第12讲 函数的概念和图象（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

第12讲 函数的概念和图象（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 函数的概念 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题： 1.人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从中国统计年鉴中可以查得我国1979～2014年人口数据资料(年末)如表5-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗? 2.一物体从静止开始下落，下落的距离y(单位：m)与下落时间x(单位：s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗? 3.图5-1-1为某市一天24小时内的气温变化图. (1)上午6时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少? (2)在什么时刻，气温为0℃? (3)在什么时段内，气温在0℃以上? 在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数.这就是它们的共同特点. ●如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点? 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义判断D，利用特殊值判断A、B、C. 【解答过程】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又， 所以为从到的函数，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据函数的定义进行判断即可. 【解答过程】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解题思路】由函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【题型2 求具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据根号和分式定义去求解. 【解答过程】由得，，解得, 由得，，解得, 综合两个条件，函数的定义域为. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【解题思路】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【解答过程】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 【变式2-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可. 【解答过程】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零次幂底数不为0，分母不为0，二次根式被开方数非负列不等式求解即可. 【解答过程】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故选：D. 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【解答过程】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【解答过程】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【解答过程】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数定义域的求法求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， 则对于函数，由，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C. 【题型4 求函数的值域】 【例4】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【解答过程】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【解答过程】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【解答过程】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【解答过程】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B. 【题型5 由函数的定义域或值域求参数】 【例5】（25-26高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【解题思路】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【解答过程】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式5-1】（25-26高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围. 【解答过程】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数， 即方程在实数范围内有解． 所以，解得． 故选：B． 【变式5-2】（25-26高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【解答过程】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·湖北黄石·期中）若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果. 【解答过程】当时，，即值域为，满足题意； 若，设，则需的值域包含， ，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【题型6 求函数值或由函数值求参】 【例6】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【解答过程】函数，令，则，而， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可. 【解答过程】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【解题思路】中令，结合可得答案. 【解答过程】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用赋值法求解. 【解答过程】因为，， 所以令，得， 所以令6，得. 故选：D. 【题型7 判断两个函数是否相等】 【例7】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据相同函数的概念逐项分析可得. 【解答过程】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由两个函数是同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数为同一函数，所以A符合题意； 对于B，的定义域为，的定义为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域和对应关系都不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：A. 模块三 函数的图象 【知识点4 函数的图象】 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【题型8 函数的图象】 【例8】（25-26高一上·浙江衢州·期末）函数的部分图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，结合特殊值可以判断. 【解答过程】由题意，时，，排除C,D选项； ，可以排除B选项. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据函数的定义及定义域的定义，结合函数的值域概念逐一判断即可. 【解答过程】A：由图可知函数值域是集合N的真子集，所以不符合题意； B：显然函数的定义域不是集合，所以不符合题意； C：在内，存在值有两个值与之对应，不符合函数的定义，所以不符合题意； D：由图象可以看到，符合函数的定义、定义域和值域，符合题意， 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一上·安徽·期中）若、，且，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】分析函数函数值的符号变化，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】当时，由知，，排除AD选项． 当时，由知，，排除B． 故选：C. 【变式8-3】（25-26高一上·上海·课堂例题）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【解答过程】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】A：集合中的元素，按照对应关系在集合中没有实数与之对应，所以不是的函数； B：集合中的任何实数，按照对应关系在集合都有唯一的实数与之对应，所以是的函数； C：集合中非的实数，按照对应关系在集合都有两个实数与之对应，所以不是的函数； D：集合中的正奇数，按照对应关系在集合中没有自然数与之对应，所以不是的函数， 故选：B. 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 【答案】C 【解题思路】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】要使有意义，只需，即， 解得或，所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【解答过程】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D. 4．（25-26高三上·广东·阶段检测）设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的定义一一判定选项即可. 【解答过程】集合到集合的函数即集合中的任意元素，在对应关系作用下，集合中都有唯一元素与之对应， 对于A，由图象可知符合函数的定义，即A正确； 对于B，显然定义域没有取尽集合中的元素，不符合函数定义，即B错误； 对于C，显然对于中的元素，中与之对应的元素并不唯一， 如时，对应值有2个，即C错误； 对于D，由图象，显然时，或，也不符函数定义，即D错误. 故选：A. 5．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【解答过程】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 6．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【解答过程】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 7．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【解答过程】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【解答过程】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD. 10．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【解答过程】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 11．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【解题思路】利用相等函数的定义可判断. 【解答过程】对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ， 即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确； 对于B： 的定义域为 ， 而 的定义域为 ， 定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同， 因此，两者是同一个函数，故C正确； 对于D： 的定义域为 ， 对应法则为 ，值域也为， 而的值域为， 因此，两者不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【解题思路】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【解答过程】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为__________. 【答案】 【解题思路】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【解答过程】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【解答过程】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 【答案】(1)1， (2)6 【解题思路】（1）分别令，可得答案； （2）由，解方程可得答案. 【解答过程】（1）令时，得： ， 令时，得： ， 因此，，. （2）由，得： ， 解得：， 因此，当 时，. 16．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 17．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 18．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 【答案】(1) (2)， (3)， 【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【解答过程】（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， （2）； . （3）因为，所以，有意义. ； . 19．（25-26高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)2 (3). 【解题思路】（1）配方求解值域； （2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数的概念和图象（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 函数的概念 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题： 1.人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从中国统计年鉴中可以查得我国1979～2014年人口数据资料(年末)如表5-1-1所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗? 2.一物体从静止开始下落，下落的距离y(单位：m)与下落时间x(单位：s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗? 3.图5-1-1为某市一天24小时内的气温变化图. (1)上午6时的气温约是多少?全天的最高、最低气温分别是多少? (2)在什么时刻，气温为0℃? (3)在什么时段内，气温在0℃以上? 在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值随之唯一确定.根据初中学过的知识，每一个问题都涉及一个确定的函数.这就是它们的共同特点. ●如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点? 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【题型2 求具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【变式2-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求函数的值域】 【例4】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型5 由函数的定义域或值域求参数】 【例5】（25-26高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【变式5-1】（25-26高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·湖北黄石·期中）若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 求函数值或由函数值求参】 【例6】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【变式6-1】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【变式6-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 判断两个函数是否相等】 【例7】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 模块三 函数的图象 【知识点4 函数的图象】 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 【题型8 函数的图象】 【例8】（25-26高一上·浙江衢州·期末）函数的部分图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式8-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式8-2】（25-26高一上·安徽·期中）若、，且，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式8-3】（25-26高一上·上海·课堂例题）作出下列函数图象： (1)且； (2)． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东·阶段检测）设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 13．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为__________. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 16．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 17．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 18．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 19．（25-26高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $