3.3 探索与表达规律 第1课时 数字与日历 导学案-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“探索与表达规律（一）——数字与日历”，核心知识点包括数列规律（等差、平方等）和日历规律（横行差1、竖列差7等）。课前预习梳理归纳步骤与基础规律，预习自测衔接旧知，课堂通过探究活动从特殊到一般归纳，搭建预习到课堂的学习支架。 特色在于分层设计与核心素养培养，通过探究活动、例题变式、分层检测，引导学生用数学眼光观察规律，用数学思维推理验证，用字母表示规律发展模型意识，提升观察归纳与运算能力，适合自主学习与课堂教学。

3.3 探索与表达规律 第1课时 探索与表达规律（一）——数字与日历 导学案 一、学习目标 1、能观察数列、算式、日历中的数量关系，发现并用字母表示规律。 2、会用整式表示并验证规律，体会从特殊到一般的归纳方法。 3、发展观察、归纳、猜想与验证能力。 二、学习重难点 重点：发现规律并用含字母的式子表示。 难点：日历中数的排列规律及规律验证。 三、课前预习与梳理（预习课本，完成填空） ◆ 归纳步骤 观察若干____→比较数量变化→提出____→用____表示→代入验证。 ◆ 数列规律 常见有等差（相邻差____）、等比、平方（n²）、奇偶（2n−1、2n）等。 ◆ 日历规律 横行相邻差____，竖列相邻差____；用 a 表示中心，左____、右____、上____、下____。 ◆ 日历方框 3×3 方框中 9 个数之和=____（中心数的 9 倍）。 小思考：日历竖列相邻两个数为什么相差 7？________。 预习自测（简单练手） 1. 数列 2，5，8，11，…，第 4 个数是____，第 n 个数是____。 2. 日历中竖列相邻两数相差____。 【预习自测参考答案】 1. 14；3n−1； 2. 7。 四、课堂合作探究 【探究活动1】数列规律的归纳（从特殊到一般） 观察：4，7，10，13，…相邻两个数差 3。 归纳：等差数列第 n 项=____+(n−1)×____。 小结：先找相邻差（公差），再写通式。 思考辨析：令 3n+1=64，怎样求 n？这一步是把规律从“表示”推向“求解”。 【探究活动2】日历中的规律（数形结合） 观察：日历横行差 1，竖列差 7（一周 7 天）。 归纳：以中心数 a 为基准，左____、右____、上____、下____。 思考辨析： ①3×3 方框中九数之和与中心数有什么关系？ ②为什么上下、左右相对的数在求和时成对抵消？ 小结：九数之和=____a。 五、例题精讲＋变式训练 【例1】观察 4，7，10，13，…，写出第 6 个数和第 n 个数；第几个数是 64？ 解答： 相邻差 3，第 n 个为 3n+1；第 6 个 19；令 3n+1=64，n=21。 方法归纳：等差数列第 n 项=首项+(n−1)×公差。 ✅变式1：观察 5，9，13，17，…，写出第 5 个数和第 n 个数；第几个数是 45？ 【例2】日历中用 a 表示某数，写出它上、下、左、右四个数；若这五个数之和为 75，求中心数 a。 解答： 上 a−7、下 a+7、左 a−1、右 a+1；五数和=(a−7)+(a+7)+(a−1)+(a+1)+a=5a=75，a=15。 方法归纳：上下差 7、左右差 1，相对的数成对抵消。 ✅变式2：日历中用 b 表示某数，写出它上、下、左、右四个数；若这五个数之和为 60，求中心数 b。 【例3】观察算式：1×3+1=4=2²，2×4+1=9=3²，3×5+1=16=4²，…，写出第 n 个等式。 解答： 第 n 个：n(n+2)+1=(n+1)²。 方法归纳：比较每个等式中各数与序号 n 的关系，再用乘法公式验证 n(n+2)+1=n²+2n+1=(n+1)²。 ✅变式3：观察算式：1×5+4=9=3²，2×6+4=16=4²，3×7+4=25=5²，…，写出第 n 个等式。 【变式参考答案】 变式1：相邻差 4，第 n 个为 4n+1；第 5 个 21；令 4n+1=45，n=11。 变式2：上 b−7、下 b+7、左 b−1、右 b+1；五数和=5b=60，b=12。 变式3：第 n 个：n(n+4)+4=(n+2)²。 六、当堂检测（分层练习） 【基础过关】 1. 学校礼堂第一排有 1 个座位，从第二排起每排比前一排多 4 个座位，则第 n 排有____个座位，第 20 排有____个。 2. 日历中横行相邻两数相差____，竖列相邻两数相差____。 3. 按规律填数：1，4，9，16，____，36，…，第 n 个是____。 4. 日历中某数为 a，它正下方的数是（　） A. a+1　B. a−7　C. a+7　D. a−1 【中档提升】 5. 日历 3×3 方框中心为 a，用 a 表示九个数，并证明九数之和是 9a。 6. 观察 2，6，12，20，30，…（1×2，2×3，3×4…），写出第 n 个数及第 10 个数。 7. 观察 1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，…，写出 1+3+5+…+(2n−1) 的结果。 【拓展拔高】 8. 日历中用 2×2 方框圈出 4 个数，设左上为 a，写出四数并探究对角两数之和的关系。 9. （开放）自己设计一组有规律的数（至少 5 个），写出第 n 项并让同桌验证。 【参考答案】 1. 第 n 排 1+4(n−1)=4n−3 个；第 20 排 77 个。 2. 1；7。 3. 25；n²。 4. C。 5. 九数：a−8，a−7，a−6，a−1，a，a+1，a+6，a+7，a+8；和=9a（成对抵消）。 6. 第 n 个 n(n+1)=n²+n；第 10 个 110。 7. =n²。 8. 四数：a，a+1，a+7，a+8；对角和 a+(a+8)=2a+8，(a+1)+(a+7)=2a+8，两条对角线上两数之和相等。 9. 略（规律合理、第 n 项正确即可）。 七、小结 1. 归纳步骤：观察特例→比较变化→提出猜想→用字母表示→代入验证。 2. 数列规律：等差数列第 n 项=首项+(n−1)×公差；常见有等差、平方、奇偶等类型。 3. 日历规律：横行差 1、竖列差 7；3×3 方框九数之和=9×中心数。 4. 思想方法：从特殊到一般的归纳推理；规律要代回前几项验证，不能只猜不证。 八、易错警示 1. 日历竖列相邻差 7（一周），不是差 1。 2. 归纳出的规律要用字母表示并代回特例验证，不能只猜不证。 3. 等差数列第 n 项公式中公差与首项要对应。 4. 日历方框规律成立的前提是数在同一月份内、不跨周边界。 九、总结与反思 1. 我的疑惑：____________________________________________________ 2. 我的收获：____________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $