专题05 轴对称（期中真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期

**基本信息** 聚焦轴对称专题，汇编安徽多地期中试题，覆盖5大高频考点，以汉字、航天图标等文化科技情境为载体，注重性质应用与动手操作。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|轴对称图形识别、等腰三角形性质|结合中国航天图标考轴对称（考点01）| |填空|8题|线段垂直平分线性质、坐标对称|折叠问题求角度（考点01）| |解答|10题|尺规作图、等腰/等边三角形综合|尺规作垂直平分线解决最小值问题（考点02）|

专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，以下四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）下面四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）秦国统一文字为“小篆”，其字体结构规整．下列哪个小篆汉字，从字形结构上看属于轴对称图形的是（　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（是点C的对应点），其中线段是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，则图中的度数为　　　　　． 12．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）如图，在中，，，，P是边上的动点（不与点B重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，则长度的最小值为 　　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（       ） A. 14cm B. 18cm C. 20cm D. 12cm 2．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（          ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．该逆命题是　　　　　　命题（填“真”或“假”）． 4．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）命题“若，则”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 6．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）尺规作图：过点画直线的垂线．（保留作图痕迹，不写作法） 7．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）请写出命题“如果，那么”的逆命题：　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有　　　　　　条． 9．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，的周长为13． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 11．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连结，当，，时，求的长． 12．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，已知． （1）画边上的中线； （2）画的边上的高； （3）若，求的面积． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）点关于轴对称的点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知点，关于轴对称，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 5．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知点， B点坐标为． （1）若点A和点B关于x轴对称，求A点坐标； （2）若直线轴，求A点坐标． 8．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是　　　　　． 9．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求的面积． 10．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　． 11．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为___________． 12．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知， （1）画出关于轴对称的图形，并写出的坐标． （2）求的面积． 13．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知点与点关于轴对称，求的值． 15．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，． （1）作出关于y轴对称的； （2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标．（点D与点A不重合） 16．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形． （1）在图①中， 作， 使其面积为； （2）在图②中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）若等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（       ） A. ∠ABC＝∠ACB B. BE＝CE C. AE⊥BC D. ∠BAE＝∠B 4．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，图形的各个顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 9．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，中，，，，且平分，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处．若是等腰三角形，且，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，（），角平分线交于点于点有下列结论： ①；②；③是等腰三角形；④． 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列说法正确的是（       ） ①，②，③，④． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 13．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为（       ） A. 12 B. 15 C. 14 D. 18 14．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图所示，点D，E，F分别是的边，，上的点，其中，，要使，可以添加的条件是　　　　．  15．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是　　　　． 17．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）（多选）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C的坐标； 18．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 19．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图1是某超市自动扶梯，如图2是其示意图，大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为30°．若自动扶梯运行速度米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为　　　　　　秒． 21．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）（1）如图，点B，F，E，C共线，，，．求证：． （2）如图，在中，，，平分交于点D．求证：． 22．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为　　　　　． 23．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在中，，，，垂足为C，交线段于F，D是边上一点，连接，且． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当时，求证：BD平分． 24．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 25．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使．得到第3个…按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是　　　　　　． 26．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为　　　　　　． 27．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，点在的边上，连接． （1）如图1，为的中点， ①若，记的面积分别为，求的值； ②若，，求的度数．（用含的式子表示） （2）如图2，若与的周长相等，设．求的长（用含的式子表示）． 28．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）小明证明的判定理由是_____：（填写“”或“”） （2）的取值范围是_____； （3）方法运用：如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 29．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知：等腰直角三角形的斜边长是直角边长的倍，在中，，． （1）如图1，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，求的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，点在线段的延长线上时，连接，过点作，垂足在线段上，连接．用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 30．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点均落在格点上，请按下列要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点，画一个以为腰的等腰； （2）在图2中的格线上确定一点，使最小． 31．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）依据情境，解决问题． 【情景一】 小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个，分别作边的垂直平分线相交于点，如图1所示，经过测量后，得到，根据上述条件，能不能得到的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：是边的垂直平分线， ． 可得．同理可得， 则 解得． 【情景二】 小明继续对上述问题进行探究发现：若改变形状，边的垂直平分线，相交于内部一点，如图2，则与之间也存在一定的数量关系． 【解决问题】 （1）【情景一】中得到“”的理由是___________； （2）在图1的情况下，若的度数为，求（用含的代数式表示）； （3）写出【情景二】中与之间的数量关系，并说明理由． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（       ） 如图，已知，点、、、…在射线上，点、、、 A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，为等边三角形，相交于点于的长是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）下列说法不正确的是（　　） A. 一个三角形至少有两个锐角 B. 到直线的距离相等的两个点关于直线对称 C. 一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 D. 有两个角都是60°的三角形是等边三角形 5．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知含有角的直角三角形内部两条直角边的关系为“所对直角边的长度所对直角边的长度．由上述信息完成下题．如图，，平分，且．若点，分别在，上，是等边三角形且，则满足上述条件的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 6．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在中，，点D在线段上，且，，，则　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 8．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 9．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则　　　　　． 10．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求的长． 11．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为　　　　． 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接交于点，求证：为的中点． 13．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知在等边中，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　．（填“”“”或“”） （2）【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　（填“”“”或“”）．理由如下：过点D作，交于点M……请你完成后面的解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边的中点，，点P，Q分别为射线上一动点，且，若，求的长． 14．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为　　　　　． 15．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，已知线段，，线段，．点在线段上，以的速度由点向点运动;同时，点在线段上，以的速度由点向点运动，设它们的运动时间为． （1）若，则当　　　　　　时，是等边三角形； （2）当　　　　　　时，与全等． 16．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）是等边三角形，点在的内部，是顶角为的等腰三角形，． （1）如图（1），连接，求证：； （2）如图（2），过点作，分别交，于点，，连接，延长和交和于点和，在上取一点，使得． ①求证：； ②若，求的周长． 17．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）综合与实践 已知为等边三角形，，为上一点，，连接． 情景观察（1）如图1，与全等吗？请说明理由； 问题探究（2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，， ①的度数为___________；②求证：； 拓展延伸（3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为___________． 18．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为　　　　　　　　　　　； （2）连接，若，则的值为　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，点是 内一定点，点，分别在边、上运动，若， ，则 的周长的最小值为　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． （1）如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由； （2）老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： （3）某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，是轴对称图形； 对四个选项逐一分析即可． 【详解】 选项A：“爱”找不到这样的对称轴，折叠后无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项B：“我”左右结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项C：“中”沿竖直中线折叠，直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形，符合题意； 选项D：“华”结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意． 2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，以下四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 3．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 4．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】 解：A.该选项不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项是轴对称图形，符合题意； D. 该选项不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余求得，由，求得，再由翻折的性质得，则． 【详解】 解：，， ， ， ， 由翻折得， ， 故选：B． 6．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）下面四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，据此解答即可． 【详解】 解：A.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 7．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）秦国统一文字为“小篆”，其字体结构规整．下列哪个小篆汉字，从字形结构上看属于轴对称图形的是（　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的定义，即将一个平面图形沿着一条直线折叠能够使直线两旁的部分完全重合，那么这个图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：∵A、B、D三个选项中的字都不能沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它们都不是轴对称图形，因此都不符合题意； ∵C选项中的字能够沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（是点C的对应点），其中线段是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高，熟知折叠的性质及中线的定义是解题的关键． 根据折叠的性质结合高线的定义对所给选项依次进行判断即可． 【详解】 解：由所给折叠方式可知， A选项中折痕与垂直且平分， 所以折出的是中边上的中线． 故A选项不符合题意； B选项中的， 所以折出的是中的平分线． 故B选项不符合题意； C选项中折痕与垂直且平分， 所以折出的折痕是边的垂直平分线， 所以， 不能得出， 故C选项不符合题意； D选项中的与垂直， 所以折出的是中边上的高线． 故D选项符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 10．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内部，则图中的度数为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形外角的性质、折叠的性质． 求出即可解决问题． 【详解】 如图，连接． 在中，， ∵，， ∴； 故答案为：． 12．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）如图，在中，，，，P是边上的动点（不与点B重合），将沿所在的直线翻折，得到，连接，则长度的最小值为 　　　　　　． 【答案】3 【分析】 先根据求出的长，由翻折的性质可知点的运动轨迹是以C点为圆心，以长为半径的圆．由得当A、、C三点共线时最小，由此可求出的最小值． 【详解】    ，， ， ， 解得． ∵翻折后始终等于， ∴点的运动轨迹是以C点为圆心，以长为半径的圆， ，        ∴当A、、C三点共线时，， 此时最小， ∴长度的最小值． 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查了翻折的性质，及求线段的最值问题，解题的关键是找到点的运动轨迹． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（       ） A. 14cm B. 18cm C. 20cm D. 12cm 【答案】B 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：∵BC的垂直平分线交AC于D， ∴DB=DC， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=8+10=18（cm）， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（          ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 连接AQ，过点D作，根据垂直平分线的性质得到，再根据计算即可； 【详解】 连接AQ，过点D作， ∵，面积为21， ∴， ∴， ∵MN垂直平分AB， ∴， ∴， ∴当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为7； 故选C． 【点睛】 本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键． 3．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．该逆命题是　　　　　　命题（填“真”或“假”）． 【答案】① 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    ② 假 【分析】 交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 【详解】 解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题， 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】 本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质． 4．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）命题“若，则”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】若，则 【分析】 此题考查了逆命题的定义，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题． 【详解】 命题“若，则”的逆命题是“若，则”． 故答案为：若，则． 5．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 6．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）尺规作图：过点画直线的垂线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了基本的尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，解题的关键是掌握作垂线的步骤． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤进行作图即可． 【详解】 略 7．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）请写出命题“如果，那么”的逆命题：　　　　　　　　　． 【答案】如果，那么 【分析】 本题考查了命题与定理，交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题． 【详解】 解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 8．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有　　　　　　条． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】 解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，已知，请用尺规作图的方法在内求作一点P，使得，且点P在边的高上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：根据题意，作图如下： ． 【分析】 根据垂线的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，求解即可． 【详解】 略 10．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，的周长为13． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）7      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，三角形的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （）根据作线段垂直平分线的作法作图即可． （）由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形的周长可得，即可得的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ∴， 的周长． 11．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连结，当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴．     （2）3      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，已知． （1）画边上的中线； （2）画的边上的高； （3）若，求的面积． 【答案】（1） 如图， 即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查尺规作图，三角形中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）尺规作图作中垂线交于点D，连接，即为所求； （2）过C尺规作图作的垂线交于F，即为所求； （3）因为为中线，，由已知可求，则的面积可求． (1) 小问详解： 解： 尺规作图作中垂线交于点D，即为所求； (2) 小问详解： 解：过C尺规作图作的垂线交于F，即为所求； (3) 小问详解： 解：， ∵为中线， ， ， ． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：点B的坐标为； 故选A． 【点睛】 本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键． 2．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）点关于轴对称的点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查点关于坐标轴对称的变换规律．关于y轴对称的点，横坐标取相反数，纵坐标不变，据此求解即可． 【详解】 解：∵ 点关于y轴对称时，横坐标取相反数，纵坐标不变， ∴ 点关于y轴对称的点的横坐标为，纵坐标为2， ∴ 对称点的坐标为， 故选：D． 3．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征作答即可． 【详解】 解：∵点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 故选：D． 4．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知点，关于轴对称，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握轴对称的性质． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解，最后代数求值即可． 【详解】 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，且， 解得， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形轴对称找规律．熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称性质，归纳点坐标性质规律，是解题的关键． 是等腰直角三角形，顶点为，根据等腰直角三角形的性质和轴对称性质，可得点A经过n次轴对称的点横坐标规律，纵坐标为2.5． 【详解】 解：∵中，，，顶点为， 将关于y轴轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； …， 按此规律继续变换下去， 再将关于直线轴对称变换得到， ∴（n偶数）或（n奇数）． ∴当时，点的坐标为． 故选：B. 6．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 7．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知点， B点坐标为． （1）若点A和点B关于x轴对称，求A点坐标； （2）若直线轴，求A点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）关于x轴对称的点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列式即可作答； （2）根据直线轴，可知点与B点的纵坐标相等，据此作答即可． (1) 小问详解： 根据题意有：，且， 解得：， 即； (2) 小问详解： ∵直线轴， ∴点与B点的纵坐标相等， 即：， 解得：， 即． 【点睛】 本题主要考查了关于x轴对称的坐标特征，直线轴，可知点与B点的纵坐标相等知识，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴对称的坐标特征． 8．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查点的平移，坐标与轴对称，根据点的平移规则，左减右加，求出的坐标，再根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，，即， 故点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 9．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求， 点的坐标为     （2）6      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）借助网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积． 10．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：点与点关于x轴对称， ∴， 则． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）的面积为___________． 【答案】（1） 关于直线l成轴对称的如下图， ；     （2）      【分析】 （1）根据轴对称的性质，找出关键点、即可； （2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了作图−轴对称变换以及求三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知， （1）画出关于轴对称的图形，并写出的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图， 点的坐标为．     （2）5      【分析】 本题考查轴对称变换、割补法求面积．掌握轴对称变换的性质，将不规则图形转化成规则图形求面积是解题关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点，依次连接即可． （2）根据割补法，的面积可转化成边长为4的正方形和三个三角形的面积之差． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 答：面积为5． 13．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称图形性质，点坐标特点等．根据题意可知点关于直线对称，继而再利用的坐标，即可求出点的坐标． 【详解】 解：∵点的坐标分别为， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴设点的坐标为， ∴，即：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标，有理数的乘方，代数式求值，解决本题的关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特征． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，列方程组求解即可； 【详解】 解：由题意可知： 解得： 则 ． 15．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，． （1）作出关于y轴对称的； （2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标．（点D与点A不重合） 【答案】（1） 解：如图，即为所求组；      （2）、、．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图、全等三角形的判定及点的坐标知识，解题的关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用． （1）利用轴对称变换，即可得到； （2）依据以B、C、D为顶点的三角形与全等，可知两个三角形有公共边，运用对称即可得出所有符合条件的点D坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，有三种情况： 点D的坐标分别为、、． 16．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作格点图形． （1）在图①中， 作， 使其面积为； （2）在图②中，作四边形ABEF，使其是轴对称图形且面积为3． 【答案】（1） 如图：或或即为所求．      （2） 如图：四边形或四边形即为所求． 【分析】 本题主要考查格点作图、轴对称图形等知识点，利用网格特征作图、轴对称图形的性质是解答本题的关键． （1）画高与底分别为2与3或3与2，或底与高为与的三角形即可； （2）结合轴对称图形的性质，使四边形的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）若等腰三角形的底角为，则它的顶角度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用，通过已知底角即可快速求出顶角． 根据等腰三角形的两个底角相等的性质，结合三角形内角和定理，直接计算顶角度数． 【详解】 ∵等腰三角形的两个底角相等，且底角为， ∴两个底角之和为． 又∵三角形内角和为， ∴顶角的度数为． 故选：C． 2．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，进而得到，求出、的值，即可求解． 【详解】 解：是的中垂线， ， 的周长为， ， ， ，， ， 的周长为， 故选：D． 3．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（       ） A. ∠ABC＝∠ACB B. BE＝CE C. AE⊥BC D. ∠BAE＝∠B 【答案】D 【分析】 根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，再根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】 根据作图可知AF是∠BAC的角平分线， ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，即可知A、B、C选项正确， D选项则不一定正确， 故选：D． 【点睛】 本题考查了角平分线的尺规作图以及等腰三角形的性质等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 4．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，是的中点，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用等腰三角形的性质，得到，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】 解：是等腰三角形，是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 5．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先证明，再根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】 解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 7．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，图形的各个顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 如解析图，证明得到，则可证明，再由，可得，由此即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线，等腰三角形的定义及性质；连接，得到，根据面积公式求出，根据线段垂直平分线性质得到，得到，结合的长为的最小值，计算即可． 【详解】 解：连接． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选：D． 9．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，中，，，，且平分，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，首先利用全等三角形的判定与性质推出，根据等腰三角形的性质可求出，易求的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴； ∵， ∴ 所以． 故选：D． 10．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处．若是等腰三角形，且，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关的性质和定理是解答本题的关键． 由在中可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：在中，， ∴， 由折叠可知， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 11．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，（），角平分线交于点于点有下列结论： ①；②；③是等腰三角形；④． 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． ① 利用角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解即可； ② 根据垂直得出直角，利用直角三角形的性质以及角的和差即可求解； ③ 过点作于点，过点作于点，利用角平分线的性质得出相等线段，证明即可得出结论； ④ 结合③ 的结论，证明，然后再利用面积的和差即可得出结论． 【详解】 解：① ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故① 正确，符合题意； ② ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 故② 正确，符合题意； ③ 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故③ 正确，符合题意； ④ 由③ 得，，且， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故④ 正确，符合题意； 综上，正确选项为：① ② ③ ④ ，共4个， 故选：D． 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列说法正确的是（       ） ①，②，③，④． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识．由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可得故① 正确；通过证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，故② 正确；由可证，可得，由线段垂直平分线的性质可得，可求得，故③ 正确；通过证明，可得，故④ 正确，即可求解． 【详解】 解：，， ，， ，， ， ， 故① 正确； ∵，， ， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ，故② 正确； 在和中， ， ， ， ，， ， ，故③ 正确； 是等腰直角三角形，为的中点， ， ， ，故④ 正确 综上所述① ② ③ ④ 正确， 故选：D 13．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为（       ） A. 12 B. 15 C. 14 D. 18 【答案】B 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的定义和平行线的性质得出相等角，然后利用等角对等边得出相等的边，利用线段的和差，即可求出三角形周长． 【详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 14．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图所示，点D，E，F分别是的边，，上的点，其中，，要使，可以添加的条件是　　　　．  【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的是添加条件判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴添加或， ∴， 添加， ∴， ∴． 故答案为：（或，） 15．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】 解：① 当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ② 当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 16．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】 解：延长交于点E，     ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 17．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）（多选）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，建立适当的直角坐标系，并写出点A、B、C的坐标； 【答案】以BC边中点为原点O，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的中线为y轴建立直角坐标系（A点在y轴正半轴上），A（0，4），B（-3，0），C（3，0）（答案不唯一） 【分析】 因为建立的坐标系不同，所以A，B，C点的坐标也不一样，最简单的方法是以BC边中点为原点，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的中线为y轴建立直角坐标系（A点在y轴正半轴上），根据等腰三角形性质及勾股定理写出各点坐标即可． 【详解】 先建立适当的直角坐标系，以BC边中点为原点O，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的中线为y轴建立直角坐标系（A点在y轴正半轴上），根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线，底边上的高，与顶角的平分线互相重合， 因为AB＝AC＝5，BC＝6，所以BO=CO=3， 由勾股定理求得AO=4， 点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上， 所以点A、B、C的坐标为A（0，4），B（-3，0），C（3，0）． 18．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 【答案】证明：点是的垂直平分线上的点， ． ． ， ． ． 是的角平分线． 【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 首先由垂直平分线的性质得到，然后得到，然后结合平行线的性质求解即可． 【详解】 略 19．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，．由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据EF是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】 解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 20．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图1是某超市自动扶梯，如图2是其示意图，大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为30°．若自动扶梯运行速度米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为　　　　　　秒． 【答案】24 【分析】 先计算出扶梯的长度，根据扶梯的运行速度即可得到运行时间． 【详解】 解：∵自动扶梯的倾斜角为30°，， ∴扶梯的长度为，， ∴设顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为， ∴， ∴秒， 故答案为：24． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半． 21．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）（1）如图，点B，F，E，C共线，，，．求证：． （2）如图，在中，，，平分交于点D．求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）先证明，再进一步证明即可． （2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解题的关键． 22．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，关键是利用线段垂直平分线的性质进行角的转换； 根据可得，又根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可求出结果． 【详解】 解：∵ ∴ ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 23．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在中，，，，垂足为C，交线段于F，D是边上一点，连接，且． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当时，求证：BD平分． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴．     （2） 与互相垂直．理由如下： 设与交于点O． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （3） ∵，则， 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴平分．      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余． （1）由题意可知，再利用证明，即可证得结论； （2）设与交于点O，由，可得，再结合，利用互余关系可得，可知，证得； （3）结合（2）知，利用互余关系可证得，由，得，又由，得，可证得，再利用等腰三角形三线合一可得平分． 熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形；     （2）原始支撑段的长度是8米      【分析】 （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，     ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使．得到第3个…按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，图形规律探究；先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的内角的度数． 【详解】 解：在中，，， ， ，是的外角， ； 同理可得，，…， 第个三角形中以为顶点的内角度数是． 故答案为：． 26．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为　　　　　　． 【答案】50°或80° 【分析】 等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得． 【详解】 ∵等腰三角形的一个外角为130°， ∴与130°相邻的内角为50°， 当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°， 当50°为底角时，其他两角为50°、80°， 所以等腰三角形的顶角为50°或80°， 故答案为50°或80°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题． 27．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，点在的边上，连接． （1）如图1，为的中点， ①若，记的面积分别为，求的值； ②若，，求的度数．（用含的式子表示） （2）如图2，若与的周长相等，设．求的长（用含的式子表示）． 【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 本题考查三角形的中线，三角形的外角的性质，等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）① 根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积，推出，即可得出结果；② 根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （2）根据三角形的周长公式列出等式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： ∵与的周长相等， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）小明证明的判定理由是_____：（填写“”或“”） （2）的取值范围是_____； （3）方法运用：如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【答案】（1）     （2）     （3） 证明：延长到，使，连接．     ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算； （3）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； (1) 小问详解： 解：是中线， ， 又，， ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知：等腰直角三角形的斜边长是直角边长的倍，在中，，． （1）如图1，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，求的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，点在线段的延长线上时，连接，过点作，垂足在线段上，连接．用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）      （2）， 证明：当在边的延长线上时，． 过点作，如图所示，交的延长线于点，则， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ．      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理以及全等三角形的性质与判定： （1）利用等腰三角形的内角特点求出的度数，因为和是对顶角，所以相等，利用三角形内角和定理得到； （2）过点作，如图所示，交的延长线于点，构造全等三角形，将线段以及的关系进行转化，结合等腰直角三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： ∵，， ， ， ， ，，， ． (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点均落在格点上，请按下列要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点，画一个以为腰的等腰； （2）在图2中的格线上确定一点，使最小． 【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示： 【分析】 本题考查了作图——格点，熟练掌握等腰三角形的定义及对称的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，找到格点，连接，，令即可． （2）找到点关于格线的对称点，连接交格线于点，连线即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 31．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）依据情境，解决问题． 【情景一】 小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个，分别作边的垂直平分线相交于点，如图1所示，经过测量后，得到，根据上述条件，能不能得到的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：是边的垂直平分线， ． 可得．同理可得， 则 解得． 【情景二】 小明继续对上述问题进行探究发现：若改变形状，边的垂直平分线，相交于内部一点，如图2，则与之间也存在一定的数量关系． 【解决问题】 （1）【情景一】中得到“”的理由是___________； （2）在图1的情况下，若的度数为，求（用含的代数式表示）； （3）写出【情景二】中与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）线段垂直平分线的性质     （2）；     （3） ； 理由：是的垂直平分线， ， ， ， 同理可得，， ，， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角． （1）利用线段垂直平分线的性质可得到； （2）利用，，可得答案； （3）证得，，结合，，，可得答案； (1) 小问详解： 解：是边的垂直平分线， （线段垂直平分线的性质）． 故答案为：线段垂直平分线的性质； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 同理可得，， ，， ； (3) 小问详解： 略 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数． 【详解】 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠A＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠3＝180°−40°−60°＝80°， ∵， ∴∠1＝∠3＝80°． 故选：A． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质． 2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（       ） 如图，已知，点、、、…在射线上，点、、、 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：A． 3．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，为等边三角形，相交于点于的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， 故选D． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 4．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）下列说法不正确的是（　　） A. 一个三角形至少有两个锐角 B. 到直线的距离相等的两个点关于直线对称 C. 一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 D. 有两个角都是60°的三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】 本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】 解：A、一个三角形至少有两个锐角，说法正确，该选项不符合题意； B、到直线的距离相等的两个点不一定关于直线对称，原说法错误，该选项符合题意； C、一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，该选项不符合题意； D、有两个角都是60°的三角形是等边三角形，说法正确，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）已知含有角的直角三角形内部两条直角边的关系为“所对直角边的长度所对直角边的长度．由上述信息完成下题．如图，，平分，且．若点，分别在，上，是等边三角形且，则满足上述条件的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理和轴对称的性质是解题的关键． 过点作于点、于点，证得为等边三角形及，根据等边三角形的面积，求得，分情况讨论，当在点靠近侧，在点靠近侧和当在点远离侧，在点远离侧时，在上取，使，在上取，则，根据勾股定理求得，进而得到在、上分别构造出两组对称点、，形成两个满足条件的等边即可． 【详解】 解：根据题意得，，平分， 则 过点作于点、于点， 则 在中，， 同理得， 在四边形中， 为等边三角形，边长为， 其面积为 根据所对直角边的长度所对直角边的长度， 得 解得， 则等边三角形的边长为， 由于， 则， ① 当在点靠近侧，在点靠近侧， 在上取，使，在上取，则， 、、， 是等边三角形， 根据勾股定理得， 即 解得或（舍去）， 则存在唯一解； ② 当在点远离侧，在点远离侧， 同理，在上取，使，在上取，则， 此时， 根据勾股定理得， 即 解得，存在唯一解， 综上所述，可在、上分别构造出两组对称点、，形成两个满足条件的等边， 故选：B． 6．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在中，，点D在线段上，且，，，则　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 利用三角形外角的性质可得出，结合可得出，由等角对等边可得出，在中，利用三角形内角和定理可得出，再利用角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，进而可得出结论． 【详解】 解：，， ， ， ． 在中，，， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质以及含30度角的直角三角形，解题的关键是通过含30度角的直角三角形找出的长． 7．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：，， ， ， 由（1）可知是等边三角形， ， ．      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质，角平分线的定义，证明，即可得答案； （2）根据等角对等边，得，由（1）的结论即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析，     （2）5     （3）见解析      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 解：即为所作： 则； (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 9．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 10．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）求出，再由直角三角形的性质得出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，最小值为　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， ， B，C关于直线对称， ， ， 是等边三角形，点是边的中点， ， 最小值为4， 故答案为：4． 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接交于点，求证：为的中点． 【答案】证明：， ， 和为等边三角形， ， ， ． 在和中， ， ， 即平分， 又， ， 即为的中点． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握三角形全等判定的方法是解题的关键.利用等腰三角形和等边三角形的性质，，继而利用边边边可证得，根据等腰三角形“三线合一”即可解题． 【详解】 略 13．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知在等边中，点D在上，点E在的延长线上，且． （1）【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　．（填“”“”或“”） （2）【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　（填“”“”或“”）．理由如下：过点D作，交于点M……请你完成后面的解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边的中点，，点P，Q分别为射线上一动点，且，若，求的长． 【答案】（1）     （2） ， 解答过程如下： 过点D作，交于点M． ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴．     （3）的长为7或1      【分析】 （1）三线合一，得到，，等量代换得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，即可得出结论； （2）过点D作，交于点M，易得为等边三角形，证明，即可得出结论； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． (1) 小问详解： ∵为等边三角形， ∴． 又∵点D为的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当点Q在线段的延长线上时， 如图，作交于点M， 同（2）可知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为7或1． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 14．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称求线段和的最值，熟练掌握轴对称求最小值的方法，等边三角形的判定和性质，三角形面积公式是解题的关键．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，当时最短，此时的周长最小，最小值为的长． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，最短，此时的周长最小， ∵，的面积， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，已知线段，，线段，．点在线段上，以的速度由点向点运动;同时，点在线段上，以的速度由点向点运动，设它们的运动时间为． （1）若，则当　　　　　　时，是等边三角形； （2）当　　　　　　时，与全等． 【答案】①     ② 1或 【分析】 本题考查等边三角形的判定，全等三角形的性质，一元一次方程的应用，求出符合题意的所有情况是解题的关键， （1）根据等边三角形的判定分别计算出和的长度，即可得到答案； （2）由题知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】 解：（1）当时，则点的速度为，点的速度为，运动时间为，， ∴，，， 要使是等边三角形，需满足， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）∵点的速度为，点的速度为，运动时间为，，， ∴，，， ， 当与全等时，分两种情况： ①时， ，， ∴，， 解得：，， ②时， ，， ∴，， 解：，， 综上所述：的值为1或． 16．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）是等边三角形，点在的内部，是顶角为的等腰三角形，． （1）如图（1），连接，求证：； （2）如图（2），过点作，分别交，于点，，连接，延长和交和于点和，在上取一点，使得． ①求证：； ②若，求的周长． 【答案】（1） 证明：延长交于点， 是等边三角形， ． 又，， ． ． 平分． （等腰三角形三线合一）；     （2） ① 证明：①是顶角为的等腰三角形，， ． 是等边三角形， ． ． ，， ． 在和中， ． ． ，，， ； ②      【分析】 （1）证明，，由三线合一即得． （2）①．得，，得．得，得，可得．② 根据 ，．得的周长，即得． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ① 略； ② 由① 知， ，． ， ． ， ． ． ． ，， ． ． 的周长 ． 由① 得：，． ， ． ． 的周长． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形全等的判定性质是解题的关键． 17．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）综合与实践 已知为等边三角形，，为上一点，，连接． 情景观察（1）如图1，与全等吗？请说明理由； 问题探究（2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，， ①的度数为___________；②求证：； 拓展延伸（3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为___________． 【答案】（1）全等，理由如下， 是等边三角形，， ，， 又， ； （2）①， 证明：， ， 又，， ， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ； （3） 【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，，据此计算即可求解． 【详解】 （1）解：略； （2）略； （3）解：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为　　　　　　　　　　　； （2）连接，若，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 2 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等，由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则； （2）根据含的直角三角形的性质即可证明，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】 解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 在与中， ， ∴． ， ， ． ． ， ； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 19．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，点是 内一定点，点，分别在边、上运动，若， ，则 的周长的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，最短路线问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质作出点关于，的对称点，，连接，，根据两点之间线段最短可知的周长最短值是线段的长度，根据可知是等边三角形且边长为，则的周长最小值为． 【详解】 解：如下图所示， 作点关于，的对称点，，连接，，， 当，是与，的交点时，的周长最短，最短的值是的长． 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值． 20．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． （1）如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由； （2）老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： （3）某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】（1） 等边三角形，证明：为等边三角形， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形．     （2） 理由如下： 小明的方法：过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据四边形内角和， ∴． 小刚的方法：过点作，交于点． ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴．     （3）或或      【分析】 （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形证明即可； （2）利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理证明即可： （3）分两种情况：① 当点D在边时，过点作，交的延长线于点．② 当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点，Ⅰ）当点Q在线段上时；Ⅱ）当点Q在线段延长线上时．分别求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：三线段的关系为：． 理由如下： 分两种情况：① 当点D在边时，过点作，交的延长线于点．如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点． Ⅰ）当点Q在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ Ⅱ）当点Q在线段延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴， 综上，线段与线段的数量关系为或或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理的应用，线段之间关系的证明，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．D 10．B 11．【答案】 【分析】 本题考查了三角形外角的性质、折叠的性质． 求出即可解决问题． 【详解】 如图，连接． 在中，， ∵，， ∴； 故答案为：． 12．【答案】3 【分析】 先根据求出的长，由翻折的性质可知点的运动轨迹是以C点为圆心，以长为半径的圆．由得当A、、C三点共线时最小，由此可求出的最小值． 【详解】    ，， ， ， 解得． ∵翻折后始终等于， ∴点的运动轨迹是以C点为圆心，以长为半径的圆， ，        ∴当A、、C三点共线时，， 此时最小， ∴长度的最小值． 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查了翻折的性质，及求线段的最值问题，解题的关键是找到点的运动轨迹． 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．C 3．【答案】① 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    ② 假 【分析】 交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 【详解】 解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题， 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】 本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质． 4．【答案】若，则 【分析】 此题考查了逆命题的定义，根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可得到逆命题． 【详解】 命题“若，则”的逆命题是“若，则”． 故答案为：若，则． 5．【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 6．【答案】如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了基本的尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，解题的关键是掌握作垂线的步骤． 根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤进行作图即可． 【详解】 略 7．【答案】如果，那么 【分析】 本题考查了命题与定理，交换题设和结论即可得到一个命题的逆命题．解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题． 【详解】 解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 8．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】 解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 9．【答案】解：根据题意，作图如下： ． 【分析】 根据垂线的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，求解即可． 【详解】 略 10．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）7      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，三角形的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （）根据作线段垂直平分线的作法作图即可． （）由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形的周长可得，即可得的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ∴， 的周长． 11．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴．     （2）3      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．【答案】（1） 如图， 即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查尺规作图，三角形中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）尺规作图作中垂线交于点D，连接，即为所求； （2）过C尺规作图作的垂线交于F，即为所求； （3）因为为中线，，由已知可求，则的面积可求． (1) 小问详解： 解： 尺规作图作中垂线交于点D，即为所求； (2) 小问详解： 解：过C尺规作图作的垂线交于F，即为所求； (3) 小问详解： 解：， ∵为中线， ， ， ． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．D 3．D 4．A 5．B 6．【答案】5 【分析】 先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ， ， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）关于x轴对称的点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列式即可作答； （2）根据直线轴，可知点与B点的纵坐标相等，据此作答即可． (1) 小问详解： 根据题意有：，且， 解得：， 即； (2) 小问详解： ∵直线轴， ∴点与B点的纵坐标相等， 即：， 解得：， 即． 【点睛】 本题主要考查了关于x轴对称的坐标特征，直线轴，可知点与B点的纵坐标相等知识，解题的关键在于能够熟练掌握关于x轴对称的坐标特征． 8．【答案】 【分析】 本题考查点的平移，坐标与轴对称，根据点的平移规则，左减右加，求出的坐标，再根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，，即， 故点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 9．【答案】（1） 如图，即为所求， 点的坐标为     （2）6      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）借助网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积． 10．【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：点与点关于x轴对称， ∴， 则． 故答案为：． 11．【答案】（1） 关于直线l成轴对称的如下图， ；     （2）      【分析】 （1）根据轴对称的性质，找出关键点、即可； （2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了作图−轴对称变换以及求三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 12．【答案】（1） 如图， 点的坐标为．     （2）5      【分析】 本题考查轴对称变换、割补法求面积．掌握轴对称变换的性质，将不规则图形转化成规则图形求面积是解题关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点，依次连接即可． （2）根据割补法，的面积可转化成边长为4的正方形和三个三角形的面积之差． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 答：面积为5． 13．【答案】 【分析】 本题考查轴对称图形性质，点坐标特点等．根据题意可知点关于直线对称，继而再利用的坐标，即可求出点的坐标． 【详解】 解：∵点的坐标分别为， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴设点的坐标为， ∴，即：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标，有理数的乘方，代数式求值，解决本题的关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特征． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，列方程组求解即可； 【详解】 解：由题意可知： 解得： 则 ． 15．【答案】（1） 解：如图，即为所求组；      （2）、、．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图、全等三角形的判定及点的坐标知识，解题的关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用． （1）利用轴对称变换，即可得到； （2）依据以B、C、D为顶点的三角形与全等，可知两个三角形有公共边，运用对称即可得出所有符合条件的点D坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，有三种情况： 点D的坐标分别为、、． 16．【答案】（1） 如图：或或即为所求．      （2） 如图：四边形或四边形即为所求． 【分析】 本题主要考查格点作图、轴对称图形等知识点，利用网格特征作图、轴对称图形的性质是解答本题的关键． （1）画高与底分别为2与3或3与2，或底与高为与的三角形即可； （2）结合轴对称图形的性质，使四边形的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 等腰三角形 1．C 2．D 3．D 4．C 5．C 6．C 7．A 8．D 9．D 10．A 11．D 12．D 13．B 14．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的是添加条件判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴添加或， ∴， 添加， ∴， ∴． 故答案为：（或，） 15．【答案】或 【分析】 可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解． 【详解】 解：① 当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ② 当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为或． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏． 16．【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】 解：延长交于点E，     ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 17．【答案】以BC边中点为原点O，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的中线为y轴建立直角坐标系（A点在y轴正半轴上），A（0，4），B（-3，0），C（3，0）（答案不唯一） 【分析】 因为建立的坐标系不同，所以A，B，C点的坐标也不一样，最简单的方法是以BC边中点为原点，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的中线为y轴建立直角坐标系（A点在y轴正半轴上），根据等腰三角形性质及勾股定理写出各点坐标即可． 【详解】 先建立适当的直角坐标系，以BC边中点为原点O，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的中线为y轴建立直角坐标系（A点在y轴正半轴上），根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线，底边上的高，与顶角的平分线互相重合， 因为AB＝AC＝5，BC＝6，所以BO=CO=3， 由勾股定理求得AO=4， 点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上， 所以点A、B、C的坐标为A（0，4），B（-3，0），C（3，0）． 18．【答案】证明：点是的垂直平分线上的点， ． ． ， ． ． 是的角平分线． 【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 首先由垂直平分线的性质得到，然后得到，然后结合平行线的性质求解即可． 【详解】 略 19．【答案】10 【分析】 本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，．由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据EF是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】 解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 20．【答案】24 【分析】 先计算出扶梯的长度，根据扶梯的运行速度即可得到运行时间． 【详解】 解：∵自动扶梯的倾斜角为30°，， ∴扶梯的长度为，， ∴设顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为， ∴， ∴秒， 故答案为：24． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半． 21．【答案】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）先证明，再进一步证明即可． （2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解题的关键． 22．【答案】度 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，关键是利用线段垂直平分线的性质进行角的转换； 根据可得，又根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可求出结果． 【详解】 解：∵ ∴ ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 23．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴．     （2） 与互相垂直．理由如下： 设与交于点O． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （3） ∵，则， 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴平分．      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余． （1）由题意可知，再利用证明，即可证得结论； （2）设与交于点O，由，可得，再结合，利用互余关系可得，可知，证得； （3）结合（2）知，利用互余关系可证得，由，得，又由，得，可证得，再利用等腰三角形三线合一可得平分． 熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 24．【答案】（1） 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形；     （2）原始支撑段的长度是8米      【分析】 （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，     ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，图形规律探究；先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的内角的度数． 【详解】 解：在中，，， ， ，是的外角， ； 同理可得，，…， 第个三角形中以为顶点的内角度数是． 故答案为：． 26．【答案】50°或80° 【分析】 等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得． 【详解】 ∵等腰三角形的一个外角为130°， ∴与130°相邻的内角为50°， 当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°， 当50°为底角时，其他两角为50°、80°， 所以等腰三角形的顶角为50°或80°， 故答案为50°或80°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题． 27．【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 本题考查三角形的中线，三角形的外角的性质，等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）① 根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积，推出，即可得出结果；② 根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （2）根据三角形的周长公式列出等式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： ∵与的周长相等， ∴， ∴， ∴． 28．【答案】（1）     （2）     （3） 证明：延长到，使，连接．     ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算； （3）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； (1) 小问详解： 解：是中线， ， 又，， ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 29．【答案】（1）      （2）， 证明：当在边的延长线上时，． 过点作，如图所示，交的延长线于点，则， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ．      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理以及全等三角形的性质与判定： （1）利用等腰三角形的内角特点求出的度数，因为和是对顶角，所以相等，利用三角形内角和定理得到； （2）过点作，如图所示，交的延长线于点，构造全等三角形，将线段以及的关系进行转化，结合等腰直角三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： ∵，， ， ， ， ，，， ． (2) 小问详解： 略 30．【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示： 【分析】 本题考查了作图——格点，熟练掌握等腰三角形的定义及对称的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，找到格点，连接，，令即可． （2）找到点关于格线的对称点，连接交格线于点，连线即可． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 31．【答案】（1）线段垂直平分线的性质     （2）；     （3） ； 理由：是的垂直平分线， ， ， ， 同理可得，， ，， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角． （1）利用线段垂直平分线的性质可得到； （2）利用，，可得答案； （3）证得，，结合，，，可得答案； (1) 小问详解： 解：是边的垂直平分线， （线段垂直平分线的性质）． 故答案为：线段垂直平分线的性质； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 同理可得，， ，， ； (3) 小问详解： 略 考点05 等边三角形 1．A 2．A 3．D 4．B 5．B 6．【答案】4 【分析】 利用三角形外角的性质可得出，结合可得出，由等角对等边可得出，在中，利用三角形内角和定理可得出，再利用角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，进而可得出结论． 【详解】 解：，， ， ， ． 在中，，， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质以及含30度角的直角三角形，解题的关键是通过含30度角的直角三角形找出的长． 7．【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：，， ， ， 由（1）可知是等边三角形， ， ．      【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质，角平分线的定义，证明，即可得答案； （2）根据等角对等边，得，由（1）的结论即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．【答案】（1）见解析，     （2）5     （3）见解析      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 解：即为所作： 则； (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 9．【答案】5 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 10．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）求出，再由直角三角形的性质得出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．【答案】4 【分析】 本题考查了最短路径问题及等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键．先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据等边三角形的性质进行求解． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， ， B，C关于直线对称， ， ， 是等边三角形，点是边的中点， ， 最小值为4， 故答案为：4． 12．【答案】证明：， ， 和为等边三角形， ， ， ． 在和中， ， ， 即平分， 又， ， 即为的中点． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握三角形全等判定的方法是解题的关键.利用等腰三角形和等边三角形的性质，，继而利用边边边可证得，根据等腰三角形“三线合一”即可解题． 【详解】 略 13．【答案】（1）     （2） ， 解答过程如下： 过点D作，交于点M． ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴．     （3）的长为7或1      【分析】 （1）三线合一，得到，，等量代换得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，进而得到，即可得出结论； （2）过点D作，交于点M，易得为等边三角形，证明，即可得出结论； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． (1) 小问详解： ∵为等边三角形， ∴． 又∵点D为的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当点Q在线段的延长线上时， 如图，作交于点M， 同（2）可知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为7或1． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称求线段和的最值，熟练掌握轴对称求最小值的方法，等边三角形的判定和性质，三角形面积公式是解题的关键．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，当时最短，此时的周长最小，最小值为的长． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，最短，此时的周长最小， ∵，的面积， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 15．【答案】①     ② 1或 【分析】 本题考查等边三角形的判定，全等三角形的性质，一元一次方程的应用，求出符合题意的所有情况是解题的关键， （1）根据等边三角形的判定分别计算出和的长度，即可得到答案； （2）由题知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】 解：（1）当时，则点的速度为，点的速度为，运动时间为，， ∴，，， 要使是等边三角形，需满足， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）∵点的速度为，点的速度为，运动时间为，，， ∴，，， ， 当与全等时，分两种情况： ①时， ，， ∴，， 解得：，， ②时， ，， ∴，， 解：，， 综上所述：的值为1或． 16．【答案】（1） 证明：延长交于点， 是等边三角形， ． 又，， ． ． 平分． （等腰三角形三线合一）；     （2） ① 证明：①是顶角为的等腰三角形，， ． 是等边三角形， ． ． ，， ． 在和中， ． ． ，，， ； ②      【分析】 （1）证明，，由三线合一即得． （2）①．得，，得．得，得，可得．② 根据 ，．得的周长，即得． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ① 略； ② 由① 知， ，． ， ． ， ． ． ． ，， ． ． 的周长 ． 由① 得：，． ， ． ． 的周长． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形全等的判定性质是解题的关键． 17．【答案】（1）全等，理由如下， 是等边三角形，， ，， 又， ； （2）①， 证明：， ， 又，， ， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ； （3） 【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，，据此计算即可求解． 【详解】 （1）解：略； （2）略； （3）解：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．【答案】①     ② 2 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等，由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则； （2）根据含的直角三角形的性质即可证明，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】 解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 在与中， ， ∴． ， ， ． ． ， ； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，最短路线问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质作出点关于，的对称点，，连接，，根据两点之间线段最短可知的周长最短值是线段的长度，根据可知是等边三角形且边长为，则的周长最小值为． 【详解】 解：如下图所示， 作点关于，的对称点，，连接，，， 当，是与，的交点时，的周长最短，最短的值是的长． 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值． 20．【答案】（1） 等边三角形，证明：为等边三角形， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形．     （2） 理由如下： 小明的方法：过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据四边形内角和， ∴． 小刚的方法：过点作，交于点． ∵为等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴．     （3）或或      【分析】 （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形证明即可； （2）利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理证明即可： （3）分两种情况：① 当点D在边时，过点作，交的延长线于点．② 当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点，Ⅰ）当点Q在线段上时；Ⅱ）当点Q在线段延长线上时．分别求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：三线段的关系为：． 理由如下： 分两种情况：① 当点D在边时，过点作，交的延长线于点．如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 当点D在边延长线上时，过点作，交直线于点． Ⅰ）当点Q在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ Ⅱ）当点Q在线段延长线上时，如图， 同理可得， ∴， ∴， 综上，线段与线段的数量关系为或或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和定理的应用，线段之间关系的证明，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $