19.3 二次函数的性质（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考链接，覆盖二次函数核心知识点，梯度合理，适配新授课差异化教学需求，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|单一知识点（性质、系数关系、对称性等）|基础选择填空，强化概念辨析与基础运算| |B组能力进阶|多知识点综合应用（图象与系数综合、函数值比较）|结合图象分析，提升推理能力与综合思维| |C组思维拔高|代几综合与实际情境问题|含代几综合题及最值应用，发展创新意识与模型观念| |拓展链接中考|中考真题对接|精选中考题，培养应用意识与应试能力|

分层作业 19.3二次函数的性质 参考答案 ( 题型01 )的性质 1．B 2．C 3．A 4. C 5. C ( 题型02 )二次函数的图象与系数的关系 6. C 7. A 8. C 9. A 10. B ( 题型03 )二次函数的对称性 11. B 12. D 13. D 14. D 15. A ( 题型04 )二次函数的最值 16. B 17. D 18. C 19. B 20. B ( 题型05 )待定系数法求函数解析式 21. A 22. B 23. B 24. C 25. A 26. 【解析】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 27. 【解析】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 28. 【解析】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 29. 【解析】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 30. 【解析】（1）解：由表格可得顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为． 1. D 2. A 3. B 4. B 5. B 6. A 7. C 8. C 9. C 10. B 11. C 12. B 13. A 14. D 15. B 16. D 17. D 1. B 2. D 3. D 4. D 5. C 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B 11. C 1. C 2. C 3. C 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 19.3二次函数的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 的性质 题型02 二次函数的图象与系数的关系 题型03 二次函数的对称性 题型04 二次函数的最值 题型05待定系数法求函数解析式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 的性质题型01 1．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 2．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 3．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 5．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 二次函数的图象与系数的关系题型02 6．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 7．在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 8．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握好相关知识是关键． 根据二次函数的图象，判断系数、、的符号，并判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B错误，C正确； ∵抛物线过点， ∴，故D错误． 故选：C． 9．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 10．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 二次函数的对称性题型03 11．（2026·河南信阳·二模）已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，先求出对称轴，再计算的值，最后代入点坐标求即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为， 对于抛物线，对称轴为， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得． 12．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 13．若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用抛物线的对称性求解，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵ 两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性．先根据二次函数的对称性求出二次函数图象与直线的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵方程的解是二次函数与直线交点的横坐标， 已知其中一个交点为， 二次函数的对称轴为， 设另一个交点横坐标为， 由二次函数的对称性得， 解得， ∴方程的解为或， 故选：D． 15．（25-26九年级上·广西百色·期中）已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程，即的解是，； 故选A． 二次函数的最值题型04 16．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 17．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 18．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 19．（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【答案】B 【分析】汽车刹车后停下来时，行驶距离s达到最大值，本题利用二次函数的性质，将解析式配方为顶点式，顶点的横坐标即为刹车到停车的时间. 【详解】解：∵ 对解析式配方得： ∵二次项系数 ∴当时，取得最大值，即汽车停下来. 因此汽车从开始刹车到停下来所用时间是秒． 20．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．10 D．16 【答案】B 【分析】根据新的定义得到的表达式，再结合二次函数的性质得到在上，随的增大而增大，据此解答即可． 【详解】解：， 由于二次函数图象开口向上， 则在上，随的增大而增大， 当时，， 即的最小值是1． 待定系数法求函数解析式题型05 21．（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 22．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 23．（2026·陕西延安·二模）年月日是第个全国中小学生安全教育日，某校计划举行一次安全教育活动，学生会的小月同学查看了活动当日的天气情况，发现活动当日时至时的气温随时间的变化满足二次函数关系，其图象如图所示，那么这天的最高气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的对称性求出对称轴，再设顶点式解析式，将点和代入，求出参数，即可得到顶点纵坐标，即为最高气温． 【详解】解：根据图象可知，函数图象经过点和， ∵活动当日8时至20时的气温随时间的变化满足二次函数关系， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 设该二次函数的解析式为， 将点和代入得， 即， 解得， ∴当时，取得最大值， ∴这天的最高气温是． 24．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 25．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 26．已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 27．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 28．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【详解】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 29．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为； （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 30．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，待定系数法求解函数解析式． （1）由表格可得当和时的函数值相等，即可确定对称轴和顶点坐标，再由对称性求解值； （2）设顶点式，再代入一组的值即可求解抛物线的表达式． 【详解】（1）解：由表格可得顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为． 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 2．已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 3．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 4．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 5．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 6．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 7．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 9．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 10．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 11．（2022·宁夏银川·二模）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 【答案】C 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 12．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①根据对称轴得出； ②当时，结合图象进行判断； ③得出点的对称点为，当时，可得结论； ④根据图象可得增减性． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 即， 故①正确； ②当时，函数值大于零，即， 故②错误； ③∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点的对称点为， 当时， 即， 故③正确； ④由图象可知，当时，的值随值的增大而减小， 故④正确； 综上，正确的选项为①③④，共3个． 13．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 14．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 15．