27.2.3 二次函数y=ax2+bx+c 的图像和性质（分层作业练题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 初中数学二次函数同步练，通过A/B/C组+中考拓展的四层递进设计，实现从基础概念到综合应用再到中考衔接的知识巩固，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|顶点式转化、图像绘制、性质应用等单一知识点|基础填空选择为主，如顶点坐标计算、图像对称性质判断| |B组能力进阶|图像平移、跨函数综合（与一次函数共存）|解答题结合几何情境，如铅球运动最值、正方形中函数关系| |C组思维拔高|新定义（子抛物线）、定点问题探究|探究性问题，如“再生二次函数”定点证明、旋转平移综合| |拓展链接中考|中考真题题型|对接中考考点，如2024上海中考“开口大小”定义题|

分层作业 27.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax2+bx+c转化为顶点式 题型02 二次函数y=ax2+bx+c的图像 题型03 二次函数y=ax2+bx+c的性质 题型04 二次函数y=ax2+bx+c的最值 题型05 二次函数y=ax2+bx+c图像的轴对称性 题型06 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c的意义 题型07 根据二次函数y=ax2+bx+c图像判断式子的符号 题型08 二次函数与一次函数、反比例函数图像的共存 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数y=ax2+bx+c转化为顶点式 题型01 1．二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 2．若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 3．（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 二次函数y=ax2+bx+c的图像 题型02 4．已知二次函数 (1)填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … (2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 5．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 6．如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 二次函数y=ax2+bx+c的性质 题型03 7．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 8．（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 10．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 二次函数y=ax2+bx+c的最值 题型04 11．（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图象如图所示，当0<x<3时，的取值范围是 ______ ． 12．（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 13．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 二次函数y=ax2+bx+c图像的轴对称性题型05 14．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 15．（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 16．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 17．已知，两点都在抛物线上，那么_________． 18．（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 19．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的自变量和函数值的部分取值如下表所示： ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． 5 2 5 ．．． 那么___________（填“”“”或“”）． 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c的意义 题型06 20．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 21．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 23．（2026·上海黄浦·一模）如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 根据二次函数y=ax2+bx+c图像判断式子的符号 题型07 24．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 25．（2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二次函数与一次函数、反比例函数图像的共存 题型08 27．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 28．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 29．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 1．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 2．已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 4．如果将抛物线向下平移若干个单位，那么下列结论中错误的是（    ） A．顶点坐标不变 B．开口方向不变 C．对称轴不变 D．与轴交点个数不变 5．已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 7．将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么____________． 8．如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________． 9．抛物线y＝x2＋2x＋3关于y轴对称的解析式y=___________． 10．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为_______． 11．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 12．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 13．已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 14．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 15．如图，点第一象限内在抛物线上，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与射线交于点，连接交抛物线于点，设点的横坐标为．    (1)用、表示、； (2)求证：； (3)求的比值． 1．【定点问题】对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 2．【数形结合】如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．【数形结合】已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．【新定义】在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 1.（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 2．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 分层作业 27.2.3二次函数y=ax2+bx+ 参考答案 ● A组 巩固过关 颗型01 二次函数y=ax2+bx+c转化为顶点式 1.(2,-),直线x=2 2.13. 3.√26， 颗型02 二次函数y=ax2+bx+c的图像 4.【答案】(1)-1；2；3；2： (2)x1≈0.7，x2≈-2.7 【详解】(1)解：当x=-3时，y=-(-3-2×(-3)+2=-1, 当x=-2时，y=-(-2)}-2×(-2)+2=2: 当x=-1时，y=-(-1)2-2×(-1)+2=3: 当x=0时，y=02-2×0+2=2； 1/11 上好每一堂课 的图像和性质 函学科网·上好课 www.zxxk.com 当x=1时，y=-12-2×1+2=-1: 填表如下： … -3 -2 -1 0 y -1 2 3 2 -1 描点并连线略 (2)略 5.【答案】(1)画出函数图象如图所示： yA -3-2-0 S Y (2)y=(x-1)2-4 (3)-1<x<3 【分析】(1)先描点，再连线即可得出函数图象： (2)利用待定系数法计算即可得出结果； (3)结合函数图象即可得出结果， 【详解】(1)略： (2)解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为山，4)， 设二次函数的解析式为y=a(x-1)-4(a≠0)， 将3,0)代入解析式y=a(x-1)-4(a≠0)得a×(3-1-4=0, 解得a=1, 二次函数的解析式为y=（x-1)-4: (3)解：由函数图象可得，当y<0时，x的取值范围为1<x<3. 6.B 题型03 二次函数y=ax2+bx+c的性质 2/11 上好每一堂课 111 品学科网·上好课 www.zxxk.com 7.c 8.C. 9.【答案】(1)y=x2-2x-8 (2)-5 (3)M坐标为(6,16)或(-4,16) [4-2b+c=0 【详解】(1)解：把A(-2,0)小B(4,0)代入得116+4h+c=0, b=-2 解得1c=-8” ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-8」 (2)解：抛物线的解析式为y=x2-2x-8=(x-)-9,开口向上 .当x=1时，函数有最小值-9， 当x=0时，y=-8:当x=3时，y=9-6-8=-5； 当0≤x≤3时，y的最大值为-5. (3)解：A(-2,0)、B(4,0), :AB=4-(-2)=6, 设M(x,y), 则Sw=54Bw小=48， 即2×6×川=48， 解得y=±16」 当(x-1)-9=16时，此时x=6或x=-4, 当(x-1-9=-16时，此时方程无解， M坐标为(6,16)或（-4,16) 10.C 题型04 二次函数y=ax2+bx+c的最值 11.0<y≤4 12.2, 3/11 上好每一堂课 顶点坐标为(1，-9)， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.B 题型05 二次函数y=ax2+bx+c图像的轴对称性 14.B 15.C 16.(4,6) 17.5 18.直线x=4 19< 颗型06 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c的意义 20.m<1. 21.D 22.D 23.B. 题型07 根据二次函数y=ax2+bx+c图像判断式子的符号 24.D. 25.C 26.D 颗型08 二次函数与一次函数、反比例函数图像的共存 27.A 28.C 29.C B组 能力进阶 1.A 2.A 3.B. 4.A 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 5.B 6.(0,3) 7.4. 8.y=-x2-2 9.(x-12+2 10.3个 11.【详解】(1)解：若m=n, 则A(1,m)B(3,n)是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：x= 1+3=2, 2 故答案为：x=2 (2)解：点A1,mB(3,n)在y=x-1上 .m=1-1=0,n=3-1=2, .A(1,0、B(3,2) 将A(1,0)B(3,2)代入y=ax2+bx+2得： [a+b+2=0, 9a+3b+2=2. a=1, 解得1b=3. y=-3x*2-( 31 故顶点坐标为2,4 12. 【详解】(1)解：把A(0,),B(4,5),C(9,12)代入y=ax2 c=1 c=1 2 ,解得a= 45’ 16a+4b+c=5 37 81a+9b+c=12 b= 45 ..y= 2x+ 4 45+1； 5/11 上好每一堂课 +bx+c(a≠0)得： 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：y= 2x2+3 +1 2 37 )2 1009 x+ 4 451 45 4 360, 371009 “抛物线的顶点坐标为-4’一360 2(92-( 29 1009 1729 ·平移后的顶点移动到点(-2,2)： 360 360: 29 1729 故平移的方法是先向右平移4个单位，再向上平移360 个单位 13.【答案】(1) )2，画图如下 y= 5 4 2 6-4-3-2 1. 2345x (2)3≤m≤5 【详解】(1)解：将点(0，-)，点(2,1)代入y=ar+k(a≠0)中得到： [k=-1 4a+k=1' 1 Q= 解得： k=-1 该二次函数的解析式为：y=x2-1, 2 列表如下： -3 -2 -1 3 7 2 2 (2)根据题意，作图如下： 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 145 1 :函数y=-2?+m的开口向下，且对称轴也是y轴，要使当-2<x<2时，对于x的每一个值，函数 y=- 2+m的值都大于函数y=a㎡+ka0)的值且不大于5， ∴.只需保证当x=2时，2 +m2a2+太，且当x=0时，+ms5, 1 ×4+m≥1 即2 m≤5 解得：3≤m≤5」 14.【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)见解答 (3)①④ 【详解】(1)解：由题意得： c=3 4a+2b+c=3 a-b+c=0 a=-1 解得： b=2 c=3 则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3, (2)解：取点补全表格为： -1 0 3 3 y 0 3 3 0 如图， 7/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：①a=-1,则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为(，4)，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线x=1,则当x≤1时，y随×增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当0<x<3时，y的取值范围为0<y≤4，故③错误，不符合题意： ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积=2×(3+)×3=6，故④正确，符合题意； 故答案为：①④. 15.【答案】(1)b=-2am、c=2am2: (2) 证明：由点A(m,am),可得直线OA的解析式为y=amx, y=amx; 解方程组y=ax2-2amx+2am2. x1=m, x2=2m, 得 出=am2.和 y2 =2am2. 所以点C的坐标为(2m,2am2), 由两点之间距离公式可得OA=mN1+a2m2、AC=mV1+a2m2, 所以OA=AC: 3)V2 【详解】(1)解：根据题意可得点A坐标为m,am), 所以y=a(x-m)'+am2=ax2-2amx+2am2, 所以b=-2am、c=2am2. (2)略 (3)由y=ar2-2amx+2am2可得点B的坐标为(0,2am2)）, 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又点C的坐标为(2m,2am2), 所以BC∥x轴，BC=2m, 解方程ar2=2am2, 得x=±2m,所以BD=V2m: 所以BC:BD=√2 C组 思维拔高 1.(2,0)和(-1,6). 2.B 3.D 4【答案1m+子（13》 2)0证明：将抛物线C,绕其顶点旋转180°后得到的抛物线的表达式为y=-(x+-3, 设抛物线C,的表达式为y=（x+1+m°-3+n ,抛物线C是C1的“子抛物线”， 抛物线C经过点(-山，-3)， 又抛物线C经过原点， 01+m-3+=0 1+1+m-3+m=-3 m=-5 解得 25, n= 3 抛物线c的表达式为y=41-5了-3+宁-4+5。 3 在=+-3中，当x=4时，4+-3- 3 9111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.点E在抛物线C上，即抛物线C的顶点在抛物线C上， 又抛物线y=x-4+白向左平移5个单位长度，向下平移号个单位长度可得到抛物线C, 1 25 ∴.抛物线C1也是抛物线C2的“子抛物线”： ②月 【详解1(a)解：抛物我Cy=+低+c与抽交于点A20、B4.0: ×2+2b+c=0 3 .1 x(-4y-4h+c=0 6=3 3 解得了 8 C=- 3 六抛物线C的表达式为-写+号； 333(x+-3, ∴点D的坐标为（山，-3）； (2)①略 ②，四边形DMEN是平行四边形， ∴.由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得xD+xE=xM+xw, .-1+4=k+k, 翔是 拓展 链接中考 1.【答案】4 2【答案16=-2，c=1 a (2)a<2且a≠0 【详解】(1)解：抛物线G:y=ar+br+ca≠0经过点0'2）】 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .c=I-a a 1 抛物线C的对称轴为x= .- 2a a' .b=-2: (2)解：设点M(,y), :M是抛物线C上的点， 1-a ∴.y=at2-2t+-9 a 由题意，抛物线C,:y=a(x-)}+ar2-21+1-a 设抛物线C,与y轴交于点N(0),则y=2ar2-2+1二4 :无论t为何值，抛物线C2都不经过点O, “无论t为何值，都有乃≠0， 关于t的方程2ar2-21+1。=0a+0)没有实数根 4<0即4-8a1-a<0 a 4-8(1-a<0, 化简得：8a-4<0. 解得：a<2, 1 .a<2且a≠0 11/11 分层作业 27.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax2+bx+c转化为顶点式 题型02 二次函数y=ax2+bx+c的图像 题型03 二次函数y=ax2+bx+c的性质 题型04 二次函数y=ax2+bx+c的最值 题型05 二次函数y=ax2+bx+c图像的轴对称性 题型06 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c的意义 题型07 根据二次函数y=ax2+bx+c图像判断式子的符号 题型08 二次函数与一次函数、反比例函数图像的共存 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二次函数y=ax2+bx+c转化为顶点式 题型01 1．二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【答案】 直线 【详解】解：， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 故答案为：，直线． 2．若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【答案】13 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 3．（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【答案】 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 二次函数y=ax2+bx+c的图像 题型02 4．已知二次函数 (1)填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … (2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 【答案】(1)；2；3；2； (2)， 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： ⋯ 0 1 ⋯ ⋯ 2 3 2 ⋯ 描点并连线略 （2）略 5．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 6．如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 二次函数y=ax2+bx+c的性质 题型03 7．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 8．（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项B：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项C：经过，对称轴为直线，符合题意； 选项D：经过，对称轴为直线，不符合题意； 故选C． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 10．（2026·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 二次函数y=ax2+bx+c的最值 题型04 11．（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图象如图所示，当0<x<3时，的取值范围是 ______ ． 【答案】0< 【详解】解：由二次函数的图象过： ， ， ， 顶点坐标为：， 所以二次函数的图象与x轴另一个交点为（3，0） 所以当0<x<3时，的取值范围是：0<． 故答案为：0<． 12．（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 13．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 二次函数y=ax2+bx+c图像的轴对称性题型05 14．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为， 对于抛物线，对称轴为， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得． 15．（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由题意无法得到抛物线与y轴的交点位置，故无法确定c的符号，故本选项的结论不一定成立； B、由，，得，故本选项的结论错误； C、∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、由于抛物线与x轴有两个交点，则抛物线顶点不在x轴上，即当时，，故本选项的结论错误． 故选：C． 16．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 17．已知，两点都在抛物线上，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵，两点都在抛物线上， ∴、是方程的两个根， 整理方程得， 对于一元二次方程（），根据根与系数的关系，两根之和为， 在方程中，，， ∴． 18．（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 19．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的自变量和函数值的部分取值如下表所示： ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． 5 2 5 ．．． 那么___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由表格数据可得，当时，，当时，， ∴二次函数对称轴为， 设二次函数解析式为， 把，；，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，顶点处函数值最小， ∵时，，时，对称轴为， ∴． 故答案为：． 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c的意义 题型06 20．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 21．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 22．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 23．（2026·上海黄浦·一模）如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，抛物线开口向上，，故A正确，不符合题意； 对称轴为，则，故B不正确，符合题意； 与轴交于正半轴，则，故C正确，不符合题意； 与轴交于不同的两点，则，故D正确，不符合题意． 故选：B． 根据二次函数y=ax2+bx+c图像判断式子的符号 题型07 24．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∴A错误，该选项不符合题意； B、∵，对称轴位于轴左侧， ∴， ∴B错误，该选项不符合题意； C、∵由图可知，当时，， ∴， ∴C错误，该选项不符合题意； D、∵由图可知，当时，， ∴， ∴D正确，该选项符合题意． 故选：D． 25．（2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 二次函数与一次函数、反比例函数图像的共存 题型08 27．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 28．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 29．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 1．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 2．已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．∵是一次函数，且， ∴当时，，故此选项符合题意； B．∵，对任意，都有， ∴，故此选项不符合题意； C．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意； D．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意． 3．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 4．如果将抛物线向下平移若干个单位，那么下列结论中错误的是（    ） A．顶点坐标不变 B．开口方向不变 C．对称轴不变 D．与轴交点个数不变 【答案】A 【详解】解：设抛物线的顶点式为，向下平移个单位，则平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， ∴顶点坐标发生变化，故选项错误； ∵的值不变， ∴抛物线开口方向不变，故选项正确； ∵平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的对称轴为直线，与平移前的相同，故选项正确； ∵当时，对应的值只有个， ∴平移前后抛物线与轴的交点个数都是，故选项正确； 综上，结论中错误的是， 故选：． 5．已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ， ， ∵ m为常数， ∴． 故选：B． 6．已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴对称轴方程为， 解得，代入得， 当时，， ∴顶点坐标为． 故答案为． 7．将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么____________． 【答案】4 【详解】解：∵原抛物线化成顶点式为， ∴顶点坐标为， ∵原抛物线向下平移个单位后，新抛物线解析式为，∴顶点坐标为． ∵顶点落在轴上， ∴，解得：． 故答案为 4． 8．如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________． 【答案】y＝﹣x2﹣2 【详解】解：设平移后的抛物线解析式为， 把点(0，-2)代入，得0-b=-2， 解得b=2， 则平移后的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并会用规律求函数解析式是解答本题的关键． 9．抛物线y＝x2＋2x＋3关于y轴对称的解析式y=___________． 【答案】 【详解】， 关于y轴对称的解析式是， 故答案为：(x−1)2+2 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为_______． 【答案】3个 【详解】，画出图像如图所示： 即可得到有三个交点． 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象问题，准确分析是解题的关键． 11．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点 【详解】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为 12．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 13．已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1) ，画图如下：    (2) 【详解】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向下，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 14．已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 15．如图，点第一象限内在抛物线上，以点为顶点的抛物线与轴交于点，与射线交于点，连接交抛物线于点，设点的横坐标为．    (1)用、表示、； (2)求证：； (3)求的比值． 【答案】(1)、； (2) 证明：由点，可得直线的解析式为， 解方程组 得和 所以点的坐标为， 由两点之间距离公式可得、， 所以； (3)． 【详解】（1）解：根据题意可得点坐标为， 所以， 所以、. （2）略 （3）由可得点的坐标为， 又点的坐标为， 所以轴，， 解方程， 得，所以； 所以． 1．【定点问题】对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 【答案】和 【详解】解： ， 令，解得：或， 当时，，时，， 则抛物线E总过定点和． 2．【数形结合】如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，则， 抛物线的对称轴为直线，即， ∴ ∴， 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则， ∴，故①错误； 由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不相等的实数解， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象知，当时，即，故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：B． 3．【数形结合】已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 4．【新定义】在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)①证明：将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线的表达式为 ∵抛物线是的“子抛物线”， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线， ∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ② 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为； （2）①略 ②∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， 解得． 1.（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 2．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $