第2章 2.3.1 全称量词命题与存在量词命题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题与存在量词命题”核心知识点，从生活中“全体”“有的”等量词实例引入，系统梳理全称量词与存在量词的定义、命题识别方法、真假判断规则及参数范围求解，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以生活情境激活数学眼光，通过问题链引导学生用数学思维辨析命题，结合符号化表达培养数学语言能力。如例2通过具体数值判断命题真假，课时对点练分层设计，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.3.1　全称量词命题与存在量词命题 学习目标　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假. 导语 同学们,生活中,我们经常听到“全体起立,所有人到操场集合”,也有“南使孤帆远,东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意；我们还经常听到“有的同学考上了清华大学,有的同学没有交作业”,还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词.而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词,“全体、所有的、任意的、有的、存在”等,今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论. 一、全称量词命题与存在量词命题的识别 问题　下列语句是命题吗？比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1=3； (3)对所有的x∈R,x>3； (4)存在一个x∈R,使2x+1=3. 提示　语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上,用短语“存在一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题. 知识梳理 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有、任意、每一个 存在、有的、有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 一般形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 注意点： (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题；存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来. 例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题. (1)对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立； (2)有些整数既能被2整除,又能被3整除； (3)某个四边形不是平行四边形. 解　(1)全称量词命题,表示为∀x∈{x|x>-1},3x+4>0. (2)存在量词命题,表示为∃x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除. (3)存在量词命题,表示为∃x∈{y|y是四边形},x不是平行四边形. 反思感悟　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.存在量词命题的存在量词一般不能省略. 跟踪训练1　判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|； (5)方程3x-2y=10有整数解. 解　(1)该语句可以改为所有的凸多边形的外角和都等于360°,故为全称量词命题. (2)该语句可以改为所有矩形的对角线都不相等, 故为全称量词命题. (3)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形, 故为全称量词命题. (4)含存在量词“有些”,故为存在量词命题. (5)该语句可以改为存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立,故为存在量词命题. 二、含量词命题的真假判断 例2　(课本例1)判断下列命题的真假： (1)∃x∈R,x2>x； (2)∀x∈R,x2>x； (3)∃x∈Q,x2-8=0； (4)∀x∈R,x2+2>0. 解　(1)因为当x=2时,x2>x成立,所以,“∃x∈R,x2>x”是真命题. (2)因为当x=0时,x2>x不成立,所以,“∀x∈R,x2>x”是假命题. (3)因为使x2-8=0成立的x的值只有x=2与x=-2但它们都不是有理数,所以,“∃x∈Q,x2-8=0”是假命题. (4)因为对任意实数x,都有x2≥0,所以,对任意实数x,都有x2+2≥2>0,即对任意实数x,都有x2+2>0成立,因此,“∀x∈R,x2+2>0”是真命题. 例2　判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z,x3<1； (2)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P； (3)∀x∈N,x2>0. 解　(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1, 所以该命题是真命题. (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,该命题是真命题. (3)因为0∈N,02=0, 所以该命题是假命题. 反思感悟　(1)要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素,使命题为真即可；否则命题为假. (2)要判定一个全称量词命题为真,必须对给定集合中的每一个元素,命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为假. 跟踪训练2　试判断下列命题的真假： (1)∀x∈R,x2+1≥2； (2)平面直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点； (3)存在一对整数x,y,使得2x+4y=6. 解　(1)令x=0,则x2+1=1<2, 所以该命题为假命题. (2)与x轴平行的直线与x轴无交点, 所以该命题为假命题. (3)令x=3,y=0, 则2x+4y=6,所以该命题为真命题. 三、由含量词命题的真假求参数的范围 例3　已知集合A={x|-3≤x≤6},B={x|6-m≤x≤m+3},且B≠∅,若命题p：“∀x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围. 解　由于命题p：“∀x∈B,x∈A”是真命题, 所以B⊆A,因为B≠∅,所以 解得≤m≤3. 即m的取值范围为. 延伸探究1　把本例中命题p改为“∃x∈A,x∈B”,求m的取值范围. 解　p为真,则A∩B≠∅, 因为B≠∅,所以6-m≤m+3,即m≥. 所以或 或 解得m≥所以m的取值范围为. 延伸探究2　把本例中的命题p改为“∀x∈A,x∈B”,是否存在实数m,使命题p是真命题？若存在,求出实数m的取值范围；若不存在,说明理由. 解　假设存在实数m,使命题p：“∀x∈A,x∈B”是真命题, 所以A⊆B,B≠∅, 所以解得m≥9, 所以存在实数m,使命题p是真命题,m的取值范围为{m|m≥9}. 反思感悟　含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的概念. (2)含量词的命题的真假判断. (3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：有些命题省略了量词；全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分,共35分；多选题每小题6分,共12分 1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 答案　C 解析　“∀”表示“任意的”. 2.下列命题中是假命题的是(　　) A.∃x∈R,|x|=0 B.∃x∈R,2x-10=1 C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,x2+1>0 答案　C 解析　当x=0时,x3=0,故选项C为假命题. 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A.∀x∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数,则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 答案　C 解析　A项,是全称量词命题,但不是真命题, 故A不正确； B项,是假命题,也不是全称量词命题, 故B不正确； C项,是全称量词命题,也是真命题,故C正确； D项,是真命题,但不是全称量词命题, 故D不正确. 4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.∃n∈N*,2n2+5n+2能被2整除 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,使>2 答案　B 解析　A中,锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B,令n=2,2n2+5n+2=20,能被2整除,所以B是存在量词命题又是真命题；C中,因为+(-)=0,所以C是假命题；D中,对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题. 5.已知命题p：∀x∈R,x2+2x-a>0.若p为真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.a>-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a≤-1 答案　B 解析　由题意得x2+2x-a>0对x∈R恒成立,所以Δ=4+4a<0,解得a<-1. 6.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.∃x∈R,x≤0 B.至少有一个整数,它既不是合数也不是质数 C.∃x∈{x|x是无理数},x+5是无理数 D.存在x∈R,使得x2+1<2x 答案　ABC 解析　A中的命题正确,例如-1满足条件； B中的命题正确,例如数1满足条件； C中的命题正确,例如x=π； D中,x2-2x+1=(x-1)2≥0,即x2+1≥2x,该命题错误. 7.(5分)命题“实数的平方不小于0”,用符号“∀”或“∃”可表示为　　　　　　　　　　　　.  答案　∀x∈R,有x2≥0 解析　命题“实数的平方不小于0”为全称量词命题,其符号表示为∀x∈R,有x2≥0. 8.(5分)若“∃x∈[1,2],x-a≤0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[1,+∞) 解析　由题意得(x-a)min≤0,∴1-a≤0,解得a≥1. 9.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假性. (1)对所有的正实数t为正且 <t；(2分) (2)存在实数x,使得x2-3x-4=0；(2分) (3)存在实数对(x,y),使得3x-4y-5>0；(3分) (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分) 解　(1)为全称量词命题,且为假命题, 如取t=1,则<t不成立. (2)为存在量词命题,且为真命题, 因为判别式Δ=25>0. (3)为存在量词命题,且为真命题, 如取实数对(2,0),则3x-4y-5>0成立. (4)为全称量词命题,且为真命题. 10.(11分)已知M={x|a≤x≤a+1}. (1)若“∀x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围；(5分) (2)若“∃x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)∀x∈M,x+1>0是真命题,则x>-1,由题意知a>-1, 所以实数a的取值范围是(-1,+∞). (2)“∃x∈M,x+1>0”是真命题,则x>-1,由题意知a+1>-1,解得a>-2, 所以实数a的取值范围是(-2,+∞). 11.下列说法正确的是(　　) A.“若x,y互为相反数,则x+y=0”是假命题 B.“∃x∈N,x2+2x=0”是存在量词命题 C.“∀x∈N≥1”是真命题 D.“x>1且y>1”是“x+y>2”的充要条件 答案　B 解析　若x,y互为相反数,则x=-y,即x+y=0,故A错误；“∃x∈N,x2+2x=0”含有存在量词,故B正确；当x=0时≥1不成立,故C错误；若“x>1且y>1”,则“x+y>2”,但“x+y>2”,不一定能得到“x>1且y>1”,例如x=4,y=-1,故D错误. 12.已知集合A={x|1≤x≤2},使命题“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分且不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 答案　C 解析　当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,因为x∈A={x|1≤x≤2},又y=x2在[1,2]上的最大值是4,所以a≥4.因为a≥4a≥5,a≥5⇒a≥4,故选C. 13.(多选)已知集合A={x|x≥0},B={x|x>1},则(　　) A.∃x∈A,x∈B B.∃x∈B,x∉A C.∀x∈A,x∉B D.∀x∈B,x∈A 答案　AD 解析　因为集合A={x|x≥0},B={x|x>1},所以B是A的真子集,所以∃x∈A,x∈B或∀x∈B,x∈A. 14.(5分)已知命题p：∃x∈R,x2+4x+a+1=0为真命题,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(-∞,3] 解析　由∃x∈R,x2+4x+a+1=0为真命题,即关于x的方程x2+4x+a+1=0有实根,得Δ≥0,即16-4(a+1)≥0,解得a≤3. 15.(5分)能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为　　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　存在两个不相等的正数a,b,如a=b=此时a-b=ab是真命题. 16.(12分)已知命题p：对于任意x∈[1,2],都有2x2-a≥0；命题q：存在x∈R,使得x2+2x+2-a=0.若p与q均是真命题,求实数a的取值范围. 解　若命题p为真,则对于任意x∈[1,2],都有a≤2x2,则a≤2； 若命题q为真,则方程x2+2x+2-a=0有解, 则有Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1. 若p与q都是真命题,则即1≤a≤2. 学科网（北京）股份有限公司 $