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 16．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 17．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 1．【代几综合】如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 2．【代几综合】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 3．【代几综合】若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由顶点横坐标推出，结合抛物线过得到与的关系，再由y轴交点范围确定的取值范围，进而逐一判断各结论． 【详解】解：∵ 抛物线顶点坐标为， ∴ 对称轴为直线， ∴ ． ∵ 抛物线过点， ∴ ， 将代入得， ∴ ． ∵ 抛物线与y轴交点在点与点之间（包含端点）， ∴ ， 将代入得，解得，故②正确； ① ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ③ ∵ 抛物线开口向下，顶点为， ∴ 当时，函数取得最大值为， ∴ 对任意实数，有， 两边减得，故③正确； ④ ∵ 函数最大值为， ∴ 直线与抛物线仅有1个交点， ∵ ， ∴ 直线与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故④正确． 4．【代几综合】已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 5．【代几综合】二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据表格数据推出，，判断①，求出对称轴，结合表格数据推出和2是关于x的方程的两个根，判断②，根据时，与其对应的函数值，求出的范围判断③，求出，进而求出的范围，判断④. 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴ ∴，①正确； ∵和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，则时，， ∴和2是关于x的方程的两个根；故②错误； ∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④错误. 6．【代几综合】已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由二次函数的图象得出，，由二次函数的对称轴公式得出，即可判断①③；求出二次函数的图象与轴的另一个交点是，即可判断②；由图象可得，当时，，再结合，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴，，故③正确； ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点是， ∴当时，，故②错误； 由图象可得，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有③④，共个． 7．【代几综合】（2022·四川自贡·三模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 8．【代几综合】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 9．【代几综合】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 10．【最值问题】（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 11．【实际情境】（2026·天津河东·三模）如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，，，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出，根据勾股定理求出，再比较可解答①；设，，即可得，然后设矩形的面积为，可得，即可得出，求出解判断②；接下来结合，再讨论最大值即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴的长可以是，所以①正确； ∵四边形是矩形， ∴． 设，， ∴． 设矩形的面积为，则， 当矩形的面积为时，即 ， 解得， 所以当时，矩形的面积为； 当时，矩形的面积为，则②正确； ∵， ∴当时，函数有最大值，最大值为，则③不正确， 所以正确的有2个． 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 2．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 3．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 19.3二次函数的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 的性质 题型02 二次函数的图象与系数的关系 题型03 二次函数的对称性 题型04 二次函数的最值 题型05待定系数法求函数解析式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 的性质题型01 1．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 2．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 3．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 5．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二次函数的图象与系数的关系题型02 6．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 7．在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 二次函数的对称性题型03 11．（2026·河南信阳·二模）已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 12．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 13．若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（   ） A． B． C．或 D．或 15．（25-26九年级上·广西百色·期中）已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 二次函数的最值题型04 16．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 19．（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 20．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）我们规定：若，，则．例如，，则．已知，，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．10 D．16 待定系数法求函数解析式题型05 21．（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·陕西延安·二模）年月日是第个全国中小学生安全教育日，某校计划举行一次安全教育活动，学生会的小月同学查看了活动当日的天气情况，发现活动当日时至时的气温随时间的变化满足二次函数关系，其图象如图所示，那么这天的最高气温是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 25．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 26．已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 27．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 28．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 29．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 30．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 1．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知关于的二次函数的图象上有三个点：，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 4．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 6．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 10．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．（2022·宁夏银川·二模）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 12．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 14．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 15．已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 16．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 17．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 1．【代几综合】如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．【代几综合】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 3．【代几综合】若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．【代几综合】已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．【代几综合】二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．【代几综合】已知某二次函数的图象如图所示，与轴的一个交点是，下列结论中①；②；③；④；其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．【代几综合】（2022·四川自贡·三模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．【代几综合】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 9．【代几综合】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 10．【最值问题】（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 11．【实际情境】（2026·天津河东·三模）如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，，，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2026·福建·中考真题）已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $