专题03 三角形（期中真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期

**基本信息** 汇集安徽多校期中真题，聚焦三角形5大高频考点，通过新定义问题、文化情境和动态探究，实现概念理解与推理能力的分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约60题|三角形概念、边、中线/角平分线/高、内角、外角|结合“垂直距”新定义（考点01）、风筝骨架（考点02）等情境，考查三边关系、角度计算| |解答题|约30题|综合应用|通过折叠（考点04）、倍长中线（考点03）等动态问题，融合几何直观与逻辑推理，适配期中能力评估需求|

专题03 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（       ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 2．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中，锐角三角形有　　　　　　个． 3．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长为　　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）（1）在中，已知，，求的度数，并判断这个三角形的形状． （2）若等腰三角形的两边长分别是3和6，求等腰三角形的周长． 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. 7，4，2 B. 5，5，6 C. 3，4，8 D. 2，3，5 2．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 3．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的长可能是（       ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 4．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 4，8，4 C. 4，5，6 D. 8，3，4 5．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（     ） A. 5 B. 4 C.  D. 13 7．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）的三条边长分别为和，则a的值不可能是（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 4，8，12 C. 3，7，12 D. 4，10，12 9．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）已知三角形三条边的长分别为4，7，，则的值可能是（     ） A. 13 B. 10 C. 3 D. 2 10．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A. 2，5，8 B. 6，8，15 C. 3，4，7 D. 4，6，5 11．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（　　） A.  B.  C.  D. 或 13．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 甲或乙 D. 甲或乙均不可以 15．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．明明准备制作一个三角形的风筝，搭风筝骨架时，他已经准备了两条竹篾（mie），长度分别是分米，分米，则第三条竹篾的长度可以是（       ） A. 分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米 16．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A.  B.  C.  D. 或 17．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，10 B. 1，4，9 C. 5，12，6 D. 3，4，5 18．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A. 1，2，3 B. 4；5，6 C. 7，8，16 D. 9，10，20 19．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 20．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）下列各组数中，一定不是一个三角形边长的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和10，则其周长可能是（       ） A. 15 B. 20 C. 20或25 D. 25 22．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8． （1）求m的取值范围； （2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长． 24．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）鼎是文明的见证，也是文化的载体，早期鼎多为三足设计（如图），其三个足的底部可构成三角形结构．且《史记·淮阴侯列传》有“三分天下，鼎足而居”的说法，也暗含三足形成类似三角形的结构关系，从数学角度看，这其中蕴含的核心原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，第三边长c为奇数，则　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是　　　　　． 27．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）已知，，，为的三边长，且满足， （1）求的取值范围； （2）若的周长为18，求的值． 28．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）三角形的三边长分别为，和，则的范围为　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c均为整数． （1）若，，求边长c的取值范围； （2）在（1）的条件下，若c为奇数，求的周长． 30．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为　　　． 31．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）若等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的腰长为　　　　　　． 33．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知，，为三角形三条边的长度，化简：． 35．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）若等腰三角形的一边长为15，另一边长为8，则此三角形的周长是　　　　　． 36．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c为偶数，求的周长； （2）化简：． 37．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c分别为的三条边． （1）若，，且第三边c的长为奇数，则c的值为　　　　　　　． （2）若，，则b的取值范围为　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求的长； （2）若，求的最小值． 39．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）已知，在中，，且，． （1）求a的取值范围； （2）若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 40．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知a，b，c是的三边长． （1）若a，b，c满足，则的形状是______； （2）化简：． 41．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知，则的平方根是　　　　　． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）下列四个图形中，是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）在数学课上，同学们在练习画边上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，是的中线，连接的面积是12，则的面积是（     ） A. 7.5 B. 5 C. 3 D. 2.5 4．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为，则阴影部分的面积是（     ） A.  B.  C.  D. 条件不足，无法求出 5．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，则以为一条高线的三角形共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，是的中线，点是的中点，若的面积为24cm2，则的面积为（　　） A. 8cm2 B. 6cm2 C. 4cm2 D. 3cm2 7．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 同位角相等 B. 三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 C. 相等的角是对顶角 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 8．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点．若的面积为4，则的面积是（       ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 24 9．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图所示，在四边形中，，点为对角线的中点，记，，，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（     ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②③ 13．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断： ①线段是的角平分线； ②与的面积相等： ③线段是的边上的高； ④线段是的边上的中线． 其中正确的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 14．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，是的中线，、分别为，的中点，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（     ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 不变 D. 先变大后变小 16．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）下列命题中（1）三角形的三条中线的交点到三边距离相等；（2）三角形的三条高在三角形内交于一点；（3）三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点；（4）等腰三角形的角平分线、中线和高重合；（5）一个三角形的内角中，至少有一个不小于60°：（6）三角形的一个外角大于它的任何一个内角．真命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在中，，点，，分别是边，，上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有个；④；⑤．其中一定正确结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是　　　　．  19．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）一条线段的重心就是这条线段的　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． （1）求的长； （2）连接，求的面积． 21．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到按此规律，倍长2次后得到的的面积为　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是　　　　　． 23．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）在中，，分别是，的高，，，，． （1）求的长． （2）若是的中点，连接，求的面积． 24．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3． （1）边BC的取值范围是               ； （2）△ABD与△ACD的周长之差为 ； （3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高． 26．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，在中，是中线，是高，且，，． （1）_____； （2）求和的周长差． 27．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是　　　　　　． 28．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，在中，是边上的高，已知． （1）请画出边上的高； （2）求的长． 29．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． （1）如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； （2）如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； （3）如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 30．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的面积． 31．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． （1）若，求的度数； （2）若的面积为15，，求的长． 32．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，是的中线，点在边上，，连接交于点．若（注：表示的面积），则　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图，D是的边上一点，，E，F分别是线段，的中点，若的面积为8，则的面积为 　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，中，点是上一点，，点是的中点，若，则　　　　　　． 35．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 (     　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，在和中，若，，，且边始终在直线上方，则下列结论中错误的是（     ） A.  B.  C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）满足下列条件的中，是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）在中，，则的形状是（     ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 9．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）在中，符合下列条件但不能判定它是直角三角形的是（     ） A.  B. ，，的度数之比是 C.  D.  10．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DEAB，则∠ADE的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 12．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，求从观测、两处的视角的度数（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知：在中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中： ①，；②；③；④．其中能判断是直角三角形的条件为（     ） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ②③ 14．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，若，则的角度为（       ） A.  B. 10° C. 11° D. 13° 15．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A.  B.  C. ° D.  16．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）在中，，，则　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）在中，是边上的高，且，，则的度数为　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，在中，于点，平分交于点，，． （1）求的度数； （2）探究：小明认为不需要知道和的度数，只知道，其他条件不变，也能得出的度数．你认为可以吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 20．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，中，是上的高，平分，，则　　　　　　　　　度． 21．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，则的度数为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． （1）如图1：若，，为边上的高，求的度数； （2）如图2：若且．求证：． 23．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为　　　；的度数为　　　．  24．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在中，，，平分，是边上的高．求 （1）求的度数； （2）求的度数． 25．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）（多选）如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 26．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． （1）如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； （2）如图2，若，，，，求的度数； （3）如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 27．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，分别是的高线和角平分线，若，，求和的度数． 28．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． （1）如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． （2）【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． 29．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 30．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为度，则顶角为　　　　　度． 31．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则　　　　　　　　 ． 32．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，过点作交的延长线于点． （1）若，，则_____，_____． （2）若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含的代数式表示）． （3）若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 33．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）若的面积为，，求线段的长度． 35．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 36．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． 38．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），，是的高，是的角平分线，求的度数． 39．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． （1）如图1，延长，交于点，若，，求的度数． （2）如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． （3）如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到两个三角形纸片，则一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图是工地常用的“人”字架，已知，则（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）以下列各组数为长度的线段，能构成直角三角形的是（     ） A. ，， B.  C. ，，1 D.  7．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图，，点在的延长线上，连接．若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，和是的两个外角，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，点到数轴的距离为1，，则数轴上点所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）给出以下4个命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③互为相反数的两个数和为0；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）如图，中，，．若、分别是的高和角平分线，且交点为O，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A. 282° B. 180° C. 258° D. 360° 16．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，外角的平分线交的延长线于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，…依次进行下去，与的平分线相交于点，要使的度数小于，则的最小值为（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 18．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）下列命题中，是假命题的是（     ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 19．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 22．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： （1）线段的长为_____，的长为______； （2）请连接，判断的形状，并说明理由． 23．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 24．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，平分的外角，且交的延长线于点．若，，求的度数； 25．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，D是边上一点，，，，求的度数？ 26．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 27．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 28．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 29．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． （1）如图1，求证：． （2）如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 30．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）若∠A=40°，∠BDC=60°，求∠BED的度数； （2）若∠A-∠ABD=20°，∠EDC=65° ，求∠A的度数． 31．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图1，，点A、B分别在上运动（不与点O重合）． （1）若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则__________． ②猜想：的度数是否随点A、B的移动发生变化，并说明理由． （2）如图2，若将“”改为“（）”， ，其余条件不变，__________（直接用含、n的代数式表示的度数）． 32．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． （1）与的数量关系是_________； （2）若，求的度数． 33．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则①______． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以③______． 在中，根据三角形内角和为，有④______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则_____． 34．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知：在中，平分，、相交于点， （1）如图①，若，，，求的大小． （2）如图②，若平分，且，求的大小． （3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 35．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）在中是角平分线，点D在边上（不与点A、B重合），、交于点O． （1）若是中线，，，则与的周长差为          ； （2）若，是高，求的度数； （3）若，是角平分线，求的度数． 37．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，，相交于点． （1）若，，，求的度数； （2）若且，求的度数． 38．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在中，于点，是的平分线，交于点，，，求的度数． 39．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 40．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C； （2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，且分别与AB、CD相交于点M、N．若∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数； （3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，且分别与AB、CD相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC．请直接写出∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系． 41．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，，CF平分，GE平分交FC的延长线于点E．若，求的度数． 42．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在中，分别平分为外角的平分线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）试探究与之间的数量关系，并说明理由． 43．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 44．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动． （1）如图2，点C为三条内角平分线交点，连接、，在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （2）如图3，在（1）的条件下，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q． ①与的数量关系为____． ②在中，如果有一个角是另一个角的2倍，求的度数． 45．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图1，为的高，平分，． （1）的值为　　　　　　　　　　　； （2）在图1的基础上，如图2所示，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，则　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．A 2．【答案】3 【分析】 本题考查了三角形的定义和分类，掌握三角形的分类是解题的关键．先求出三角形的个数，再根据三角形的分类，即可得出锐角三角形的个数． 【详解】 解：∵每个三角形有3个内角， ∴共有个三角形， ∵三角形中最多只有一个直角或钝角， ∴11个三角形有5个直角三角形，3个钝角三角形， ∴共有个锐角三角形， 故答案为：3． 3．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 分腰长为和两种情况，依据等腰三角形的性质，分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：当腰长为时，该三角形的周长为； 当腰长为时，该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或； 故答案为：或 4．【答案】（1），，，钝角三角形；（2） 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到关于的一元一次方程求解，求出各内角度数，即可判断三角形形状； （2）分两种情况讨论，结合三角形的三边关系进行取舍，即可求解周长． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴这个三角形是钝角三角形； （2）当长度为的边是腰时，则三边长为，此时，不能构成三角形，故不符合题意； 当长度为的边是腰时，则三边长为，此时，能构成三角形， ∴周长为． 考点02 三角形的边 1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．D 9．B 10．D 11．C 12．A 13．D 14．B 15．C 16．C 17．D 18．B 19．B 20．D 21．D 22．B 23．【答案】（1）3＜m＜5；（2）19 【分析】（1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案； （2）利用m的取值范围得出m的值，进而得出答案． 【详解】（1）根据三角形的三边关系， ， 解得：3＜m＜5； （2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4． 所以，△ABC 的周长为：（m−2）＋（2m＋1）＋8＝3m＋7＝3×4＋7＝19． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出不等式组是解题关键． 24．【答案】三角形具有稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是理解题意，学会利用三角形稳定性解决问题． 根据三角形具有稳定性解答． 【详解】 解：鼎的三个足的底部可构成三角形结构，这是利用了三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 25．【答案】9 【分析】 根据实数的非负性，三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了实数的非负性，三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴； ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 故答案为：9． 26．【答案】25 【分析】 构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可． 【详解】 解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得（不合题意，舍去）， ②， 解得：， 故答案为：25． 【点睛】 此题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式组求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：，，分别为的三边，，， 解得：； (2) 小问详解： 的周长为18，， ， 解得． 28．【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】 解：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 得， 解得， 故答案为：． 29．【答案】（1）     （2）10或12      【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）由三角形三边关系可得，即可得解； （2）由题意可得或，再分两种情况，结合三角形的周长公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵的三边长为a，b，c，且，， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵在（1）的条件下，c为奇数， ∴或， 当时，的周长， 当时，的周长， 综上所述，的周长为10或12． 30．【答案】11 【分析】 本题考查了非负性，三角形三边关系，根据非负性可以求出，熟练掌握是解题关键 【详解】 解：，，， ，， ． 又a，b，c均为三角形的三边， ． 为整数， ． 的周长为， 故答案为：11． 31．【答案】 【分析】 首先利用三角形的三边关系得出，然后根据求绝对值的法则进行化简即可． 【详解】 解：∵是的三条边， ∴， ∴=． 故答案为：． 【点睛】 熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则，是解题的关键，注意，去绝对值后，要先添加括号，再去括号，这样不容易出错． 32．【答案】8 【分析】 此题考查等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，解题关键在于利用分类讨论的思想方法．此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】 解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是， ∵ ∴能够组成三角形，符合题意； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是， ∵ ∴不能够组成三角形．不符合题意， 故答案为：8． 33．【答案】15 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】 解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 34．【答案】 【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的定义，整式的加减运算，解题的关键是掌握三角形三边关系．根据三角形三边关系可得，，，再根据绝对值的定义化简绝对值，最后合并同类项，即可求解． 【详解】 解：，，为三角形三条边的长度， ，，， ． 35．【答案】38或31． 【分析】分两种情况考虑：当15为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可． 【详解】当15为等腰三角形的腰长时，8为底边，此时等腰三角形三边长分别为15，15，8，周长为15+15+8=38； 当15为等腰三角形的底边时，腰长为8，此时等腰三角形三边长分别为15，8，8，周长为15+8+8=31， 综上这个等腰三角形的周长为38或31． 故答案为38或31． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 36．【答案】（1）的周长为9     （2）      【分析】 本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：，， ，即． 又为偶数， ． ． (2) 小问详解： ，， ，． ． 37．【答案】① 5    ② 【分析】 本题考查了三角形三边关系、解二元一次方程组、求不等式组的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形三边关系，确定第三边c的范围，再结合c为奇数的条件求解； （2）联立等式求出a和c关于b的表达式，再根据三角形三边关系和边长的正负性得到关于b的不等式组，解不等式组即可求解b的取值范围． 【详解】 解：（1）由题意得，，即， ∴， ∵第三边c的长为奇数， ∴； 故答案为：5； （2）联立 ， 解得 ， ∵a，b，c分别为的三条边， ∴ ，即 ， 解得， 故答案为：． 38．【答案】（1）7或9     （2）6      【分析】 本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合周长为奇数这一条件确定的具体值． （2）先根据已知条件得出和的奇偶性，再结合三角形三边关系以及周长为奇数的条件确定的最小值． (1) 小问详解： 解：∵ ，，， ∴ ，即， ∵ 的三边长均为整数，周长为奇数，（偶数），（偶数）， ∴ 为奇数， ∴ 或； (2) 小问详解： 解：∵ （奇数），的三边长均为整数， ∴ 与一个是奇数，一个是偶数， ∵为奇数， ∴ 为偶数， ∵，， ∴ ， ∴ 的最小值为6． 39．【答案】（1）     （2）44      【分析】 本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的定义，解不等式组，掌握这些知识是关键． （1）由三角形三边的关系列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）由等腰三角形知，或，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定a的值． (1) 小问详解： 解：由题意知： 解得：； (2) 小问详解： 解：∵是等腰三角形，两边长为8，18所以第三边为8或18， 又，， ∴第三边只能为18． 此时周长为． 40．【答案】（1）等边三角形     （2）      【分析】 本题考查了绝对值的非负性，三角形的三边关系． （1）利用非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分为零，得出边长相等，从而判断三角形形状． （2）根据三角形三边关系，判断各绝对值内的符号，再去绝对值化简． (1) 小问详解： 解：∵ 且 ，且  ∴  且  ∴ 且  ∴ ∴ 是等边三角形 (2) 小问详解： 解：∵ 是  的三边长 ∴，，，且 ，， ∴，故  ，故  ，故  原式  ． 41．【答案】 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】 解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．B 8．B 9．B 10．D 11．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．A 17．C 18．【答案】 【分析】 此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】 解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 19．【答案】中点 【分析】 本题考查重心概念．根据题意可知线段的重心即其质量的中心，由于线段均匀，重心位于中点． 【详解】 解：∵在初中几何中，重心是物体质量分布的中心点，对于一条均匀线段，其质量分布对称，∴重心位于线段的中点， 故答案为：中点． 20．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高线与中线的性质，中位线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造中位线． （1）根据的周长比的周长大1，可得的长度比的长度大1，由此可求解； （2）作辅助线构造中位线，由中位线的性质可求解的长度并得到垂直关系，由此可求解． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大1， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：取中点记作点，连接，如图， ∵点为中点，点为中点， ∴，且， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 21．【答案】49 【分析】 连接，根据等底等高的三角形面积相等，可得，同理，从而可得答案． 【详解】 解：连接，根据等底等高的三角形面积相等，    的面积都相等， ∴， 同理 ∵的面积为1， ∴的面积为49． 故答案为：49 【点睛】 本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键． 22．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，根据三角形中线平分三角形面积可推出的面积，再根据三角形面积计算公式即可求出答案． 【详解】 解：∵为的中线，的面积为32， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高，三角形的中线，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用等面积法求解即可； （2）先求出的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解． (1) 小问详解： 解：，， ， 在中，，分别是，的高，， ，即， ； (2) 小问详解： ，， ， 是的中点， ． 24．【答案】60 【分析】 本题主要考查了三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：① 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；② 两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边之比． 首先根据三角形的中线的特征，以及两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出△ABC的面积． 【详解】 解： E是的中点，， ，， ，， ， ， 的面积； 故答案为：． 25．【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）根据三角形中线将△ABD与△ACD的周长之差转换为和的差即可得出答案； （3）设AC边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】 解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵△ABD的周长为， △ACD的周长为， ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴， ∴-()=， 故答案为：； （3）设AC边上的高为， 根据题意得：, 即， 解得． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： (2) 小问详解： 解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 27．【答案】5 【分析】 本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形中线将三角形的面积平分，可逐步求得，，． 【详解】 解：是上的中线，的面积是40， ， 是上的中线， ， 是的中点， ． 故答案为：5． 28．【答案】（1） 如图，线段即为边上的高．      （2）      【分析】 本题考查了三角形高的画法及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用“同一三角形面积相等”的等积法，通过已知底和高求出面积，再反求未知高的长度． （1）根据三角形高的定义，过点C作边的垂线，垂足为E，线段即为边上的高； （2）先以为底、为高计算的面积，再以为底、为高，结合面积相等列方程求解的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 29．【答案】（1）3     （2）     （3）      【分析】 本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． (1) 小问详解： ∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； (2) 小问详解： ∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； (3) 小问详解： ∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 30．【答案】（1）20     （2）8      【分析】 本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 (2) 小问详解： 解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 32．【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形的中线、三角形的等分点等知识点，灵活运用三角形中线的定义成为解题的关键． 先根据三角形的中线、三角形的等分点求得、，设，进而求得、，最后代入计算即可． 【详解】 解∶∵是的中线，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∴． 故答案为2． 33．【答案】2 【分析】 本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据三角形中线得出，再分别求得、，从而可求得、，再求得即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵点F是中点， ∴． 故答案为：2． 34．【答案】 【分析】 本题考查三角形中线求面积，数形结合，得到是解决问题的关键． 由题中点是上一点，，点是的中点，得到相关三角形面积关系，设，，，得到，再由，即可得到，再由求解即可得到答案． 【详解】 解：连接，如图所示： 点是的中点， ，， ， ， 点是上一点，， ，， ， ， 设，，， ， 则， ， ， 即， ， ， 则， 故答案为：． 35．【答案】18 【分析】 本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 考点04 三角形的内角 1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9．C 10．D 11．B 12．D 13．B 14．C 15．A 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理得出，先求出，进一步即可得出． 【详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】或 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，根据“倍角三角形”的定义，倍角α是被倍角β的2倍，已知三角形中有一个内角为，且，需分类讨论可能扮演的角色：可能是倍角α、被倍角β或第三个角，通过计算三角形内角和，结合的条件，排除无效情况． 【详解】 解：设倍角为α，被倍角为β，则， ∵三角形内角和为， 若是倍角α，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是被倍角β，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是第三个角，则， 又， 代入得，即， 解得，不符合的条件，故排除； 因此，倍角α的度数为或， 故答案为：或， 18．【答案】或 【分析】 本题考查了几何图中角度的计算，分两种情况：当高在的内部时；当高在的外部时，分别计算即可得解，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：如图，当高在的内部时， ， ∵，， ∴； 如图，当高在的外部时， ， ∵，， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 19．【答案】（1）     （2）能，      【分析】 此题考查了和角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）由三角形内角和定理和角平分线得到，然后表示出，进而求解即可． (1) 小问详解： ， ． 平分， ． 于点， ． ． ； (2) 小问详解： 能．理由如下： ， ． 平分， ． ， ． ． ． ， ． 20．【答案】10 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵平分， ∴．， ∵是上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 21．【答案】度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理．由题意得，，，再根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴故答案为：． 22．【答案】（1）     （2） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ．      【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据三角形的高的定义得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴ (2) 小问详解： 略 23．【答案】① 76度    ② 52度 【分析】 先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，可得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高线，角的平分线，三角形内角和定理，直角三角形的性质，正确理解概念是解题的关键． （1）根据，结合三角形内角和定理得结合角的平分线解答即可． （2）根据高线的定义，得到，结合解答即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵平分， ∴． (2) 小问详解： 解：根据高线的定义，得到， ∵， ∴， ∴． 25．【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【分析】 根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】 考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 26．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （2）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （3）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵和的角平分线交于点M， ∴，， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 27．【答案】 ； 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质以及三角形的角平分线和高，熟练掌握“三角形内角和是”是解题的关键．先利用三角形内角和定理，求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是的高线，结合三角形外角性质，即可求出的度数． 【详解】 解：在中， ∵， ∴    ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵是的高线 ∴为直角三角形 ∴. 28．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平角的定义；；     （2）      【分析】 本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角的定义；； (2) 小问详解： 解：如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 29．【答案】问题变式：； 继续探究：不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究： 【分析】 问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】 解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：略 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 30．【答案】或或 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】 解：① 如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ② 如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵是边上的高 ∴， ∴， ∴ 综上所述：顶角为：或． 故答案为或. 31．【答案】度 【分析】 此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】 解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．【答案】（1）114；24     （2），     （3） 解：，证明如下： 依题意，设，， 在中， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即． ∴．      【分析】 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数； （3）先理解题意，设，，在中，，因为平分，得，根据，得，又因为，所以，即，整理得，即可作答． (1) 小问详解： 解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ∵ ∴， 在中，； (3) 小问详解： 略 33．【答案】或 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，分在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：当在内部时，如图： ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 当在外部时，如图： 则：； 故答案为：或． 34．【答案】（1）73°     （2）3      【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ； (2) 小问详解： 解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 35．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 36．【答案】 【分析】 本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 37．【答案】（1）的度数为；     （2）的长为．      【分析】 （1）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数； （2）由已知可得，可得，结合与的周长之间的关系，即可得的长． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长比的周长小， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，高的定义及角平分线的定义，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用以上知识点是解题的关键．利用“友爱三角形”的定义，根据，，结合，求出的度数，由高的定义及角平分线的定义即可解答． 【详解】 解：∵与互为“友爱角”，且， ∴， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 39．【答案】（1）     （2） 解：．理由： 由八字模型可得，和中， ．      （3） 解：．理由： 由四边形的内角和得， ． 【分析】 （1）根据平行线的性质得，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，根据垂直定义得，根据直角三角形锐角性质得，根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得； （2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查四边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 考点05 三角形的外角 1．D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．A 10．A 11．A 12．C 13．A 14．C 15．C 16．C 17．C 18．D 19．C 20．C 21．D 22．【答案】（1）；     （2） 解：是直角三角形， 理由如下：连接， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴为直角三角形．      【分析】 本题主要考查网格与勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据网格与勾股定理计算即可； （2）运用勾股定理逆定理计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ∴长为，的长为， 故答案为：， (2) 小问详解： 略 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．先根据三角形内角和求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质，求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．先根据三角形外角的性质得出，再根据角平分线定义得出，最后根据三角形外角性质求出结果即可． 【详解】 解：∵，， ∴根据三角形外角的性质可得： ， 平分， ， ． 25．【答案】40° 【分析】 设，再用x表示出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，进而可得出x的值，由此得出结论． 【详解】 解：设，则． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，三角形外角性质，解题的关键设出未知数，根据三角形内角和列出方程． 26．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，，即可求解． 【详解】 解：∵，分别是的一个外角， ∴，． ∵， ，， ∴． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，再由三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义可得，则可由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长． 28．【答案】， 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再利用三角形的外角的性质可知，再由高的定义得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴． 29．【答案】（1） 证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴；     （2） ① 结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②， 证明：∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴．      【分析】 本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 30．【答案】（1）140°；（2）35° 【分析】 （1）由外角的性质可得，由角平分线的性质可得，由平行线的性质即可求解； （2）由外角的性质和角平分线的性质可得，再由，即可求出的度数． 【详解】 解：（1），，， ， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，外角的性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题． 31．【答案】（1）①； ②的度数不变，理由如下：                                         设， 平分， ， ， ， 平分， ， ；     （2）      【分析】 此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）① 根据题意得到，再根据角平分线定义得，由即可解答；② 设，则，求出，再根据角平分线的定义求出解答； （2）设，根据题意得到，，由，求出，即可解答． (1) 小问详解： 解：①，是的外角， ， 平分、平分， ， ， ② 略 (2) 小问详解： 解：设， ， ， ， ， ， ， ． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵、分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵为外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴． 33．【答案】（1）；；；； （2）证明：∵，， ∴ ∵外角，的平分线交于点， ∴， ∴ ∴； （3）或或或． 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线得出，进而求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质同（1）求解即可； （3）首先求出，得到，然后分4种情况分别求解即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ① 当时， ∴； ② 当时， ∴； ∴； ③ 当时， ∴ ∴； ④ 当时， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或或或． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练应用各性质定理． 34．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角的性质： （1）根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后利用三角形的内角和定理解题即可； （2）先利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理得到，再根据解题即可； （3）利用三角形的外角和角平分线的定义用与表示，然后根据三角形的内角和定理推到即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， 即， 解得：． 35．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角定理，根据三角形外角定理可得，，再结合，即可求得的度数． 【详解】 解：∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵， ∴，        ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 36．【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据中线定义得，根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． (1) 小问详解： 解：是中线， ． ，， 的周长，的周长为． ． 故答案为：1． (2) 小问详解： 解：是的高， ． ，是的角平分线， ． ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． (3) 小问详解： 解：， ． ，是的角平分线， ，． ． ． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和外角． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据三角形的内角和定理求出即可解答； （2）根据三角形外角可得，结合，得到，然后根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ； (2) 小问详解： 解：，， ， 又，， ， 又， ， ∴． 38．【答案】 【分析】 本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∵于点，是的平分线， ∴， ∴． 39．【答案】（1）∠AOC＝∠ODC，理由：∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC）， ∵∠OBC＝∠ABC， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠ODC＝90°+∠OBD， ∴∠AOC＝∠ODC； （2）① 证明：∵BF平分∠ABE， ∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO， ∵∠ODB＝90°﹣∠OBD， ∴∠FBE＝∠ODB， ∴BF∥OD； ②70° 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到∠OAC＋∠OCA＝（180°−∠ABC），∠OBC＝∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°＋∠OBC，∠ODC＝90°＋∠OBD，于是得到结论； （2）① 由角平分线的性质得到∠EBF＝90°−∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°−∠OBD，于是得到结论；② 由角平分线的性质得到∠FBE＝（∠BAC＋∠ACB），∠FCB＝ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）① 略 ② ∵BF平分∠ABE， ∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC+∠ACB）， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠FCB＝∠ACB， ∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC， ∵∠F＝35°， ∴∠BAC＝2∠F＝70°． 【点睛】 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 40．【答案】（1） 证明：∵∠AOC是△AOD、△BOC的外角， ∴∠AOC＝∠A＋∠D，∠AOC＝∠B＋∠C， ∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．     （2）30°     （3）∠A＋2∠C＝3∠E      【分析】 （1）根据三角形外角的性质可得∠AOC＝∠A＋∠D、∠AOC＝∠B＋∠C，再运用等量代换即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE、∠ABE＝∠CBE，设∠ADE＝∠CDE＝α，∠ABE＝∠CBE＝β，根据（1）的方法可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE、∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，即∠A＋α＝∠E＋β、∠C＋β＝∠E＋α，然后消去β、α即可； （3）由三等分线的定义可得∠CDE＝∠ADC、∠CBE＝∠ABC，设∠CDE＝α，∠CBE＝β,则 ∠ADE＝2α、∠ABE＝2β，由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE、∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，即∠A＋2α＝∠E＋2β，∠C＋β＝∠E＋α，然后消去β、α即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵DE、BE为角平分线， ∴∠ADE＝∠CDE、∠ABE＝∠CBE 设∠ADE＝∠CDE＝α，∠ABE＝∠CBE＝β. 由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE， ∴∠A＋α＝∠E＋β，∠C＋β＝∠E＋α， ∴∠A＋∠C＝2∠E， ∵∠A＝28°，∠C＝32°， ∴∠E＝30°． (3) 小问详解： 解： ∵DE、BE为三等分线， ∴∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC 设∠CDE＝α，∠CBE＝β,则 ∠ADE＝2α、∠ABE＝2β 由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE， ∴∠A＋2α＝∠E＋2β，∠C＋β＝∠E＋α， ∴∠A-∠E＝2(β-α), ∠E-∠C＝β-α ∴2（∠E-∠C）=∠A-∠E ∴∠A＋2∠C＝3∠E． 【点睛】 本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用将三角形外角的性质是解题的关键． 41．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长交于点，先根据角平分线的定义可设，，则，，整理可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】 解：如图，延长交于点． 由题意设，． 则有 ． ①②，得． ， ． ， ． 42．【答案】（1） 证明：平分为外角的平分线， ，， 是的外角，是的外角 ，， ， 即， 化简得：．     （2） ，理由如下： 平分， ， 在中，， 即：， 在中，， ， 即， 由（1）可知， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形内角和： （1）利用角平分线的定义得到，，再利用三角形外角的性质推导出角的数量关系，再对数量关系化简即可； （2）根据角平分线的定义得到，再结合（1）的结论，在，中用三角形内角和定理推导即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．【答案】（1） 证明：平分， ， 又∵， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再结合运用三角形外角的性质即可解答； （2）设，则，易得、，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得：． ． 44．【答案】（1）不变，     （2）①；②或      【分析】 （1）由的和不变可知度数不变； （2）① 利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用∠BAO和∠P表示出∠MBP，据此可得结果； ② 设为度，可用表示三个内角，分类讨论可得答案． (1) 小问详解： 解：的度数不变，理由如下： 点为三条内角平分线交点， ，， ， ， ， ， ， 即的度数不变； (2) 小问详解： 解：①点为三条内角平分线交点， ，， ∴， 为的角平分线， ， ∴， ， ， 整理得：； ② 设，则，， 为的角平分线， ， ，点为三条内角平分线交点， ，， ， ， 中有一个角是另一个角的2倍，分四种情况： （1），则， 解得，此时， （2），则， 解得，此时， （3），则， 解得，此时， （4），则， 解得，故舍去， 中有一个角是另一个角的2倍，为或． 【点睛】 本题主要考查三角形外角的性质，三角形内角和，角平分线，一元一次方程等知识点，是一道较综合的题目，难点是表示三个内角分类讨论． 45．【答案】① 2    ② .度 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，可得，再求得，由此可解； （2）根据，设，由此可表示三角形中的角，再根据三角形的内角为计算即可． 【详解】 解：（1）在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）连接，记与的交点为O，如图， 设， ∵，且， ∴，解得, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，即， 在中， ， ∴的度数为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）定义：平面直角坐标系中不重合两点，，把称为，的“垂直距”，记为，把称为，的“水平距”，记为，例如，，，此时，．现有两个命题：①；②对于三角形，若，，则不可能是锐角；以上命题中（       ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【分析】 本题考查新定义、两点之间，线段最短、三角形形状的判定， ① 如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点，得到，，根据“两点之间，线段最短”得，即可得出结论； ② 根据题意得出点在长方形内（含边界），分情况讨论即可， 理解和掌握新定义是解题的关键． 【详解】 解：如图，设，，过点作轴，轴，过点作轴，轴，交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴； 当点、重合时，， 综上所述，，故命题① 是真命题； ∵，， ∴点在长方形内（含边界）， 当点与点或点重合时，； 当点与点或点重合时，三角形不存在； 当点在长方形内或边上时（顶点除外），； 综上所述，若，，则不可能是锐角，故命题② 是真命题． 故选：A． 2．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中，锐角三角形有　　　　　　个． 【答案】3 【分析】 本题考查了三角形的定义和分类，掌握三角形的分类是解题的关键．先求出三角形的个数，再根据三角形的分类，即可得出锐角三角形的个数． 【详解】 解：∵每个三角形有3个内角， ∴共有个三角形， ∵三角形中最多只有一个直角或钝角， ∴11个三角形有5个直角三角形，3个钝角三角形， ∴共有个锐角三角形， 故答案为：3． 3．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 分腰长为和两种情况，依据等腰三角形的性质，分类讨论即可得到答案． 【详解】 解：当腰长为时，该三角形的周长为； 当腰长为时，该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或； 故答案为：或 4．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）（1）在中，已知，，求的度数，并判断这个三角形的形状． （2）若等腰三角形的两边长分别是3和6，求等腰三角形的周长． 【答案】（1），，，钝角三角形；（2） 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到关于的一元一次方程求解，求出各内角度数，即可判断三角形形状； （2）分两种情况讨论，结合三角形的三边关系进行取舍，即可求解周长． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴这个三角形是钝角三角形； （2）当长度为的边是腰时，则三边长为，此时，不能构成三角形，故不符合题意； 当长度为的边是腰时，则三边长为，此时，能构成三角形， ∴周长为． 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A. 7，4，2 B. 5，5，6 C. 3，4，8 D. 2，3，5 【答案】B 【分析】 本题考查三角形三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，只需验证各选项是否满足此条件即可． 【详解】 解：A、∵， ∴长为7，4，2的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为5，5，6的三根小木棒能组成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为3，4，8的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为2，3，5的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 【答案】D 【分析】 本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】 A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 3．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的长可能是（       ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【分析】 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果． 【详解】 解：根据三角形的三边关系，得 故第三边的长度，即， ∴这个三角形的第三边长可以是6． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可． 4．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 4，8，4 C. 4，5，6 D. 8，3，4 【答案】C 【分析】 此题主要考查了三角形三边关系，直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】 解：A、不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 即． 故选：A． 6．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（     ） A. 5 B. 4 C.  D. 13 【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．勾股定理是直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，利用此计算即可． 【详解】 解：根据勾股定理． 故选：C． 7．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）的三条边长分别为和，则a的值不可能是（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【分析】 本题考查三角形三边关系，求出第三边的取值范围是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定a的取值范围． 【详解】 解：∵的三条边长分别为和， ∴， 选项A、B、C均在范围内，D选项不在范围内， ∴a的值不可能是8． 故选：D． 8．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（　　） A. 2，4，7 B. 4，8，12 C. 3，7，12 D. 4，10，12 【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；因此此题可根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行求解． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故不符合题意； B、，不能构成三角形，故不符合题意； C、，不能构成三角形，故不符合题意； D、，能构成三角形，故符合题意； 故选D． 9．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）已知三角形三条边的长分别为4，7，，则的值可能是（     ） A. 13 B. 10 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 此题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出x的取值范围． 【详解】 ∵三角形三条边的长分别为4，7，， ∴，即． ∴x的值可能是10． 故选：B． 10．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A. 2，5，8 B. 6，8，15 C. 3，4，7 D. 4，6，5 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，通过验证较短两边之和与最长边的大小关系即可判断能否组成三角形．对每个选项，先确定三条线段中的最长边，再计算另外两条较短边的和，若较短两边之和大于最长边，则能组成三角形；反之则不能． 【详解】 解：根据“三角形任意两边之和大于第三边”，只需验证较短两边之和是否大于最长边： A、最长边为8，较短两边之和为， ∵， ∴不能组成三角形，此选项不符合题意； B、最长边为，较短两边之和为， ∵， ∴不能组成三角形，此选项不符合题意； C、最长边为7，较短两边之和为， ∵，不满足“两边之和大于第三边”， ∴不能组成三角形，此选项不符合题意； D、最长边为6，较短两边之和为， ∵， ∴能组成三角形，此选项符合题意； 故选：D． 11．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】 解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边． A、，不能构成三角形，此项不符题意； B、，不能构成三角形，此项不符题意； C、，能构成三角形，此项符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符题意． 故选：C． 12．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）等腰三角形一边的长为，周长是，则底边的长是（　　） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分类讨论后利用三角形的三边关系检验是解题关键．分为腰或底边两种情况讨论，利用三角形三边关系判断． 【详解】 解：∵等腰三角形周长为，一边长为， 若长的边为腰，则底边为，但，不满足三角形三边关系，故无解； 若长的边为底边，则腰长为，此时三边为，满足三边关系，符合题意． 故选：A． 13．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，推导x的取值范围即可． 【详解】 解：∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ x的取值范围为， 选项D满足， 故选：D． 14．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(     ) A. 甲 B. 乙 C. 甲或乙 D. 甲或乙均不可以 【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】 解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 15．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．明明准备制作一个三角形的风筝，搭风筝骨架时，他已经准备了两条竹篾（mie），长度分别是分米，分米，则第三条竹篾的长度可以是（       ） A. 分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形三边关系，第三条竹篾的长度必须大于已知两边之差（分米），且小于已知两边之和（分米），且不能等于差或和，即可解答． 【详解】 ∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 已知两边长分别为分米和分米， ∴ 第三边满足：，即， A、，不满足，不符合题意； B、，不满足，不符合题意； C、满足，符合题意； D、，不满足，不符合题意． 故选：C． 16．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 已知给出了其中一边长为，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】 解：由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，则另一腰也为，底边为， ∵， ∴边长分别为不能构成三角形； 当底边长为时，腰的长， ∵， ∴边长为，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是． 故选C． 17．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，10 B. 1，4，9 C. 5，12，6 D. 3，4，5 【答案】D 【分析】 根据三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【详解】 解：A、5+5=10，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； B、1+4＜9，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； C、5+6＜12，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； D、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确，符合题意． 故选D． 18．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A. 1，2，3 B. 4；5，6 C. 7，8，16 D. 9，10，20 【答案】B 【分析】 本题主要考查构成三角形的三边的数量关系，掌握其判定方法是解题的关键．根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】 解：、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 19．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】 解：等腰三角形的两条腰相等， ① 当腰为时，三角形的三边为：、、， ，不能构成三角形； ② 当腰为时，三角形的三边为：、、， ，能构成三角形， 三角形的周长为：； 综上，该三角形的周长为． 故选：B． 20．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）下列各组数中，一定不是一个三角形边长的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边逐项判断解答即可. 【详解】 解：因为，当时，，故可能组成三角形，所以A不符合题意； 因为，当时，，故可能组成三角形，所以B不符合题意； 因为，，故可能组成三角形，所以C不符合题意； 因为，则，则，可知一定不能组成三角形，所以D符合题意. 故选：D． 21．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和10，则其周长可能是（       ） A. 15 B. 20 C. 20或25 D. 25 【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分别讨论腰长为5或10的情况，根据构成三角形的条件进行验证求解即可． 【详解】 解：当腰长为5时，则该等腰三角形的三边长分别为5，5，10， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为10时，则该等腰三角形的三边长分别为5，10，10， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为25， 故选：D． 22．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再去绝对值计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出是解决此题的关键． 【详解】 解：一个三角形的三边长分别为2，x，7， ， ， 故选：． 23．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）若△ABC的三边长分别为m－2，2m＋1，8． （1）求m的取值范围； （2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长． 【答案】（1）3＜m＜5；（2）19 【分析】（1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案； （2）利用m的取值范围得出m的值，进而得出答案． 【详解】（1）根据三角形的三边关系， ， 解得：3＜m＜5； （2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4． 所以，△ABC 的周长为：（m−2）＋（2m＋1）＋8＝3m＋7＝3×4＋7＝19． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出不等式组是解题关键． 24．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）鼎是文明的见证，也是文化的载体，早期鼎多为三足设计（如图），其三个足的底部可构成三角形结构．且《史记·淮阴侯列传》有“三分天下，鼎足而居”的说法，也暗含三足形成类似三角形的结构关系，从数学角度看，这其中蕴含的核心原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是理解题意，学会利用三角形稳定性解决问题． 根据三角形具有稳定性解答． 【详解】 解：鼎的三个足的底部可构成三角形结构，这是利用了三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 25．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，第三边长c为奇数，则　　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 根据实数的非负性，三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了实数的非负性，三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴； ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 故答案为：9． 26．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是　　　　　． 【答案】25 【分析】 构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可． 【详解】 解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得（不合题意，舍去）， ②， 解得：， 故答案为：25． 【点睛】 此题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 27．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）已知，，，为的三边长，且满足， （1）求的取值范围； （2）若的周长为18，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式组求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：，，分别为的三边，，， 解得：； (2) 小问详解： 的周长为18，， ， 解得． 28．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）三角形的三边长分别为，和，则的范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】 解：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 得， 解得， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c均为整数． （1）若，，求边长c的取值范围； （2）在（1）的条件下，若c为奇数，求的周长． 【答案】（1）     （2）10或12      【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）由三角形三边关系可得，即可得解； （2）由题意可得或，再分两种情况，结合三角形的周长公式计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵的三边长为a，b，c，且，， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵在（1）的条件下，c为奇数， ∴或， 当时，的周长， 当时，的周长， 综上所述，的周长为10或12． 30．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了非负性，三角形三边关系，根据非负性可以求出，熟练掌握是解题关键 【详解】 解：，，， ，， ． 又a，b，c均为三角形的三边， ． 为整数， ． 的周长为， 故答案为：11． 31．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先利用三角形的三边关系得出，然后根据求绝对值的法则进行化简即可． 【详解】 解：∵是的三条边， ∴， ∴=． 故答案为：． 【点睛】 熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则，是解题的关键，注意，去绝对值后，要先添加括号，再去括号，这样不容易出错． 32．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）若等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的腰长为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 此题考查等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，解题关键在于利用分类讨论的思想方法．此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】 解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是， ∵ ∴能够组成三角形，符合题意； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是， ∵ ∴不能够组成三角形．不符合题意， 故答案为：8． 33．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】 解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 34．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知，，为三角形三条边的长度，化简：． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的定义，整式的加减运算，解题的关键是掌握三角形三边关系．根据三角形三边关系可得，，，再根据绝对值的定义化简绝对值，最后合并同类项，即可求解． 【详解】 解：，，为三角形三条边的长度， ，，， ． 35．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）若等腰三角形的一边长为15，另一边长为8，则此三角形的周长是　　　　　． 【答案】38或31． 【分析】分两种情况考虑：当15为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可． 【详解】当15为等腰三角形的腰长时，8为底边，此时等腰三角形三边长分别为15，15，8，周长为15+15+8=38； 当15为等腰三角形的底边时，腰长为8，此时等腰三角形三边长分别为15，8，8，周长为15+8+8=31， 综上这个等腰三角形的周长为38或31． 故答案为38或31． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 36．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c为偶数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）的周长为9     （2）      【分析】 本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：，， ，即． 又为偶数， ． ． (2) 小问详解： ，， ，． ． 37．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c分别为的三条边． （1）若，，且第三边c的长为奇数，则c的值为　　　　　　　． （2）若，，则b的取值范围为　　　　　　　． 【答案】① 5    ② 【分析】 本题考查了三角形三边关系、解二元一次方程组、求不等式组的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形三边关系，确定第三边c的范围，再结合c为奇数的条件求解； （2）联立等式求出a和c关于b的表达式，再根据三角形三边关系和边长的正负性得到关于b的不等式组，解不等式组即可求解b的取值范围． 【详解】 解：（1）由题意得，，即， ∴， ∵第三边c的长为奇数， ∴； 故答案为：5； （2）联立 ， 解得 ， ∵a，b，c分别为的三条边， ∴ ，即 ， 解得， 故答案为：． 38．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）已知的三边长均为整数，的周长为奇数． （1）若，，求的长； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）7或9     （2）6      【分析】 本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合周长为奇数这一条件确定的具体值． （2）先根据已知条件得出和的奇偶性，再结合三角形三边关系以及周长为奇数的条件确定的最小值． (1) 小问详解： 解：∵ ，，， ∴ ，即， ∵ 的三边长均为整数，周长为奇数，（偶数），（偶数）， ∴ 为奇数， ∴ 或； (2) 小问详解： 解：∵ （奇数），的三边长均为整数， ∴ 与一个是奇数，一个是偶数， ∵为奇数， ∴ 为偶数， ∵，， ∴ ， ∴ 的最小值为6． 39．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）已知，在中，，且，． （1）求a的取值范围； （2）若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 【答案】（1）     （2）44      【分析】 本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的定义，解不等式组，掌握这些知识是关键． （1）由三角形三边的关系列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）由等腰三角形知，或，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定a的值． (1) 小问详解： 解：由题意知： 解得：； (2) 小问详解： 解：∵是等腰三角形，两边长为8，18所以第三边为8或18， 又，， ∴第三边只能为18． 此时周长为． 40．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知a，b，c是的三边长． （1）若a，b，c满足，则的形状是______； （2）化简：． 【答案】（1）等边三角形     （2）      【分析】 本题考查了绝对值的非负性，三角形的三边关系． （1）利用非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分为零，得出边长相等，从而判断三角形形状． （2）根据三角形三边关系，判断各绝对值内的符号，再去绝对值化简． (1) 小问详解： 解：∵ 且 ，且  ∴  且  ∴ 且  ∴ ∴ 是等边三角形 (2) 小问详解： 解：∵ 是  的三边长 ∴，，，且 ，， ∴，故  ，故  ，故  原式  ． 41．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）已知，则的平方根是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】 解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）下列四个图形中，是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形的高的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【详解】 解：A、不是的高，选项不符合题意； B、不是的高，选项不符合题意； C、线段BD是的高，选项符合题意； D、不是的高，选项不符合题意． 故选：C 2．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）在数学课上，同学们在练习画边上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足的连线段叫做三角形的高，据此行求解即可． 【详解】 解：边上的高应该是过B作边的垂线，垂足与点B的连线即为边的高，符合这个条件的是D， 其它选项都不过B点， 故选D． 3．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）如图，是的中线，连接的面积是12，则的面积是（     ） A. 7.5 B. 5 C. 3 D. 2.5 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形中线性质，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 【详解】 解：∵是的中线，的面积是12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴是的中线， ∴， 故选C． 4．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为，则阴影部分的面积是（     ） A.  B.  C.  D. 条件不足，无法求出 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．根据三角形中线，可以知道，，从而计算出答案． 【详解】 解：∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的中点， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，则以为一条高线的三角形共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 根据三角形高线的定义进行判断即可得． 【详解】 解：由，可知是、、、的高线， 即以为一条高线的三角形共有4个， 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形的高线，熟知三角形高线的定义是解题的关键． 6．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，是的中线，点是的中点，若的面积为24cm2，则的面积为（　　） A. 8cm2 B. 6cm2 C. 4cm2 D. 3cm2 【答案】B 【分析】 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可． 【详解】 解：是的边上的中线，的面积为24cm2， 的面积为：（cm2）， 点是的中点， 的面积为：（cm2）， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 7．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）下列命题是真命题的是（     ） A. 同位角相等 B. 三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 C. 相等的角是对顶角 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】B 【分析】 本题考查了真假命题，同位角的概念，三角形的中线的性质，对顶角，以及点到直线的距离的概念，熟练掌握基本知识点是解题的关键． 分别根据同位角的概念，三角形的中线的性质，对顶角，以及点的直线的距离的概念判断即可． 【详解】 解：A、同位角相等需两直线平行，否则不一定相等，∴ A错误，是假命题； B、三角形中线平分底边，且两个小三角形同高，∴ 面积相等，∴ B正确，是真命题； C、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形底角，∴ C错误，是假命题； D、点到直线的距离是垂线段的长度，而非线段本身，∴ D错误，是假命题， 故选：B． 8．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点．若的面积为4，则的面积是（       ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形中线把三角形的面积分成面积相等的两份是解答本题的关键． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两份逐步分析即可解答． 【详解】 解：是的中点，的面积为， ， 是的中点， ， ． 故选：B． 9．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图所示，在四边形中，，点为对角线的中点，记，，，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，据此可推出． 【详解】 解：∵点为对角线的中点， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：B． 10．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 11．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】 解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 12．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，I是BC的中点．下列说法：①；②；③；④其中正确的说法是（     ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②③ 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的高、中线及角平分线，三角形内角和等基本概念与定理，理解这些基本概念并灵活运用是关键；由三角形中线平分三角形的面积可判断① ；利用同角的余角相等的性质可判断② ；利用三角形内角和及角平分线的定义可判定③ ；利用面积相等求得的长，从而可判断④ ； 【详解】 解：∵BE是中线， ∴， ∵I是BC的中点， ∴， ∴ ∴，故① 错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ∵CF是的平分线， ∴， ∵， ∴，故③ 正确； ∵， ∴，故④ 错误， 故正确的有② ③ ； 故选：B． 13．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，中，为中点，延长交于E，且满足；F为上一点，且于点H，下列判断： ①线段是的角平分线； ②与的面积相等： ③线段是的边上的高； ④线段是的边上的中线． 其中正确的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 此题考查三角形的面积和三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的定义，三角形面积公式，是解题关键． ① 根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断② 等底同高的两个三角形的面积相等③ 根据高线的定义进行判断④ 根据中线定义进行判断． 【详解】 ① ∵， ∴平分． ∴是的角平分线， 故① 正确； ② ∵G为中点， ∴， ∴与的面积相等． 故② 正确； ③ ∵， ∴， ∴线段是的边上的高． 故③ 正确； ④ 连接， ∵G为中点， ∴， ∴线段是的边上的中线， 故④ 不正确； ∴正确的个数为3． 故选：B． 14．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，是的中线，、分别为，的中点，若的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的中线性质，由是的中点，可得，由是的中点，可得，，即得，即可求解，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 故选：． 15．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（     ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 不变 D. 先变大后变小 【答案】B 【分析】 本题考查三角形相关知识解决问题，理解题意，将转化为三角形面积关系是解决问题的关键． 利用三角形面积关系，将转化为分析即可得到答案． 【详解】 解：，，在中，， ， 的值固定不变，在点沿自点向点运动（点与点，不重合）过程中，的长度逐渐变小， 在点的运动过程中，的值逐渐变大， 故选：B． 16．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）下列命题中（1）三角形的三条中线的交点到三边距离相等；（2）三角形的三条高在三角形内交于一点；（3）三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点；（4）等腰三角形的角平分线、中线和高重合；（5）一个三角形的内角中，至少有一个不小于60°：（6）三角形的一个外角大于它的任何一个内角．真命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了命题，逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】 解：（1）三角形的三条中线的交点为重心，重心到三边的距离不一定相等（如不等边三角形），故假命题； （2）三角形的三条高的交点为垂心，在钝角三角形中垂心在三角形外部，故假命题； （3）三角形的重心是中线的交点，而三条角平分线的交点是内心，两者不同，故假命题； （4）等腰三角形中，仅顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，但底角的角平分线、中线和高不重合，故假命题； （5）若三角形所有内角均小于，则内角和小于，与三角形内角和定理矛盾，因此至少有一个内角不小于，故真命题； （6）三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和，因此大于任何一个不相邻内角，但外角与相邻内角互补，可能相等或小于（如直角的外角为，等于直角），故假命题； ∴真命题只有（5），个数为． 故选：A． 17．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）如图，在中，，点，，分别是边，，上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有个；④；⑤．其中一定正确结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形重心的性质以及三角形面积计算，依次判断各结论． 【详解】 解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线， 故① 错误； ②线段，，是的三条中线， 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， 即， 设过顶点的高为，则， ， ， 设过顶点的高为，则， ， ， ， 故② 正确； ③根据② 可同理得到：， 故③ 正确； ④， 等底同高的三角形面积相等， 即， ， ， 故④ 正确； ⑤和不一定相等， 不一定等于， 故⑤ 错误； 故答案为：C． 18．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是　　　　．  【答案】 【分析】 此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】 解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）一条线段的重心就是这条线段的　　　　　　　　　　　． 【答案】中点 【分析】 本题考查重心概念．根据题意可知线段的重心即其质量的中心，由于线段均匀，重心位于中点． 【详解】 解：∵在初中几何中，重心是物体质量分布的中心点，对于一条均匀线段，其质量分布对称，∴重心位于线段的中点， 故答案为：中点． 20．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． （1）求的长； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高线与中线的性质，中位线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造中位线． （1）根据的周长比的周长大1，可得的长度比的长度大1，由此可求解； （2）作辅助线构造中位线，由中位线的性质可求解的长度并得到垂直关系，由此可求解． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大1， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：取中点记作点，连接，如图， ∵点为中点，点为中点， ∴，且， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 21．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到按此规律，倍长2次后得到的的面积为　　　　　　　． 【答案】49 【分析】 连接，根据等底等高的三角形面积相等，可得，同理，从而可得答案． 【详解】 解：连接，根据等底等高的三角形面积相等，    的面积都相等， ∴， 同理 ∵的面积为1， ∴的面积为49． 故答案为：49 【点睛】 本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键． 22．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，根据三角形中线平分三角形面积可推出的面积，再根据三角形面积计算公式即可求出答案． 【详解】 解：∵为的中线，的面积为32， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）在中，，分别是，的高，，，，． （1）求的长． （2）若是的中点，连接，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高，三角形的中线，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用等面积法求解即可； （2）先求出的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解． (1) 小问详解： 解：，， ， 在中，，分别是，的高，， ，即， ； (2) 小问详解： ，， ， 是的中点， ． 24．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是　　　　　　　　． 【答案】60 【分析】 本题主要考查了三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：① 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；② 两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边之比． 首先根据三角形的中线的特征，以及两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出△ABC的面积． 【详解】 解： E是的中点，， ，， ，， ， ， 的面积； 故答案为：． 25．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3． （1）边BC的取值范围是               ； （2）△ABD与△ACD的周长之差为 ； （3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）根据三角形中线将△ABD与△ACD的周长之差转换为和的差即可得出答案； （3）设AC边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】 解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵△ABD的周长为， △ACD的周长为， ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴， ∴-()=， 故答案为：； （3）设AC边上的高为， 根据题意得：, 即， 解得． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 26．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，在中，是中线，是高，且，，． （1）_____； （2）求和的周长差． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： (2) 小问详解： 解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 27．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形中线将三角形的面积平分，可逐步求得，，． 【详解】 解：是上的中线，的面积是40， ， 是上的中线， ， 是的中点， ． 故答案为：5． 28．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，在中，是边上的高，已知． （1）请画出边上的高； （2）求的长． 【答案】（1） 如图，线段即为边上的高．      （2）      【分析】 本题考查了三角形高的画法及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用“同一三角形面积相等”的等积法，通过已知底和高求出面积，再反求未知高的长度． （1）根据三角形高的定义，过点C作边的垂线，垂足为E，线段即为边上的高； （2）先以为底、为高计算的面积，再以为底、为高，结合面积相等列方程求解的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 29．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． （1）如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； （2）如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； （3）如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】（1）3     （2）     （3）      【分析】 本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． (1) 小问详解： ∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； (2) 小问详解： ∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； (3) 小问详解： ∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 30．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，是的中线，是的中线． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）20     （2）8      【分析】 本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线等分线段，等分面积． （1）由是的中线，得到，再结合的周长，，即可得到的周长； （2）由三角形中线的性质可得，，易得，即，最后再求的面积即可． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 (2) 小问详解： 解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， ， 又， ， ， 的面积是． 31．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． （1）若，求的度数； （2）若的面积为15，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 32．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，是的中线，点在边上，，连接交于点．若（注：表示的面积），则　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形的中线、三角形的等分点等知识点，灵活运用三角形中线的定义成为解题的关键． 先根据三角形的中线、三角形的等分点求得、，设，进而求得、，最后代入计算即可． 【详解】 解∶∵是的中线，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∴． 故答案为2． 33．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图，D是的边上一点，，E，F分别是线段，的中点，若的面积为8，则的面积为 　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据三角形中线得出，再分别求得、，从而可求得、，再求得即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵点F是中点， ∴． 故答案为：2． 34．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，中，点是上一点，，点是的中点，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形中线求面积，数形结合，得到是解决问题的关键． 由题中点是上一点，，点是的中点，得到相关三角形面积关系，设，，，得到，再由，即可得到，再由求解即可得到答案． 【详解】 解：连接，如图所示： 点是的中点， ，， ， ， 点是上一点，， ，， ， ， 设，，， ， 则， ， ， 即， ， ， 则， 故答案为：． 35．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和是180°是解题的关键．根据三角形三个内角的和是计算即可． 【详解】 解：一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是， 故选：C． 2．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查角的和差运算，互余关系及互余的性质；由及，得，再由互余关系即可求解． 【详解】 解：由题意知：， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年八上·安徽合肥蜀山区·期中）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 (     　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 根据三角形的内角和等于180°分别求出各小题中的最大角的度数，即可得解． 【详解】 解：①∵∠A＋∠B＝∠C， ∴∠A＋∠B＋∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， 故正确； ②∵∠A：∠B：∠C＝1：5：6， ∴最大角∠C＝180°×＝90°， 故正确； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， 故正确； ④∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＋∠B＋∠C＝∠C＋∠C＋∠C＝2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， 故正确； 综上所述，是直角三角形的是① ② ③ ④共4个． 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并求出各小题中最大角的度数是解题的关键． 4．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形内角和定理和一元一次方程的应用及三角形的分类，熟练掌握知识点是解题的关键，根据三个内角的比值，结合三角形内角和定理建立方程，求出三个内角的度数后判定． 【详解】 解：设三角形三个内角的度数为，根据题意， 得， 解得：， ， 因此三角形是直角三角形， 故答案为：B． 5．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，在和中，若，，，且边始终在直线上方，则下列结论中错误的是（     ） A.  B.  C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 此题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质等知识，根据直角三角形两锐角互余，平行线的性质逐项求解判断即可． 【详解】 A．∵ ∴ ∴，故A正确； B． ，故B正确； C．∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故C正确； D． ∵， ∴故D错误； 故选：D． 6．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）满足下列条件的中，是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形内角和定理以及直角三角形的判定条件，熟记三角形的内角和为以及直角三角形的判定条件是有一个角为是解本题的关键． 由三角形内角和为，求得三角形的每一个内角，即根据每一个选项给出的比例关系，从而求解出四个选项中所给的每个三角形的内角度数，最后根据直角三角形进行判断即可． 【详解】 A：∵， ∴ ∴ ∴． ∴不是直角三角形，故A选项不符合题意； B：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴不是直角三角形，故B选项不符合题意； C：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是直角三角形，故C选项符合题意； D：∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的分类，判断三角形是否为直角三角形，通过代入内角和公式或设未知数求解各角度数，判断是否有角即可． 【详解】 A、∵，且，∴，∴，是直角三角形； B、设，则，∴，，是直角三角形； C、由，三角形内角可知，，该三角形为钝角三角形，不是直角三角形 D、设，则，则，即，∴，是直角三角形， 故选：C． 8．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）在中，，则的形状是（     ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意设，利用三角形内角和为列方程求出每个角的度数，判断三角形形状即可． 【详解】 解：∵， ∴设， 则， ， ， 则的形状是直角三角形， 故选：B． 9．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）在中，符合下列条件但不能判定它是直角三角形的是（     ） A.  B. ，，的度数之比是 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理解决此题． 【详解】 解：A、根据三角形内角和定理，由，得，那么是直角三角形，故A不符合题意． B、根据三角形内角和定理，由，，的度数之比是，得，那么是直角三角形，故B不符合题意． C、根据三角形内角和定理，由，得，求得，那么不是直角三角形，故C符合题意． D、根据三角形内角和定理，由，得，求得，那么是直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理、直角三角形的定义等知识点，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 根据直角三角形的判定方法以及三角形内角和定理逐个判定即可． 【详解】 解：① 因为，则，即，所以是直角三角形； ② 因为，设，则，解得：，则，所以是直角三角形； ③ 因为，即，则，所以是直角三角形； ④ 因为，则，解得：，所以是直角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有① ② ③ ④ ，共4个． 故选：D． 11．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DEAB，则∠ADE的度数为（　　） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】B 【分析】 根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】 解：∵∠B＝40°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝110°， 由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC， ∵DEAB， ∴∠BAE＝∠E＝30°， ∴∠CAD＝40°， ∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，求从观测、两处的视角的度数（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了方位角的识别与三角形内角和定理的应用，解题的关键是利用南北方向的平行关系求出三角形的一个内角，再结合方位角求出另一个内角，最后用三角形内角和为计算目标角．先根据A处的方位角求出；再利用南北方向平行的性质，结合B处的方位角求出；最后根据三角形内角和定理，用减去和，得出的度数． 【详解】 解：设A处的正南方向为射线，B处的正北方向为射线， ∵ 南北方向互相平行， ∴ ∵ B在A的南偏西， ∴ ； ∵ C在A的南偏东， ∴ ； ∴ ∵ ， ∴ ； ∵ C在B的北偏东， ∴ ； ∴ ∵ 三角形内角和为， ∴ 故选：D． 13．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）已知：在中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中： ①，；②；③；④．其中能判断是直角三角形的条件为（     ） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理（）判断每个条件是否能使一个角等于，从而确定是否为直角三角形。 【详解】 解：∵三角形内角和为， 对于条件①：设，则，， ∴，解得， ∴，故是直角三角形。 对于条件②：设， ∴，解得， ∴，故不是直角三角形。 对于条件③：设，则， ∴，解得， ∴，故不是直角三角形。 对于条件④：，代入内角和：， ∴，解得， 故是直角三角形。 ∴能判断是直角三角形的条件为① ④ ， 故选：B． 14．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，若，则的角度为（       ） A.  B. 10° C. 11° D. 13° 【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、直角三角形两锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识是解题关键． 首先根据三角形角平分线的定义确定的值，再根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余可得，然后由求解即可． 【详解】 解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 故选C． 15．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A.  B.  C. ° D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理及角平分线定义是解题的关键． 运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题． 【详解】 解：如图， ∵在中，°，且， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 16．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）在中，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理得出，先求出，进一步即可得出． 【详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，根据“倍角三角形”的定义，倍角α是被倍角β的2倍，已知三角形中有一个内角为，且，需分类讨论可能扮演的角色：可能是倍角α、被倍角β或第三个角，通过计算三角形内角和，结合的条件，排除无效情况． 【详解】 解：设倍角为α，被倍角为β，则， ∵三角形内角和为， 若是倍角α，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是被倍角β，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是第三个角，则， 又， 代入得，即， 解得，不符合的条件，故排除； 因此，倍角α的度数为或， 故答案为：或， 18．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）在中，是边上的高，且，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了几何图中角度的计算，分两种情况：当高在的内部时；当高在的外部时，分别计算即可得解，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：如图，当高在的内部时， ， ∵，， ∴； 如图，当高在的外部时， ， ∵，， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 19．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）如图，在中，于点，平分交于点，，． （1）求的度数； （2）探究：小明认为不需要知道和的度数，只知道，其他条件不变，也能得出的度数．你认为可以吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）能，      【分析】 此题考查了和角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）由三角形内角和定理和角平分线得到，然后表示出，进而求解即可． (1) 小问详解： ， ． 平分， ． 于点， ． ． ； (2) 小问详解： 能．理由如下： ， ． 平分， ． ， ． ． ． ， ． 20．（25-26学年八上·安徽合肥第三十八中学·期中）如图，中，是上的高，平分，，则　　　　　　　　　度． 【答案】10 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵平分， ∴．， ∵是上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 21．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，则的度数为　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理．由题意得，，，再根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴故答案为：． 22．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． （1）如图1：若，，为边上的高，求的度数； （2）如图2：若且．求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ．      【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据三角形的高的定义得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴ (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为　　　；的度数为　　　．  【答案】① 76度    ② 52度 【分析】 先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，可得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键． 24．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图，在中，，，平分，是边上的高．求 （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的高线，角的平分线，三角形内角和定理，直角三角形的性质，正确理解概念是解题的关键． （1）根据，结合三角形内角和定理得结合角的平分线解答即可． （2）根据高线的定义，得到，结合解答即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵平分， ∴． (2) 小问详解： 解：根据高线的定义，得到， ∵， ∴， ∴． 25．（25-26学年八上·安徽合肥·期中）（多选）如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【分析】 根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】 考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 26．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． （1）如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； （2）如图2，若，，，，求的度数； （3）如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （2）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （3）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵和的角平分线交于点M， ∴，， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 27．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，分别是的高线和角平分线，若，，求和的度数． 【答案】 ； 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质以及三角形的角平分线和高，熟练掌握“三角形内角和是”是解题的关键．先利用三角形内角和定理，求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是的高线，结合三角形外角性质，即可求出的度数． 【详解】 解：在中， ∵， ∴    ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵是的高线 ∴为直角三角形 ∴. 28．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． （1）如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． （2）【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平角的定义；；     （2）      【分析】 本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角的定义；； (2) 小问详解： 解：如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 29．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】 沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下： “如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】 如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】 如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：； 继续探究：不变；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 深度探究： 【分析】 问题变式：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 继续探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 深度探究：由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】 解：问题变式：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 是的一个外角， ， ， ∴， ； 继续探究：略 深度探究：在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 30．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为度，则顶角为　　　　　度． 【答案】或或 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】 解：① 如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ② 如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵是边上的高 ∴， ∴， ∴ 综上所述：顶角为：或． 故答案为或. 31．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则　　　　　　　　 ． 【答案】度 【分析】 此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】 解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点．平分，交的平分线于点，与相交于点，过点作交的延长线于点． （1）若，，则_____，_____． （2）若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含的代数式表示）． （3）若，试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）114；24     （2），     （3） 解：，证明如下： 依题意，设，， 在中， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即． ∴．      【分析】 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数； （3）先理解题意，设，，在中，，因为平分，得，根据，得，又因为，所以，即，整理得，即可作答． (1) 小问详解： 解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ∵ ∴， 在中，； (3) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，分在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：当在内部时，如图： ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 当在外部时，如图： 则：； 故答案为：或． 34．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）若的面积为，，求线段的长度． 【答案】（1）73°     （2）3      【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，， ； (2) 小问详解： 解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 35．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 36．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． 【答案】（1）的度数为；     （2）的长为．      【分析】 （1）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数； （2）由已知可得，可得，结合与的周长之间的关系，即可得的长． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长比的周长小， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，高的定义及角平分线的定义，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用以上知识点是解题的关键．利用“友爱三角形”的定义，根据，，结合，求出的度数，由高的定义及角平分线的定义即可解答． 【详解】 解：∵与互为“友爱角”，且， ∴， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 39．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． （1）如图1，延长，交于点，若，，求的度数． （2）如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． （3）如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：．理由： 由八字模型可得，和中， ．      （3） 解：．理由： 由四边形的内角和得， ． 【分析】 （1）根据平行线的性质得，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，根据垂直定义得，根据直角三角形锐角性质得，根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得； （2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查四边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 根据三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到两个三角形纸片，则一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形三角形外角的性质，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可． 【详解】 解：根据图形可知：，，， ∵相当于的外角， ∴，故不符合题意，D符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图是工地常用的“人”字架，已知，则（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的外角定理，邻补角互补，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 先根据邻补角互补求出的度数，再由三角形的外角定理得到，即可求解． 【详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年八上·安徽铜陵第十五中学·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 【详解】 解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年八上·安徽淮南东部地区·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】 解：由图可知，， ， ． 故选：C． 6．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）以下列各组数为长度的线段，能构成直角三角形的是（     ） A. ，， B.  C. ，，1 D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理，判断各组数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】 解：A：最大边为，，∴ 不能构成直角三角形； B：最大边为，，∴ 不能构成直角三角形； C：最大边为，，∴ 能构成直角三角形； D：最大边为，，∴ 不能构成直角三角形． 故选：C． 7．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）如图，，点在的延长线上，连接．若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】 解：，， ， ， ， 故选：B． 8．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】 解：如图， ， ． 故选：． 9．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，和是的两个外角，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，根据三角形的内角和定理得到，再根据外角的定义，求出的度数即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故选A． 10．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】 解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 11．（25-26学年八上·安徽宣城·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、对顶角相等、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和． 结合三角板的特征得到，，，再由是的外角、是的外角即可得解． 【详解】 解：如下图： 三角板是等腰直角三角形，三角板是含角的直角三角形， ，，， 是的外角，与是对顶角， ， 是的外角， ． 故选：． 12．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，点到数轴的距离为1，，则数轴上点所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查数轴上的点与实数的对应关系、勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理求出的长度，则长度可知，再结合点A的位置计算点C表示的数即可． 【详解】 解：由数轴可知，点A表示的数是，点B到数轴的距离为，且其在数轴上的垂足对应的数是， ∴， ∵， ∴； 点A表示的数是，点C在点A的右侧， ∴点C表示的数为． 故选：C． 13．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）给出以下4个命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③互为相反数的两个数和为0；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、垂线的性质、相反数的性质及三角形外角的性质． 根据平行线的性质、垂线的判定、相反数的性质及三角形外角的性质逐一判断即可． 【详解】 解：∵①两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时内错角才相等，否则不一定相等，①是假命题； ∵②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，②是假命题； ∵③互为相反数的两个数相加和为0，这是相反数的定义，③是真命题； ∵④三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，但不一定大于相邻的内角，④是假命题； ∴真命题的个数为1． 故选：A． 14．（25-26学年八上·安徽合肥高新区·期中）如图，中，，．若、分别是的高和角平分线，且交点为O，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，求出，，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 15．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A. 282° B. 180° C. 258° D. 360° 【答案】C 【分析】 先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】 如图， ∵∠1、∠2是△CDE的外角， ∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C， 即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝78°+180°＝258°． 故选C． 【点睛】 此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 16．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，外角的平分线交的延长线于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 根据角平分线的定义可得，再根据，得出，先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断② 正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论① 即可判断② 正确；根据角平分线定义和结论① 即可判断③ 正确；假设④正确，从而可得，再根据结论① 可得，由此即可判断④ 错误． 【详解】 解：∵平分为外角的平分线， ， ， ， 平分， ， ，故② 正确； ∴， 故③ 正确； 又 ∵， ， ∴，结论① 正确； 假设， 解得， ∴，由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④ 错误； 故① ② ③ 正确，共3个， 故选：C． 17．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，…依次进行下去，与的平分线相交于点，要使的度数小于，则的最小值为（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，利用角平分线的定义和三角形外角的性质可推出，进而推出，则，据此求出n的取出范围即可得到答案． 【详解】 解：是的平分线，是的平分线， ，， ， 同理，， ， ， …… ， 当时，则， ， 又∵n为正整数， 即最小值为7． 故选：C． 18．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）下列命题中，是假命题的是（     ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】D 【分析】 本题考查了判断命题真假，根据平行线的判定、平行公理、补角的性质以及三角形外角的性质逐一分析选项，判断命题的真假即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：A、同旁内角互补，两直线平行，这是平行线的判定定理之一，正确，是真命题，故不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，符合平行公理，正确，是真命题，故不符合题意； C、若两个角相等，则它们的补角均为减去该角，必然相等，正确，是真命题，故不符合题意； D、三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和，因此外角仅大于不相邻的任意一个内角，而非“任何一个内角”（如相邻的内角可能更大），此命题未限定条件，错误，是假命题，符合题意； 故选：D． 19．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断① ；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断② ；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定③ ；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断④ ，即可得出结论． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故② 是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故③ 是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故④ 是真命题； ∴真命题的个数是3． 故选：C． 【点睛】 本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 【详解】 解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故选：C． 21．（25-26学年八上·安徽安庆·期中）如图在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F，②2∠BEF＝∠BAF+∠C，③∠F＝∠BAC﹣∠C，④∠BED＝∠ABE+∠C，其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】① 根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD＝∠BGH，证明结论正确； ② 根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③ 证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据① 的结论，判断出错误； ④ 根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F，故①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正确； ③ ∵∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，故③错误； ④∵∠BED＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠EBC， ∴∠BED＝∠ABE+∠C，故④正确， ∴正确的有① ② ④，共三个， 故选：D． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，灵活运用有关性质求解是解题关键． 22．（25-26学年八上·安徽宿州部分学校·期中）如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： （1）线段的长为_____，的长为______； （2）请连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；     （2） 解：是直角三角形， 理由如下：连接， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴为直角三角形．      【分析】 本题主要考查网格与勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据网格与勾股定理计算即可； （2）运用勾股定理逆定理计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ∴长为，的长为， 故答案为：， (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．先根据三角形内角和求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质，求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24．（25-26学年八上·安徽淮南·期中）如图，平分的外角，且交的延长线于点．若，，求的度数； 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．先根据三角形外角的性质得出，再根据角平分线定义得出，最后根据三角形外角性质求出结果即可． 【详解】 解：∵，， ∴根据三角形外角的性质可得： ， 平分， ， ． 25．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）如图，在中，D是边上一点，，，，求的度数？ 【答案】40° 【分析】 设，再用x表示出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，进而可得出x的值，由此得出结论． 【详解】 解：设，则． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，三角形外角性质，解题的关键设出未知数，根据三角形内角和列出方程． 26．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，，即可求解． 【详解】 解：∵，分别是的一个外角， ∴，． ∵， ，， ∴． 27．（25-26学年八上·安徽合肥五十中学·期中）如图，在中，点在边上． （1）若，，求的度数； （2）若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，再由三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义可得，则可由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长． 28．（25-26学年八上·安徽蚌埠·期中）如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 【答案】， 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再利用三角形的外角的性质可知，再由高的定义得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴． 29．（25-26学年八上·安徽淮北·期中）已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． （1）如图1，求证：． （2）如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） 证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴；     （2） ① 结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②， 证明：∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴．      【分析】 本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 30．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E． （1）若∠A=40°，∠BDC=60°，求∠BED的度数； （2）若∠A-∠ABD=20°，∠EDC=65° ，求∠A的度数． 【答案】（1）140°；（2）35° 【分析】 （1）由外角的性质可得，由角平分线的性质可得，由平行线的性质即可求解； （2）由外角的性质和角平分线的性质可得，再由，即可求出的度数． 【详解】 解：（1），，， ， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，外角的性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题． 31．（25-26学年八上·安徽安庆石化第一中学·期中）如图1，，点A、B分别在上运动（不与点O重合）． （1）若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则__________． ②猜想：的度数是否随点A、B的移动发生变化，并说明理由． （2）如图2，若将“”改为“（）”， ，其余条件不变，__________（直接用含、n的代数式表示的度数）． 【答案】（1）①； ②的度数不变，理由如下：                                         设， 平分， ， ， ， 平分， ， ；     （2）      【分析】 此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）① 根据题意得到，再根据角平分线定义得，由即可解答；② 设，则，求出，再根据角平分线的定义求出解答； （2）设，根据题意得到，，由，求出，即可解答． (1) 小问详解： 解：①，是的外角， ， 平分、平分， ， ， ② 略 (2) 小问详解： 解：设， ， ， ， ， ， ， ． 32．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． （1）与的数量关系是_________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵、分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵为外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴． 33．（25-26学年八上·安徽芜湖第二中学·期中）综合实践 【问题情境】 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程： 在中，根据三角形内角和为，则①______． 由于，分别是，的平分线， 所以，． 所以． 因为， 所以③______． 在中，根据三角形内角和为，有④______． 【问题探究】 （2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点． 求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则_____． 【答案】（1）；；；； （2）证明：∵，， ∴ ∵外角，的平分线交于点， ∴， ∴ ∴； （3）或或或． 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线得出，进而求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质同（1）求解即可； （3）首先求出，得到，然后分4种情况分别求解即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ① 当时， ∴； ② 当时， ∴； ∴； ③ 当时， ∴ ∴； ④ 当时， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或或或． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练应用各性质定理． 34．（25-26学年八上·安徽马鞍山第八初级中学·期中）已知：在中，平分，、相交于点， （1）如图①，若，，，求的大小． （2）如图②，若平分，且，求的大小． （3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角的性质： （1）根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后利用三角形的内角和定理解题即可； （2）先利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理得到，再根据解题即可； （3）利用三角形的外角和角平分线的定义用与表示，然后根据三角形的内角和定理推到即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， 即， 解得：． 35．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角定理，根据三角形外角定理可得，，再结合，即可求得的度数． 【详解】 解：∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵， ∴，        ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（25-26学年八上·安徽六安第九中学·期中）在中是角平分线，点D在边上（不与点A、B重合），、交于点O． （1）若是中线，，，则与的周长差为          ； （2）若，是高，求的度数； （3）若，是角平分线，求的度数． 【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键． （1）根据中线定义得，根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差； （2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案； （3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数． (1) 小问详解： 解：是中线， ． ，， 的周长，的周长为． ． 故答案为：1． (2) 小问详解： 解：是的高， ． ，是的角平分线， ． ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． (3) 小问详解： 解：， ． ，是的角平分线， ，． ． ． 37．（25-26学年八上·安徽合肥第四十二中学·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，，相交于点． （1）若，，，求的度数； （2）若且，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和外角． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据三角形的内角和定理求出即可解答； （2）根据三角形外角可得，结合，得到，然后根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ； (2) 小问详解： 解：，， ， 又，， ， 又， ， ∴． 38．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在中，于点，是的平分线，交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】 解：在中，，， ∴， ∵于点，是的平分线， ∴， ∴． 39．（25-26学年八上·安徽安庆第四中学·期中）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D． （1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F． ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）∠AOC＝∠ODC，理由：∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC）， ∵∠OBC＝∠ABC， ∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC， ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠ODC＝90°+∠OBD， ∴∠AOC＝∠ODC； （2）① 证明：∵BF平分∠ABE， ∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO， ∵∠ODB＝90°﹣∠OBD， ∴∠FBE＝∠ODB， ∴BF∥OD； ②70° 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到∠OAC＋∠OCA＝（180°−∠ABC），∠OBC＝∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC＝90°＋∠OBC，∠ODC＝90°＋∠OBD，于是得到结论； （2）① 由角平分线的性质得到∠EBF＝90°−∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB＝90°−∠OBD，于是得到结论；② 由角平分线的性质得到∠FBE＝（∠BAC＋∠ACB），∠FCB＝ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）① 略 ② ∵BF平分∠ABE， ∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC+∠ACB）， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴∠FCB＝∠ACB， ∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC， ∵∠F＝35°， ∴∠BAC＝2∠F＝70°． 【点睛】 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 40．（25-26学年八上·安徽池州部分学校·期中）已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB． （1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C； （2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，且分别与AB、CD相交于点M、N．若∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数； （3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，且分别与AB、CD相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC．请直接写出∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵∠AOC是△AOD、△BOC的外角， ∴∠AOC＝∠A＋∠D，∠AOC＝∠B＋∠C， ∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．     （2）30°     （3）∠A＋2∠C＝3∠E      【分析】 （1）根据三角形外角的性质可得∠AOC＝∠A＋∠D、∠AOC＝∠B＋∠C，再运用等量代换即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE、∠ABE＝∠CBE，设∠ADE＝∠CDE＝α，∠ABE＝∠CBE＝β，根据（1）的方法可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE、∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，即∠A＋α＝∠E＋β、∠C＋β＝∠E＋α，然后消去β、α即可； （3）由三等分线的定义可得∠CDE＝∠ADC、∠CBE＝∠ABC，设∠CDE＝α，∠CBE＝β,则 ∠ADE＝2α、∠ABE＝2β，由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE、∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE，即∠A＋2α＝∠E＋2β，∠C＋β＝∠E＋α，然后消去β、α即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵DE、BE为角平分线， ∴∠ADE＝∠CDE、∠ABE＝∠CBE 设∠ADE＝∠CDE＝α，∠ABE＝∠CBE＝β. 由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE， ∴∠A＋α＝∠E＋β，∠C＋β＝∠E＋α， ∴∠A＋∠C＝2∠E， ∵∠A＝28°，∠C＝32°， ∴∠E＝30°． (3) 小问详解： 解： ∵DE、BE为三等分线， ∴∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC 设∠CDE＝α，∠CBE＝β,则 ∠ADE＝2α、∠ABE＝2β 由(1)的结论可得∠A＋∠ADE＝∠E＋∠ABE，∠C＋∠CBE＝∠E＋∠CDE， ∴∠A＋2α＝∠E＋2β，∠C＋β＝∠E＋α， ∴∠A-∠E＝2(β-α), ∠E-∠C＝β-α ∴2（∠E-∠C）=∠A-∠E ∴∠A＋2∠C＝3∠E． 【点睛】 本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用将三角形外角的性质是解题的关键． 41．（25-26学年八上·安徽安庆外国语学校·期中）如图，，CF平分，GE平分交FC的延长线于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长交于点，先根据角平分线的定义可设，，则，，整理可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】 解：如图，延长交于点． 由题意设，． 则有 ． ①②，得． ， ． ， ． 42．（25-26学年八·安徽滁州部分学校·期中）如图，在中，分别平分为外角的平分线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：平分为外角的平分线， ，， 是的外角，是的外角 ，， ， 即， 化简得：．     （2） ，理由如下： 平分， ， 在中，， 即：， 在中，， ， 即， 由（1）可知， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形内角和： （1）利用角平分线的定义得到，，再利用三角形外角的性质推导出角的数量关系，再对数量关系化简即可； （2）根据角平分线的定义得到，再结合（1）的结论，在，中用三角形内角和定理推导即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又∵， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再结合运用三角形外角的性质即可解答； （2）设，则，易得、，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得：． ． 44．（25-26学年八上·安徽合肥第四十五中学·期中）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动． （1）如图2，点C为三条内角平分线交点，连接、，在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （2）如图3，在（1）的条件下，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q． ①与的数量关系为____． ②在中，如果有一个角是另一个角的2倍，求的度数． 【答案】（1）不变，     （2）①；②或      【分析】 （1）由的和不变可知度数不变； （2）① 利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用∠BAO和∠P表示出∠MBP，据此可得结果； ② 设为度，可用表示三个内角，分类讨论可得答案． (1) 小问详解： 解：的度数不变，理由如下： 点为三条内角平分线交点， ，， ， ， ， ， ， 即的度数不变； (2) 小问详解： 解：①点为三条内角平分线交点， ，， ∴， 为的角平分线， ， ∴， ， ， 整理得：； ② 设，则，， 为的角平分线， ， ，点为三条内角平分线交点， ，， ， ， 中有一个角是另一个角的2倍，分四种情况： （1），则， 解得，此时， （2），则， 解得，此时， （3），则， 解得，此时， （4），则， 解得，故舍去， 中有一个角是另一个角的2倍，为或． 【点睛】 本题主要考查三角形外角的性质，三角形内角和，角平分线，一元一次方程等知识点，是一道较综合的题目，难点是表示三个内角分类讨论． 45．（25-26学年八上·安徽芜湖·期中）如图1，为的高，平分，． （1）的值为　　　　　　　　　　　； （2）在图1的基础上，如图2所示，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，则　　　　　　　　　　　． 【答案】① 2    ② .度 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，可得，再求得，由此可解； （2）根据，设，由此可表示三角形中的角，再根据三角形的内角为计算即可． 【详解】 解：（1）在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）连接，记与的交点为O，如图， 设， ∵，且， ∴，解得, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，即， 在中， ， ∴的度数为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $