2.4 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 导学案-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数的乘方，引导学生理解乘方、幂、底数、指数的意义，掌握符号规律及运算，通过课前预习填空与自测衔接乘法旧知，课堂探究从直观分析到分类讨论再到实际增长问题，搭建层层递进的学习支架。 资料亮点在于分层设计与核心素养融合，以折纸片、细胞分裂实例培养模型意识，通过分类讨论归纳符号规律发展推理能力，分层检测题兼顾基础与拓展，助力学生用数学语言表达现实问题，提升运算能力与应用意识。

2.4 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 导学案 一、学习目标 1、理解乘方、幂、底数、指数的意义，会进行有理数乘方运算。 2、能正确区分 (−a)ⁿ 与 −aⁿ，确定幂的符号。 3、会用乘方表示成倍增长（折纸片、细胞分裂）等规律。 二、学习重难点 重点：乘方的意义与运算。 难点：底数为负数、分数时的括号处理及符号规律。 三、课前预习与梳理（预习课本，完成填空） ◆ 乘方 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫____，aⁿ 中 a 叫____、n 叫____，结果叫____。 ◆ 符号规律 负数的奇次幂为____、偶次幂为____；正数的任何次幂为____；0 的正整数次幂为____。 ◆ 易混辨析 (−a)ⁿ 表示 n 个____相乘；−aⁿ 表示 aⁿ 的____，二者常不同。 小思考：(−2)⁴ 和 −2⁴ 相等吗？分别等于多少？________________。 预习自测（简单练手） 1. (−2)³=____；−2³=____。 2. 负数的偶次幂为____，奇次幂为____。 【预习自测参考答案】 1. −8；−8； 2. 正；负。 四、课堂合作探究 【探究活动1】认识乘方（直观分析） 观察：2×2×2×2=2⁴=16，记作 aⁿ。 归纳：aⁿ 表示 n 个 a 相乘，a 是底数、n 是指数。 思考辨析：底数是负数或分数时，为什么必须加括号？ 小结：底数带括号与否，含义完全不同。 【探究活动2】幂的符号规律（分类讨论） 观察：(−2)²=4，(−2)³=−8，(−2)⁴=16。 归纳：负数的偶次幂为____、奇次幂为____；−1 的偶次幂为 1、奇次幂为 −1。 易错辨析：−2⁴=−16 而 (−2)⁴=16，前者底数是 2！ 提示：看清底数有没有括号是关键。 【探究活动3】乘方的实际增长 步骤口诀：对折 n 次厚度=原厚×2ⁿ；分裂 n 次数量=原数×2ⁿ。体会乘方增长之快。 五、例题精讲＋变式训练 【例1】指出底数和指数并计算： (1)(−3)²； (2)−3²； (3)(−2)³； (4)()³。 解答： (1)底数 −3、指数 2，9； (2)底数 3、指数 2，−9； (3)底数 −2、指数 3，−8； (4)8/27。 方法归纳：底数是负数或分数时必须带括号，否则含义不同。 ✅变式1：指出底数和指数并计算：(1)(−4)²；(2)−4²；(3)(−3)³；(4)()²。 【例2】计算： (1)(−1)²⁰²⁶； (2)(−1)²⁰²⁵； (3)−2⁴+(−2)⁴。 解答： (1)1； (2)−1； (3)−16+16=0。 方法归纳：−1 的幂看指数奇偶；−2⁴ 与 (−2)⁴ 互为相反数。 ✅变式2：计算：(1)(−1)²⁰²⁷；(2)(−1)²⁰²⁶；(3)−3²+(−3)²。 【例3】一张纸厚 0.1 mm，对折 1 次厚度乘 2，对折 20 次后厚度约多少毫米？合多少米（2¹⁰=1024）？ 解答： 0.1×2²⁰=0.1×1 048 576=104 857.6 mm≈104.9 m。 方法归纳：对折 n 次厚度=原厚×2ⁿ，体会乘方增长之快。 ✅变式3：某种细菌每过 1 小时数量翻倍，最初 2 个，3 小时后共有多少个？ 【变式参考答案】 变式1：(1)底数 −4、指数 2，16；(2)底数 4、指数 2，−16；(3)底数 −3、指数 3，−27；(4)。 变式2：(1)−1；(2)1；(3)−9+9=0。 变式3：2×2³=2×8=16 个。 六、当堂检测（分层练习） 【基础过关】 1. (−)² 的底数是____，结果是____；−()²=____。 2. (−2)³=____；(−1)¹⁰⁰=____；(−1)⁹⁹=____；0⁵=____。 3. 负数的____次幂为正，____次幂为负。 4. 下列各组数相等的是（　） A. −2³ 与 (−2)³　B. −3² 与 (−3)²　C. 2³ 与 3²　D. (−1)² 与 −1² 【中档提升】 5. 计算： (1)(−3)²−2³； (2)−1⁴+(−1)⁴； (3)(−)³×(−2)²。 6. 观察 3¹=3、3²=9、3³=27、3⁴=81、3⁵=243，…，末位数字按 3,9,7,1 循环，求 3²⁰²⁶ 的末位数字。 7. 手工拉面每次对折后再拉伸，面条根数翻倍。最初 1 根，对折拉伸 8 次后共有多少根面条？ 【拓展拔高】 8. 若 (a−2)²+|b+3|=0，求 a+b 与 a²+b² 的值。 9. 规定 a∧b=a²−b²，计算 (−4)∧(−3)。 【参考答案】 1. −；；−。 2. −8；1；−1；0。 3. 偶；奇。 4. A（−2³=−8，(−2)³=−8）。 5. (1)9−8=1；(2)−1+1=0；(3)(−)×4=−。 6. 2026÷4 余 2，对应循环第 2 个，末位为 9。 7. 2⁸=256 根。 8. 两非负数和为 0：a=2，b=−3；a+b=−1，a²+b²=4+9=13。 9. (−4)²−(−3)²=16−9=7。 七、小结 1. 乘方：n 个相同因数积的运算；aⁿ 中 a 是底数、n 是指数，结果叫幂。 2. 符号：负数偶次幂正、奇次幂负；正数任何次幂正；0 的正整数次幂为 0。 3. 辨析：(−2)⁴=16 而 −2⁴=−16，底数是否带括号是关键；−1 的幂看指数奇偶。 4. 应用：对折、分裂类问题列式为 原数×2ⁿ，乘方增长极快。 八、易错警示 1. (−2)⁴ 与 −2⁴ 不同：前者 16，后者 −16，底数是否带括号是关键。 2. 负数、分数作底数必须加括号。 3. −1 的奇次幂是 −1、偶次幂是 1，不要弄反。 4. 乘方增长极快，折纸、分裂类问题列式是 原数×2ⁿ。 九、总结与反思 1. 我的疑惑：____________________________________________________ 2. 我的收获：____________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $