专题04 全等三角形（期中真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期

**基本信息** 全等三角形专题期中试题汇编，涵盖3大高频考点，融合蔚县剪纸等文化素材与机器人运动等实际情境，基础题与探究题梯度分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|全等性质判定、角平分线性质|结合非遗文化（蔚县剪纸）考查全等图形识别| |填空|约10题|对应边/角计算、判定条件补充|设置动态问题（机器人运动）强化性质应用| |解答|约19题|全等证明、探究性问题|设计分层探究题（如三问式几何综合题），衔接中考命题趋势|

专题04 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．C 3．【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：5． 4．【答案】:度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质作答即可. 【详解】 解：由左图可知边b的对角为， ∵两个三角形全等， ∴， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．先由全等三角形的性质得到，再由三角形外角的性质可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由得到，再利用三角形的外角知识求解即可． 【详解】 解：，， ． ， ． 7．【答案】（1） 证明：， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． （1）由全等三角形的性质可得，等式两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 在 中，， ，即． 8．【答案】乙机器人的运动速度为或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 先根据中点定义求出的长度，再设运动时间为秒，乙机器人运动速度为，分别表示出、、的长度．然后分两种全等情况，利用全等三角形的对应边相等列方程，求解出和的值． 【详解】 解：点是边的中点， ． 设运动时间为秒，乙机器人的运动速度为． ① 时，， ，解得， 乙机器人的运动速度为； ②， ，时，， ，解得， ， 乙机器人的运动速度为． 综上，乙机器人的运动速度为或． 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．C 8．C 9．C 10．A 11．【答案】证明：于点，于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.有垂直，利用直角三角形的判定定理“”即可得证. 【详解】 略 12．【答案】全等三角形的对应角相等 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】 解：由作法得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 13．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．根据，，可得，利用证明即可． 【详解】 解：，， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：． 14．【答案】证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 先证明，得到，进而根据题意可证． 【详解】 略 15．【答案】证明：∵ 即 【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质可得；由可得．运用证明与全等即可． 【详解】 略 16．【答案】3或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据① 当时，；② 当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】 解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ② 当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 17．【答案】（1） 证明：∵，，， ∴；     （2） 证明：延长交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得，，即可得到，即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2）仍成立，理由见解析     （3），证明见解析      【分析】 （1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． (1) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； (3) 小问详解： 解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 19．【答案】（1）     （2）     （3）点的坐标为      【分析】 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； (3) 小问详解： 解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 20．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 21．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ．     （2） 解：，证明如下： 过点作，交的延长线于点， 同理（1）可得， ， ， ， ， ∴， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）以及利用转化思想构造全等三角形是解题的关键． （1）通过角度关系推导角相等，再结合已知的直角和边相等，利用判定三角形全等； （2）通过作辅助线构造全等三角形，先证，再证，从而推导出与的数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】 【分析】 过C作轴于点D，于点E，证，得，，结合点A的坐标为，点B的坐标为，四边形矩形，可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】 解：如图，过C作轴于点D，于点E， 则， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， 故点， 故答案为：． 23．【答案】（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【分析】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 24．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【详解】 解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 考点03 角的平分线 1．A 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．【答案】（1） 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）；     （2） 证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE．      【分析】 （1）根据SAS证明结论即可； （2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 8．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． (1) 小问详解： 证明：如图所示， ， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 9．【答案】（1）过点E作EF⊥DA于点F，    ∵∠C＝90°，DE平分∠ADC， ∴CE＝EF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴BE＝EF， 又∵∠B＝90°，EF⊥AD， ∴AE平分∠DAB． （2）24. 【分析】 （1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD； （2）根据角平分线的性质可得CD＝DF，AB＝AF，可求CD+AB，再利用梯形的面积公式可得答案． 【详解】 （1）略 （2）∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，EF⊥DA， ∴CD＝DF， ∵∠B＝90°，AE是∠DAB的平分线， ∴AB＝AF， ∴CD+AB＝DF+AF＝AD＝8， ∴S梯形ABCD＝8×6÷2＝24． 【点睛】 此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，以关键是掌握角平分线的性质和判定定理． 10．【答案】（1）     （2） ，理由如下： 过分别作于点，作于点，如图： 由（1）知，， ，， ， ， ， 在与中， ，    ， ，， 平分， ．      【分析】 本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先根据绝对值和平方式的非负性求出，，然后证明，则，即可求出点的坐标； （2）过分别作于点，作于点，证明   ，则，然后根据角平分线的判定证明平分，即可求解． (1) 小问详解： 解：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 11．【答案】（1） 证明：为的角平分线，，． ，． 又， ．     （2） 证明：由（1）可得， ， ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线的性质得，证明； （2）证，得，再由线段的和差即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 证明：∵，， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）可知：， ∴，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， 又， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理以及垂直的判定，角平分线的性质、三角形外角性质以及直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过角度之间的等量代换证明角度关系． （1）根据角度相等，求解由此可证明垂直； （2）由垂直可得，再由角平分线可得，根据角度的等量代换证明即可； （3）根据与，可得，由此可得，由（2）中结论可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）蔚县剪纸是河北省蔚县地方传统手工剪纸技艺，国家级非物质文化遗产代表性项目之一、下列每组剪纸是全等图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，已知，，，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知，，则的值为　　　　　． 4．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）已知图中的两个三角形全等，则　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，若，，求的度数． 7．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． （1）求证：． （2）若，，求边的取值范围． 8．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）现对一块如图所示的四边形草坪进行维护，经测量，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，将运动过程中甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果在运动过程中的某一时刻与全等，则乙机器人的运动速度应为多少，请说明理由． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　） A. BC＝EF B. AB＝DE C. ∠B＝∠E D. ∠ACB＝∠DFE 5．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，已知，，添加一个条件，不能判断的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）不能判定与全等的条件是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（     ）． A. 如图1，线段与相交于点O，，与 B. 如图2，，与 C. 如图3，线段相交于点E，已知，与 D. 如图4，已知，与 8．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，的面积为（       ） A.  B. 5 C.  D.  11．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如下图，，于点，于点，．求证：． 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，用尺规作的依据是　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，，，能直接判定的方法是“　　　　　”． 14．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知：，．求证：． 15．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 16．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为　　　　　　　　时，能够使与全等． 17．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： （1）； （2）． 18．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是   ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 19．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． （1）【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； （2）【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） （3）【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 20．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，交于点，，点在线段上，，． （1）求证∶； （2）若，，求的度数． 21．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， （1）如图1，为上一点，，．求证：； （2）如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 22．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 24．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则　　　　　　　　　　　． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（     ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（     ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 5．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）（多选）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：FA平分∠BFE． 8．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，点在线段上，点，在线段上，，． （1）求证：； （2）若于点，平分，，求的度数． 9．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）（多选）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：AE平分∠DAB； （2）若AD＝8，BC＝6，求四边形ABCD的面积． 10．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． （1）如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； （2）如图2，连接，求的度数，并说明理由； 11．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，为外角的角平分线上的一点，且满足．过点作于交的延长线于．求证： （1）． （2） 12．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． （1）如图1，求证： （2）如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）蔚县剪纸是河北省蔚县地方传统手工剪纸技艺，国家级非物质文化遗产代表性项目之一、下列每组剪纸是全等图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查图形的全等；根据全等图形的定义判断即可． 【详解】 解：能够完全重合的两个图形，且大小和形状完全相同的图形是C， ∴全等图形的是C， 故选：C． 2．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，已知，，，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等三角形得角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质，得，可求，于是． 【详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 故选：C 3．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知，，则的值为　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：5． 4．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）已知图中的两个三角形全等，则　　　　　　　　　　　． 【答案】:度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质作答即可. 【详解】 解：由左图可知边b的对角为， ∵两个三角形全等， ∴， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．先由全等三角形的性质得到，再由三角形外角的性质可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由得到，再利用三角形的外角知识求解即可． 【详解】 解：，， ． ， ． 7．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． （1）求证：． （2）若，，求边的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． （1）由全等三角形的性质可得，等式两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 在 中，， ，即． 8．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）现对一块如图所示的四边形草坪进行维护，经测量，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，将运动过程中甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果在运动过程中的某一时刻与全等，则乙机器人的运动速度应为多少，请说明理由． 【答案】乙机器人的运动速度为或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 先根据中点定义求出的长度，再设运动时间为秒，乙机器人运动速度为，分别表示出、、的长度．然后分两种全等情况，利用全等三角形的对应边相等列方程，求解出和的值． 【详解】 解：点是边的中点， ． 设运动时间为秒，乙机器人的运动速度为． ① 时，， ，解得， 乙机器人的运动速度为； ②， ，时，， ，解得， ， 乙机器人的运动速度为． 综上，乙机器人的运动速度为或． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据所给图形结合全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】 解：根据图形，符合全等三角形的判定方法，可画出与此直角三角形全等的三角形， 故选：A． 2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，原来已经有两条对应边相等，射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等，即可证明，得到，据此可得答案． 【详解】 在和中 ， ∴， ∴，即是这个角的平分线， 故选A． 3．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定条件． 逐一分析每个选项中的三角形与是否满足全等条件即可． 【详解】 解：选项A：甲三角形中，已知的角与中已知角的位置和边的对应关系不正确， 所以甲与不全等． 选项B：在乙三角形中，已知的角与中已知角的位置和边的对应关系不正确， 所以乙与不全等． 选项C：在丙三角形中，有两边分别与的两边相等，且这两边的夹角也相等，满足全等三角形判定定理中的“边角边”（SAS）， 所以丙与全等． 选项D：丁三角形中，虽然有两角与的两角相等，但这两角的夹边与中对应角的夹边不相等，不满足全等三角形判定定理中的“角边角”（ASA）， 所以丁与不全等． 综上，与全等的是丙． 故选：C． 4．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　） A. BC＝EF B. AB＝DE C. ∠B＝∠E D. ∠ACB＝∠DFE 【答案】A 【分析】 根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】 解：∵AF=DC， ∴AF+FC=DC+FC， 即AC=DF， A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 5．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，已知，，添加一个条件，不能判断的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、添加，不能判断，故该选项符合题意； B、添加，根据能判断，故该选项不符合题意； C、添加，可得，根据能判断，故该选项不符合题意； D、添加，根据能判断，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）不能判定与全等的条件是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定条件可直接进行排除选项． 【详解】 A、由，，可知根据“SAS”判定全等，故不符合题意； B、由，，可知根据“ASA”判定全等，故不符合题意； C、由，，可知根据“AAS”判定全等，故不符合题意； D、由，，可知、不是对应边的夹角，不能判定全等，故符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 7．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（     ）． A. 如图1，线段与相交于点O，，与 B. 如图2，，与 C. 如图3，线段相交于点E，已知，与 D. 如图4，已知，与 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】 解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 故选：C． 8．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据基本作图，得，根据三角形外角性质，得，，代换解答即可． 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，三角形外角性质，等量代换的思想，熟练掌握基本作图，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】 解：根据基本作图，得，， 故A，B正确，不符合题意； 根据三角形外角性质，得， 故C错误，符合题意； 由，， 得， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 9．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定方法（）及三角形构成条件逐一分析选项即可． 【详解】 选项A：已知．此为“边边角”（），但不能唯一确定三角形（除非是直角），可能存在两种不同形状的三角形，故排除． 选项B：已知．计算三边和：，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故排除． 选项C：已知．此为“角边角”（），因两角及夹边唯一确定三角形，且第三个角可通过内角和确定，符合全等条件，故可唯一确定． 选项D：已知三个角（）．此为“角角角”（），无法确定边长，无法画出唯一的三角形，故排除． 故选：C． 10．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，是高，是外一点，，，若，，，的面积为（       ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．在上截取，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵是高， ∴， ∵， ∴， 在上截取，如图所示： 在与中 ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 11．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如下图，，于点，于点，．求证：． 【答案】证明：于点，于点， ． ， ， ． 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.有垂直，利用直角三角形的判定定理“”即可得证. 【详解】 略 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，用尺规作的依据是　　　　　　　　　　． 【答案】全等三角形的对应角相等 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】 解：由作法得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 13．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，，，能直接判定的方法是“　　　　　”． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．根据，，可得，利用证明即可． 【详解】 解：，， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知：，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 先证明，得到，进而根据题意可证． 【详解】 略 15．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】证明：∵ 即 【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质可得；由可得．运用证明与全等即可． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为　　　　　　　　时，能够使与全等． 【答案】3或 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据① 当时，；② 当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】 解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ② 当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 17．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴；     （2） 证明：延长交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得，，即可得到，即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是   ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）     （2）仍成立，理由见解析     （3），证明见解析      【分析】 （1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． (1) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； (3) 小问详解： 解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 19．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． （1）【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； （2）【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） （3）【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）点的坐标为      【分析】 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； (3) 小问详解： 解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 20．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，交于点，，点在线段上，，． （1）求证∶； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，可得，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，可得，根据三角形外角的性质，可得，再由求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴． 21．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， （1）如图1，为上一点，，．求证：； （2）如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ．     （2） 解：，证明如下： 过点作，交的延长线于点， 同理（1）可得， ， ， ， ， ∴， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）以及利用转化思想构造全等三角形是解题的关键． （1）通过角度关系推导角相等，再结合已知的直角和边相等，利用判定三角形全等； （2）通过作辅助线构造全等三角形，先证，再证，从而推导出与的数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 过C作轴于点D，于点E，证，得，，结合点A的坐标为，点B的坐标为，四边形矩形，可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】 解：如图，过C作轴于点D，于点E， 则， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， 故点， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【分析】 本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 24．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【详解】 解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，作，得，即可求解． 【详解】 解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是： 故选：A 2．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（     ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【分析】 由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】 解：在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等，    车站在的平分线上， ∵，，， ∴， ∴， 平分， 车站应该建在点， 故选：． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，关键是应用角平分线的性质来解决问题． 3．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】 解：∵平分，，， ∴， 故选A 4．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（     ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D 【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，三角形的高；根据角平分线的性质定理得到，再根据进行计算即可． 【详解】 解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】 解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 6．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 ① 证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定． 【详解】 解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确；    分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ ∵BD=CE ∴AM=AN ∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD． 故③错误；    ∵平分∠BFE， ∴ 故④正确． 故答案为C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键． 7．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）（多选）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：FA平分∠BFE． 【答案】（1） 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）；     （2） 证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE．      【分析】 （1）根据SAS证明结论即可； （2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 8．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，点在线段上，点，在线段上，，． （1）求证：； （2）若于点，平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． (1) 小问详解： 证明：如图所示， ， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 9．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）（多选）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：AE平分∠DAB； （2）若AD＝8，BC＝6，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）过点E作EF⊥DA于点F，    ∵∠C＝90°，DE平分∠ADC， ∴CE＝EF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴BE＝EF， 又∵∠B＝90°，EF⊥AD， ∴AE平分∠DAB． （2）24. 【分析】 （1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE＝EF，根据等量代换可得BE＝EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD； （2）根据角平分线的性质可得CD＝DF，AB＝AF，可求CD+AB，再利用梯形的面积公式可得答案． 【详解】 （1）略 （2）∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，EF⊥DA， ∴CD＝DF， ∵∠B＝90°，AE是∠DAB的平分线， ∴AB＝AF， ∴CD+AB＝DF+AF＝AD＝8， ∴S梯形ABCD＝8×6÷2＝24． 【点睛】 此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，以关键是掌握角平分线的性质和判定定理． 10．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． （1）如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； （2）如图2，连接，求的度数，并说明理由； 【答案】（1）     （2） ，理由如下： 过分别作于点，作于点，如图： 由（1）知，， ，， ， ， ， 在与中， ，    ， ，， 平分， ．      【分析】 本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先根据绝对值和平方式的非负性求出，，然后证明，则，即可求出点的坐标； （2）过分别作于点，作于点，证明   ，则，然后根据角平分线的判定证明平分，即可求解． (1) 小问详解： 解：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，为外角的角平分线上的一点，且满足．过点作于交的延长线于．求证： （1）． （2） 【答案】（1） 证明：为的角平分线，，． ，． 又， ．     （2） 证明：由（1）可得， ， ， ． ， ．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线的性质得，证明； （2）证，得，再由线段的和差即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． （1）如图1，求证： （2）如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）可知：， ∴，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， 又， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理以及垂直的判定，角平分线的性质、三角形外角性质以及直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过角度之间的等量代换证明角度关系． （1）根据角度相等，求解由此可证明垂直； （2）由垂直可得，再由角平分线可得，根据角度的等量代换证明即可； （3）根据与，可得，由此可得，由（2）中结论可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $