第04讲 命题、定理、定义（2大知识点+4大题型）（讲义）-2026年新高一数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第04讲 命题、定理、定义 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：命题 3 知识点二：定理、定义 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：命题的基本概念 4 题型 2：命题真假判断 6 题型 3：命题的结构形式 7 题型 4：由命题真假求参数 9 04 过关测试 12 知识点一：命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点二：定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 题型 1：命题的基本概念 例1．下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 例2．（2026·高一·广西河池·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 例3．有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 变式3．下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 题型 2：命题真假判断 例4．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 例5．下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 例6．（2026·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 变式4．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 变式5．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 题型 3：命题的结构形式 例7．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 例8．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 例9．判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 变式6．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 变式7．将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 变式8．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 题型 4：由命题真假求参数 例10．（2026·高一·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 例11．（2026·高一·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 例12．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 变式9．已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 变式10．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）在①，，②这两句话中任选一个，补充到本题中第（2）问横线处，求解下列问题． 设全集是实数集R,，， (1)当时，求、； (2)已知命题p： ，且p为真命题，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分． 1．（2026·高一·福建福州·自主招生）“无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（    ） A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班 2．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·高三·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2026·福建泉州·二模）甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 6．下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 7．（2026·上海松江·二模）十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（    ） ①对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解； ②当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解； ③当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解； ④若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数； A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 8．（多选题）（2026·高一·四川南充·阶段检测）下列命题是真命题的是（    ） A．每个二次函数的图象都是轴对称图形 B．存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上 C．，是无理数 D．至少有一个整数，使得为奇数 9．（多选题）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 10．（多选题）（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若命题“若，则”为真命题，则下列命题中可能为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 12．（2026·高一·北京·阶段检测）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是__________. 13．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 14．（2026·高一·河南平顶山·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 15．（2026·高一·广东广州·阶段检测）设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. (1)若p为真，求m的取值范围； (2)若p为假且q为真，求m的取值范围. 16．（2026·高一·安徽·阶段检测）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 17．（2026·高一·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 命题、定理、定义 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：命题 3 知识点二：定理、定义 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：命题的基本概念 4 题型 2：命题真假判断 6 题型 3：命题的结构形式 7 题型 4：由命题真假求参数 9 04 过关测试 12 知识点一：命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点二：定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 题型 1：命题的基本概念 例1．下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 例2．（2026·高一·广西河池·阶段检测）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 例3．有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 变式1．以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 变式2．下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【解析】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误. 故选：B. 变式3．下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【解析】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 题型 2：命题真假判断 例4．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）对于任意两个集合与，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【解析】对于A项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，若，则对，则，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误. 故选：D 例5．下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【解析】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 例6．（2026·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【解析】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 变式4．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【解析】对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 变式5．下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【解析】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 题型 3：命题的结构形式 例7．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【解析】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 例8．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【解析】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 例9．判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【解析】（1）是能被4整除的自然数，即，所以是偶数．即， 但．反例：是偶数，但不能被4整除． （2）实数满足方程，可得或，即； 同样，如果或，则有，即． （3）若，必有，即． 但满足，而不满足，即． 变式6．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【解析】（1），互为相反数． （2），． （3），． 变式7．将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【解析】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 变式8．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【解析】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 题型 4：由命题真假求参数 例10．（2026·高一·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【解析】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 例11．（2026·高一·上海·阶段检测）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 例12．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【解析】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 变式9．已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 【解析】设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而，解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上：若、一真一假，则或. 变式10．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）在①，，②这两句话中任选一个，补充到本题中第（2）问横线处，求解下列问题． 设全集是实数集R,，， (1)当时，求、； (2)已知命题p： ，且p为真命题，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1），． 当时， 则，． （2）若选①，即，则， 若选②，则，则，， 则． 1．（2026·高一·福建福州·自主招生）“无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（    ） A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班 【答案】B 【解析】若（1）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 则（2）班得第四，此时丙的预测全错，不满足题意； 若（2）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 由丙的预测可知（1）班得第四，满足题意； 若（3）班得冠军，由甲的预测可知（4）不是第三，由丙的预测可知（1）班得第四， 则（2）班得第三，（4）班得亚军，此时乙的预测全错，不满足题意； 若（4）班得冠军，此时甲的预测全错，不满足题意. 故选：B 2．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 3．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 4．（2026·高三·北京·开学考试）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，；（2）对任意a，，；（3）对任意a，b，，.给出下列三个结论： ①； ②对任意a，b，，； ③存在a，b，，； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】①，错误； ②，而，故，正确； ③当且时，，而，显然成立，正确. 故选：C 5．（2026·福建泉州·二模）甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（    ） A．至少有2题有多于一人正确解答 B．至少有1题三人都正确解答 C．至少有1题三人都无法正确解答 D．至多有1题无人正确解答 【答案】A 【解析】假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其它两个问题均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，故A正确； 5道题编号为，甲正确解答，乙正确解答，丙正确解答，则每题都只有2人正确解答．B错； 如果3人都正确解答了所有题，则C错； 如果三人都是正确解答，这时有两题没有人正确解答．D错； 故选：A． 6．下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 【答案】D 【解析】对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相等”，则A错误； 对于B，所给语句是命题，则B错误； 对于C，边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形，对角线相互垂直，但不是菱形，则C错误； 对于D，当时，，方程x2－4x＋a＝0无实根，则D正确； 故选：D 7．（2026·上海松江·二模）十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（    ） ①对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解； ②当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解； ③当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解； ④若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数； A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】由题,将费马大定理写为“若,则”的形式为“若当整数时,则关于、、的方程没有正整数解”,为真命题； 则其命题的否定为：当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,应为假命题,故②错误； 其逆否命题为：若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数,应为真命题,故④正确； 其否命题为：当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解,但时,若、、分别为3、4、5,显然成立,命题为真,故③正确； 由③正确可得到,①显然错误； 故选D 8．（多选题）（2026·高一·四川南充·阶段检测）下列命题是真命题的是（    ） A．每个二次函数的图象都是轴对称图形 B．存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上 C．，是无理数 D．至少有一个整数，使得为奇数 【答案】AB 【解析】由二次函数的性质可知，每个二次函数的图象都是轴对称图形，故A正确； 对角互补的四边形四个顶点在同一圆上，但不是所有的四边形满足对角互补，故B正确； 当时，是无理数，但是是有理数，故C错误； ，其中为整数，所以和是两个连续的整数， 则两个连续的整数的乘积必为偶数，故D错误； 故选：AB 9．（多选题）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，下列命题正确的为（    ） A．存在至少一组正整数组是关于x，y，z的方程的解； B．关于x，y的方程有正有理数解； C．关于x，y的方程没有正有理数解； D．当整数时，关于x，y，z的方程有正实数解. 【答案】CD 【解析】对于A：当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解， 故方程没有正整数解，A错误； 对于BC：没有正整数解，即，， 没有正有理数解，B错误，C正确； 对于D：方程，当满足条件，故有正实数解，D正确. 故选：CD. 10．（多选题）（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若命题“若，则”为真命题，则下列命题中可能为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于B，该命题为原命题的逆命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题； 对于C，该命题为原命题的否命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题； 对于D，该命题为原命题的逆否命题，两个命题真假相同，故为真命题； 对于A，由原命题和D选项可知，两个元素只能有一个在集合里面， 所以若，则或，故A选项为假命题， 故选：ABC 11．（2026·高一·上海·阶段检测）已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得， 若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2026·高一·北京·阶段检测）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 13．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 【答案】3 【解析】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 14．（2026·高一·河南平顶山·阶段检测）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【解析】（1）若是真命题，则，解得， 则； （2）因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 15．（2026·高一·广东广州·阶段检测）设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. (1)若p为真，求m的取值范围； (2)若p为假且q为真，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意若p为真，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以， 即或， 所以m的取值范围为或. （2）由题意若q为真，则关于x的方程无实数根， 所以， 即， 因为p为假且q为真， 故， 即， 综上所述，m的取值范围为. 16．（2026·高一·安徽·阶段检测）设集合，. (1)若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）若时，，又， 若为真，则，若为真，则， 因为都为真命题，所以的取值范围为. （2）因为，所以. 当时，有，即，满足题意； 当时，有，解得. 综上可知，m的取值范围为或. 17．（2026·高一·全国·单元测试）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【解析】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”. 因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”. 有理数集是“好集”. 理由： 因为，， 对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”. （2）证明:因为集合是“好集”， 所以， 若，，则，即. 所以，即. （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，， 若，中有0或1时，显然. 若，均不为0，1，由定义可知，，， 所以，即，所以. 由（2）可得，即. 同理可得. 若或，则. 若且，则. 所以，所以. 由（2）可得，所以. 综上可知，，即命题为真命题. 若，，且，则，所以，即命题q为真命题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $