19.2 二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 练习以二次函数图象为核心，分A（巩固）、B（进阶）、C（拔高）三层，覆盖从基础性质到综合应用的完整路径，梯度设计适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|图象性质（开口、对称轴、顶点）、顶点式转化|基础选择填空为主，融入各地期末真题，强化概念理解与运算能力| |B组|图象平移/旋转、点坐标比较、参数分析|中等解答题，涉及动态变换与逻辑推理，培养几何直观与推理意识| |C组|代几综合、分类讨论、实际情境应用|复杂探究题（如最值、存在性问题），融合模型构建与创新思维，发展应用意识|

分层作业 19.2二次函数的图象 目 录 A组 巩固过关 题型01 的图象与性质 题型02 的图象与性质 题型03 的图象与性质 题型04 的图象与性质 题型05把化成顶点式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 的图像与性质题型01 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 6．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的对称轴为y轴，即直线． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，即直线． 故选：A． 的图像与性质题型02 7．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数顶点式的对称轴与的对应关系，判断各选项对称轴是否在轴左侧． 【详解】解：A选项，的对称轴为直线，在轴左侧，符合题意； B、C选项对应的二次函数对称轴均为轴，不符合题意； D选项，的对称轴为直线，在轴右侧，不符合题意． 8．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 9．（2026·吉林长春·一模）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小． 【详解】解：点和点都在抛物线上， 将代入解析式得； 将代入解析式得； ， ． 故选：． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 11．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断； 根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：∵二次函数，顶点坐标为，在轴上，且开口向上， ∴抛物线不经过第三象限和第四象限， 故选：A． 12．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】列表： x … 0 1 2 … … 8 2 0 2 8 … … 9 3 1 3 9 … … 7 1 -1 1 7 … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 y轴 向上 y轴 向上 y轴 【分析】将x的值代入函数中，即可求出y的值；二次函数中，当，开口向上，当，开口向下；二次函数的对称轴为y轴，顶点为． 【详解】解： 列表：当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时， ， ，； 当时，， ，； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ． 描点连线：略； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标； ，，开口向上，对称轴为y轴；顶点坐标． 的图像与性质题型03 13．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 14．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 15．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 16．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 17．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 18．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【详解】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 的图像与性质题型04 19．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 20．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 21．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 22．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 23．关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确； ∵， ∴二次函数的图象开口向下，故A正确； ∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误． 把化成顶点式题型05 24．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果． 【详解】解：． 25．（21-22八年级下·浙江金华·期中）把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法对原式变形即可得到结果． 【详解】解： ． 26．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 【答案】D 【详解】解：对二次函数配方得， ∵ 二次项系数， ∴ 二次函数开口向上，函数存在最小值， ∵ 的顶点坐标为， ∴ 取得最小值， 综上，该二次函数开口向上，最小值为． 27．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 28．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知点，均在抛物线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数值的比较，属于基础题型．根据二次函数的性质解答，即可． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵点，均在抛物线上，且， ∴． 故选：A 29．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 【答案】(1) (2)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标， 如图所示： 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，画二次函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据要求，把一般式化为顶点式，即可作答． （2）根据，得开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标，再描点，连线，得出的图象，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）得， ∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标， 令，则， 令，则， 函数的图象． 1．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 2．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合对称性、增减性判断各选项． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵ 当时，或， ∴ A、B均错误． ∵ 当时，随的增大而增大， 当时，则， 故C错误． 当时，随的增大而减小， 当时，则， 故D正确． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 4．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 5．已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 7．（2026·福建三明·三模）将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 8．（2026·山东临沂·二模）将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【答案】D 【分析】设向右平移距离为t，则新抛物线方程为，当时，，判断当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，即可求解． 【详解】解：设向右平移距离为t，则新抛物线方程为， 当时，， ∵是t的二次函数，且二次项系数为负， ∴ 开口向下，顶点在处， ∴ 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴ P点先向上再向下移动． 9．（2022·浙江温州·一模）已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， 当时，， 解得或， 抛物线与轴的两个交点坐标为：，， 当，，时，， ． 10．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 11．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 12．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 13．已知点在抛物线上，其中，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、对称轴和顶点坐标，再根据开口向下的二次函数性质：点离对称轴越远，函数值越小，计算、两点到对称轴的距离，比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴， ∵开口向下的抛物线，点到对称轴距离越大，函数值越小， ∴，且，， ∴． 14．（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据“上加下减”的平移法则求出向下平移后的抛物线表达式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后抛物线的开口方向和顶点坐标，即可得到最终结果． 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为：， ∴平移后抛物线顶点坐标为，且二次项系数为，开口向下， ∵抛物线绕原点旋转后，抛物线形状不变，开口方向向上，顶点坐标关于原点对称， ∴旋转后抛物线的二次项系数由变为，顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的表达式为． 15．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 16．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 1．【分类讨论】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【详解】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 2．【分类讨论】（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】是开口向上，对称轴为轴，最小值为的二次函数，根据区间位置分类讨论，分别判断两个说法的正误即可． 【详解】解：开口向上，对称轴为，时随增大而减小，时随增大而增大． ①当， 若包含原点， 则的最小值， 得， 对应范围为， 此时． 若不包含原点，全在侧， 则，， 可得， 即， 得． 全在侧，同理可得． 因此最大值为，存在最大值， 故①正确. ②当，即， 若全在侧， 则. 可取任意大的正数， 随增大无限增大，不存在最大值， 故没有最大值， ②错误． 综上，①正确②错误． 3．【代几综合】（2026·安徽蚌埠·一模）如图，正方形的边长为，点E在边上，且．动点P从点A出发以秒的速度沿运动，当点P出发2秒后，点E以秒的速度沿向点D运动，当点P到达点D时，P，E两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，掌握分阶段分析点的位置，根据三角形面积公式推导函数表达式，再判断图象形状是解题的关键． 分三段讨论点的位置，分别推导面积与时间的函数表达式，再判断函数图象形状． 【详解】解：当时，点在边上， 此时y关于x的函数图象是一条线段； 当时，点在边上， ∴ 此时y关于x的函数图象是一条与x轴平行的线段； 当时，点在边上，， 此时y关于x的函数图象是一条开口向上的抛物线的一部分． 故选：C． 4．【定性分析】（25-26九年级上·河南安阳·期末）将二次函数的图象向左平移个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（   ） A．持续向上 B．持续向右 C．先向上再向下 D．先向下再向上 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的平移规律，二次函数的增减性分析，动点运动轨迹的判断，将动态过程转化为函数表达式是解题关键． 通过二次函数图象向左平移过程中与轴交点纵坐标的表达式，分析其随平移量变化趋势． 【详解】解：设向左平移个单位（），则平移后函数为， 令，得交点纵坐标， 令，可知这是一个关于的一元二次函数，开口向上，对称轴为， 当，随的增加而减小； 当，随的增加而增加． ∴二次函数图像向左平移过程中，点纵坐标先减后增，运动轨迹先向下再向上． 故选：． 5．【代几综合】（25-26九年级上·贵州安顺·期中）如图，在菱形中，，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中，的面积y与运动时间t之间的关系大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点F作于点H，连接，证明，得到，分别计算和，即可得，结合t的范围即可确定函数的图象． 【详解】解：过点F作于点H，连结， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 同理是等边三角形， ， ， 由题意知， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的面积y与运动时间t之间的关系大致是抛物线的一部分， ， 当或2时，， 当时，， 只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，二次函数的图象，熟练掌握这些知识，表示出的面积是解题的关键． 6．【定量分析】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直于轴的直线与抛物线交于点，左右移动直线，则其与抛物线交于点．若点的纵坐标小于，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 小军：将直线应向右平移任意单位长度． 小天：将直线应向左平移超过个单位长度． A．只有小军 B．只有小天 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． 先根据已知点的坐标求出抛物线的表达式，再根据抛物线的对称轴和点的纵坐标小于3的条件，分析出直线的移动方向和范围． 【详解】解：将代入抛物线， 得：， ， 对称轴：， 关于对称轴的对称点为， 当点的纵坐标小于时，或， 即直线应向左平移超过2个单位长度或向右平移任意单位长度． 故选：C 7．【最值问题】（25-26九年级上·河北张家口·期中）阅读材料：抛物线上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，垂线段最短，勾股定理的应用，仔细审题得出函数的准线与焦点坐标是解答本题的关键．首先得出焦点的坐标和准线方程，由点到点的距离等于点到准线的距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点的位置，结合图形可得出这个最小值． 【详解】解：由题意得，抛物线的焦点的坐标为，准线为直线． 过点作直线，交直线于点，过点作直线，交直线于点，与抛物线的交点为点，如图： 则由题意可得，， 故可得：， 结合垂线段最短，可得当点与点重合时，，此时的值最小， 此时， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为． 故选：A． 8．【存在性问题】如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，点的坐标为或 【分析】首先根据抛物线的表达式得到对称轴为直线，，设点的坐标为，再根据两点间距离公式得到，利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：存在，∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， 当时，，解得：，， 当时，， ∴， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴由勾股定理可得， ∵， ∴，解得，， ∴点的坐标为或． 9．【代几综合】（2022·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知点的坐标特征先求出二次函数的对称轴，然后，再求出其顶点坐标，接着，设二次函数的表达式为，最后，将顶点坐标代入即可求得二次函数的表达式； （2）根据题意找到点平移后对应的两个点的坐标，再由点平移后的点都能恰好落在二次函数的图象上及二次函数的对称轴，得，解方程即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为，可知二次函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数图象的顶点在函数的图象上， ∴将代入可得二次函数的顶点坐标为． 根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：根据题意，设点P的坐标为， 当点向左平移n个单位时，得， 当点向右平移个单位时，得， 均落在二次函数的图象上， ∴，即， 解得． 当时，． ∴点P的坐标为． 10．【实际情境】（2026·陕西渭南·二模）某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过，然后运用待定系数法求解即可； （2）由二次函数的性质可得对称轴为，进而求得点M的横坐标为3，然后求得点M的纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过， 设抛物线的表达式为， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为， ∵轴，米， ∴点M的横坐标为， ∴点M的纵坐标为米， ∴横幅（宽度忽略不计）到地面的距离米． 11．【代数综合】（2026·河南平顶山·二模）如图，抛物线（a为常数）与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标． (2)作直线轴于点，分别交抛物线于点P，Q两点（在左边），若线段的长为4，求点的坐标． (3)已知，线段的两个端点的坐标为，，且线段和抛物线有且只有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解函数表达式，再配方成顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据抛物线的对称性求解即可； （3）当时，，要使得线段和抛物线有且只有一个交点，只需满足，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（a为常数）与轴交于， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为 而， ∴顶点为； （2）解：设 由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 而线段的长为4 ∴，即 将代入，则； （3）解：当时，， ∴要使得线段和抛物线有且只有一个交点，只需满足 解得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 19.2二次函数的图象 目 录 A组 巩固过关 题型01 的图象与性质 题型02 的图象与性质 题型03 的图象与性质 题型04 的图象与性质 题型05把化成顶点式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 的图像与性质题型01 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北邢台·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（   ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 6．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 的图像与性质题型02 7．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 8．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 9．（2026·吉林长春·一模）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 12．在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 的图像与性质题型03 13．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·福建厦门·三模）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 16．抛物线的顶点在（    ） A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 17．已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 18．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 的图像与性质题型04 19．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 20．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 21．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 22．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 23．关于二次函数，下列结论错误的是（   ）． A．图象开口向下 B．最小值为 C．对称轴为直线 D．顶点为 把化成顶点式题型05 24．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 25．（21-22八年级下·浙江金华·期中）把二次函数配方成的形式，结果为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 27．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（   ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 28．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知点，均在抛物线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 1．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 6．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·福建三明·三模）将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·二模）将二次函数的图象，向右平移10单位，平移过程中此图象与轴的交点也会跟着变化．假设此图象与轴的交点为，判断在平移过程中，点位置的变化情形是（    ） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 9．（2022·浙江温州·一模）已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 12．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．已知点在抛物线上，其中，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 16．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．【分类讨论】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 2．【分类讨论】（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 3．【代几综合】（2026·安徽蚌埠·一模）如图，正方形的边长为，点E在边上，且．动点P从点A出发以秒的速度沿运动，当点P出发2秒后，点E以秒的速度沿向点D运动，当点P到达点D时，P，E两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．【定性分析】（25-26九年级上·河南安阳·期末）将二次函数的图象向左平移个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（   ） A．持续向上 B．持续向右 C．先向上再向下 D．先向下再向上 5．【代几综合】（25-26九年级上·贵州安顺·期中）如图，在菱形中，，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中，的面积y与运动时间t之间的关系大致是（    ） A． B． C． D． 6．【定量分析】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直于轴的直线与抛物线交于点，左右移动直线，则其与抛物线交于点．若点的纵坐标小于，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 小军：将直线应向右平移任意单位长度． 小天：将直线应向左平移超过个单位长度． A．只有小军 B．只有小天 C．都正确 D．都不正确 7．【最值问题】（25-26九年级上·河北张家口·期中）阅读材料：抛物线上任意一点到定点和到定直线的距离相等，我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，如，抛物线的焦点为，准线为直线． 解决问题：如图，为抛物线上的一点，为该抛物线的焦点，点的坐标为，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．【存在性问题】如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．【代几综合】（2022·浙江温州·三模）已知一个二次函数的图象与x轴的交点分别为，且顶点在函数的图象上． (1)求这个二次函数的顶点坐标和函数表达式． (2)点P在函数的图象上，若点P向左平移n个单位或向右平移个单位都能恰好落在二次函数的图象上，求点P的坐标． 10．【实际情境】（2026·陕西渭南·二模）某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 11．【代数综合】（2026·河南平顶山·二模）如图，抛物线（a为常数）与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标． (2)作直线轴于点，分别交抛物线于点P，Q两点（在左边），若线段的长为4，求点的坐标． (3)已知，线段的两个端点的坐标为，，且线段和抛物线有且只有一个交点，直接写出的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 19.2二次函数y=ax+bx+c(a*0的图象 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 y=ax的图像与性质 1.B 2.B3.C4.A5.A6.A 题型02 y=ax2+k的图像与性质 7.A8.C9.A10.D11.A 12.【解析】解： 列表： … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 2 1.5 … y=2x2 P 4.5 2 0.5 0 0.5 2 8 4.5 y=2x2+1 9 5.5 1.5 1 1.5 3 9 5.5 y=2x2-1 7 3.5 -0.5 -0.5 1 个 3.5 描点、连线： 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2x2+1k 10 y=2x2← 94 y=2x2-1← 8 7 6 5 4 3 5-43-2-所2345 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2.x2 向上 y轴 (0,0) y=2x2+1 向上 y轴 (0,1) y=2x2-1 向上 y轴 (0,-1) 题型n3 y=a(x-h)的图像与性质 13.B14.A 15.D16.A17.A 18【解折】（山）解：式的图像向右平移3个单位长度得到y-3列矿的图像。 1 (2)解：y=2的图像向左平移1个单位长度得到y=(x+的图像。 题型04 y=a(x-h)+k的图像与性质 19.D20.A 21.B22.A23.B 题型05 把y=ax+bx+c化成顶点式 24.B25.B26.D27.B28.A 29.【解析】(1)解：y=-x2+2x+1=-(x2-2x)+1=-(x2-2x+1-+1=-(x-+2: (2)解：由(1)得y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, -1<0. 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标(1,2)， 令x=0,则y=1, 令x=2,则y=-(2-1+2=-1P+2=1 函数y=-x2+2x+1的图象. y 2 -4-3-2-10 234 2 B组 能力进阶 1.A2.D3.C4.D5.C6.C7.A8.D9.C10.D11.A12.B13.C 14.D 15.D16.B C组 思维拔高 1.B2.B3.C4.D5.D 6.c 7.A 8.【解析】解：存在，：抛物线y=(x-2-1的对称轴为直线x=2, .设点N的坐标为(2，n), 当y=0时，0=(x-2)-1,解得：x=1,为=3， 当x=0时，y=(0-2)}2-1=3, .A1,0),B(0,3), ,△ABN是以AB为斜边的直角三角形， ∴由勾股定理可得NB2+NA=AB2, 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NB2=(2-02+(n-3}=n2-6n+13,NA=(2-1}+(n-0)=1+,4B2=0A+0B2=10, n2-6n+13+1+n2=10,解得八=1，n2=2, .点N的坐标为(2,1)或(2,2) 9.【解析】(1)解：由二次函数图象与x轴的交点坐标分别为(-2,0)，(4,0)，可知二次函数图象的对称轴 为直线x= -2+4=1. 2 ,二次函数图象的顶点在函数y=2x的图象上， ∴将x=1代入y=2x可得二次函数的顶点坐标为(1,2)， 根据题意，设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0)， 将0,2)代入y=a(c+20x-4a≠0，得a+20-4到=2，解得a=-弓， 片=次福数的表达式为y=名+20c-4,即y=号r+音+ 9 (2)解：根据题意，设点P的坐标为(，2)， 当点P向左平移n个单位时，得P'(t-n,2), 当点P向右平移(n+4)个单位时，得P(+n+4,2), P',P均落在二次函数的图象上， .t-n+t+n+4 2 =1,即2t+4=2’ 解得t=-1」 当t=-1时，2t=2×(-1)=-2 点P的坐标为（-1，-2) 10.【解析】(1)解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为(5,4)，且过(0,0)， 设抛物线的表达式为y=a(x-5)+4, 4 则0=a(0-5}+4,解得：a=25 物线的表达式为=名(：-矿+4。 (②解：地物线的表达式为少=c-5+4, .对称轴为x=5, 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN‖x轴，MN=4米， 1 ∴.点M的横坐标为5-4×。=3 2 ∴点M的纵坐标为 6-14-36米。 25 ∴.横幅MN(宽度忽略不计)到地面的距离3.36米 11.【解析】(1)解：：抛物线y=-x2-2ax-2a+6(a为常数)与x轴交于A(-2,0), .-4+4a-2a+6=0 解得a=-1 ∴.抛物线的表达式为y=-x2+2x+8 而y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9, 顶点为1,9)： (2)解：设M(0,m) 由(1)可得抛物线的对称轴为直线x=1, 而线段PQ的长为4 .(1+2,m),P(1-2,m）,即(3，m),P(-1,m) 将x=3代入y=-x2+2x+8,则m=-9+6+8=5; (3)解：当x=-1时，y=-1-2+8=5」 ∴.要使得线段E℉和抛物线有且只有一个交点，只需满足3n-1≥5 解得n≥2. 5/5