车间的最小距离 代入数据并联立解得 （3）设汽车以最大加速度启动后，经过时间汽车与泥石流的速度相等，有 根据位移关系有 代入数据并联立解得 28．电动伸缩门由于方便美观广泛用于学校和小区等场所。一辆宽L＝2m的汽车以4m/s速度匀速直线行驶到A位置时，电动门开始以0.5m/s速度从门柱C匀速向左打开，汽车运动到AB之间的D位置（图中未画出）时开始以a=4m/s匀减速刹车，在B处恰好停下，汽车左前端恰好没碰到电动门，汽车右端距离门柱C水平距离d＝0.5m，求： (1)汽车匀减速刹车的距离； (2)AB间的距离。 【答案】(1)2m (2)18m 【解析】（1）根据匀变速直线运动规律得 ，解得汽车匀减速刹车的距离 （2）设汽车匀减速刹车时间为，由匀变速直线运动规律得 由于汽车左端恰好没碰到电动门，电动门运动的时间 汽车由A运动到D的距离 AB间的距离 29．随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而，开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图所示，一辆出租车在平直公路上以的速度匀速行驶，此时车的正前方处有一辆电动车，正以的速度匀速行驶，出租车司机此时开始低头看手机后才发现危险，立即采取紧急制动措施，已知出租车刹车制动的加速度大小为。通过计算判断电动车是否被撞？若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞？ 【答案】两车会相撞，1s 【解析】根据题意可知，出租车先匀速行驶t1=3s，位移为 设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，则有，解得 出租车的位移为 电动车的位移为 因为，故两车会相撞。 设出租车刹车时间相撞，则有 代入数据解得（另一解不符合题意，舍去） 30．公路上有甲、乙两辆汽车在同一直线上沿相同方向运动，甲车在前。t=0时刻，两车相距15m。此后，两车速率平方与位移的关系如图，求： (1)甲车的加速度大小； (2)两车都停止以后，它们之间的距离； (3)两车之间的最小距离。 【答案】(1)1m/s2 (2)11m (3)7m 【解析】（1）根据匀变速直线运动的速度-位移关系 可知图像的斜率等于2a，由图像可得甲、乙两车的加速度大小分别为 ， （2）甲、乙两车停止运动时位移分别为32m和36m，故两车均停止运动时，它们之间的距离为 （3）甲、乙两车的初速度大小分别为， 甲、乙两车的图像如图所示 设两车速度相等时所经历的时间为，则，解得 即4s时两车间距离最小，两车的最小距离 31．在一条平直的公路上，一人骑自行车以v1=10m/s的恒定速度追赶前面以v2=20m/s速度匀速行驶的汽车，当两者相距d=30m时，汽车驾驶员发现骑自行车的人正在追赶自己，他立即刹车做匀减速运动，加速度大小为a=5m/s2，求： (1)经过多长时间，自行车速度与汽车速度相等； (2)刹车后自行车与汽车的最大距离； (3)刹车后经过多长时间，自行车追上汽车。 【答案】(1)2 s (2)40 m (3)7 s 【解析】（1）刹车后，当汽车速度为10m/s时，刹车时间 （2）刹车后当汽车速度与自行车速度相同时，两者相距最远，这段时间内自行车运动的距离m 汽车运动的距离 因此刹车后两者相距的最大距离 （3）汽车刹车停下需要的时间 这段时间内自行车运动的距离 汽车刹车的距离 由于，因此汽车停下后自行车还未追上汽车。 汽车停下后追上汽车还需要的时间 即从刹车开始自行车追上汽车所用的时间 32．如图所示，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道宽的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v甲=10m/s，v乙=20m/s。两车车长均为L=4.0m，车宽均忽略不计。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O的距离分别为s甲=26m，s乙=24m时，乙车意识到有撞车的危险立即刹车做匀减速直线运动，但甲车却仍保持原有运动状态向前行驶。求： (1)甲车自图中位置至通过中心线的时间 (2)为了避免两车相撞且让甲车先通过中心点O，则乙车的加速度应该满足什么条件？ 【答案】(1)3s (2) 【解析】（1）甲车自图中位置至通过中心线的时间 （2）为了避免两车相撞且让甲车先通过中心点O，则 解得 33．A、B两辆自动驾驶的测试车，在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为，B车的速度大小为，如图所示。当A、B两车相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小为，从此时开始计时，求： (1)B车从刹车到停下所用的时间； (2)A车追上B车之前，两者相距的最大距离。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）B车从刹车到停下所用的时间，解得 （2）设经过时间，两者相距的距离最大，此时A、B两车速度相等，则有，解得 则两者相距的最大距离为 解得 34．为了交通安全，公路上行驶的车辆之间要保持安全的距离。汽车在公路上出现故障时，应在汽车后放置三角警示牌（如图所示），以提醒后面的车辆。在某一最高限速为的路段，一汽车因故障停下来检修，由于当时天气原因导致视线不好，驾驶员只能看清前方处的物体，若后方来车司机的反应时间为。紧急刹车后，汽车减速的加速度为，重力加速度取，求：若汽车司机把警示牌放在距离车辆处，通过计算判断后方来车是否会与故障汽车发生碰撞？ 【答案】不会 【解析】由题意当后方来的司机看到警示牌时与故障车之间的距离 此时速度为 后方来车从发现故障车到停止运动的距离 则后方来车不会与故障汽车发生碰撞。 35．甲、乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以的速度做匀速直线运动，乙车以的初速度，的加速度做匀加速直线运动，求： (1)经多长时间两车相遇； (2)经过多长时间两车速度相等； (3)已知相遇前速度相等时两车距离最远，最远距离是多少。 【答案】(1)8s (2)4s (3)16m 【解析】（1）设经过时间t两车相遇，则，求得（不符合题意，舍去） （2）当两车共速时 （3）最远距离 36.如图所示，在平直公路上有甲、乙两辆小汽车从相距m的A、B两地同向同时出发。已知甲车在前，乙车在后，甲车初速度大小为，加速度大小为，乙车的初速度大小为，加速度大小为，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动，两车均可视为质点。 (1)通过计算说明两车是否能相遇，若不能相遇，求两车间相距的最小距离； (2)若甲车加速度大小未知，其他条件均不变，要使甲、乙两车能相遇两次，则甲车的加速度大小应满足什么条件？（结果可以保留分数） 【答案】(1)两车不能相遇，两车相距的最小距离为1m； (2) 【解析】（1）当两者共速时用时间为t，则 ，解得t=2s，v=12m/s 此时甲乙相距，可知两车不能相遇，两车相距的最小距离为1m； （2）设当两车经过时间t＇相遇，则当两车相遇时满足 整理可知 要使得两车相遇2次，则方程有两个解，则 解得 37.一辆公交车在路口等候绿灯，当绿灯亮时，公交车以的加速度由静止开始做匀加速直线运动，此时恰有一名送餐员骑一辆电动车以的速度匀速从旁边超过公交车前端，已知公交车在加速至后做匀速直线运动。（两车都可视为质点） (1)求公交车追上电动车之前两者间的最大距离； (2)判断公交车加速至时是否追上电动车；并求追上电动车所需的总时间t。 【答案】(1) (2)没有追上， 【解析】（1）公交车追上电动车之前，当两者速度相等时距离最大，则有，解得 该段时间内公交车的位移大小为 电动车的位移大小为 则两者间的最大距离为 （2）公交车加速至最大速度，所用时间为 此时公交车的位移大小为 电动车的位移大小为 由于所以公交车未追上电动车。 之后公交车匀速行驶，设还需要时间追上电动车，则有， 则追上电动车的总时间为。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $