专题07 一次函数（期中真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期

**基本信息** 聚焦一次函数四大核心考点，精选安徽多校期中真题，融合新能源汽车、无人机送餐等科技热点与生活情境，实现概念理解与综合应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约60题|一次函数概念、图象性质、与方程不等式关系|结合“励志点”定义、漏刻计时等创新情境考查概念辨析| |解答题|约25题|实际应用、函数与几何综合|以亚运会吉祥物销售、新能源汽车续航等真实问题设计分层设问，突出模型思想与运算能力|

专题07 一次函数 4大高频考点概览 考点01 一次函数的概念 考点02 一次函数的图象和性质 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 考点04 实际问题与一次函数 考点01 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）直线一定经过点（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）若函数 ，则当函数值时，自变量的值是（     ） A. 1或1.5 B. 1 C. 1.5或 D. 1.5 3．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）若是一次函数，则k的值为（　　） A.  B. 3 C.  D. 1 4．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）下列命题中，是真命题的是（       ） A. 形如（k，b都是常数）的函数是一次函数 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 直角三角形两锐角互余 D. 三角形的外角都大于它的任何一个内角 5．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）当为何值时，函数是一次函数． 7．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）已知与x成正比例，且时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点在该函数的图象上，求a的值． 8．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）已知：与成正比例，且时， （1）试求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； 9．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知y与成正比例，且当时，．求出y与x之间的函数解析式． 考点02 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）一次函数的图象不经过第（     ）象限 A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 2．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）平面直角坐标系中，函数的图象经过点，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  3．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 不能确定 4．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（     ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 随的增大而减小 5．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）将直线平移得到直线，则移动方法为（     ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 7．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知 ，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）一次函数的图像经过（       ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 9．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，点在直线与直线之间（不在这两条直线上），则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（     ） A. 若，在函数上，则 B. 图象与轴交于正半轴 C. 图象经过第一，二，四象限 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 11．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）一次函数的图象过点和，则和的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 12．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一定满足（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知正比例函数y=kx（k是不为零的常数）过点，则k的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  14．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）将直线向下平移4个单位，所得直线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）点，，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）若一次函数y＝（k+1）x﹣2的图象从左向右下降，则k的值可以是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 0 17．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知点都在直线上，则的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D. 不能比较 18．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（       ） A. 与轴交于点 B. 不经过第一象限 C. 随的增大而增大 D. 与轴交于点 22．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）已知一次函数的图象经过三个点，则的大小关系（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）若把直线向下平移3个单位长度，得到图象对应的函数解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）若实数k、b满足，且，则一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（     ） A. 3 B. 3或4 C. 6 D. 0或3 26．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知与成正比例，且时，，则时，的值为（） A.  B.  C.  D. 2 27．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）在同一坐标系内，直线和的位置可能是（       ）． A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）已知某一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数为（　　） A. y=﹣x﹣2 B. y=﹣x+10 C. y=﹣x﹣6 D. y=﹣x﹣10 32．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 33．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A. 函数的图象与轴的交点坐标是 B. 函数的图象经过第二、三、四象限 C. 函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D. 点、在函数图像上，若，则 36．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，一次函数与的图象相交于A，则函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知函数（a为常数），当时，y有最大值为5，则a的值为（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 41．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（     ） A. 有最大值，最大值为6 B. 有最小值，最小值为6 C. 有最大值，最大值为 D. 有最小值，最小值为 42．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，⋯在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）已知，在函数的图象上，如果，那么　　　　　　　　．（填“”“”或“”） 45．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）将直线向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式为　　　　　　　　； 46．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知直线与直线平行，那么　　　　　　　． 47．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）若与成正比例，且时，，求与之间的函数表达式． 48．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）将直线向左平移1个单位长度后，所得直线经过点，则n的值为　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且过点． （1）求与之间的函数表达式； （2）当时，求函数的最小值． 50．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点在这个函数的图像上，求n的值． 51．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）已知点、、在一条直线上，则　　　　　　． 52．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． （1）求直线的表达式； （2）如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 53．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在第一象限． （1）的面积为　　　　　　　　　　　　　　； （2）当的面积与的面积相等时，点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求的值； （2）若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 55．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． 56．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）一次函数（为常数且） （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为　　　　　　　　　　； （2）如图：已知长方形中，，，，若一次函数与长方形的边有公共点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求a的值． 58．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）若点在轴上且．求此时点的坐标； （3）若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 59．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点和点B；直线交直线于点，交y轴于D． （1）求直线、的表达式； （2）求的面积； （3）点M是直线上一点，过点M作直线平行于y轴，交于N，若，求点M的坐标． 60．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为　　　　　　　　； （2）当时，总有，则a的取值范围是　　　　　　　　． 61．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知关于x一次函数（m为常数）． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数图象平行于直线，求这个函数图象与x轴的交点坐标； （3）不论m为何值，该函数的图象都经过定点P，求点P的坐标． 62．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点． （1）求直线的函数表达式． （2）求的面积． （3）若点在线段上（可与点A,B重合），点在直线上，求的最小值． 63．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）（1）用描点法画出函数的图象； （2）利用（1）中图象求不等式的解集； （3）利用（1）中图象求：当时，求的取值范围． x 0 1 2 3 y 5 3 1 64．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用连接） 65．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）一次函数， （1）则该函数在轴上的截距是　　　　　　　　　　　 （2）当时，的最大值与最小值的差为8，则的值为　　　　　　　　　　　． 66．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围． 67．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数解析式； （2）若点在这个函数图象上，求n的值． 68．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，求的值． 69．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知函数，m为常数． （1）若该函数的图象与直线平行，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 70．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）已知一次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）画出函数的图象； （3）结合图象，直接写出不等式组的解集． 71．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，已知三点在同一条直线上，求的值． 72．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求a的值． （2）设这条直线与y轴相交于点D，求的面积． 73．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． （1）求A，C两点的坐标； （2）若，则x的取值范围是 _______； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 74．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点，求m的值． 75．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知一次函数的图象如图所示： （1）求该一次函数的表达式； （2）将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围． 76．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． （1）分别求出与的表达式； （2）已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 77．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）已知y=y1-2y2中，其中y1与x成正比例，y2与（x+1）成正比例，且当x=1时，y=3；当x=2时，y=5， （1）求y与x的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图像上，求a的值． 78．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）如图①，四边形中，，．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示．    （1）结合图①和图②可知，__________，__________； （2）①当点在线段上运动时，请写出与的关系式（并写明自变量的取值范围）； ②当时，等于多少？ （3）如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止，设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为时，直接写出的值． 79．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为　　　　　； （2）在点的移动过程中，的取值范围为　　　　　． 80．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若点也在该函数图象上，求的值． 81．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）定义：若关于x的一次函数，满足，则称这两个一次函数互为“未来伴侣函数”． （1）已知关于x的一次函数和互为“未来伴侣函数”，求a，b的值． （2）若关于x的一次函数有“未来伴侣函数”，这两个函数的图象与y轴所围成的三角形的面积为8，求k的值． 82．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则_____． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为_____． 83．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是　　　　　　． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组 的解为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知直线经过点，且经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（     ） A. 方程的解是 B. 不等式和不等式的解集相同 C. 不等式的解集是 D. 方程组的解是 7．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（       ） A. 4 B. 3 C.  D.  8．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图是一次函数的图像，则关于x的方程的解为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k＜0）相交于点（m，4），则不等式（2﹣k）x＞b的解集为（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞4 D. x＜4 10．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数b的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，直线与直线交于点，则方程组 的解是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（     ） A. 在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 14．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是(     ) A. 关于的方程组的解是 B. 方程的解是 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 15．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组 的解为（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（     ） ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 18．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组 的解为　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）已知一次函数的图象如图所示． （1）请在图中作出函数的图象； （2）利用图象解答问题： ①求关于x、y的方程组 的解； ②求关于x的不等式组的解集． 20．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，一次函数与图象的交点的横坐标为，则的解集是　　　　　　． 21．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，已知函数和的图象交于点，则的解集为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与直线相交于点． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 23．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）这个一次函数的解析式为 　　　　　　　　　． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，的取值范围为 　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线交于点，且两直线分别与x轴交于点A，B． （1）求k，m的值． （2）求的面积． 25．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）求三角形的面积； （3）根据图象，直接写出的解集____． 26．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，直线经过原点，若、、，已知，为线段上一动点．则线段的最小值是　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，直线分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在直线上求点M，使得． 28．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． （1）求出点的坐标； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 29．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象（是常数且）分别与x轴和y轴交于点B和点A，一次函数的图象（是常数且）分别与x轴和y轴交于点E和点C，直线与交于点．    （1）求和的值； （2）不等式的解集为______；方程组 的解为______； （3）若点P是直线AB上一点，且，求点P的坐标． 30．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． （1）已知函数为函数、的“星辰函数”，求m，n的值； （2）在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点P．过点P作x轴的垂线l，交函数、的“星辰函数”的图象于点Q．若，函数、的“星辰函数”图象经过点P，求的值． 31．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组 的解为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）一次函数（是常数，且）的图像如图所示，则方程的解为　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； （2）当时，的取值范围是_____； （3）将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 考点04 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系，下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为（     ） … 1 2 3 4 … … 2.4 2.8 3.2 3.6 … A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（       ） A. 当石块下降时，石块在水里 B. 当时，与之间的函数关系式为 C. 石块下降时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 5．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（       ） A. 从甲到乙地共24千米 B. 小帅的骑车速度为8千米/小时 C. 小泽出发0.5小时后小帅才出发 D. 当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米 8．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（       ） A. 乙用6分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D. 甲乙两人之间的最远距离是960米 9．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（     ） A. 乙车的速度为 B. 两地相距 C.  D.  10．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 11．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）有一个最多能称的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表，那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为　　　　　　　． 重量 1 1.5 2 2.5 3 3.5 长度 4.5 5 5.5 6 6.5 7 12．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）在智能制造浪潮下，机器人产业发展迅猛，某机器人制造公司致力于生产不同类型的工业机器人，为满足生产需求，从供应商处采购两种关键零部件，分别是高精度传感器和高性能伺服电机，它们的成本及后续用于组装机器人后的产品售价数据如表： 零部件类别 高精度传感器 高性能伺服电机 采购成本（元/件） 800 600 组装后产品售价（元/件） 1200 900 （1）该公司首次投入20000元采购高精度传感器和高性能伺服电机共30件，请问两种零部件分别采购了多少件？ （2）首次采购零部件组装的机器人销售一空后，公司打算再次采购这两种零部件共250件（采购成本和产品售价保持不变），且第二次采购的总成本不超过180000元，那么公司此次应怎样制定采购方案，才能够获取最大销售利润？最大销售利润是多少呢？ 13．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该专卖店对A种礼盒以每个优惠元的价格进行优惠促销活动，B种礼盒每个进价减少n元，售价不变，且，若最大利润为4900元，请直接写出m的值． 14．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是　　　　　　． 15．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 （1）设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） （2）若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 16．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是　　　　　　　　　　　； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距__________米，__________； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 18．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为　　　　　千米； （2）的值为　　　　　． 19．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度（）随时间（秒）变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_____，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_____； （2）当时，求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； （3）当甲壶中水温刚好达到时，求此时乙壶中的水温． 20．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．折线表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之间的关系．    （1）剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米； （2）求段函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？ 21．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）低空经济是培育新质生产力的重要方向，某城市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞-10分钟送达”的高时效服务，在部分地区开展无人机送餐服务． （1）经测试，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省10分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ （2）某日午高峰3小时内订单总数为72单．已知无人机配送成本为5元/单，但享受政府补贴2元/单，人工配送成本为8元/单．请求出总成本（元）与人工配送单数（单）的函数关系式； （3）在问题（2）的基础上，根据实际情况，无人机配送的单数不超过60单，但至少比人工配送多25单，如何安排配送服务使总成本最低？最低总成本是多少元？ 22．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积等于面积的一半，求的值． 23．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）某儿童服装店准备到批发市场购买A，B两种品牌的儿童内衣．已知B品牌的进货单价是A品牌进货单价的3倍，该儿童服装店购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的关系满足一次函数，部分数据如下表所示． x/件 … 50 60 100 … y/件 … 250 240 200 … 当购买的A，B品牌的儿童内衣中，A品牌内衣为100件时，购买这两种品牌儿童内衣共需7000元． （1）求y与x之间的函数表达式． （2）求A，B两种品牌的儿童内衣进货单价． （3）若该儿童服装店每销售1件A品牌儿童内衣可获利4元，每销售1件B品牌儿童内衣可获利9元．根据销售需求，该儿童服装店决定用不超过5400元购买A，B两种品牌的儿童内衣，该儿童服装店购买A，B两种品牌内衣各多少件才能使利润最大？最大利润为多少元？ 24．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 25．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）一次函数（a为常数）． ①一次函数的图象一定经过点A，点A的坐标为　　　　　　　　； ②已知，，若一次函数的图象与线段有交点，则a的取值范围为　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）新疆纸皮核桃，皮薄如纸，以易取整仁而得名，富含蛋白质、钙、磷、铁等矿物质和微量元素及维生素，具有极高的营养价值．某商贸公司经销甲、乙两个品种的纸皮核桃，甲品种纸皮核桃进价为16元/千克；乙品种纸皮核桃的进货总金额（单位：元）与乙品种纸皮核桃的进货量（单位：千克）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种纸皮核桃的售价分别为20元/千克和25元/千克．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的纸皮核桃共1000千克，其中乙品种的收购量不低于200千克，且不高于500千克． （1）求乙品种纸皮核桃的进货总金额与进货量之间的函数解析式； （2）从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，且收购的纸皮核桃能够全部卖完，该商贸公司收购多少千克乙种纸皮核桃可获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）的基础上，商场把两种核桃混合售卖，并把最大利润的让利给购买者，那么纸皮核桃的销售价应定为多少？（结果保留整数） 27．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地（私家车、客车两车速度不变）．图1是私家车离甲地距离为y（千米）与行驶的时间为x（小时）之间的函数图象，图2是两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数图象： （1）求私家车和客车的速度各是多少？ （2）点P的坐标为______；c的值为______； （3）直接写出两车相距200千米时，两车出发的时间x（小时）的值． 28．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）某公司在甲、乙两个生产基地分别生产了同一种型号的检测设备15台、17台，现要把这些设备全部运往、两市．市需要19台，市需要13台．且运往、两市的运费如下表：                                       两市两基地 市（元/台） 市（元/台） 甲 500 800 乙 600 700 设从甲基地运往市的设备为台，从甲基地运往两市的总运费为元，从乙基地运往两市的总运费为元． （1）分别写出、与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试比较甲、乙两基地总运费的大小； （3）若乙基地的总运费不得超过11300元，怎样调运，使两基地总运费的和最小？并求出最小值． 29．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． （1）与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 30．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 31．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． （1）由图象可知不等式的解集为_______； （2）在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． （1）求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． （2）共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ （3）采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 33．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）随着全球能源转型与环保意识增强，新能源汽车逐渐普及，但“充电难”问题成为制约其发展的瓶颈．某校八年级学生在学习了综合与实践课——生活中的“一次模型”后，利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用“一次模型”探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积（单位：平方米） 3 1 已知新建1个地下充电梯比新建1个地上充电桩多万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要万元． 问题一 填空：该小区新建1个地上充电桩需要______万元，新建1个地下充电桩需要______万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，设建造m个地下充电桩，求出m的取值范围． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，求s与m的关系式，并求出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 34．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． （1）点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； （2）若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 35．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）某重点高中实验班招生，综合考虑考生的中考成绩和校考成绩，方案如下： 考生总成绩按百分制计算，其中中考成绩占，校考成绩占，即 考生总成绩． 已知2025年，该地中考总分为755分，校考总分为520分，甲同学的校考成绩为350分． （1）设甲同学的中考成绩为，总成绩为，求与的函数关系式． （2）若乙同学的校考成绩比甲多1分，则甲的中考成绩至少比乙高几分，才能使总成绩超过乙？（结果保留整数） 36．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 37．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． （1）求甲乙两种产品的进价： （2）现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； （3）在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 38．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）如图，已知直线经过点，． （1）若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出的解集； （3）在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 39．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）某体育用品店准备购进篮球和足球进行销售，这两种球的进价和售价如下表： 种类 进价（元/个） 售价（元/个） 篮球 80 110 足球 60 100 （1）现计划购进篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的一半．该体育用品店怎样进货才能使两种球全部售出后获利最大？最大利润是多少？ （2）某学校需要购买一批该体育用品店的篮球和足球作为体育器材，其中篮球m个，足球24个．体育用品店给出以下两种优惠方案： 方案一：所有球均按售价的八折出售； 方案二：篮球按售价的七折出售，足球按售价的九折出售． 学校采购员应选择哪种方案花费最少？请说明理由． 40．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，写出购买费用W（元）与m（件）之间的函数关系式．求当m为何值时，总费用最少，并确定最少费用W的值． 41．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）定义：对于给定的一次函数，把形如 的函数称为一次函数的衍生函数． （1）已知函数，若点，在这个一次函数的衍生函数图象上，则            ，             ． （2）已知矩形的顶点坐标分别为，，，，当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，          ；当函数的衍生函数的图象与矩形ABCD有两个交点时，直接写出的取值范围            ． （3）已知点在轴上运动，如图，作正方形，点，点．当正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点时，求的取值范围． 42．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 （1）设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； （2）求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 43．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． （1）①求直线的解析式； ②求的面积； （2）①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请写出所有符合条件的整点的坐标． 44．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，是轴上的一点． （1）若点在直线上，求点的坐标； （2）若，求点的坐标． 45．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且． （1）的值为　　　　　； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，连接，则的面积为　　　　　（用含的式子表示）． 46．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． （1）产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ （2）直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ （3）直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 47．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，点是轴上一个动点，过作轴的垂线交于，交于，设． （1）若，，则点的坐标为_____； （2）在（1）的条件下，当从增加到2时，求的最大值和最小值： （3）若，且与始终满足（为常数），求和的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数 考点01 一次函数的概念 考点02 一次函数的图象和性质 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 考点04 实际问题与一次函数 考点01 一次函数的概念 1．A 2．B 3．A 4．C 5．C 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义，并列出关于m的方程．根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得且， 解得：． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例的关系是解决此题的关键， （1）根据题意设函数解析式，再把一组值代入求出k值即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式中，求出m即可． (1) 小问详解： 解：∵与x成正比例， ∴设， 把，代入， 得：， 解得：， ∴， 即． (2) 小问详解： 解：依题意，把代入， 得：， 解得：． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查待定系数法求一次函数解析式，正比例的性质； （1）已知与成正比例，可设，把，代入求出k的值，从而可得函数解析式； （2）在解析式中，令求出x即可． (1) 小问详解： 因为与成正比例，所以可设， 将，代入，得， 解得：， 所以与之间的函数关系式为：，即； (2) 小问详解： 将代入得：， 解得：． 9．【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数，设，将，代入即可求解． 【详解】 解：y与成正比例， 设， 当时，， ， 解得， ， 故y与x之间的函数解析式． 考点02 一次函数的图象和性质 1．A 2．A 3．B 4．D 5．A 6．D 7．D 8．D 9．A 10．D 11．A 12．A 13．D 14．D 15．B 16．C 17．C 18．B 19．B 20．B 21．B 22．B 23．D 24．C 25．D 26．C 27．A 28．A 29．D 30．C 31．B 32．C 33．B 34．C 35．D 36．A 37．A 38．B 39．B 40．C 41．D 42．D 43．B 44．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质．根据函数的增减性进行求解即可． 【详解】 解：∵函数，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数平移，根据一次函数图像平移的规律，向左平移时，在自变量x上加平移单位长度． 【详解】 解：将直线 向左平移2个单位长度， 根据“左加右减”的原则，平移后的解析式为 ， 化简得 ． 故答案为 ． 46．【答案】5 【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解． 【详解】解：直线与直线平行， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等． 47．【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数的定义及一次函数表达式的求解，解题的关键是根据“与成正比例”的关系设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出比例系数．根据正比例函数的定义，设，将、代入解析式，求出比例系数的值；最后将解析式整理为与的一次函数形式． 【详解】 解：∵ 与成正比例， ∴ 设（为常数，且）． 将，代入上式，得， 即， 解得． 将代入，得． ∴与之间的函数表达式为． 48．【答案】3 【分析】 本题考查了一次函数的平移和一次函数图象上点的坐标特征．一次函数的平移规律是左加右减．先求出平移后的直线解析式，再将点代入求解． 【详解】 解：将直线向左平移1个单位长度后， 根据平移规律，所得直线解析式为． 因为所得直线经过点， 所以代入得，解得：． 故答案为：3． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意得，再代入点到，求出的值，即可解答； （2）根据一次函数的性质得到中随的增大而增大，再结合，即可求出函数的最小值． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 则， 解得， ∴与之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴中随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴函数的最小值为． 50．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据y与 成正比例，设y与x的函数表达式，然后将 ，代入求解即可； （2）将代入函数表达式中可得到关于n的一元一次方程，然后解一元一次方程求出n的值． (1) 小问详解： 解：由 与 成正比例可设： ， ； 将 ， 代入得： 解得： 与的函数解析式为： 整理得： (2) 小问详解： 解：将点 代入中得： 解得： 【点睛】 本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键． 51．【答案】4 【分析】 本题主要考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入，即可求解． 【详解】 解：设直线的解析式为， 将和代入，得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 把代入得：． 故答案为：4 52．【答案】（1）     （2） ① 证明：记与y轴交点为点Q，如图， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， 有， 即， 即， ∵， ∴； ②      【分析】 本题考查了一次函数表达式的求解，一次函数图象平移，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由角平分线的性质得到角度的关系． （1）先由待定系数法求解直线的表达式，再由向上平移3个单位长度即可得直线的表达式； （2）① 根据角平分线的性质，可得，再由平行线的性质可得，再根据三角形内角和性质可得，由此可证； ② 根据直角三角形可得，再由三角形内角和性质可得，再由角度相等转化求解度数即可． (1) 小问详解： 解：∵在平面直角坐标系中，， 设直线的表达式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的表达式为， ∵点向上平移3个单位得到点，且， ∴， 即直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：① 略； ② 连接，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 由① 可知，， ∴． 53．【答案】① 1.5    ② 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数表达式的求解，直角坐标系下三角形面积的表示，解决本题的关键是设出点的坐标并表示出． （1）先由直线的函数表达式求解出点的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （2）先求解出直线的函数表达式，可得到点的坐标，设出点的坐标，再求解出的长度，根据三角形面积建立等式求解即可． 【详解】 解：（1）∵直线交轴于点， 令，可得， ∴点， ∴，， ∴的面积为； 故答案为：； （2）∵直线交轴于点， ∴，解得， ∴直线， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为2， 则有， ∴点， 设点， ∴， ∴， 若的面积与的面积相等， 即， 则， 即，解得， ∴点的坐标为． 故答案为： ． 54．【答案】（1）     （2）点的坐标为或      【分析】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：将点代入，得， 解得 (2) 小问详解： 由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ① 将代入，得， 所以点的坐标为； ② 将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 55．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与y轴的交点问题等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出点D的坐标，再运用三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入得： ， 解得： ， 一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入得：， ，则， 的面积； 56．【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）由一次函数解析式为，可得出点的坐标为； （2）分别求出当一次函数经过点时及当一次函数经过点时，求出k的值，现求出的取值范围． 【详解】 解：（1）一次函数恒经过点， 点的坐标为． 故答案为：； （2）长方形中，，，， ， 当一次函数经过点时， 解得：， 当一次函数经过点时， 解得：， 一次函数与长方形的边有公共点， 由图可知，或 故答案为：或 57．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键． （1）设，把，代入，求出，即可得出答案； （2）把点的坐标代入函数解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，设， 把，代入得：， 解得：， ， 与之间的函数关系式是； (2) 小问详解： 解：点在这个函数图象上， 把点代入得：， ． 58．【答案】（1）     （2）或．     （3）      【分析】 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据一次函数的解析式，得到点B的坐标，再根据，以及三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，利用数形结合及的面积为10，以及三角形的面积公式进行列式计算，解得m的值，即可得出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 即点C坐标为． ∵一次函数经过、点， ∴ ， 解得： ， ∴一次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵一次函数与y轴交于点B， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 则， 解得， 即， 故， ∴或． (3) 小问详解： 解：∵点在轴左侧的直线上，且由（1）得直线的表达式为； ∵，， ∴， ∴点在第三象限， ∴设P的坐标为，且，连接 ∵的面积是10，，且由（2）得， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为． 59．【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）将代入直线可得，从而得出直线的解析式为；将代入直线的解析式可得，推出，将代入直线计算即可得解； （2）求出点、的坐标，从而可得，再由三角形的面积公式计算即可得解； （3）设，则，表示出，结合，得出，求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入直线可得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 将代入直线的解析式可得，即， ∴， 将代入直线可得， 解得， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， ∴的面积 (3) 小问详解： 解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴点的坐标为或． 60．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了一次函数中两直线平行和相交的问题，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系和一次函数的图像和系数的关系是解答本题的关键． （1）求出直线的解析式，再由可得；（2）先求出，时的值，根据当时，总有即可求解． 【详解】 解：（1）∵直线经过，两点 ∴ 解得： ∴： ∵ ∴， 故答案为：； （2）联立 ， 解得 ， ∴直线与直线的交点坐标为, ∵当时，总有， ∴ 解得：． 故答案为：． 61．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意可得当时，，代入函数解析式计算即可得解； （2）由一次函数图象平行的性质求出，从而可得出一次函数的解析式，再令，计算即可得解； （3）将函数解析式变形为，再结合不论m为何值，该函数的图象都经过定点P，求出、的值，即可得解． (1) 小问详解： 解：∵函数图象经过原点， ∴当时，，即， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵函数图象平行于直线， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴这个函数图象与x轴的交点坐标为； (3) 小问详解： 解：， ∵不论m为何值，该函数的图象都经过定点P， ∴， 解得， 此时， ∴点P的坐标． 62．【答案】（1）     （2）     （3）最小值为4      【分析】 本题考查一次函数的性质及应用： （1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据求解； （3）将转化为t的一次函数，结合t的取值范围进行求解即可． (1) 小问详解： 解：点在直线上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得 ， 直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：对于，当时，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：点在线段上，点在直线上， ，， ， 点在线段上，，， ， ， 随t的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为． 63．【答案】（1）描点、连线，如图： （2）； （3） 【分析】 本题考查了画一次函数图象，求一元一次不等式的解集，求一次函数自变量或函数值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）通过列表、描点、连线画出函数图象； （2）先求出当时，自变量x的值，再结合图象求出不等式的解集； （3）先求出当时，再求出当时，求的取值范围． 【详解】 （1）列表： （2）当时，，解得：， 所以结合函数图象可知，不等式的解集为； （3）当时，， 结合函数图象可知当时，． x 0 1 2 3 y 5 3 1 64．【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】 解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：① 过第一、三象限，故； ② ③ 过第二、四象限，故，； ② 比③ 更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 65．【答案】①     ② 2或或2 【分析】 本题考查了一次函数的基本性质（截距定义）及一次函数的增减性与最值问题，解题的关键是掌握一次函数中截距的定义，以及根据的符号判断函数增减性，进而分情况求解即可． （1）根据一次函数截距的定义，令求出对应的值，即为轴截距； （2）先确定自变量取值区间的长度为，分（随增大而增大）和（随增大而减小）两种情况，分别表示出最大值和最小值，根据差值为列方程求解． 【详解】 （1）解：对于一次函数， 令，则， 故答案为：； （2）解：∵ 自变量取值范围为，区间长度为， 分两种情况讨论： ① 当时，随增大而增大， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； ② 当时，随增大而减小， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； 综上，的值为2或． 66．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据待定系数法，即可求解； （2）分别把和代入，再根据一次函数的增减性，即可求解． (1) 小问详解： 解：设一次函数的表达式， ∵点，在此函数图象上， ∴ ，解得： ∴这个一次函数表达式为 (2) 小问详解： 把代入得：； 把代入得：； ∵， ∴y随x的增大而减小． ∴当时，x的范围是； 【点睛】 本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的增减性，掌握相关知识是解题的关键． 67．【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可设函数解析式为，整理得，结合题意代入，求出的值，即可解答； （2）代入点到，求出n的值即可求解． (1) 小问详解： 解：∵与成正比例， ∴设函数解析式为， 整理得：， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：代入点到，得， 解得， ∴n的值为3． 68．【答案】（1）     （2）1或      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识点． （1）先将代入，求出，再将代入，即可求解； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与轴交于点，与直线交于点， ∴将代入，则， ∴， 将代入，则， 解得， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：对于，令，则， 解得， ∴， ∴的面积是； ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设， ∵， ∴ ． ∵，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出 ， 解得； 当时， 得出 ， 解得； ∴的值为1或． 69．【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两直线平行，则两直线的解析式中x的系数相等，据此解答即可； （2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x的系数为正数，常数项为负数或零，据此解答即可． (1) 小问详解： 解：∵函数的图象平行于直线， ， ； (2) 小问详解： 解：函数是一次函数，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的取值范围是． 70．【答案】（1）     （2） 画函数图象如下：      （3）      【分析】 （）利用待定系数法解答即可； （）求出一次函数的图象与轴的交点坐标，再经过点和画出函数图象即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与不等式，正确画出一次函数图象是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象经过点 ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为， 过点和． (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集为． 71．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是一次函数的解析式求解与应用；通过设一次函数的解析式，利用已知两点坐标求出解析式，再根据“直线上的点的坐标满足直线的解析式”这一特征，将第三个点代入解析式，从而求出未知的横坐标的值． 【详解】 解：设经过，两点的直线的表达式为， 则 ， 解得 ∴， 将点代入， 得， 解得： 72．【答案】（1）a＝7     （2）3      【分析】 （1）利用待定系数法解答解析式即可； （2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为y＝kx＋b，把A（−1，5），B（3，−3）代入， 可得： ， 解得： ， 所以直线解析式为：y＝−2x＋3， 把P（−2，a）代入y＝−2x＋3中， 得：a＝7； (2) 小问详解： 由（1）得点P的坐标为（−2，7）， 令x＝0，则y＝3， 所以直线与y轴的交点坐标为D（0，3）， 所以△OPD的面积＝×3×2＝3． 【点睛】 此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法求解析式． 73．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． (1) 小问详解： 解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； (2) 小问详解： ∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； (3) 小问详解： ， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 74．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键． （1）由与成正比例，设，把，代入解析式求解k即可得到答案； （2）把点的坐标代入函数解析式解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵与成正比例， ∴设， ∵时，， ∴， 解得：， ∴，即：， ∴y与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：∵它的图象经过点， ∴， 解得：． 75．【答案】（1）     （2） 图象如图：       【分析】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点，运用待定系数法可以求得该函数的表达式； （2）根据一次函数的平移解答即可． (1) 小问详解： 解：∵一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点， ∴ ， 解得 ， 即该一次函数的表达式是； (2) 小问详解： 解：把向下平移4个单位后可得：， 当时，；当时，， 所以，当时新函数y的取值范围为． 76．【答案】（1），直线：     （2）点的坐标为或      【分析】 本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、直线构成的三角形面积等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，将代入直线：求解即可得到；进而得到直线与轴交点，再由待定系数法求直线表达式即可得到答案； （2）由（1）知，、、，在平面直角坐标系中表示出，由建立方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：直线：与直线：交于点， 点在直线：上， 则； ， 直线：与x轴正半轴交于点， 当时，，解得，即， ， ，即， 直线：过点、， ，解得 ， 直线：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，、、， ， 则， 即， ， 则，解得， 是直线：上， 当时，，即； 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或． 77．【答案】(1) ；(2) 1 【分析】 (1)y1与x成正比例，可设y1=k1x，y2与(x+1)成正比例，可把x+1看成一个整体，设y2=k2（x+1），利用待定系数法即可求解． (2)把（a，3）代入解析式，求a即可 【详解】 解：(1)设，， 则此时，代入点(1,3)和点(2,5)， 得到： ， 解得： ， ∴与的关系式为：， 故答案为：； (2)∵点(a,3)在函数图像上， ∴3=2a+1, 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查待定系数法求一次函数的解析式，题目要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系． 78．【答案】（1）；     （2）①；②或     （3）或或      【分析】 本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了一次函数解析式的求解、一元一次方程的应用．掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）结合图① 和图② 可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了，再根据即可求解； （2）① 设，将点，代入即可求解；② 分类讨论点在线段上运动、在线段上运动两种情况即可求解； （3）分类讨论点在边上、点在边上两种情况，画出对应图形，表示出的面积与时间的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：结合图① 和图② 可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了， ∴，，， 由图② 得：， ∴， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：① 当点在线段上运动时，设， 将点，代入得： ， 解得： ， ∴； ② 当时， （i）若点在线段上运动， 即，解得：； （ii）若点在线段上运动， 则，即：， 解得：， 综上所述：当或时，， (3) 小问详解： 解：∵，， ∴点需要运动到边上，后到达点， 点需要运动到边上，后到达点， （i）若点在边上，即，如图所示：    ， ∵， ∴， 解得：或； （ii）若点在边上，即，如图所示：    ， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：或或． 79．【答案】①     ② 或或 【分析】 本题考查了一次函数的定点问题、一次函数的性质以及直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）通过对直线解析式进行变形，分析出不受参数影响的定点坐标； （2）分析点在端点及特殊位置（直线平行）时的斜率，结合线段的范围确定的取值范围． 【详解】 （1）解：将直线变形为， 当，即时，的取值不影响的值，此时， 定点． （2）直线与轴交于点， 令，解得， ， ① 当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ② 当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ③ 当直线与直线平行时，此时，与直线无交点， 故， 结合图形分析， 当时，与线段（及右侧延伸）相交； 当时，与线段（及左侧延伸）相交； 当时，与线段相交． 的取值范围为或或． 80．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质． （1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式； （2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值． (1) 小问详解： 解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为 (2) 小问详解： 解：将点代入， 得： 解得： 81．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数的应用，求直线围成的三角形面积等知识； （1）根据“未来伴侣函数”的定义，直接由绝对值之和为0得出方程求解； （2）先根据定义求出伴侣函数，再求两函数与y轴的交点及交点坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． (1) 小问详解： 解：∵互为“未来伴侣函数”， 根据定义，，其中， ∴， ∵ 绝对值非负， ∴ ， ∴； (2) 小问详解： 解：设的“未来伴侣函数”为， 根据定义，，其中， ∴， ∴且。 ∴， ∴， 对于，当时，，即点， 对于，当时，，即点， 解方程 ， ∵（否则两直线重合，无三角形）， ∴， 代入，即点， 三角形顶点为，，， 底边在y轴上，长度， 高为点C到y轴距离1， 由题意得： ， ∴或， 82．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由矩形的性质得点的坐标为，将代入解方程即可； （2）由条件得直线经过点和点，或经过点和点是两个临界状态，且直线旋转到直线再到靠近轴，的值越来越小，直线旋转到直线再到靠近轴，的值越来越大；由矩形的性质得，分别把代入求得的值，结合图象即可求得的取值范围． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：在长方形中，，， ∴， 将代入得， 解得， 故答案为：． (2) 小问详解： 在长方形中，，， ∴， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 则的取值范围为：或， 故答案为：或． 83．【答案】且 【分析】 本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】 解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A 9．A 10．A 11．C 12．D 13．D 14．A 15．B 16．A 17．B 18．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．由两函数图象交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点A的坐标即可． 【详解】 解：∵点在函数上， ∴代入得， 解得， ∴交点坐标为， 故方程组的解为 ． 故答案为： ． 19．【答案】（1） 画图如下：      （2）① ；②      【分析】 （1）列表，描点，再连线即可； （2）① 根据两函数图像交点即可得解；② 找到两函数图像都在x轴上方，且图像在图像上方时对应的x的范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 由图可知：和图像交于， ∴关于x、y的方程组 的解为 ； ② 由图可知：与x轴交于，与x轴交于， ∵两函数图像交点为， ∴两函数图像都在x轴上方，且图像在图像上方时， x的范围是， ∴关于x的不等式组的解集为． 【点睛】 本题考查了画一次函数图像，一次函数与二元一次方程组，一次函数和不等式的关系，解题的关键是理解函数与方程组和不等式的关系，结合图像解答． 20．【答案】x＞−2 【分析】 根据函数图象，写出直线y1＝kx＋b在直线y2＝x＋a下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】 解：根据图象得，当x＞−2时，kx＋b＜x＋a， 故答案为：x＞−2． 【点睛】 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围． 21．【答案】 【分析】 本题考查由图象法解不等式，熟记图象法解不等式的方法是解决问题的关键． 求的解集就是找函数图象在函数图象交点及其上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】 解：由图可知，函数和的图象交于点， 求的解集就是找函数图象在函数图象交点及其上方部分对应的的取值范围， 当时，函数图象在函数图象上方， ， 故答案为：． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入可求出的值，进而得到点的坐标，再把点的坐标代入可求出m的值； （2）结合函数图象，找出直线在直线的下方（含交点）所对应的自变量的范围即可； (1) 小问详解： 解：把代入，得 ， ∴, ∴， 把代入，得 ， ∴， (2) 小问详解： 解：由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集为； 23．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式； （2）根据当时，，结合图象即可求得． 【详解】 解：（1）∵一次函数 的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴这个一次函数的解析式为； 故答案为：； （2）当时，； ∴将代入， 解得：， 当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴， ∴大于的系数，且， ∴． 故答案为：． 24．【答案】（1），     （2）24      【分析】 本题考查了一次函数的性质，直线围成的三角形面积等知识，属于基础知识，务必牢固掌握． （1）把点C坐标代入中，可求得m的值，从而可得点C的坐标；再把点C坐标代入中，即可求得k的值； （2）求出两直线与x轴的交点，即可求得的面积． (1) 小问详解： 解：把点C坐标代入中，得：， ∴， 把代入，得：， 解得：， 综上，，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴． 答：的面积为24． 25．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （）利用待定系数法解答即可； （）联立函数解析式，求出点坐标，再求出点坐标，得到的长，最后根据三角形的面积公式计算即可； （）根据图象即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，三角形的面积，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把和分别代入， 得： ，    解得： ， ∴直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立函数式得 ， 解得 ，    ∴， 在中，令，即， 解得， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由图象可得，当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 26．【答案】1.25 【分析】 本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，垂线段最短，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高是解题的关键． 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点点，得出，，最后利用三角形的面积求出边的高，即可解决问题． 【详解】 解：如图：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，设的边上的高为， ，，． ，，； 设三角形中边上的高为， 由， 得， 解得：， ， 当时，有最小值为， 长度的最小值为1.25， 故答案为：1.25． 27．【答案】（1）点A的坐标为     （2）点M的坐标为或      【分析】 本题主要考查了直线围成的图形面积，求两直线的交点坐标： （1）联立两直线解析式求出对应的x、y的值即可得到答案； （2）分当点M在点A下方时，当点M在点A上方时，两种情况求出与的关系进而得到与的关系，从而求出，进而求出点M的坐标即可． (1) 小问详解： 解；联立 ，解得 ， ∴点A的坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，当点M在点A下方时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点M的坐标为； 如图，当点M在点A上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 28．【答案】（1）     （2）当时，     （3）点坐标为或      【分析】 本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可． (1) 小问详解： 解：把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联立方程组得， ， 解得， ， 点坐标为：； (2) 小问详解： 解：根据图象可知，在点或点的左侧时，， ∴当时，； (3) 小问详解： 解：由（1），． ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 当时，， ∴， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或． 29．【答案】（1），；     （2）， ；     （3）点P的坐标为或      【分析】 本题时一次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）利用待定系数法，将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中求解，即可得到答案； （2）利用图象法即可解不等式和方程组； （3）由（1）可知直线AB的表达式为，直线CD的表达式为，分别求出、两点坐标，进而求得，设点P的坐标为，根据，得到，求出的值，即可得到点P的坐标． (1) 小问详解： 解：将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中， 得： ，解得 ； (2) 小问详解： 解：由图象可知，一次函数的图象在一次函数的图象上方的部分，为不等式解集，与的交点为方程组 的解， 一次函数与交于点 不等式的解集为，方程组 的解为 ， 故答案为：， ； (3) 小问详解： 解：由（1）可知直线AB的表达式为，直线CD的表达式为， 当时，，解得， ， ， 当时，，解得， ， ， ， ， 设点P的坐标为， ， 解得：或， 当时，；当时，， 点P的坐标为或． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一次函数的性质，二元一次方程组，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，代入得到，由此化简即可求解． (1) 小问详解： 由题意得 ． 整理得， ∴ ， 解得 ． ∴． (2) 小问详解： ∵函数、的“星辰函数”图象相交于点， ∴ 解得 ， ∴P点坐标为， ∵函数、的“星辰函数”为 化简得， ∵点P在函数、的“星辰函数”图象上，代入得 ，整理得， ∵， ∴两边都除以得． 31．【答案】 【分析】 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】 解：整理方程组 ，可得 ， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为 ． 32．【答案】 【分析】 结合图像，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解． 【详解】 ∵一次函数（是常数，且）的图像与x轴交点的坐标的横坐标为， ∴的解为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键． 33．【答案】（1） 图象如下： ．     （2）     （3）12      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 考点04 实际问题与一次函数 1．A 2．D 3．B 4．D 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得 ， ∴直线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点睛】 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 11．【答案】13.5 【分析】 本题考查了一次函数的应用，求出弹簧的长度与物体重量的关系式是解题关键．由表格可知，弹簧的长度与物体重量的关系是一次函数关系，利用待定系数法求出，再根据弹簧秤最多能称，即可求出弹簧最长的长度． 【详解】 解：由表格可知，弹簧的长度与物体重量的关系是一次函数关系， 则设， 根据表格中提供的数据知：得当时，；当时，， ，解得： ， ， 弹簧秤最多能称， 当时，， 即在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为， 故答案为： 12．【答案】（1）采购高精度传感器10件，采购高性能伺服电机20件     （2）第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获取最大销售利润，最大销售利润是90000元．      【分析】 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设两种零部件分别采购的数量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设第二次采购高精度传感器x件，则采购高性能伺服电机件，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设销售利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值及此时的值即可． (1) 小问详解： 解：设采购高精度传感器a件，采购高性能伺服电机b件． 根据题意，得 ， 解得 ． 答：采购高精度传感器10件，采购高性能伺服电机20件． (2) 小问详解： 解：设第二次采购高精度传感器x件，则采购高性能伺服电机件， 根据题意，得， 解得， 设销售利润为W元， 则， ∵， ∴随x的增大而增大， ∵， ∴当时W值最大，， 则（件）． 答：第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获取最大销售利润，最大销售利润是90000元． 13．【答案】（1）     （2）5500元     （3）10      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式和最大值的问题，根据一次函数的性质解题即可． （1）根据题等量关系建立函数关系式． （2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先列出利润y与x的函数解析式，再分，，三种情况讨论即可得出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得：A种礼盒x个，且，则B种礼盒为个， 故， 整理得：． 故y与x之间的函数关系式为：. (2) 小问详解： 根据题意得：A种礼盒x个，且，则B种礼盒为个， 购进100个礼盒的总费用不超过15000元， 即， 整理得：， 故， ∴，且， ∴y随着x 的增大而增大， ∴当，y有最大值， 此时： ∴最大利润为：5500元． (3) 小问详解： ∵ ∴ 由题意得：， 整理得： 代入， 得出：， ∵， ∴当时，即，时，y随着x的增大而增大． ∴当，y值最大，即， 解的，符合题意． 当时，， 故时，不符合题意，舍去． 当时，即，时，y随着x的增大而减小． ∴当，y值最大，即， 解得：，不合题意，舍去． 综上．． 14．【答案】或或 【分析】 根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解． 【详解】 解：如图， 观察图象得：当x=2时，y≥1， 即，解得：， 当x=-2时，y≥3， 即，解得：， ∴的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 15．【答案】（1）；     （2）购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元      【分析】 此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． (1) 小问详解： 解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 16．【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，，则，求出两直线的交点坐标，即可； （2）根据题意分别求出一次函数与轴交点为：，与轴交点为：，再根据两个函数，求出交点坐标，最后根据两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则，解出，即可． 【详解】 解：（1）当时，， ∴， 解得：， ∴， 这两个函数图象的交点坐标为：； （2）一次函数与轴交点为：，与轴交点为：， ∵一次函数与相交， ∴， ， ∴， ∴， ∴一次函数与的交点坐标为， ∵两个函数图象与轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：或， 故答案为：（1）；（2）或． 17．【答案】（1）     （2）     （3）7分或11分或13分      【分析】 本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： (2) 小问详解： 由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得： ， ∴线段所在直线的函数解析式为：； (3) 小问详解： 机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得： ， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 18．【答案】① 180    ② 3.75 【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】 （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 19．【答案】（1）20；1     （2）     （3）当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为      【分析】 本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 故答案为：20；1； (2) 小问详解： 解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得： ， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． (3) 小问详解： 解：∵甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 20．【答案】（1）150     （2）     （3）160千米      【分析】 本题主要考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式， 根据函数图像求解即可； 利用待定系数法求的线段的函数解析式，结合图像可知其自变量的取值范围； 结合图像可知汽车剩余电量为30千瓦时符合线段的函数解析式，代入求解即可． (1) 小问详解： 解：由图像可知，剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为150千米 故答案为：150； (2) 小问详解： 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ，解得： 段的函数解析式为； (3) 小问详解： 解：当时，， 解得：． 即该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是160千米． 21．【答案】（1）午高峰3小时内无人机送单数是单     （2）     （3）安排无人机配送单，人工配送单总成本最低，最低总成本是元      【分析】 本题考查分式方程的应用，求一次函数解析式，一元一次不等式组的应用，一次函数增减性，解题的关键在于正确理解题意找出等量关系或不等关系． （1）设午高峰3小时内无人机送单数是单，则人工送单数为单，根据无人机配送每单可节省10分钟，建立方程求解，即可解题； （2）根据题意列出关系式即可； （3）根据题意列出一元一次不等式组，求出取值范围，再结合一次函数增减性求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：设午高峰3小时内无人机送单数是单，则人工送单数为单， 无人机送餐“5分钟起飞-10分钟送达” ，且用无人机配送每单可节省10分钟， 又3小时分钟， ， 解得， 经检验，使得， 则是该方程的解， （单）， 则午高峰3小时内无人机送单数是单． (2) 小问详解： 解：由题知，； (3) 小问详解： 解：无人机配送的单数不超过60单，但至少比人工配送多25单， ， 解得， 中随的增大而增大， 越小，配送服务总成本越低， 取正整数， 当时，总成本最低， （单）， 即安排无人机配送单，人工配送单总成本最低，最低总成本是元． 22．【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； (2) 小问详解： ∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 23．【答案】（1）     （2）A品牌进货单价为10元，B品牌进货单价为30元     （3）购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元      【分析】 本题考查一次函数及其应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意并求得一次函数解析式是关键； （1）设y与 x之间的一次函数为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）所求可求得购买B品牌内衣的数量，根据：购买这两种品牌儿童内衣共需7000元建立方程即可求解； （3）设利润为元，则，再根据题意得，利用一次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的一次函数为， 由表格知，当时，；当时，； 则 ， 解得： ， ∴， 答：y与x之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴当时，； 设A品牌进货单价为a元，则B品牌进货单价为元， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 答：A品牌进货单价为10元，则B品牌进货单价为元； (3) 小问详解： 解：设利润为元，则， 由题意得：， 即， 解得：， 对于，， ∴当时，函数值随自变量的增大而减小， ∴当时，取得最大值，且最大值为：， 此时（件）， 答：购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元 ． 24．【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元     （2）该校购买这40件劳动用品至少需要950元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． (1) 小问详解： 解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得： ， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． (2) 小问详解： 解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 25．【答案】①     ② 且 【分析】 该题考查了一次函数的图象和性质，①通过变形函数解析式，令含a的系数为零，求得定点坐标；②先根据一次函数定义确定，再将点，分别代入函数解析式，结合函数性质即可得到a的取值范围． 【详解】 解：①， 当时，， 故一次函数的图象一定经过点． 故答案为：． ② ∵是一次函数， ∴， 当点在一次函数图象上时，，解得：， 当点在一次函数图象上时，，解得：， ∵一次函数的图象与线段有交点， ∴且． 故答案为：且． 26．【答案】（1）     （2）最大利润元     （3）22元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）将，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设销售完甲、乙两个品种的纸皮核桃所获总利润为w元，根据题意得出关于的一次函数，根据一次函数的性质，即可求解； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，设关于的函数表达式为， 将，分别代入得 ， 解得： ， 即关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵乙品种的收购量不低于200千克，且不高于500千克 ∴ ∵收购了甲、乙两个品种的纸皮核桃共1000千克，乙品种纸皮核桃的进货量x千克， ∴甲品种纸皮核桃的进货量千克， ∵甲品种纸皮核桃进价为16元/千克，甲品种纸皮核桃的售价为20元/千克， ∴甲品种纸皮核桃利润为4/千克， ∵乙品种纸皮核桃的售价为25/千克，从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元， 设销售完甲、乙两个品种的纸皮核桃所获总利润为w元， ∴， ∴w随x增大而增大， 即当时，w取得最大值，此时甲500千克，乙500千克． (3) 小问详解： 设纸皮核桃的销售价为元/千克，根据题意得 解得： 答：纸皮核桃的销售价为元/千克 27．【答案】（1）私家车的速度为100千米/时，客车的速度为60千米/时；（2）；10；（3）； 【分析】 （1）根据函数图象即可求出私家车的车速，再设客车的速度为x，根据题意列出一元一次方程，故可求解； （2）根据P点的含义为私家车已经到达，c小时时客车达到目的地，即可求解； （3）分两车相遇后与相遇前相距200km分别列出方程，故可求解． 【详解】 （1）解：私家车：（千米/时） 设客车的速度为x千米/时， 依题意可得600=（100+x）× 解得x=60 经检验，符合题意，故私家车的速度为100千米/时，客车的速度为60千米/时； 答：私家车的速度为100千米/时，客车的速度为60千米/时． （2）P点的含义为私家车已经到达时，两车的距离 由题意可得私家车达到目的地所需时间为6小时 此时客车行驶的路程为6×60=360 故此时两车相距360km ∴点P的坐标为； 客车到达目的地时所需时间为600÷60=10h ∴C的值为10 故答案为：；10； （3）当两车相遇后相距200km，设此时时间为x1， 依题意可得（100+60）x1=600+200 解得； 当两车相遇前相距200km，设此时时间为x2， 依题意可得（100+60）x2=600-200 解得； 综上，当两车相距200千米时，两车出发的时间x（小时）的值为；． 【点睛】 此题主要考查函数的实际应用，解题的关键是熟知根据题意找到数量关系列方程求解． 28．【答案】（1），； （2）令， ① 当时，，即甲、乙两基地总费用相等， ② 当时，，即甲基地总费用小于乙基地总费用， ③ 当时，，即甲基地总费用大于乙基地总费用； （3）从甲基地运往市的设备为13台，则从甲基地运往市的设备为2台，从乙基地运往市的设备为6台，从乙基地运往市的设备为11台，总费用最少，最少总费用19400元． 【分析】 （1）根据题意直接写出，的函数解析式； （2）令，分三种情况讨论即可； （3）根据乙基地的总运费不得超过11300元，解出的取值范围，然后根据函数性质求最值即可． 【详解】 解：（1）设从甲基地运往市的设备为台，则从甲基地运往市的设备为台， 从乙基地运往市的设备为台，从乙基地运往市的设备为台， 则 ， 解得：， ， ； （2）略 （3），得：， 则， 总费用：， ， 总费用随的增大而减小， 当时，运费最少，最少费用为：（元， 答：从甲基地运往市的设备为13台，则从甲基地运往市的设备为2台，从乙基地运往市的设备为6台，从乙基地运往市的设备为11台，总费用最少，最少总费用19400元． 【点睛】 本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，关键是根据题意写出，的函数解析式． 29．【答案】（1）；     （2）；     （3）这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将代入求出x的值，再求出s的值即可． (1) 小问详解： 解：设，将代入， 得 ； (2) 小问详解： 设， 把，代入，得： ． 解得： ． (3) 小问详解： 当时，， 解得； 当时，． 所以，这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 30．【答案】（1）；     （2）共有11种进货方案；     （3） 应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．      【分析】 本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意得：， 解得； (2) 小问详解： 解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得： 解不等式① 得， 解不等式② 得， 所以，不等式组的解集是: ∵x是正整数，， ∴共有11种进货方案； (3) 小问详解： 解：设总利润为W，则 ， ① 当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ② 当时，，，（2）中所有方案获利都一样； ③ 当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 31．【答案】（1）     （2）或      【分析】 该题考查了一次函数与不等式、图形面积、二次根式的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值和二次根式的非负性求出，求出、，再根据一次函数与不等式的关系计算即可． （2）根据题意先求出的面积，从而得出的面积，求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点、点， 根据图象可得不等式的解集为． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 32．【答案】（1）     （2）共有8种不同的购买方案，购买这些奖品最少需要1780元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的应用、求不等式组的解集，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式，再结合题意列出关于的不等式组，求出的取值范围，即可解答； （2）结合的取值范围以及是整数，得出不同的购买方案的种数，再利用一次函数的性质求出的最小值，即可解答； （3）根据题意得，再结合 “购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关”，得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 由题意得，， ∵购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件， ∴ ， 解得， ∴函数解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，且是整数， ∴可以取10，11，12，13，14，15，16，17， ∴共有8种不同的购买方案， ∵， ∴中随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴购买这些奖品最少需要1780元； (3) 小问详解： 解：由题意得，， ∵购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关， ∴， 整理得：． 33．【答案】问题一：，；问题二：，m为正整数；问题三：，s的最小值94平方米，新建43个地下充电桩，17个地上充电桩 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，解不等式组的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 问题一：先设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元．再根据题意列出方程组，即可作答． 问题二：依题意，列出不等式组，再解得，再结合m为正整数，即可作答． 问题三：根据地上、地下充电桩数量及各自占地面积，得出总占地面积与地下充电桩数量的函数式．依据函数单调性得随增大而减小，结合的范围，取最大43时最小．将代入函数，得，此时地上充电桩数量为，即可得出方案． 【详解】 解：问题一：设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元． ， 解得 答：一个地上充电桩为万元，一个地下充电桩为万元． 问题二：设地下充电桩数量为m个，则地上充电桩数量为个， ， 解得， ∵为正整数， ∴ 问题三： 地上每个充电桩占地面积为3平方米，地下每个充电桩占地面积为1平方米， 总占地面积：． ，且， 当时，代入得 ， ∴最小为94平方米， 此时，地上充电桩数量为个， ∴对应方案为建造43个地下充电桩和17个地上充电桩． 34．【答案】（1）与     （2）20      【分析】 （1）根据点得， 点的一对“友好点”的坐标是与． （2）根据点得，，故点的一对“友好点”和，结合和都在直线上，建立方程组求k的值即可． 本题考查了一次函数的新定义，解方程组，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”的坐标是与． 故答案为：与． (2) 小问详解： 解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”和， ∵和都在直线上， ∴ ， 解得 ， 故k的值为20． 35．【答案】（1）     （2）4分      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，以及不等式的求解，解决本题的关键是读懂题意，表示总成绩的函数关系式． （1）根据题目所给考生总成绩，结合该地中考总分，校考总分以及甲同学的校考成绩表示即可． （2）设乙的中考成绩为，总成绩为，再表示乙的总成绩，作差，即，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵该地中考总分为755分，校考总分为520分，甲同学的校考成绩为350分． 设甲同学的中考成绩为，总成绩为， ∴， 即． (2) 小问详解： 解：设乙的中考成绩为，总成绩为， 则， 令， 即，解得， 所以甲的中考成绩至少比乙高4分，才能使总成绩超过乙． 36．【答案】（1）种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．     （2）购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元      【分析】 本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． (1) 小问详解： 解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． (2) 小问详解： 解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得： ， 解得： ， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 37．【答案】（1）甲乙两种产品的进价分别为160元，120元     （2）共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元；     （3）13      【分析】 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及与字母无关的问题，理解题意是解答本题的关键． （1）如果设每个乙种产品进价为x元，由“每个甲种产品的进价比每个乙种产品的进价多40元”，可知每个甲种产品进价为元．题中有等量关系：用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等，据此列出方程； （2）根据题意得、，求得，故得41种方案，当时可得最大利润； （3）根据题意列式，根据与无关，则，求出 (1) 小问详解： 解：设每个乙种产品进价为x元，则每个甲种产品进价为元，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴ 答：甲乙两种产品的进价分别为160元，120元； (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 解得，； ， ∴， ∴， ∴（种） 当时，有最大值，为， 所以，共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 根据题意得： ∵销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响， ∴ ∴ 38．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． （3）设点P的坐标为，根据，解方程即可得出x的值，进而可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得 ， 解得 ， ∴的解析式为， 根据题意，得 ， 解得 ， 故． (2) 小问详解： 解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 39．【答案】（1）该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元     （2） 解：当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少．，理由如下： 方案一的费用为元， 方案二的费用为 元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵m为非负整数， ∴不成立， ∴当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少．      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个，分别求出足球和篮球的利润，进而可得到y关于x的函数关系式，再求出x的取值范围即可得到答案； （2）分别表示出两种方案的费用，再令方案一的费用小于方案二的费用，方案一的费用等于方案二的费用，方案一的费用大于方案二的费用，据此分别建立不等式和方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个， 由题意得， ， ∵篮球的数量不少于足球数量的一半， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵x为整数， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时， 答：该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元； (2) 小问详解： 略 40．【答案】（1）A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元     （2），当时，总费用最少，最小值为1125元      【分析】 （1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据购买费用等于A，B两种奖品的费用之和即可得出W与m之间的函数关系式；根据题意可得关于m的不等式组，进而可求出m的范围，再根据一次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元， 根据题意可得 ， 解得： ， 答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元； (2) 小问详解： 解：由题意，得：， ∵购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍， ∴ ， 解得：， ∵，， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，总费用最少，最小值为1125． 41．【答案】（1），     （2），；     （3）或或．      【分析】 根据衍生函数的定义求出、； 函数的衍生函数可以表示为，根据衍生函数与矩形只有一个交点，可知衍生函数经过点，利用待定系数法求出值；当函数经过点时，衍生函数与矩形有个交点，利用待定系数法求出值；所以时，衍生函数与矩形有个交点； 当时，根据正方形的性质可知直线的解析式为，根据正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点求出点的坐标，即可得到的值；当时，直线的解析式为，根据正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点求出点的坐标，即可得到的值；当时，正方形与一次函数的衍生函数图象有三个交点；当时，正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点． (1) 小问详解： 解：点，在一次函数的衍生函数图象上， ， ， ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：根据题意，函数的衍生函数可以表示为， 如下图所示， 如图所示，当直线在位置时，函数的衍生函数和矩形有个交点， 当时，， 解得：， ， 取， 当直线在位置时，函数与矩形有个交点， 当时，， 解得：， ， 取， 故函数在之间的位置时，函数与矩形有两个交点， 即； 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：根据题意分情况如下： 当时， 四边形是正方形，点在轴上，且为对角线， 与轴的正半轴夹角为， 直线的解析式为， ， 解得： ， ，， ， ， 即， 时，如图， 直线的解析式是， 解方程组 ， 可得： ， ， 解得：； 时，如图， 此时正方形与一次函数的衍生函数图象有三个交点， 当时，正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点， 综上，的取值范围为或或． 【点睛】 本题主要考查了新定义函数、一次函数的图象与性质、利用一次函数与矩形、正方形交点个数确定范围． 42．【答案】（1）     （2）     （3）安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解；自变量的取值范围同（1）； （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨， ∴， 即， ∵ ， 解得，且为3的倍数， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ； (3) 小问详解： 解：， ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 43．【答案】（1）①；②     （2）①或；②或      【分析】 （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；② 联立函数解析式求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）① 设，则，即得，解方程求出的值即可求解；② 由① 得，即得或，求出的取值范围，再根据横坐标和纵坐标都是整数求出的值即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 把代入，得， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为； ② 由 ，解得 ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 设， ∵轴， ∴， ∵线段的长为， ∴， 即， 解得或， ∴或； ② 由① 可得，， 即或， 解得或， ∵和都是整数， ∴或， ∴或． 44．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数： （1）设直线的解析式为：，用待定系数法求解析式，根据是轴上的一点且点在直线上得到点的坐标； （2）先求出的面积，再求出的面积，分情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为：， 代入得： ， 解得： ， 的解析式为：， 是轴上的一点且点在直线上， 当时，， ． (2) 小问详解： 解：如图，连接交轴于点，所以，连接， 点的坐标分别为，且， ， 要使，则， 设， 当点在直线上方，， 解得：， 当点在直线下方，， 解得：， 综上所述：或． 45．【答案】① 4    ② 【分析】 本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的坐标，根据面积公式，进行求解即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，解得（负值舍去）； 故答案为：4； （2）由（1）可知：， 设直线的解析式为，把，代入得，，解得， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：． 46．【答案】（1）甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋；     （2）共3种进货方案；     （3） 若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同．      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求得第一批和第二批利润，再设第三次进货甲为a袋，乙为袋，根据题意列不等式组求解即可； （3）调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋，求得总利润函数为，利用一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组： ， 解得 ， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； (2) 小问详解： 解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得 ， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； (3) 小问详解： 解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 47．【答案】（1）     （2）最大值是6，最小值是0     （3），．      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出两直线解析式，再联立两直线解析式求出点P的坐标即可； （2）分别求出点M和点N的坐标，进而用含t的式子表示出d，进而根据一次函数的增减性求解即可； （3）分别求出点M和点N的坐标，进而用含t的式子表示出d，根据与始终满足，可先求出m的值，进而可求出k的值． (1) 小问详解： 解：当，时，直线的解析式为，直线的解析式为， 联立 ，解得 ， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， ∴当时，， ∵， ∴d随t的增大而减小， ∴当时，d有最大值，最大值为； 当时，， ∵， ∴d随t的增大而增大， ∴当时，d有最大值，最大值为，当时，d有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，d的最大值为6，最小值为0； (3) 小问详解： 解：在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴ ∵与始终满足， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵与始终满足， ∴， ∴当时，， ∴； ∴当时，， ∴； 综上所述，，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一次函数 4大高频考点概览 考点01 一次函数的概念 考点02 一次函数的图象和性质 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 考点04 实际问题与一次函数 考点01 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）直线一定经过点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了求一次函数的函数值．只需将横坐标代入直线解析式，看是否和纵坐标相等． 【详解】 解：A、将代入得：，故本选项符合题意； B、将代入得：，不一定等于0，故本选项不符合题意； C、将代入得：，不一定等于，故本选项不符合题意； D、将代入得：，不一定等于0，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）若函数 ，则当函数值时，自变量的值是（     ） A. 1或1.5 B. 1 C. 1.5或 D. 1.5 【答案】B 【分析】 本题考查一次函数的性质，根据分段函数进行分段求解是解题的关键． 根据分段函数的定义，分别在自变量不同取值范围内求解函数值，并验证所求函数值是否在对应自变量不同取值范围内． 【详解】 解：∵ 当时，， 令，则， ∴， 又∵ ，符合条件． 当时，， 令，则， ∴， ∵，不满足，故舍去． 故选：B． 3．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）若是一次函数，则k的值为（　　） A.  B. 3 C.  D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查利用一次函数的定义求参数，根据一次函数的定义，列出方程进行求解即可，注意x的系数不能为0． 【详解】 解：由题意，得：， ∴； 故选A． 4．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）下列命题中，是真命题的是（       ） A. 形如（k，b都是常数）的函数是一次函数 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 直角三角形两锐角互余 D. 三角形的外角都大于它的任何一个内角 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的定义、平行线的性质、直角三角形性质及三角形外角性质，根据一次函数的定义、平行线的性质、直角三角形性质及三角形外角性质需逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A、当时，不是一次函数，是假命题，故本选项不符合题意； B、只有两条直线平行时，内错角才相等，是假命题，故本选项不符合题意； C、直角三角形两锐角之和为，则两锐角互余，是真命题，故本选项符合题意； D、三角形的外角不一定大于其相邻的内角，例如在直角三角形中，直角的外角与该内角相等，故该命题是假命题，不符合题意； 故选： C． 5．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的性质．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】 解：A．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少1，不符合题意； B．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值增加2，不符合题意； C．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少2，符合题意； D．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值的变化量为，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）当为何值时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义，并列出关于m的方程．根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得且， 解得：． 7．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）已知与x成正比例，且时， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点在该函数的图象上，求a的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例的关系是解决此题的关键， （1）根据题意设函数解析式，再把一组值代入求出k值即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式中，求出m即可． (1) 小问详解： 解：∵与x成正比例， ∴设， 把，代入， 得：， 解得：， ∴， 即． (2) 小问详解： 解：依题意，把代入， 得：， 解得：． 8．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）已知：与成正比例，且时， （1）试求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查待定系数法求一次函数解析式，正比例的性质； （1）已知与成正比例，可设，把，代入求出k的值，从而可得函数解析式； （2）在解析式中，令求出x即可． (1) 小问详解： 因为与成正比例，所以可设， 将，代入，得， 解得：， 所以与之间的函数关系式为：，即； (2) 小问详解： 将代入得：， 解得：． 9．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知y与成正比例，且当时，．求出y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数，设，将，代入即可求解． 【详解】 解：y与成正比例， 设， 当时，， ， 解得， ， 故y与x之间的函数解析式． 考点02 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）一次函数的图象不经过第（     ）象限 A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 【答案】A 【分析】 本题考查一次函数的图象与系数关系，掌握和的符号对图象位置的影响是关键，根据一次函数的性质，当且时，图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】 解：∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、三象限， ∴不经过第四象限． 故选：A． 2．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）平面直角坐标系中，函数的图象经过点，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查求正比例函数的解析式，待定系数法进行求解即可． 【详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴； 故选A． 3．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键； 根据一次函数中可知，随的增大而减小，据此求解． 【详解】 直线过点和点， ， 随的增大而减小， ， ， 故选：B． 4．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（     ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 随的增大而增大 D. 随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题主要考查了正比例函数图象的性质， 根据正比例函数中，则图象经过第二、四象限，判断B；再将代入关系式判断 A；然后根据，函数值 y 随 x 的增大而减小，判断C、D即可． 【详解】 解：∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误； 当时，， ∴图象经过点，故A错误； ∵， ∴ y 随 x 的增大而减小， 故C错误，D正确． 故选：D． 5．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式可得随着的增大而减小，再结合，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵直线，， ∴随着的增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：A． 6．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）将直线平移得到直线，则移动方法为（     ） A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位 D. 向下平移3个单位 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数图象的平移规律，关键掌握“上加下减”的垂直平移规律，通过比较原函数与目标函数的常数项变化，即可确定平移方向． 【详解】 解：∵直线平移得到直线， ∴将原直线向下平移3个单位得到直线， 故选：D． 7．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知 ，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象是解题的关键；当时，在第三象限；当时，在第四象限；由此即可判断． 【详解】 解：当时，在第三象限；当时，在第四象限； 故函数 的图象在第三、四象限， 故选：D． 8．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）一次函数的图像经过（       ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】D 【分析】 画出一次函数的图象即可得到解答． 【详解】 解：令x=0，则y=2，令x=1，则y=-1，由此可画出一次函数的图象如下： 由图可知一次函数 y=−3x+2 的图像经过第一、二、四象限， 故选D．　 【点睛】 本题考查一次函数的图象与性质，熟练绘制一次函数图象是解题关键． 9．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，点在直线与直线之间（不在这两条直线上），则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别求出点M在两条直线上时对应的m的值，进而可得答案． 【详解】 解：当点在直线上时，，解得， 当点在直线上时，，解得； ∵点在直线与直线之间（不在这两条直线上）， ∴的取值范围为． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 10．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（     ） A. 若，在函数上，则 B. 图象与轴交于正半轴 C. 图象经过第一，二，四象限 D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的图象与性质，通过计算函数值、交点坐标和图象性质，逐一验证各选项的正误． 【详解】 A、∵当时，；当时，，，正确，不符合题意； B、当时，，∴图象与y轴交于正半轴，正确，不符合题意； C、，∴图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； D、当时，由得，当时，， ∴图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴围成的三角形面积，错误，符合题意． 故选：D． 11．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）一次函数的图象过点和，则和的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数中自变量系数的符号，判断函数值随自变量的变化规律，进而比较两点的函数值大小． 先确定一次函数中自变量x的系数符号，判断函数值y随x的增减变化；再比较两点横坐标的大小，结合增减性得出对应函数值的大小关系． 【详解】 解：∵ 一次函数中，自变量x的系数为，且， ∴ 该一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小． 又∵ 点和的横坐标满足， ∴ 对应的函数值满足． 故选：A． 12．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，那么一定满足（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据一次函数图象回答即可． 【详解】 解：∵一次函数  的图象经过第一、二象限， ∴其与  轴的交点在正半轴，可得 。 ∵图象经过第一、三象限， ∴ 随  的增大而增大，可得 ， 综上， 且 ． 故选：A． 13．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知正比例函数y=kx（k是不为零的常数）过点，则k的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 直接把点（-1，2）代入正比例函数y=kx（k≠0），求出k的值即可． 【详解】 解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点， ∴将点代入y=kx（k≠0），得2=-k 即k=-2 故选：D． 【点睛】 本题考查的是正比例函数图象过某一点，正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式，代入计算是解答此题的关键． 14．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）将直线向下平移4个单位，所得直线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 本题考查一次函数的上下平移，掌握“上加下减”的平移规律即可求解. 【分析】 解：∵直线向下平移4个单位， ∴新解析式为 ； 故选：D. 15．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）点，，都在直线上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题重点考查了一次函数的性质，通常一次函数的解析式为，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，熟练掌握一次函数相关性质是本题求解的关键． 分析本题中，，根据随着的增大而减小即可求得答案． 【详解】 解：∵， ∴随着的增大而减小， 又∵坐标大小关系为：， ∴， 故选：B． 16．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）若一次函数y＝（k+1）x﹣2的图象从左向右下降，则k的值可以是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 0 【答案】C 【分析】 根据一次函数图像性质可知k＋1<0，从而求出k的范围进行判断即可． 【详解】 解：∵一次函数y＝（k+1）x﹣2的图象从左向右下降， ∴k+1＜0，解得k＜﹣1， ∴k可以取﹣2． 故选：C． 【点睛】 本题考查了根据一次函数增减性求参数，熟悉一次函数中k对函数增减性的影响是解决本题的关键． 17．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知点都在直线上，则的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D. 不能比较 【答案】C 【分析】 由一次项系数，结合一次函数的性质，再根据即可得出结论． 【详解】 解：∵中， ∴一次函数中，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 18．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质．分别根据两条直线经过的象限判断出的符号，找出两者一致的即可． 【详解】 解：A、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项不符合题意； B、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项符合题意； C、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项不符合题意； D、由直线的图象可知，；由的图象可知，，即，则此项不符合题意； 故选：B． 19．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，当时，四个函数的图象与轴正半轴的夹角分别为，则在这四个角中，最小的角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正比例函数的图象，画出正比例函数图象即可判断求解，正确画出正比例函数图象是解题的关键． 【详解】 解：画函数图象如下： 由函数的图象可知，直线与轴正半轴的夹角最小，即最小， 故选：． 20．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】 解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 21．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（       ） A. 与轴交于点 B. 不经过第一象限 C. 随的增大而增大 D. 与轴交于点 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数图象平移，根据平移规律“上加下减”，得到的解析式为，再根据一次函数的图象性质逐一判断即可选出正确答案． 【详解】 解：直线向下平移3个单位长度后得到的解析式为， A、当，，与轴交于点       ，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不经过第一象限，故该选项正确，符合题意； C、 ，则随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；        D、当时，，则与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 22．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）已知一次函数的图象经过三个点，则的大小关系（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一次函数图像的性质，即：当时，y的值随着x的值增大而减小；当时，y的值随着x的值增大而增大，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据，可得y的值随着x的值增大而减小，据此进行比较即可． 【详解】 解：∵， ∴y的值随着x的值增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 23．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）若把直线向下平移3个单位长度，得到图象对应的函数解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】 把直线向下平移3个单位长度，得到直线 即 故选：D 【点睛】 本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记图象的平移规律是解题关键，上加下减，左加右减． 24．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）若实数k、b满足，且，则一次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】略 25．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（     ） A. 3 B. 3或4 C. 6 D. 0或3 【答案】D 【分析】 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据一次函数的增减性，分和两种情况求解即可． 【详解】 解：当，即时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 当，即时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 所以k的值为0或3． 故选：D． 26．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知与成正比例，且时，，则时，的值为（） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查正比例函数，由y与x成正比例，设，根据已知条件求出比例常数k，再代入计算y的值即可． 【详解】 解：∵y与x成正比例， ∴设． ∵当时，， ∴，解得． ∴． 当时，． ∴y的值为． 故选：C． 27．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断k的属性解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：A.中，，符合题意； B.中，，不符合题意； C.中，，不符合题意；        D.中，，不符合题意； 故选：A． 28．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一次函数的图象与性质，掌握相关知识是解题关键．分析每个选项中所过象限确定，的正负，然后与的图象对比验证是否一致． 【详解】 解：A：函数的图象经过第一、三、四象限，则，，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项A符合题意； B∶ 函数的图象经过第一、二、三象限，则，函数的图象需经过第一、三、四象限，故选项B不符合题意； C∶ 函数的图象经过第一、三、四象限，则，函数的图象需经过第二、三、四象限，故选项C不符合题意； D∶ 函数的图象经过第一、二、四象限，则，时，函数的图象需经过第一、二、三象限，故选项D不符合题意． 故选：A． 29．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可． 【详解】 解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键． 一次函数的图像有四种情况： ① 当，时，函数的图像经过第一、二、三象限； ② 当，时，函数的图像经过第一、三、四象限； ③ 当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④ 当，时，函数的图像经过第二、三、四象限． 30．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）在同一坐标系内，直线和的位置可能是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题词的关键． 衔求得两一次函数图象的交点，根据交点可排除A，D选项，再根据当时，C选项符合题意，当时，排除B选项． 【详解】 解∶联立两函数解析式得： ， 解得： ， ∴与的交点坐标为 ， ， 交点必在轴上方，故可排除A，D选项． 当时， C选项符合题意， 当，与轴的交点应在轴下方，故又可排除B选项． 故选：C． 31．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）已知某一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数为（　　） A. y=﹣x﹣2 B. y=﹣x+10 C. y=﹣x﹣6 D. y=﹣x﹣10 【答案】B 【详解】分析：一次函数的图象与直线y=-x+1平行，所以k值相等，即k=-1，又因该直线过点（8，2），所以就有2=-8+b，从而可求出b的值，进而解决问题． 详解：∵一次函数y=kx+b的图象与直线y=-x+1平行， ∴k=-1， 则即一次函数的解析式为y=-x+b． ∵直线过点（8，2）， ∴2=-8+b， ∴b=10． ∴直线l的解析式为y=-x+10． 故选B． 点睛：本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，注意两直线平行时k的值相等． 32．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 此题考查一次函数的图象与性质，由于直线 的斜率为负，函数递减，且 ，因此 ，直线与 轴交于点 ，当 时 ，当 时 ；选项C中， ， 且 ，结合 ，得 ，因此 且 ，故 恒成立，其他选项均无法确定符号的正负． 【详解】 ∵ 为减函数，且 ， ∴ ， 对于选项A，若 ， ∵ ，∴ 且 或且， ∴或，但不能确定的正负，故选项A不符合题意； 对于选项B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若 ， ∵ ，∴ 且 ， 又 ∵ ，∴ ， ∴ ，， ∴ 恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选C． 33．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据两个函数的系数关系（与的符号），判断图象特征是否一致（正比例函数过象限由符号决定，一次函数过象限由的增减性和的截距符号决定）． 先根据正比例函数的图象判断的符号（确定与异号或同号）；再根据该符号关系，判断一次函数的增减性（的符号）和轴截距（的符号），验证是否与选项中一次函数的图象特征一致；同时排除正比例函数不经过原点的选项． 【详解】 解：∵ 是正比例函数，图象必过原点， ∴ 选项C中正比例函数不经过原点，此选项不符合题意； 剩余选项中，正比例函数均经过第二、四象限，故，即与异号（一正一负）． A、一次函数过第二、三、四象限，说明（函数递减）且（截距在轴负半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过第一、三、四象限，说明（函数递增）且（截距在轴负半轴），则与异号，与一致，此选项符合题意； D、一次函数过第一、二、三象限，说明（函数递增）且（截距在 轴正半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； 故选：B． 34．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的平移性质及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数平移时的规律． 根据直线平移性质设直线的解析式为；由及是与轴交点，确定点坐标为；将点坐标代入解析式求出的值，进而得到的解析式． 【详解】 解：∵ 直线由直线向上平移得到， ∴ 设直线的解析式为． ∵ 直线与轴交于点，且， ∴ 点的坐标为． 将代入，得，解得． ∴ 直线的解析式为． 故选：C． 35．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A. 函数的图象与轴的交点坐标是 B. 函数的图象经过第二、三、四象限 C. 函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D. 点、在函数图像上，若，则 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的性质． 根据一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】 解：选项A：当时，，∴图像与轴交于点，A正确； 选项B：∵，，∴图像经过第二、三、四象限，B正确； 选项C：图像向上平移3个单位，解析式变为，∴C正确； 选项D：∵ ，∴随的增大而减小，若 ，则 ，∴D错误； 故选：D． 36．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一次函数和正比例函数图象与性质，先根据正比例函数图象判断的正负，再根据一次函数的图象判断a和b，即可判断答案． 【详解】 解：．由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项正确，符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ．由正比例函数可知， 由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； 故选：． 37．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的关键．根据一次函数的增减性得到，再根据图象与轴的交点的位置得到，进而求出实数的取值范围． 【详解】 随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 38．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，一次函数与的图象相交于A，则函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图象得到，则，进一步得到，则经过一二四象限，当时，，则直线与x轴交点的横坐标小于1，即可得到答案，此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】 ∵的图象经过一二四象限， ∴， ∴， ∵直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴经过一二四象限， 当时，，则， ∴直线与x轴交点的横坐标小于1， 故选：B 39．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】 解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 40．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知函数（a为常数），当时，y有最大值为5，则a的值为（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了绝对值的性质，一次函数的性质；由函数的最大值只可能出现在端点处得或，通过解绝对值方程并验证端点值是否满足最大值为5，即可确定 的值． 【详解】 解：当时，y有最大值为5， 或， 当时， 或， 解得或， 当时，，（舍去）， 当时，，； 当时， 或， 解得或， 当时，，， 当时，，（舍去）； 故或. 故选：C． 41．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（     ） A. 有最大值，最大值为6 B. 有最小值，最小值为6 C. 有最大值，最大值为 D. 有最小值，最小值为 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线过点且不经过第四象限，可得，且．将用m表示，根据m的取值范围确定S的最值． 【详解】 ∵ 直线过点， ∴，即． ∵ 直线不经过第四象限， ∴， ∴，解得， ∴． ． ∵， ∴ S随m增大而减小． ∴ 当时，S取最小值，； 当时，，但无法取到6，故S无最大值． ∴ S有最小值，最小值为． 故选：D． 42．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】 解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 43．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点，，，⋯在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，当时，，解得，所以 点，又四边形为正方形，则点，同理可得出：，，，，，所以，，，，，从而得出（为正整数），然后把代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：当时，，解得， ∴ 点， ∵四边形为正方形， ∴点， 同理，可得出：，，，，， ∴，，，，， ∴（为正整数）， ∴当时，，即， 故选：． 44．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）已知，在函数的图象上，如果，那么　　　　　　　　．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质．根据函数的增减性进行求解即可． 【详解】 解：∵函数，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 45．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）将直线向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式为　　　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数平移，根据一次函数图像平移的规律，向左平移时，在自变量x上加平移单位长度． 【详解】 解：将直线 向左平移2个单位长度， 根据“左加右减”的原则，平移后的解析式为 ， 化简得 ． 故答案为 ． 46．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知直线与直线平行，那么　　　　　　　． 【答案】5 【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解． 【详解】解：直线与直线平行， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等． 47．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）若与成正比例，且时，，求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数的定义及一次函数表达式的求解，解题的关键是根据“与成正比例”的关系设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出比例系数．根据正比例函数的定义，设，将、代入解析式，求出比例系数的值；最后将解析式整理为与的一次函数形式． 【详解】 解：∵ 与成正比例， ∴ 设（为常数，且）． 将，代入上式，得， 即， 解得． 将代入，得． ∴与之间的函数表达式为． 48．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）将直线向左平移1个单位长度后，所得直线经过点，则n的值为　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一次函数的平移和一次函数图象上点的坐标特征．一次函数的平移规律是左加右减．先求出平移后的直线解析式，再将点代入求解． 【详解】 解：将直线向左平移1个单位长度后， 根据平移规律，所得直线解析式为． 因为所得直线经过点， 所以代入得，解得：． 故答案为：3． 49．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且过点． （1）求与之间的函数表达式； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意得，再代入点到，求出的值，即可解答； （2）根据一次函数的性质得到中随的增大而增大，再结合，即可求出函数的最小值． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 则， 解得， ∴与之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴中随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴函数的最小值为． 50．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若点在这个函数的图像上，求n的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据y与 成正比例，设y与x的函数表达式，然后将 ，代入求解即可； （2）将代入函数表达式中可得到关于n的一元一次方程，然后解一元一次方程求出n的值． (1) 小问详解： 解：由 与 成正比例可设： ， ； 将 ， 代入得： 解得： 与的函数解析式为： 整理得： (2) 小问详解： 解：将点 代入中得： 解得： 【点睛】 本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键． 51．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）已知点、、在一条直线上，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入，即可求解． 【详解】 解：设直线的解析式为， 将和代入，得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 把代入得：． 故答案为：4 52．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1． （1）求直线的表达式； （2）如图2，分别作和的角平分线，相交于点， ①求证：； ②求的度数． 【答案】（1）     （2） ① 证明：记与y轴交点为点Q，如图， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， 有， 即， 即， ∵， ∴； ②      【分析】 本题考查了一次函数表达式的求解，一次函数图象平移，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由角平分线的性质得到角度的关系． （1）先由待定系数法求解直线的表达式，再由向上平移3个单位长度即可得直线的表达式； （2）① 根据角平分线的性质，可得，再由平行线的性质可得，再根据三角形内角和性质可得，由此可证； ② 根据直角三角形可得，再由三角形内角和性质可得，再由角度相等转化求解度数即可． (1) 小问详解： 解：∵在平面直角坐标系中，， 设直线的表达式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的表达式为， ∵点向上平移3个单位得到点，且， ∴， 即直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：① 略； ② 连接，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 由① 可知，， ∴． 53．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在第一象限． （1）的面积为　　　　　　　　　　　　　　； （2）当的面积与的面积相等时，点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】① 1.5    ② 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数表达式的求解，直角坐标系下三角形面积的表示，解决本题的关键是设出点的坐标并表示出． （1）先由直线的函数表达式求解出点的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （2）先求解出直线的函数表达式，可得到点的坐标，设出点的坐标，再求解出的长度，根据三角形面积建立等式求解即可． 【详解】 解：（1）∵直线交轴于点， 令，可得， ∴点， ∴，， ∴的面积为； 故答案为：； （2）∵直线交轴于点， ∴，解得， ∴直线， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为2， 则有， ∴点， 设点， ∴， ∴， 若的面积与的面积相等， 即， 则， 即，解得， ∴点的坐标为． 故答案为： ． 54．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求的值； （2）若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）点的坐标为或      【分析】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：将点代入，得， 解得 (2) 小问详解： 由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ① 将代入，得， 所以点的坐标为； ② 将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 55．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与y轴的交点问题等知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出点D的坐标，再运用三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入得： ， 解得： ， 一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：把代入得：， ，则， 的面积； 56．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）一次函数（为常数且） （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为　　　　　　　　　　； （2）如图：已知长方形中，，，，若一次函数与长方形的边有公共点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）由一次函数解析式为，可得出点的坐标为； （2）分别求出当一次函数经过点时及当一次函数经过点时，求出k的值，现求出的取值范围． 【详解】 解：（1）一次函数恒经过点， 点的坐标为． 故答案为：； （2）长方形中，，，， ， 当一次函数经过点时， 解得：， 当一次函数经过点时， 解得：， 一次函数与长方形的边有公共点， 由图可知，或 故答案为：或 57．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键． （1）设，把，代入，求出，即可得出答案； （2）把点的坐标代入函数解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，设， 把，代入得：， 解得：， ， 与之间的函数关系式是； (2) 小问详解： 解：点在这个函数图象上， 把点代入得：， ． 58．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）若点在轴上且．求此时点的坐标； （3）若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 【答案】（1）     （2）或．     （3）      【分析】 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据一次函数的解析式，得到点B的坐标，再根据，以及三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，利用数形结合及的面积为10，以及三角形的面积公式进行列式计算，解得m的值，即可得出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 即点C坐标为． ∵一次函数经过、点， ∴ ， 解得： ， ∴一次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵一次函数与y轴交于点B， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 则， 解得， 即， 故， ∴或． (3) 小问详解： 解：∵点在轴左侧的直线上，且由（1）得直线的表达式为； ∵，， ∴， ∴点在第三象限， ∴设P的坐标为，且，连接 ∵的面积是10，，且由（2）得， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为． 59．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点和点B；直线交直线于点，交y轴于D． （1）求直线、的表达式； （2）求的面积； （3）点M是直线上一点，过点M作直线平行于y轴，交于N，若，求点M的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为     （2）     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）将代入直线可得，从而得出直线的解析式为；将代入直线的解析式可得，推出，将代入直线计算即可得解； （2）求出点、的坐标，从而可得，再由三角形的面积公式计算即可得解； （3）设，则，表示出，结合，得出，求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入直线可得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 将代入直线的解析式可得，即， ∴， 将代入直线可得， 解得， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， ∴的面积 (3) 小问详解： 解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴点的坐标为或． 60．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为　　　　　　　　； （2）当时，总有，则a的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了一次函数中两直线平行和相交的问题，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系和一次函数的图像和系数的关系是解答本题的关键． （1）求出直线的解析式，再由可得；（2）先求出，时的值，根据当时，总有即可求解． 【详解】 解：（1）∵直线经过，两点 ∴ 解得： ∴： ∵ ∴， 故答案为：； （2）联立 ， 解得 ， ∴直线与直线的交点坐标为, ∵当时，总有， ∴ 解得：． 故答案为：． 61．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知关于x一次函数（m为常数）． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若函数图象平行于直线，求这个函数图象与x轴的交点坐标； （3）不论m为何值，该函数的图象都经过定点P，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意可得当时，，代入函数解析式计算即可得解； （2）由一次函数图象平行的性质求出，从而可得出一次函数的解析式，再令，计算即可得解； （3）将函数解析式变形为，再结合不论m为何值，该函数的图象都经过定点P，求出、的值，即可得解． (1) 小问详解： 解：∵函数图象经过原点， ∴当时，，即， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵函数图象平行于直线， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴这个函数图象与x轴的交点坐标为； (3) 小问详解： 解：， ∵不论m为何值，该函数的图象都经过定点P， ∴， 解得， 此时， ∴点P的坐标． 62．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点． （1）求直线的函数表达式． （2）求的面积． （3）若点在线段上（可与点A,B重合），点在直线上，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）最小值为4      【分析】 本题考查一次函数的性质及应用： （1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据求解； （3）将转化为t的一次函数，结合t的取值范围进行求解即可． (1) 小问详解： 解：点在直线上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得 ， 直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：对于，当时，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：点在线段上，点在直线上， ，， ， 点在线段上，，， ， ， 随t的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为． 63．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）（1）用描点法画出函数的图象； （2）利用（1）中图象求不等式的解集； （3）利用（1）中图象求：当时，求的取值范围． 【答案】（1）描点、连线，如图： （2）； （3） 【分析】 本题考查了画一次函数图象，求一元一次不等式的解集，求一次函数自变量或函数值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）通过列表、描点、连线画出函数图象； （2）先求出当时，自变量x的值，再结合图象求出不等式的解集； （3）先求出当时，再求出当时，求的取值范围． 【详解】 （1）列表： （2）当时，，解得：， 所以结合函数图象可知，不等式的解集为； （3）当时，， 结合函数图象可知当时，． x 0 1 2 3 y 5 3 1 64．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用连接） 【答案】 【分析】 本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】 解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：① 过第一、三象限，故； ② ③ 过第二、四象限，故，； ② 比③ 更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 65．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）一次函数， （1）则该函数在轴上的截距是　　　　　　　　　　　 （2）当时，的最大值与最小值的差为8，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 2或或2 【分析】 本题考查了一次函数的基本性质（截距定义）及一次函数的增减性与最值问题，解题的关键是掌握一次函数中截距的定义，以及根据的符号判断函数增减性，进而分情况求解即可． （1）根据一次函数截距的定义，令求出对应的值，即为轴截距； （2）先确定自变量取值区间的长度为，分（随增大而增大）和（随增大而减小）两种情况，分别表示出最大值和最小值，根据差值为列方程求解． 【详解】 （1）解：对于一次函数， 令，则， 故答案为：； （2）解：∵ 自变量取值范围为，区间长度为， 分两种情况讨论： ① 当时，随增大而增大， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； ② 当时，随增大而减小， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； 综上，的值为2或． 66．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据待定系数法，即可求解； （2）分别把和代入，再根据一次函数的增减性，即可求解． (1) 小问详解： 解：设一次函数的表达式， ∵点，在此函数图象上， ∴ ，解得： ∴这个一次函数表达式为 (2) 小问详解： 把代入得：； 把代入得：； ∵， ∴y随x的增大而减小． ∴当时，x的范围是； 【点睛】 本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的增减性，掌握相关知识是解题的关键． 67．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数解析式； （2）若点在这个函数图象上，求n的值． 【答案】（1）     （2）3      【分析】 本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可设函数解析式为，整理得，结合题意代入，求出的值，即可解答； （2）代入点到，求出n的值即可求解． (1) 小问详解： 解：∵与成正比例， ∴设函数解析式为， 整理得：， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：代入点到，得， 解得， ∴n的值为3． 68．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，求的值． 【答案】（1）     （2）1或      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识点． （1）先将代入，求出，再将代入，即可求解； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与轴交于点，与直线交于点， ∴将代入，则， ∴， 将代入，则， 解得， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：对于，令，则， 解得， ∴， ∴的面积是； ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设， ∵， ∴ ． ∵，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出 ， 解得； 当时， 得出 ， 解得； ∴的值为1或． 69．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知函数，m为常数． （1）若该函数的图象与直线平行，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两直线平行，则两直线的解析式中x的系数相等，据此解答即可； （2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x的系数为正数，常数项为负数或零，据此解答即可． (1) 小问详解： 解：∵函数的图象平行于直线， ， ； (2) 小问详解： 解：函数是一次函数，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的取值范围是． 70．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）已知一次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）画出函数的图象； （3）结合图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）     （2） 画函数图象如下：      （3）      【分析】 （）利用待定系数法解答即可； （）求出一次函数的图象与轴的交点坐标，再经过点和画出函数图象即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数与不等式，正确画出一次函数图象是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象经过点 ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为， 过点和． (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集为． 71．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，已知三点在同一条直线上，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是一次函数的解析式求解与应用；通过设一次函数的解析式，利用已知两点坐标求出解析式，再根据“直线上的点的坐标满足直线的解析式”这一特征，将第三个点代入解析式，从而求出未知的横坐标的值． 【详解】 解：设经过，两点的直线的表达式为， 则 ， 解得 ∴， 将点代入， 得， 解得： 72．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求a的值． （2）设这条直线与y轴相交于点D，求的面积． 【答案】（1）a＝7     （2）3      【分析】 （1）利用待定系数法解答解析式即可； （2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为y＝kx＋b，把A（−1，5），B（3，−3）代入， 可得： ， 解得： ， 所以直线解析式为：y＝−2x＋3， 把P（−2，a）代入y＝−2x＋3中， 得：a＝7； (2) 小问详解： 由（1）得点P的坐标为（−2，7）， 令x＝0，则y＝3， 所以直线与y轴的交点坐标为D（0，3）， 所以△OPD的面积＝×3×2＝3． 【点睛】 此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法求解析式． 73．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． （1）求A，C两点的坐标； （2）若，则x的取值范围是 _______； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． (1) 小问详解： 解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； (2) 小问详解： ∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； (3) 小问详解： ， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 74．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点，求m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键． （1）由与成正比例，设，把，代入解析式求解k即可得到答案； （2）把点的坐标代入函数解析式解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵与成正比例， ∴设， ∵时，， ∴， 解得：， ∴，即：， ∴y与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：∵它的图象经过点， ∴， 解得：． 75．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知一次函数的图象如图所示： （1）求该一次函数的表达式； （2）将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围． 【答案】（1）     （2） 图象如图：       【分析】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点，运用待定系数法可以求得该函数的表达式； （2）根据一次函数的平移解答即可． (1) 小问详解： 解：∵一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点， ∴ ， 解得 ， 即该一次函数的表达式是； (2) 小问详解： 解：把向下平移4个单位后可得：， 当时，；当时，， 所以，当时新函数y的取值范围为． 76．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与x轴正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． （1）分别求出与的表达式； （2）已知是直线上的一个动点，是否存在点恰好使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），直线：     （2）点的坐标为或      【分析】 本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求一次函数表达式、直线构成的三角形面积等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，将代入直线：求解即可得到；进而得到直线与轴交点，再由待定系数法求直线表达式即可得到答案； （2）由（1）知，、、，在平面直角坐标系中表示出，由建立方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：直线：与直线：交于点， 点在直线：上， 则； ， 直线：与x轴正半轴交于点， 当时，，解得，即， ， ，即， 直线：过点、， ，解得 ， 直线：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，、、， ， 则， 即， ， 则，解得， 是直线：上， 当时，，即； 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或． 77．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）已知y=y1-2y2中，其中y1与x成正比例，y2与（x+1）成正比例，且当x=1时，y=3；当x=2时，y=5， （1）求y与x的函数关系式； （2）若点（a，3）在这个函数图像上，求a的值． 【答案】(1) ；(2) 1 【分析】 (1)y1与x成正比例，可设y1=k1x，y2与(x+1)成正比例，可把x+1看成一个整体，设y2=k2（x+1），利用待定系数法即可求解． (2)把（a，3）代入解析式，求a即可 【详解】 解：(1)设，， 则此时，代入点(1,3)和点(2,5)， 得到： ， 解得： ， ∴与的关系式为：， 故答案为：； (2)∵点(a,3)在函数图像上， ∴3=2a+1, 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查待定系数法求一次函数的解析式，题目要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系． 78．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）如图①，四边形中，，．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示．    （1）结合图①和图②可知，__________，__________； （2）①当点在线段上运动时，请写出与的关系式（并写明自变量的取值范围）； ②当时，等于多少？ （3）如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止，设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为时，直接写出的值． 【答案】（1）；     （2）①；②或     （3）或或      【分析】 本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了一次函数解析式的求解、一元一次方程的应用．掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）结合图① 和图② 可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了，再根据即可求解； （2）① 设，将点，代入即可求解；② 分类讨论点在线段上运动、在线段上运动两种情况即可求解； （3）分类讨论点在边上、点在边上两种情况，画出对应图形，表示出的面积与时间的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：结合图① 和图② 可知，点在上运动了，在上运动了，在上运动了， ∴，，， 由图② 得：， ∴， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：① 当点在线段上运动时，设， 将点，代入得： ， 解得： ， ∴； ② 当时， （i）若点在线段上运动， 即，解得：； （ii）若点在线段上运动， 则，即：， 解得：， 综上所述：当或时，， (3) 小问详解： 解：∵，， ∴点需要运动到边上，后到达点， 点需要运动到边上，后到达点， （i）若点在边上，即，如图所示：    ， ∵， ∴， 解得：或； （ii）若点在边上，即，如图所示：    ， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：或或． 79．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为　　　　　； （2）在点的移动过程中，的取值范围为　　　　　． 【答案】①     ② 或或 【分析】 本题考查了一次函数的定点问题、一次函数的性质以及直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）通过对直线解析式进行变形，分析出不受参数影响的定点坐标； （2）分析点在端点及特殊位置（直线平行）时的斜率，结合线段的范围确定的取值范围． 【详解】 （1）解：将直线变形为， 当，即时，的取值不影响的值，此时， 定点． （2）直线与轴交于点， 令，解得， ， ① 当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ② 当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ③ 当直线与直线平行时，此时，与直线无交点， 故， 结合图形分析， 当时，与线段（及右侧延伸）相交； 当时，与线段（及左侧延伸）相交； 当时，与线段相交． 的取值范围为或或． 80．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知一次函数的图象经过点和点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若点也在该函数图象上，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质． （1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式； （2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值． (1) 小问详解： 解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为 (2) 小问详解： 解：将点代入， 得： 解得： 81．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）定义：若关于x的一次函数，满足，则称这两个一次函数互为“未来伴侣函数”． （1）已知关于x的一次函数和互为“未来伴侣函数”，求a，b的值． （2）若关于x的一次函数有“未来伴侣函数”，这两个函数的图象与y轴所围成的三角形的面积为8，求k的值． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数的应用，求直线围成的三角形面积等知识； （1）根据“未来伴侣函数”的定义，直接由绝对值之和为0得出方程求解； （2）先根据定义求出伴侣函数，再求两函数与y轴的交点及交点坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． (1) 小问详解： 解：∵互为“未来伴侣函数”， 根据定义，，其中， ∴， ∵ 绝对值非负， ∴ ， ∴； (2) 小问详解： 解：设的“未来伴侣函数”为， 根据定义，，其中， ∴， ∴且。 ∴， ∴， 对于，当时，，即点， 对于，当时，，即点， 解方程 ， ∵（否则两直线重合，无三角形）， ∴， 代入，即点， 三角形顶点为，，， 底边在y轴上，长度， 高为点C到y轴距离1， 由题意得： ， ∴或， 82．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则_____． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为_____． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由矩形的性质得点的坐标为，将代入解方程即可； （2）由条件得直线经过点和点，或经过点和点是两个临界状态，且直线旋转到直线再到靠近轴，的值越来越小，直线旋转到直线再到靠近轴，的值越来越大；由矩形的性质得，分别把代入求得的值，结合图象即可求得的取值范围． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：在长方形中，，， ∴， 将代入得， 解得， 故答案为：． (2) 小问详解： 在长方形中，，， ∴， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 则的取值范围为：或， 故答案为：或． 83．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】 解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 考点03 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组 的解为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】 解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组 的解为 ． 故选：B． 2．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知直线经过点，且经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的性质和解不等式，熟练掌握一次函数的性质以及解不等式是解题的关键．先由直线经过点 可得 ，代入不等式化为 ，再根据直线经过第二、三、四象限可知 ，进而求解不等式即可． 【详解】 解：∵ 直线 经过点 ， ∴ ，即， ∴ 不等式 化为 ， ∵ 直线经过第二、三、四象限， ∴   ， ∴ 不等式 两边除以 （负数），不等号方向改变， ∴ ，解得． 故选：C． 3．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式与一次函数之间的关系．观察图像即可得解．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 【详解】 解：由图知一次函数与的交点的横坐标为，当时的图像在的图像下方，因此不等式的解集为． 故选：B． 4．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；根据函数图象即可求解． 【详解】 解：观察图象知，不等式的解集为， 故选：A． 5．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】 解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 6．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（     ） A. 方程的解是 B. 不等式和不等式的解集相同 C. 不等式的解集是 D. 方程组的解是 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集为， 不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集是，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组 ，即方程组 的解是 ， 无法求出方程组 的解，故D选项符合题意． 故选D． 7．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（       ） A. 4 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标值，联立两直线求出交点坐标，即可得解． 【详解】 解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， 则的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和得： ， 解得：， 将代入直线得：， 即的最小值是， 故选：C． 8．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图是一次函数的图像，则关于x的方程的解为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（a，b为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 一次函数的图像上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】 解：∵点在一次函数的图像上， ∴关于x的方程的解是． 故选：A． 9．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k＜0）相交于点（m，4），则不等式（2﹣k）x＞b的解集为（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞4 D. x＜4 【答案】A 【分析】 首先求得A的坐标，不等式（2-k）x＞b，即kx+b＜2x，根据图象即可直接求得解集． 【详解】 解：把A（m，4）代入y=2x得：m=2，则A的坐标是（2，4）． 不等式（2-k）x＞b，即kx+b＜2x， 根据图象，得：不等式的解集是：x＞2． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集． 10．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．结合图形，当时，图象在下方，即可得到答案． 【详解】 解：由题意可知，一次函数和的交点坐标为， 当时，图象在下方， 则关于x的不等式的解集是， 故选：A． 11．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数b的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数与一元二次方程的关系；将二元一次方程变形为y关于x的形式，与给定直线方程比较常数项，建立方程求解b即可． 【详解】 解：∵二元一次方程可变形为， 又以该方程的解为坐标的点都在直线上， ∴两条直线重合，则常数项相等，即， ∴，即 ， ∴， 即 ． 12．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，直线与直线交于点，则方程组 的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一次函数函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可得方程组 的解是 ，对比方程组 ，可得第二方程组中与第一个方程组中对应，第二方程组中与第一个方程组中对应，故 ，由此解答即可． 【详解】 ∵直线与直线交于点， ∴方程组 的解是 ． ∴在方程组 中， ， 解得 故选D． 13．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（     ） A. 在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B. 方程组的解为 C. 方程的解为 D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】 A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组 的解为 ，故B结论正确，不合题意； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意； D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 14．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是(     ) A. 关于的方程组的解是 B. 方程的解是 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式的综合应用，解题的关键是利用“数形结合”思想，通过函数图象的交点、与坐标轴的交点及图象上下位置关系，快速判断选项正误． 根据图象特征直接分析判断各选项即可． 【详解】 解：A、方程组 的解为两函数图象交点的坐标， ∵ 两函数交于， ∴ 解为 ，此选项符合题意； B、方程的解是与轴交点的横坐标，由图可知与轴交于，故解为，并非，此选项不符合题意； C、方程的解是两函数图象交点的横坐标，两函数交于，故解为，并非，此选项不符合题意； D、不等式的解集是图象在图象下方时的范围， 由图可知，交点右侧，图象在下方，故解集为，并非，此选项不符合题意； 故选：A． 15．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集，图象法求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】 解：由图象可知，的解集为， 在数轴上表示解集为： 故选B． 16．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组 的解为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数图象平移问题，坐标与图形变化——平移，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，利用一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律推出“一次函数的图象与轴交于点”是解题的关键． 由一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律可得，一次函数的图象与轴交于点，而一次函数的图象与轴也交于点，于是可得一次函数与一次函数图象的交点为，进而可得关于，的二元一次方程组 的解． 【详解】 解：一次函数的图象与轴交于点， 将一次函数的图象向下平移个单位得到一次函数的图象， 一次函数的图象与轴交于点， 而一次函数的图象与轴也交于点， 一次函数与一次函数图象的交点为， 关于，的二元一次方程组 的解为 ， 故选：． 17．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（     ） ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． A. ②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断① ；利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断② ；求出，结合，即得出，解得或，故③ 错误；将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图像，可得出当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，即，可判断④ 正确． 【详解】 解：∵一次函数与的图像交于点， ∴联立 的解为 ， 即方程的解为，故① 正确； 将代入，得：， 解得：， ∴． ∵， ∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故② 正确； ∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或，故③ 错误； 将代入，得：， ∴． ∵，且， ∴，且， ∴画出图像如图所示． 由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方， ∴当时，，故④ 正确． 故选B． 【点睛】 本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识．熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键． 18．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组 的解为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．由两函数图象交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点A的坐标即可． 【详解】 解：∵点在函数上， ∴代入得， 解得， ∴交点坐标为， 故方程组的解为 ． 故答案为： ． 19．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）已知一次函数的图象如图所示． （1）请在图中作出函数的图象； （2）利用图象解答问题： ①求关于x、y的方程组 的解； ②求关于x的不等式组的解集． 【答案】（1） 画图如下：      （2）① ；②      【分析】 （1）列表，描点，再连线即可； （2）① 根据两函数图像交点即可得解；② 找到两函数图像都在x轴上方，且图像在图像上方时对应的x的范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 由图可知：和图像交于， ∴关于x、y的方程组 的解为 ； ② 由图可知：与x轴交于，与x轴交于， ∵两函数图像交点为， ∴两函数图像都在x轴上方，且图像在图像上方时， x的范围是， ∴关于x的不等式组的解集为． 【点睛】 本题考查了画一次函数图像，一次函数与二元一次方程组，一次函数和不等式的关系，解题的关键是理解函数与方程组和不等式的关系，结合图像解答． 20．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，一次函数与图象的交点的横坐标为，则的解集是　　　　　　． 【答案】x＞−2 【分析】 根据函数图象，写出直线y1＝kx＋b在直线y2＝x＋a下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】 解：根据图象得，当x＞−2时，kx＋b＜x＋a， 故答案为：x＞−2． 【点睛】 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围． 21．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，已知函数和的图象交于点，则的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查由图象法解不等式，熟记图象法解不等式的方法是解决问题的关键． 求的解集就是找函数图象在函数图象交点及其上方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】 解：由图可知，函数和的图象交于点， 求的解集就是找函数图象在函数图象交点及其上方部分对应的的取值范围， 当时，函数图象在函数图象上方， ， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与直线相交于点． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数与不等式，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入可求出的值，进而得到点的坐标，再把点的坐标代入可求出m的值； （2）结合函数图象，找出直线在直线的下方（含交点）所对应的自变量的范围即可； (1) 小问详解： 解：把代入，得 ， ∴, ∴， 把代入，得 ， ∴， (2) 小问详解： 解：由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集为； 23．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）这个一次函数的解析式为 　　　　　　　　　． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，的取值范围为 　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式； （2）根据当时，，结合图象即可求得． 【详解】 解：（1）∵一次函数 的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴这个一次函数的解析式为； 故答案为：； （2）当时，； ∴将代入， 解得：， 当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴， ∴大于的系数，且， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线交于点，且两直线分别与x轴交于点A，B． （1）求k，m的值． （2）求的面积． 【答案】（1），     （2）24      【分析】 本题考查了一次函数的性质，直线围成的三角形面积等知识，属于基础知识，务必牢固掌握． （1）把点C坐标代入中，可求得m的值，从而可得点C的坐标；再把点C坐标代入中，即可求得k的值； （2）求出两直线与x轴的交点，即可求得的面积． (1) 小问详解： 解：把点C坐标代入中，得：， ∴， 把代入，得：， 解得：， 综上，，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴． 答：的面积为24． 25．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）求三角形的面积； （3）根据图象，直接写出的解集____． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （）利用待定系数法解答即可； （）联立函数解析式，求出点坐标，再求出点坐标，得到的长，最后根据三角形的面积公式计算即可； （）根据图象即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，三角形的面积，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把和分别代入， 得： ，    解得： ， ∴直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立函数式得 ， 解得 ，    ∴， 在中，令，即， 解得， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由图象可得，当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，直线经过原点，若、、，已知，为线段上一动点．则线段的最小值是　　　　　　　　． 【答案】1.25 【分析】 本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，垂线段最短，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高是解题的关键． 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点点，得出，，最后利用三角形的面积求出边的高，即可解决问题． 【详解】 解：如图：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，设的边上的高为， ，，． ，，； 设三角形中边上的高为， 由， 得， 解得：， ， 当时，有最小值为， 长度的最小值为1.25， 故答案为：1.25． 27．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，直线分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在直线上求点M，使得． 【答案】（1）点A的坐标为     （2）点M的坐标为或      【分析】 本题主要考查了直线围成的图形面积，求两直线的交点坐标： （1）联立两直线解析式求出对应的x、y的值即可得到答案； （2）分当点M在点A下方时，当点M在点A上方时，两种情况求出与的关系进而得到与的关系，从而求出，进而求出点M的坐标即可． (1) 小问详解： 解；联立 ，解得 ， ∴点A的坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，当点M在点A下方时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点M的坐标为； 如图，当点M在点A上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 28．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个数图象相交于点． （1）求出点的坐标； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）当时，     （3）点坐标为或      【分析】 本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式即可． (1) 小问详解： 解：把代入得，， 解得，； 把代入得，， 解得，； 联立方程组得， ， 解得， ， 点坐标为：； (2) 小问详解： 解：根据图象可知，在点或点的左侧时，， ∴当时，； (3) 小问详解： 解：由（1），． ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ∴， ∴点坐标为； 当时，， ∴， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或． 29．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象（是常数且）分别与x轴和y轴交于点B和点A，一次函数的图象（是常数且）分别与x轴和y轴交于点E和点C，直线与交于点．    （1）求和的值； （2）不等式的解集为______；方程组 的解为______； （3）若点P是直线AB上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1），；     （2）， ；     （3）点P的坐标为或      【分析】 本题时一次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）利用待定系数法，将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中求解，即可得到答案； （2）利用图象法即可解不等式和方程组； （3）由（1）可知直线AB的表达式为，直线CD的表达式为，分别求出、两点坐标，进而求得，设点P的坐标为，根据，得到，求出的值，即可得到点P的坐标． (1) 小问详解： 解：将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中， 得： ，解得 ； (2) 小问详解： 解：由图象可知，一次函数的图象在一次函数的图象上方的部分，为不等式解集，与的交点为方程组 的解， 一次函数与交于点 不等式的解集为，方程组 的解为 ， 故答案为：， ； (3) 小问详解： 解：由（1）可知直线AB的表达式为，直线CD的表达式为， 当时，，解得， ， ， 当时，，解得， ， ， ， ， 设点P的坐标为， ， 解得：或， 当时，；当时，， 点P的坐标为或． 30．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． （1）已知函数为函数、的“星辰函数”，求m，n的值； （2）在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点P．过点P作x轴的垂线l，交函数、的“星辰函数”的图象于点Q．若，函数、的“星辰函数”图象经过点P，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一次函数的性质，二元一次方程组，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，代入得到，由此化简即可求解． (1) 小问详解： 由题意得 ． 整理得， ∴ ， 解得 ． ∴． (2) 小问详解： ∵函数、的“星辰函数”图象相交于点， ∴ 解得 ， ∴P点坐标为， ∵函数、的“星辰函数”为 化简得， ∵点P在函数、的“星辰函数”图象上，代入得 ，整理得， ∵， ∴两边都除以得． 31．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组 的解为　　　　　　． 【答案】 【分析】 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】 解：整理方程组 ，可得 ， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为 ． 32．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）一次函数（是常数，且）的图像如图所示，则方程的解为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 结合图像，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解． 【详解】 ∵一次函数（是常数，且）的图像与x轴交点的坐标的横坐标为， ∴的解为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键． 33．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； （2）当时，的取值范围是_____； （3）将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线与轴交于点．若，求的值． 【答案】（1） 图象如下： ．     （2）     （3）12      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用描点法画出函数图象即可得； （2）结合函数图象即可得； （3）先求出平移后的直线的解析式，再求出点的坐标，然后求出，根据建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即． (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为12． 考点04 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 【详解】 解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 2．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系，下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为（     ） … 1 2 3 4 … … 2.4 2.8 3.2 3.6 … A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，由表格可知，增加，增加，据此列方程并求解即可． 【详解】 解：由表格可知，增加，增加，则， 解得， 当为时，对应的时间为． 故选：D． 3．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了分段函数的图象，熟练掌握根据不同收费标准确定函数关系式进而分析图象是解题的关键．根据不同通话时长区间的收费标准，分情况分析费用与时间的函数关系，进而判断图象． 【详解】 解：∵ 有月租费10元， ∴ 当时，． ∵ 每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元， ∴ 当时，，且当时，， 此时函数图象是从出发，到点的一条线段． ∵ 超过120分钟的每分钟收费0.1元， ∴ 当时，，此时函数图象是比时的倾斜度缓的线段． 观察各选项，只有B选项符合． 故选：B． 4．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（       ） A. 当石块下降时，石块在水里 B. 当时，与之间的函数关系式为 C. 石块下降时，石块所受的浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解．求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】 解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A说法错误，不符合题意； B．当时，设所在直线的函数表达式为：， 则 ， 解得 ， ∴，故选项B说法错误，不符合题意； C．当石块下降的高度为时，即时，， 此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意； D．当弹簧测力计的示数为时，， 解得， 石块距离水底的距离为，故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据“路程速度时间”可得与之间的函数关系式，再根据加完油后，加快了速度可得后面的一次函数的一次项系数更大，图象更陡，由此即可得． 【详解】 解：设最初的速度为千米/小时，加快了速度后的速度为千米/小时，则， 由题意得：最初以某一速度匀速行驶时，， 加油几分钟时，保持不变， 加完油后，， ， 函数的图象比函数的图象更陡， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的特征是解题关键． 6．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键． 设超过部分的函数解析式为，将点代入确定函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】 解：设超过部分的函数解析式为， 将点代入得： ， 解得： ， ∴超过部分的函数解析式为， 当时，即， 解得：， ∴小丽购买的数量为， 故选：D． 7．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（       ） A. 从甲到乙地共24千米 B. 小帅的骑车速度为8千米/小时 C. 小泽出发0.5小时后小帅才出发 D. 当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米 【答案】B 【分析】 本题首先要读懂轴及轴表示的实际意义是什么，可通过单位获取信息，分别是时间和距离甲地的路程，从轴的最大值和最小值的差，可以得出甲、乙两地的距离；本题并没有指明小帅的出发时间，不能主观猜测，纵观整张图，可以从表示小帅运动的图象中，找点关键点和，求出小帅的速度，再借助路程公式，求出小帅出发的时间；同理，小泽在小帅到达终点后，距乙地的距离，也可利用关键点和，求出小泽行驶了8千米时的速度，便可求出小泽行驶2小时时，距离乙地的距离． 【详解】 解：A、纵轴表示的是小帅与小泽从甲地出发前往乙地，距甲地的距离，且最小值为0千米，最大值都为24千米， 甲、乙两地的距离为：（千米）； 故选项正确，不符合题意； B、由图可知小帅从甲地匀速行驶前往乙地，小泽行驶1小时后，小帅从距离甲地8千米的地方继续匀速行驶，小泽行驶2小时后到达终点，此时距离甲地24千米， （千米小时）， 故选项错误，符合题意； C、（千米小时）， 小帅行驶8千米所用的时间为：（小时）， 小帅出发前，小泽行驶的时间为：（小时），即小泽出发0.5小时后小帅才出发，故选项正确，不符合题意； D、小泽出发0.5小时时，行驶了8千米，之后匀速行驶，行驶了2.5小时后，到达终点，此时距离甲地24千米， 小时后（千米小时）， 当小帅到达终点时，小泽一共行驶了2小时， （千米）， 小泽一共行驶了：（千米），则小泽距离乙地还有：（千米）， 故选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是读懂一次函数图象的实际意义，要抓住关键的转折点，结合转折点的横、纵坐标，理解其代表的实际意义，理清题意，才能准确答题． 8．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（       ） A. 乙用6分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D. 甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【详解】 解：由图知，(分)， 乙用6分钟追上甲， 正确，不符合题意； 甲的速度为(米/分)， 乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)， 乙追上甲后，再走米才到达， 正确，不符合题意； 乙的速度为(米/分)， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为(米)， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)， 正确，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要(分)到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟， 错误，符合题意 故选：． 9．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（     ） A. 乙车的速度为 B. 两地相距 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数图像，分别求出甲、乙行驶的时间，速度，以及不同状态下两车之间的距离，再判断各项即可． 本题考查函数图像与行程问题，理解其数量关系是解题的关键． 【详解】 解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系，则甲的行驶时间为， ∴甲用行驶了， ∴甲的速度为 由可知乙用追上了甲， 此时甲行驶了，路程是， ∴乙用了行驶了， ∴乙的速度是， 故A选项错误，不符合题意； B、由可知，时甲、乙两车相距， ∴，即A、B两地相距， 故B选项错误，不符合题意； C、，即甲、乙两车最远相距， 故C选项错误，不符合题意； D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后， ∴， ∴，， ∴ ∴乙车出发与甲车相遇， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．    （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得 ， ∴直线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点睛】 本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）有一个最多能称的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表，那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为　　　　　　　． 重量 1 1.5 2 2.5 3 3.5 长度 4.5 5 5.5 6 6.5 7 【答案】13.5 【分析】 本题考查了一次函数的应用，求出弹簧的长度与物体重量的关系式是解题关键．由表格可知，弹簧的长度与物体重量的关系是一次函数关系，利用待定系数法求出，再根据弹簧秤最多能称，即可求出弹簧最长的长度． 【详解】 解：由表格可知，弹簧的长度与物体重量的关系是一次函数关系， 则设， 根据表格中提供的数据知：得当时，；当时，， ，解得： ， ， 弹簧秤最多能称， 当时，， 即在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为， 故答案为： 12．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）在智能制造浪潮下，机器人产业发展迅猛，某机器人制造公司致力于生产不同类型的工业机器人，为满足生产需求，从供应商处采购两种关键零部件，分别是高精度传感器和高性能伺服电机，它们的成本及后续用于组装机器人后的产品售价数据如表： 零部件类别 高精度传感器 高性能伺服电机 采购成本（元/件） 800 600 组装后产品售价（元/件） 1200 900 （1）该公司首次投入20000元采购高精度传感器和高性能伺服电机共30件，请问两种零部件分别采购了多少件？ （2）首次采购零部件组装的机器人销售一空后，公司打算再次采购这两种零部件共250件（采购成本和产品售价保持不变），且第二次采购的总成本不超过180000元，那么公司此次应怎样制定采购方案，才能够获取最大销售利润？最大销售利润是多少呢？ 【答案】（1）采购高精度传感器10件，采购高性能伺服电机20件     （2）第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获取最大销售利润，最大销售利润是90000元．      【分析】 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设两种零部件分别采购的数量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设第二次采购高精度传感器x件，则采购高性能伺服电机件，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设销售利润为W元，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最大，求出其最大值及此时的值即可． (1) 小问详解： 解：设采购高精度传感器a件，采购高性能伺服电机b件． 根据题意，得 ， 解得 ． 答：采购高精度传感器10件，采购高性能伺服电机20件． (2) 小问详解： 解：设第二次采购高精度传感器x件，则采购高性能伺服电机件， 根据题意，得， 解得， 设销售利润为W元， 则， ∵， ∴随x的增大而增大， ∵， ∴当时W值最大，， 则（件）． 答：第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获取最大销售利润，最大销售利润是90000元． 13．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A，B两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A种礼盒每个进价160元，售价220元；B种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中A种礼盒不少于60个．设购进A种礼盒x个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该专卖店对A种礼盒以每个优惠元的价格进行优惠促销活动，B种礼盒每个进价减少n元，售价不变，且，若最大利润为4900元，请直接写出m的值． 【答案】（1）     （2）5500元     （3）10      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式和最大值的问题，根据一次函数的性质解题即可． （1）根据题等量关系建立函数关系式． （2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先列出利润y与x的函数解析式，再分，，三种情况讨论即可得出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得：A种礼盒x个，且，则B种礼盒为个， 故， 整理得：． 故y与x之间的函数关系式为：. (2) 小问详解： 根据题意得：A种礼盒x个，且，则B种礼盒为个， 购进100个礼盒的总费用不超过15000元， 即， 整理得：， 故， ∴，且， ∴y随着x 的增大而增大， ∴当，y有最大值， 此时： ∴最大利润为：5500元． (3) 小问详解： ∵ ∴ 由题意得：， 整理得： 代入， 得出：， ∵， ∴当时，即，时，y随着x的增大而增大． ∴当，y值最大，即， 解的，符合题意． 当时，， 故时，不符合题意，舍去． 当时，即，时，y随着x的增大而减小． ∴当，y值最大，即， 解得：，不合题意，舍去． 综上．． 14．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解． 【详解】 解：如图， 观察图象得：当x=2时，y≥1， 即，解得：， 当x=-2时，y≥3， 即，解得：， ∴的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 15．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表． 型号 成本/（万元/台） 3 5 售价/（万元/台） 4 8 （1）设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简） （2）若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）；     （2）购进型号设备10台，型号设备10台时获利最大，最大利润为40万元      【分析】 此题综合考查一次函数、不等式的应用，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解决问题． （1）销售A种品牌设备x台，B种品牌设备台，算出每台的利润乘对应的台数，再合并在一起即可求出总利润； （2）由“每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元”，列出不等式，再由（1）中的函数的性质得出答案即可． (1) 小问详解： 解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台， ∴每月销售型号设备为台， ∴每月共获得利润为， 即万元， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元， ∴， 解得， ∵， ∴利润随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元）， ∴， ∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台． 16．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是　　　　　　　　　　　； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，，则，求出两直线的交点坐标，即可； （2）根据题意分别求出一次函数与轴交点为：，与轴交点为：，再根据两个函数，求出交点坐标，最后根据两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则，解出，即可． 【详解】 解：（1）当时，， ∴， 解得：， ∴， 这两个函数图象的交点坐标为：； （2）一次函数与轴交点为：，与轴交点为：， ∵一次函数与相交， ∴， ， ∴， ∴， ∴一次函数与的交点坐标为， ∵两个函数图象与轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：或， 故答案为：（1）；（2）或． 17．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距__________米，__________； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）     （2）     （3）7分或11分或13分      【分析】 本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： (2) 小问详解： 由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得： ， ∴线段所在直线的函数解析式为：； (3) 小问详解： 机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得： ， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 18．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为　　　　　千米； （2）的值为　　　　　． 【答案】① 180    ② 3.75 【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】 （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度（）随时间（秒）变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_____，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_____； （2）当时，求乙壶中水温关于加热时间的函数表达式； （3）当甲壶中水温刚好达到时，求此时乙壶中的水温． 【答案】（1）20；1     （2）     （3）当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为      【分析】 本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 故答案为：20；1； (2) 小问详解： 解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得： ， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． (3) 小问详解： 解：∵甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 20．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．折线表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之间的关系．    （1）剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米； （2）求段函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？ 【答案】（1）150     （2）     （3）160千米      【分析】 本题主要考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式， 根据函数图像求解即可； 利用待定系数法求的线段的函数解析式，结合图像可知其自变量的取值范围； 结合图像可知汽车剩余电量为30千瓦时符合线段的函数解析式，代入求解即可． (1) 小问详解： 解：由图像可知，剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为150千米 故答案为：150； (2) 小问详解： 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ，解得： 段的函数解析式为； (3) 小问详解： 解：当时，， 解得：． 即该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是160千米． 21．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）低空经济是培育新质生产力的重要方向，某城市试点开放120米以下空域，允许无人机在指定航线飞行．美团外卖通过“5分钟起飞-10分钟送达”的高时效服务，在部分地区开展无人机送餐服务． （1）经测试，午高峰3小时内无人机送单数是人工送单数的两倍，且用无人机配送每单可节省10分钟，求午高峰3小时内无人机送单数是多少？ （2）某日午高峰3小时内订单总数为72单．已知无人机配送成本为5元/单，但享受政府补贴2元/单，人工配送成本为8元/单．请求出总成本（元）与人工配送单数（单）的函数关系式； （3）在问题（2）的基础上，根据实际情况，无人机配送的单数不超过60单，但至少比人工配送多25单，如何安排配送服务使总成本最低？最低总成本是多少元？ 【答案】（1）午高峰3小时内无人机送单数是单     （2）     （3）安排无人机配送单，人工配送单总成本最低，最低总成本是元      【分析】 本题考查分式方程的应用，求一次函数解析式，一元一次不等式组的应用，一次函数增减性，解题的关键在于正确理解题意找出等量关系或不等关系． （1）设午高峰3小时内无人机送单数是单，则人工送单数为单，根据无人机配送每单可节省10分钟，建立方程求解，即可解题； （2）根据题意列出关系式即可； （3）根据题意列出一元一次不等式组，求出取值范围，再结合一次函数增减性求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：设午高峰3小时内无人机送单数是单，则人工送单数为单， 无人机送餐“5分钟起飞-10分钟送达” ，且用无人机配送每单可节省10分钟， 又3小时分钟， ， 解得， 经检验，使得， 则是该方程的解， （单）， 则午高峰3小时内无人机送单数是单． (2) 小问详解： 解：由题知，； (3) 小问详解： 解：无人机配送的单数不超过60单，但至少比人工配送多25单， ， 解得， 中随的增大而增大， 越小，配送服务总成本越低， 取正整数， 当时，总成本最低， （单）， 即安排无人机配送单，人工配送单总成本最低，最低总成本是元． 22．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 （1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． (1) 小问详解： 解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； (2) 小问详解： ∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 23．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）某儿童服装店准备到批发市场购买A，B两种品牌的儿童内衣．已知B品牌的进货单价是A品牌进货单价的3倍，该儿童服装店购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的关系满足一次函数，部分数据如下表所示． x/件 … 50 60 100 … y/件 … 250 240 200 … 当购买的A，B品牌的儿童内衣中，A品牌内衣为100件时，购买这两种品牌儿童内衣共需7000元． （1）求y与x之间的函数表达式． （2）求A，B两种品牌的儿童内衣进货单价． （3）若该儿童服装店每销售1件A品牌儿童内衣可获利4元，每销售1件B品牌儿童内衣可获利9元．根据销售需求，该儿童服装店决定用不超过5400元购买A，B两种品牌的儿童内衣，该儿童服装店购买A，B两种品牌内衣各多少件才能使利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）     （2）A品牌进货单价为10元，B品牌进货单价为30元     （3）购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元      【分析】 本题考查一次函数及其应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意并求得一次函数解析式是关键； （1）设y与 x之间的一次函数为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）所求可求得购买B品牌内衣的数量，根据：购买这两种品牌儿童内衣共需7000元建立方程即可求解； （3）设利润为元，则，再根据题意得，利用一次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的一次函数为， 由表格知，当时，；当时，； 则 ， 解得： ， ∴， 答：y与x之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴当时，； 设A品牌进货单价为a元，则B品牌进货单价为元， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 答：A品牌进货单价为10元，则B品牌进货单价为元； (3) 小问详解： 解：设利润为元，则， 由题意得：， 即， 解得：， 对于，， ∴当时，函数值随自变量的增大而减小， ∴当时，取得最大值，且最大值为：， 此时（件）， 答：购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元 ． 24．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元     （2）该校购买这40件劳动用品至少需要950元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． (1) 小问详解： 解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得： ， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． (2) 小问详解： 解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 25．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）一次函数（a为常数）． ①一次函数的图象一定经过点A，点A的坐标为　　　　　　　　； ②已知，，若一次函数的图象与线段有交点，则a的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 且 【分析】 该题考查了一次函数的图象和性质，①通过变形函数解析式，令含a的系数为零，求得定点坐标；②先根据一次函数定义确定，再将点，分别代入函数解析式，结合函数性质即可得到a的取值范围． 【详解】 解：①， 当时，， 故一次函数的图象一定经过点． 故答案为：． ② ∵是一次函数， ∴， 当点在一次函数图象上时，，解得：， 当点在一次函数图象上时，，解得：， ∵一次函数的图象与线段有交点， ∴且． 故答案为：且． 26．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）新疆纸皮核桃，皮薄如纸，以易取整仁而得名，富含蛋白质、钙、磷、铁等矿物质和微量元素及维生素，具有极高的营养价值．某商贸公司经销甲、乙两个品种的纸皮核桃，甲品种纸皮核桃进价为16元/千克；乙品种纸皮核桃的进货总金额（单位：元）与乙品种纸皮核桃的进货量（单位：千克）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种纸皮核桃的售价分别为20元/千克和25元/千克．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的纸皮核桃共1000千克，其中乙品种的收购量不低于200千克，且不高于500千克． （1）求乙品种纸皮核桃的进货总金额与进货量之间的函数解析式； （2）从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，且收购的纸皮核桃能够全部卖完，该商贸公司收购多少千克乙种纸皮核桃可获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）的基础上，商场把两种核桃混合售卖，并把最大利润的让利给购买者，那么纸皮核桃的销售价应定为多少？（结果保留整数） 【答案】（1）     （2）最大利润元     （3）22元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）将，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设销售完甲、乙两个品种的纸皮核桃所获总利润为w元，根据题意得出关于的一次函数，根据一次函数的性质，即可求解； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，设关于的函数表达式为， 将，分别代入得 ， 解得： ， 即关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵乙品种的收购量不低于200千克，且不高于500千克 ∴ ∵收购了甲、乙两个品种的纸皮核桃共1000千克，乙品种纸皮核桃的进货量x千克， ∴甲品种纸皮核桃的进货量千克， ∵甲品种纸皮核桃进价为16元/千克，甲品种纸皮核桃的售价为20元/千克， ∴甲品种纸皮核桃利润为4/千克， ∵乙品种纸皮核桃的售价为25/千克，从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元， 设销售完甲、乙两个品种的纸皮核桃所获总利润为w元， ∴， ∴w随x增大而增大， 即当时，w取得最大值，此时甲500千克，乙500千克． (3) 小问详解： 设纸皮核桃的销售价为元/千克，根据题意得 解得： 答：纸皮核桃的销售价为元/千克 27．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地（私家车、客车两车速度不变）．图1是私家车离甲地距离为y（千米）与行驶的时间为x（小时）之间的函数图象，图2是两车之间的距离s（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数图象： （1）求私家车和客车的速度各是多少？ （2）点P的坐标为______；c的值为______； （3）直接写出两车相距200千米时，两车出发的时间x（小时）的值． 【答案】（1）私家车的速度为100千米/时，客车的速度为60千米/时；（2）；10；（3）； 【分析】 （1）根据函数图象即可求出私家车的车速，再设客车的速度为x，根据题意列出一元一次方程，故可求解； （2）根据P点的含义为私家车已经到达，c小时时客车达到目的地，即可求解； （3）分两车相遇后与相遇前相距200km分别列出方程，故可求解． 【详解】 （1）解：私家车：（千米/时） 设客车的速度为x千米/时， 依题意可得600=（100+x）× 解得x=60 经检验，符合题意，故私家车的速度为100千米/时，客车的速度为60千米/时； 答：私家车的速度为100千米/时，客车的速度为60千米/时． （2）P点的含义为私家车已经到达时，两车的距离 由题意可得私家车达到目的地所需时间为6小时 此时客车行驶的路程为6×60=360 故此时两车相距360km ∴点P的坐标为； 客车到达目的地时所需时间为600÷60=10h ∴C的值为10 故答案为：；10； （3）当两车相遇后相距200km，设此时时间为x1， 依题意可得（100+60）x1=600+200 解得； 当两车相遇前相距200km，设此时时间为x2， 依题意可得（100+60）x2=600-200 解得； 综上，当两车相距200千米时，两车出发的时间x（小时）的值为；． 【点睛】 此题主要考查函数的实际应用，解题的关键是熟知根据题意找到数量关系列方程求解． 28．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）某公司在甲、乙两个生产基地分别生产了同一种型号的检测设备15台、17台，现要把这些设备全部运往、两市．市需要19台，市需要13台．且运往、两市的运费如下表：                                       两市两基地 市（元/台） 市（元/台） 甲 500 800 乙 600 700 设从甲基地运往市的设备为台，从甲基地运往两市的总运费为元，从乙基地运往两市的总运费为元． （1）分别写出、与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试比较甲、乙两基地总运费的大小； （3）若乙基地的总运费不得超过11300元，怎样调运，使两基地总运费的和最小？并求出最小值． 【答案】（1），； （2）令， ① 当时，，即甲、乙两基地总费用相等， ② 当时，，即甲基地总费用小于乙基地总费用， ③ 当时，，即甲基地总费用大于乙基地总费用； （3）从甲基地运往市的设备为13台，则从甲基地运往市的设备为2台，从乙基地运往市的设备为6台，从乙基地运往市的设备为11台，总费用最少，最少总费用19400元． 【分析】 （1）根据题意直接写出，的函数解析式； （2）令，分三种情况讨论即可； （3）根据乙基地的总运费不得超过11300元，解出的取值范围，然后根据函数性质求最值即可． 【详解】 解：（1）设从甲基地运往市的设备为台，则从甲基地运往市的设备为台， 从乙基地运往市的设备为台，从乙基地运往市的设备为台， 则 ， 解得：， ， ； （2）略 （3），得：， 则， 总费用：， ， 总费用随的增大而减小， 当时，运费最少，最少费用为：（元， 答：从甲基地运往市的设备为13台，则从甲基地运往市的设备为2台，从乙基地运往市的设备为6台，从乙基地运往市的设备为11台，总费用最少，最少总费用19400元． 【点睛】 本题考查一次函数和一元一次不等式组的应用，关键是根据题意写出，的函数解析式． 29．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程与行驶时间之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量与行驶时间之间的函数图象如图②所示． （1）与的函数关系式为______；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】（1）；     （2）；     （3）这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将代入求出x的值，再求出s的值即可． (1) 小问详解： 解：设，将代入， 得 ； (2) 小问详解： 设， 把，代入，得： ． 解得： ． (3) 小问详解： 当时，， 解得； 当时，． 所以，这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 30．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 【答案】（1）；     （2）共有11种进货方案；     （3） 应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．      【分析】 本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意得：， 解得； (2) 小问详解： 解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得： 解不等式① 得， 解不等式② 得， 所以，不等式组的解集是: ∵x是正整数，， ∴共有11种进货方案； (3) 小问详解： 解：设总利润为W，则 ， ① 当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ② 当时，，，（2）中所有方案获利都一样； ③ 当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 31．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． （1）由图象可知不等式的解集为_______； （2）在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 该题考查了一次函数与不等式、图形面积、二次根式的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值和二次根式的非负性求出，求出、，再根据一次函数与不等式的关系计算即可． （2）根据题意先求出的面积，从而得出的面积，求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点、点， 根据图象可得不等式的解集为． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 32．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． （1）求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． （2）共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ （3）采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 【答案】（1）     （2）共有8种不同的购买方案，购买这些奖品最少需要1780元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的应用、求不等式组的解集，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式，再结合题意列出关于的不等式组，求出的取值范围，即可解答； （2）结合的取值范围以及是整数，得出不同的购买方案的种数，再利用一次函数的性质求出的最小值，即可解答； （3）根据题意得，再结合 “购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关”，得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 由题意得，， ∵购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件， ∴ ， 解得， ∴函数解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，且是整数， ∴可以取10，11，12，13，14，15，16，17， ∴共有8种不同的购买方案， ∵， ∴中随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴购买这些奖品最少需要1780元； (3) 小问详解： 解：由题意得，， ∵购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关， ∴， 整理得：． 33．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）随着全球能源转型与环保意识增强，新能源汽车逐渐普及，但“充电难”问题成为制约其发展的瓶颈．某校八年级学生在学习了综合与实践课——生活中的“一次模型”后，利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用“一次模型”探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积（单位：平方米） 3 1 已知新建1个地下充电梯比新建1个地上充电桩多万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要万元． 问题一 填空：该小区新建1个地上充电桩需要______万元，新建1个地下充电桩需要______万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，设建造m个地下充电桩，求出m的取值范围． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，求s与m的关系式，并求出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 【答案】问题一：，；问题二：，m为正整数；问题三：，s的最小值94平方米，新建43个地下充电桩，17个地上充电桩 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，解不等式组的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 问题一：先设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元．再根据题意列出方程组，即可作答． 问题二：依题意，列出不等式组，再解得，再结合m为正整数，即可作答． 问题三：根据地上、地下充电桩数量及各自占地面积，得出总占地面积与地下充电桩数量的函数式．依据函数单调性得随增大而减小，结合的范围，取最大43时最小．将代入函数，得，此时地上充电桩数量为，即可得出方案． 【详解】 解：问题一：设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元． ， 解得 答：一个地上充电桩为万元，一个地下充电桩为万元． 问题二：设地下充电桩数量为m个，则地上充电桩数量为个， ， 解得， ∵为正整数， ∴ 问题三： 地上每个充电桩占地面积为3平方米，地下每个充电桩占地面积为1平方米， 总占地面积：． ，且， 当时，代入得 ， ∴最小为94平方米， 此时，地上充电桩数量为个， ∴对应方案为建造43个地下充电桩和17个地上充电桩． 34．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． （1）点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； （2）若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 【答案】（1）与     （2）20      【分析】 （1）根据点得， 点的一对“友好点”的坐标是与． （2）根据点得，，故点的一对“友好点”和，结合和都在直线上，建立方程组求k的值即可． 本题考查了一次函数的新定义，解方程组，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”的坐标是与． 故答案为：与． (2) 小问详解： 解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”和， ∵和都在直线上， ∴ ， 解得 ， 故k的值为20． 35．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）某重点高中实验班招生，综合考虑考生的中考成绩和校考成绩，方案如下： 考生总成绩按百分制计算，其中中考成绩占，校考成绩占，即 考生总成绩． 已知2025年，该地中考总分为755分，校考总分为520分，甲同学的校考成绩为350分． （1）设甲同学的中考成绩为，总成绩为，求与的函数关系式． （2）若乙同学的校考成绩比甲多1分，则甲的中考成绩至少比乙高几分，才能使总成绩超过乙？（结果保留整数） 【答案】（1）     （2）4分      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，以及不等式的求解，解决本题的关键是读懂题意，表示总成绩的函数关系式． （1）根据题目所给考生总成绩，结合该地中考总分，校考总分以及甲同学的校考成绩表示即可． （2）设乙的中考成绩为，总成绩为，再表示乙的总成绩，作差，即，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵该地中考总分为755分，校考总分为520分，甲同学的校考成绩为350分． 设甲同学的中考成绩为，总成绩为， ∴， 即． (2) 小问详解： 解：设乙的中考成绩为，总成绩为， 则， 令， 即，解得， 所以甲的中考成绩至少比乙高4分，才能使总成绩超过乙． 36．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】（1）种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．     （2）购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元      【分析】 本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． (1) 小问详解： 解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． (2) 小问详解： 解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得： ， 解得： ， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 37．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． （1）求甲乙两种产品的进价： （2）现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； （3）在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 【答案】（1）甲乙两种产品的进价分别为160元，120元     （2）共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元；     （3）13      【分析】 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及与字母无关的问题，理解题意是解答本题的关键． （1）如果设每个乙种产品进价为x元，由“每个甲种产品的进价比每个乙种产品的进价多40元”，可知每个甲种产品进价为元．题中有等量关系：用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等，据此列出方程； （2）根据题意得、，求得，故得41种方案，当时可得最大利润； （3）根据题意列式，根据与无关，则，求出 (1) 小问详解： 解：设每个乙种产品进价为x元，则每个甲种产品进价为元，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴ 答：甲乙两种产品的进价分别为160元，120元； (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 解得，； ， ∴， ∴， ∴（种） 当时，有最大值，为， 所以，共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 根据题意得： ∵销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响， ∴ ∴ 38．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）如图，已知直线经过点，． （1）若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出的解集； （3）在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． （3）设点P的坐标为，根据，解方程即可得出x的值，进而可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得 ， 解得 ， ∴的解析式为， 根据题意，得 ， 解得 ， 故． (2) 小问详解： 解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 39．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）某体育用品店准备购进篮球和足球进行销售，这两种球的进价和售价如下表： 种类 进价（元/个） 售价（元/个） 篮球 80 110 足球 60 100 （1）现计划购进篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的一半．该体育用品店怎样进货才能使两种球全部售出后获利最大？最大利润是多少？ （2）某学校需要购买一批该体育用品店的篮球和足球作为体育器材，其中篮球m个，足球24个．体育用品店给出以下两种优惠方案： 方案一：所有球均按售价的八折出售； 方案二：篮球按售价的七折出售，足球按售价的九折出售． 学校采购员应选择哪种方案花费最少？请说明理由． 【答案】（1）该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元     （2） 解：当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少．，理由如下： 方案一的费用为元， 方案二的费用为 元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵m为非负整数， ∴不成立， ∴当（m为整数）时，应选择方案一花费最少，当（m为整数）时，应选择方案二花费最少．      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个，分别求出足球和篮球的利润，进而可得到y关于x的函数关系式，再求出x的取值范围即可得到答案； （2）分别表示出两种方案的费用，再令方案一的费用小于方案二的费用，方案一的费用等于方案二的费用，方案一的费用大于方案二的费用，据此分别建立不等式和方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设购买篮球x个，全部售出后的利润为y元，则购买足球个， 由题意得， ， ∵篮球的数量不少于足球数量的一半， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵x为整数， ∴当时，y有最大值，最大值为， 此时， 答：该体育用品店进篮球34个，足球66个获利最大，最大利润是3660元； (2) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，写出购买费用W（元）与m（件）之间的函数关系式．求当m为何值时，总费用最少，并确定最少费用W的值． 【答案】（1）A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元     （2），当时，总费用最少，最小值为1125元      【分析】 （1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据购买费用等于A，B两种奖品的费用之和即可得出W与m之间的函数关系式；根据题意可得关于m的不等式组，进而可求出m的范围，再根据一次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元， 根据题意可得 ， 解得： ， 答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元； (2) 小问详解： 解：由题意，得：， ∵购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍， ∴ ， 解得：， ∵，， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，总费用最少，最小值为1125． 41．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）定义：对于给定的一次函数，把形如 的函数称为一次函数的衍生函数． （1）已知函数，若点，在这个一次函数的衍生函数图象上，则            ，             ． （2）已知矩形的顶点坐标分别为，，，，当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，          ；当函数的衍生函数的图象与矩形ABCD有两个交点时，直接写出的取值范围            ． （3）已知点在轴上运动，如图，作正方形，点，点．当正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点时，求的取值范围． 【答案】（1），     （2），；     （3）或或．      【分析】 根据衍生函数的定义求出、； 函数的衍生函数可以表示为，根据衍生函数与矩形只有一个交点，可知衍生函数经过点，利用待定系数法求出值；当函数经过点时，衍生函数与矩形有个交点，利用待定系数法求出值；所以时，衍生函数与矩形有个交点； 当时，根据正方形的性质可知直线的解析式为，根据正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点求出点的坐标，即可得到的值；当时，直线的解析式为，根据正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点求出点的坐标，即可得到的值；当时，正方形与一次函数的衍生函数图象有三个交点；当时，正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点． (1) 小问详解： 解：点，在一次函数的衍生函数图象上， ， ， ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：根据题意，函数的衍生函数可以表示为， 如下图所示， 如图所示，当直线在位置时，函数的衍生函数和矩形有个交点， 当时，， 解得：， ， 取， 当直线在位置时，函数与矩形有个交点， 当时，， 解得：， ， 取， 故函数在之间的位置时，函数与矩形有两个交点， 即； 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：根据题意分情况如下： 当时， 四边形是正方形，点在轴上，且为对角线， 与轴的正半轴夹角为， 直线的解析式为， ， 解得： ， ，， ， ， 即， 时，如图， 直线的解析式是， 解方程组 ， 可得： ， ， 解得：； 时，如图， 此时正方形与一次函数的衍生函数图象有三个交点， 当时，正方形与一次函数的衍生函数图象有两个交点， 综上，的取值范围为或或． 【点睛】 本题主要考查了新定义函数、一次函数的图象与性质、利用一次函数与矩形、正方形交点个数确定范围． 42．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 （1）设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）； （2）求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】（1）     （2）     （3）安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解；自变量的取值范围同（1）； （3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆， ∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨， ∴， 即， ∵ ， 解得，且为3的倍数， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ； (3) 小问详解： 解：， ∴， 解得， ∵，且为3的倍数， ∴，且为3的倍数， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当，，此时最大，最大值为（元） 即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元． 43．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． （1）①求直线的解析式； ②求的面积； （2）①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】（1）①；②     （2）①或；②或      【分析】 （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；② 联立函数解析式求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）① 设，则，即得，解方程求出的值即可求解；② 由① 得，即得或，求出的取值范围，再根据横坐标和纵坐标都是整数求出的值即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，理解题意是解题的关键． (1) 小问详解： 解：① 把代入，得， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为； ② 由 ，解得 ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 设， ∵轴， ∴， ∵线段的长为， ∴， 即， 解得或， ∴或； ② 由① 可得，， 即或， 解得或， ∵和都是整数， ∴或， ∴或． 44．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，是轴上的一点． （1）若点在直线上，求点的坐标； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了一次函数： （1）设直线的解析式为：，用待定系数法求解析式，根据是轴上的一点且点在直线上得到点的坐标； （2）先求出的面积，再求出的面积，分情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为：， 代入得： ， 解得： ， 的解析式为：， 是轴上的一点且点在直线上， 当时，， ． (2) 小问详解： 解：如图，连接交轴于点，所以，连接， 点的坐标分别为，且， ， 要使，则， 设， 当点在直线上方，， 解得：， 当点在直线下方，， 解得：， 综上所述：或． 45．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且． （1）的值为　　　　　； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，连接，则的面积为　　　　　（用含的式子表示）． 【答案】① 4    ② 【分析】 本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的坐标，根据面积公式，进行求解即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点的坐标，分割法求出三角形的面积即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴，解得（负值舍去）； 故答案为：4； （2）由（1）可知：， 设直线的解析式为，把，代入得，，解得， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：． 46．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． （1）产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ （2）直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ （3）直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【答案】（1）甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋；     （2）共3种进货方案；     （3） 若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同．      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求得第一批和第二批利润，再设第三次进货甲为a袋，乙为袋，根据题意列不等式组求解即可； （3）调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋，求得总利润函数为，利用一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组： ， 解得 ， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； (2) 小问详解： 解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得 ， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； (3) 小问详解： 解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 47．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，点是轴上一个动点，过作轴的垂线交于，交于，设． （1）若，，则点的坐标为_____； （2）在（1）的条件下，当从增加到2时，求的最大值和最小值： （3）若，且与始终满足（为常数），求和的值． 【答案】（1）     （2）最大值是6，最小值是0     （3），．      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出两直线解析式，再联立两直线解析式求出点P的坐标即可； （2）分别求出点M和点N的坐标，进而用含t的式子表示出d，进而根据一次函数的增减性求解即可； （3）分别求出点M和点N的坐标，进而用含t的式子表示出d，根据与始终满足，可先求出m的值，进而可求出k的值． (1) 小问详解： 解：当，时，直线的解析式为，直线的解析式为， 联立 ，解得 ， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， ∴当时，， ∵， ∴d随t的增大而减小， ∴当时，d有最大值，最大值为； 当时，， ∵， ∴d随t的增大而增大， ∴当时，d有最大值，最大值为，当时，d有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，d的最大值为6，最小值为0； (3) 小问详解： 解：在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴ ∵与始终满足， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵与始终满足， ∴， ∴当时，， ∴； ∴当时，， ∴； 综上所述，，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $