3.3 探索与表达规律 第2课时 图形规律与归纳 导学案-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦“图形规律与归纳”，引导学生从火柴棒、点阵、桌椅摆放等图形问题中归纳数量规律，通过课前预习梳理“数前几个数量、看相邻增量、写第n个式子、验证”的方法，衔接整式表示知识，为规律探索提供学习支架。 特色在于分层设计与方法引导，通过探究活动培养从特殊到一般的推理意识，例题与变式训练强化模型意识，当堂检测分层提升抽象能力，助力学生用数学语言表达规律，提升学习效率。

3.3 探索与表达规律 第2课时 探索与表达规律（二）——图形规律与归纳 导学案 一、学习目标 1、会从火柴棒、点阵、桌椅摆放等图形问题中归纳数量规律。 2、能用整式表示图形个数与序号 n 的关系并进行预测。 3、体会数形结合和归纳的问题解决策略。 二、学习重难点 重点：图形规律的探索与表达。 难点：发现“每次增加量”并写出第 n 个的表达式。 三、课前预习与梳理（预习课本，完成填空） ◆ 图形规律方法 数出前几个图形的____→看相邻图形____多少→写出第 n 个式子→____。 ◆ 搭图形 搭 n 个三角形需 (____) 根火柴，搭 n 个正方形需 (____) 根；每多搭一个图形只需增加____根数。 ◆ 桌椅问题 n 张桌子长边拼放每加一桌多____个座位（____），短边方向每加一桌多____个座位（____）。 ◆ 归纳策略 从简单、____情形入手找规律，再推广到一般。 小思考：拼图形时相邻两个共用一条边，计算增量时要注意什么？________。 预习自测（简单练手） 1. 用火柴搭一排三角形：1 个用 3 根，连搭 n 个用____根。 2. 第 1、2、3 个图案分别用 5、8、11 根小棒，第 n 个用____根。 【预习自测参考答案】 1. 2n+1； 2. 3n+2。 四、课堂合作探究 【探究活动1】图形规律的探索（数形结合） 观察：火柴棒搭三角形，1 个用 3 根、2 个用 5 根、3 个用 7 根，每次多 2 根。 归纳：首项____+增量____×(n−1)。 小结：先数前三个图形，确认每次增加量是否固定，再写第 n 项。 提示：拼图形时相邻两个是否共用边？共用一条边则增量少 1。 【探究活动2】归纳策略——从简单到一般 观察：桌椅拼放问题，两端各固定 1 人，每张桌两侧各 2 人。 归纳：找出____部分和____部分，分别列式再合并。 思考辨析：搭 n 个连在一起的三角形，为什么是 2n+1 而不是 3n？ 小结：得到规律后代回 n=1、2、3 验证。 五、例题精讲＋变式训练 【例1】用火柴棒搭三角形：1 个用 3 根，2 个连在一起用 5 根，3 个用 7 根。搭 n 个三角形用多少根？搭 100 个呢？ 解答： 每多 1 个三角形多 2 根，第 n 个用 2n+1 根；n=100 时 201 根。 方法归纳：首图 3 根，之后每个加 2，得 3+2(n−1)=2n+1。 ✅变式1：用火柴棒搭一排五边形：1 个用 5 根，2 个连在一起（共用一条边）用 9 根，3 个用 13 根。搭 n 个五边形用多少根？搭 15 个呢？ 【例2】餐厅一张方桌坐 6 人，按长边拼放，每多拼一张多坐 4 人。n 张桌子可坐多少人？8 张呢？ 解答： n 张坐 4n+2 人；n=8 时 34 人。 方法归纳：两端各固定 1 人，每张桌两侧各 2 人，得 4n+2。 ✅变式2：餐厅一张圆桌坐 5 人，按长边拼放，每多拼一张多坐 3 人。n 张桌子可坐多少人？10 张呢？ 【例3】工地上把圆钢管分层堆放，最上层 1 根，往下每一层比上一层多 1 根（第 2 层 2 根、第 3 层 3 根……）。 (1) 第 n 层有多少根？ (2) 从第 1 层到第 n 层一共多少根？ (3) 当 n=10 时总数是多少？ 解答： (1) 第 n 层有 n 根； (2) 总数 1+2+…+n= 根； (3) n=10 时为 10×11÷2=55 根。 方法归纳：相邻两层相差 1 根，前 n 个正整数之和为。 ✅变式3：工地上把圆钢管分层堆放，最上层 2 根，往下每一层比上一层多 1 根。(1) 第 n 层有多少根？(2) 从第 1 层到第 n 层一共多少根？(3) 当 n=9 时总数是多少？ 【变式参考答案】 变式1：每多 1 个多 4 根，第 n 个用 4n+1 根；n=15 时 61 根。 变式2：n 张坐 3n+2 人；n=10 时 32 人。 变式3：(1) 第 n 层有 n+1 根；(2) 总数 2+3+…+(n+1)= 根；(3) n=9 时为 9×12÷2=54 根。 六、当堂检测（分层练习） 【基础过关】 1. 搭 1 个正方形用 4 根火柴，连搭 n 个正方形用____根，搭 10 个用____根。 2. 按规律第 1、2、3 个图形分别用 3、5、7 根火柴，第 n 个用____根。 3. 点阵 1，4，9，16，…第 n 个有____个点。 4. 一张桌子坐 6 人，每多拼一张（长边）多坐 4 人，3 张桌子可坐（　） A. 14　B. 16　C. 18　D. 12 【中档提升】 5. 用火柴搭“小房子”：第 1 个用 5 根，以后每增加一个多用 4 根，写出搭 n 个所用根数，并求 n=20 时。 6. 观察由小正方形拼成的图形：1×1 有 1 个、2×2 有 4 个、3×3 有 9 个小正方形，n×n 网格中共有多少个小正方形？ 7. 黑白瓷砖按规律铺地：第 1 个图案 4 块、第 2 个 7 块、第 3 个 10 块，写出第 n 个图案瓷砖数。 【拓展拔高】 8. （综合实践衔接）边长为 a 的正方形纸片，四角各剪去边长为 x 的小正方形后折成无盖长方体盒，用式子表示盒子的底面积和容积。 9. 用火柴棒按“六边形”规律拼图案：第 1 个 6 根，每增加一个六边形与前一个共用一条边（增加 5 根），写出拼 n 个六边形的火柴数。 【参考答案】 1. 3n+1；31。 2. 2n+1。 3. n²。 4. A（4×3+2=14）。 5. 5+4(n−1)=4n+1；n=20 时 81 根。 6. n² 个。 7. 4+3(n−1)=3n+1 块。 8. 底面边长 a−2x，底面积 (a−2x)²，高 x，容积 x(a−2x)²。 9. 6+5(n−1)=5n+1 根。 七、小结 1. 图形规律方法：数前几个图形的数量→看相邻增量→写第 n 个式子→代回验证。 2. 常见模型：搭三角形 2n+1 根、正方形 3n+1 根；拼桌长边 4n+2 人、短边 2n+4 人。 3. 典型题型：火柴棒搭图形；点阵/图形个数预测；分层堆放求总和。 4. 思想方法：数形结合；从特殊到一般的归纳；注意相邻图形共用边时增量减 1。 八、易错警示 1. 图形规律先数前三个，确认“每次增加量”是否固定，再写第 n 项。 2. 首项与增量要对应：a+(n−1)d，不要写成 a+nd。 3. 拼桌、拼图形时注意相邻两个是否共用边（共用则少算）。 4. 得到规律后代回 n=1、2、3 验证。 九、总结与反思 1. 我的疑惑：____________________________________________________ 2. 我的收获：____________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $