2.3 二次函数的图象与性质（第3课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质）（教学课件）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的图象与性质，通过回顾\(y=ax^2\)的开口方向、对称轴等性质表格导入，搭建新旧知识支架，引导学生理解平移关系及相关重点。 其亮点是通过操作填表、对比画图培养几何直观与推理意识，如探究\(y=2x^2+1\)与\(y=2x^2\)的平移规律，用表格和口诀总结性质。助力学生发展数学思维，教师可高效开展教学。

2.3 二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数 y=ax2+k的图象与性质 第二章 二次函数 二次函数y = ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 对称性 顶点和最值 增减性 开口向上 开口向下 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 二次函数y = ax2的图象与性质： |a|越大，抛物线的开口越小； |a|越小，抛物线的开口越大。 导入新课 学 习 目 标 1 2 3 会画二次函y=ax2+k的图象，理解其与 y=ax2图象的上下平移关系（重点） 掌y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值（重点） 理解k对抛物线位置的影响，体会“上加下减”的平移规律（难点） 新知探究 操作 · 思考 画二次函数 y = 2x2 + 1的图象。 （1）完成下表 8 2 0 2 8 9 3 1 3 9 18 19 18 19 你能发现 2x2 与 2x2 +1 的值有什么关系？ -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x （2）在图中，画出函y = 2x2 + 1的图象。 对于任意相同的自变量x，2x²+1的值始终比 2x²的值大1 y=2x2 · · · · · y =2x2+1 新知探究 -4 -2 O 2 4 10 8 6 4 2 -2 y x y=2x2 操作 · 思考 （3）二次函数 y = 2x2 + 1的图象与二次函数  y = 2x2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？ 它的对称轴和顶点坐标分别是什么？ （4）当  x取哪些值时， y的值随着  x  值的增大而 增大？当  x  取哪些值时， y的值随着  x值的增大而减小？ y =2x2+1 形状大小都相同，只是位置不同。 轴对称图形 y轴 (0,1) 左降 右升 在对称轴的左侧(x ＜0 ),随着的增大而减小. 在对称轴的右侧(x＞0),随着的增大而增大. 新知探究 尝试 · 思考 二次函数y = 2x2 - 2的图象是什么形状？它与二次函数y = 2x2 的图象有什么关系？ 抛物线 形状大小都相同，只是位置不同。 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2－2 请画出它的图象，它的图象有什么特点？ 01 开口方向 开口向上 02 对称轴 y轴 03 顶点坐标 坐标原点(0,-2) 04 增减性 对称轴左侧（x<0）：y 随 x 的增大而减小； 对称轴右侧（x>0）：y 随 x 的增大而增大。 左降 右升 新知探究 观察下列函数图象，它们的图象有什么相同之处和不同之处？ 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－2 开口方向、开口大小、对称轴都相同。 位置不同，顶点位置变了 y = 2x2＋1 y = 2x2 向上平移1单位长度 y = 2x2-2 y = 2x2 向下平移2单位长度 y = 2x2 再观察，看它们图象有没有什么联系？ 新知探究 思考 · 交流 根据刚才的分析，思考二次函数y=ax2+k的图象是什么形状？其中的 k 对图象有什么影响？ 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－2 y = 2x2 ①二次函数y=ax2+k的图象是一条以y轴为对称轴的抛物线 y = ax2＋k y = ax2 向上平移| k|单位长度 y = ax2+k y = ax2 向下平移| k|单位长度 k > 0 k 0 ②口诀：k决定上下平移，常数项上加下减 新知探究 二次函数 y = ax2 + k 的性质 y = ax2+k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = 0 直线 x = 0 (0,k) (0,k) 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小； x＜0时，y随 x 的增大而增大. 总结归纳 基础巩固题 新知应用 1.关于二次函数 ，下列说法错误的是( ) C A.函数的最大值为1 B.图象与轴的交点坐标为 C.当时，的值随 值的增大而减小 D.图象的对称轴是 轴 2.关于二次函数y=5+1，下列说法正确的是（　　） A．它的开口方向向下 B．对称轴是直线x=1 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是1 D a左升右降 x=0 向上 a左降右升 基础巩固题 新知应用 3.抛物线和共有的特征是（    ） A．开口向上 B．都有最高点 C．对称轴都是y轴 D．顶点都是原点 C 4.若二次函数 的图象开口向上，则m的取值范围为___________． m 2m-4 基础巩固题 新知应用 5.若函数 为二次函数，且当 时，y随x的增大而增大，则m=______． -7 6.对于二次函数y＝－x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1＝y2 D.无法比较 B 开口向下 当x＞0时，y随x增大而减小. m+3 m=-7或m=2 基础巩固题 新知应用 7.抛物线y=3x²+7 可以由抛物线 y=3x² 向______平移______个单位得到。 8.把抛物线y=2x²向______平移_____个单位长度，就得到抛物线y=2x²-6. 9.把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线. 向上 7 向下 6 向上 6 基础巩固题 新知应用 10.二次函数y = 3x²的图象与二次函数y = 3x² 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画图看一看。 开口方向、开口大小、对称轴都相同。 位置不同，顶点位置变了 开口方向 开口向上 对称轴 y轴 顶点坐标 坐标原点(0, ) 基础巩固题 新知应用 11.二次函数 y = -2x2 的图象与二次函数 y = -2x2 +的图象有什么关系？ 开口方向、开口大小、对称轴都相同。 位置不同，顶点位置变了 能力提升题 新知应用 12.请你写出顶点坐标为（0,1），且开口方向、形状均与函数 的图象相同的抛物线的解析式：____________. +1 13.已知二次函数，当时， 的取值范围 为( ) C A. B. C. D. 图象法 能力提升题 新知应用 14.如图，抛物线与轴交于， 两点， 与轴交于点，四边形 为平行四边形。 （1）求，， 三点的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点 ，求平移后 抛物线的函数表达式。 解：在中，令，则；令，则 ， 解得， 。 所以，， 。 能力提升题 新知应用 14.如图，抛物线与轴交于， 两点， 与轴交于点，四边形 为平行四边形。 （2）若抛物线向上平移后恰好经过点 ，求平移后 抛物线的函数表达式。 解：易知 ， 因为四边形 是平行四边形， 所以， 。 因为 ， 所以 。 设平移后抛物线的函数表达式为 ， 则 ， 解得 ， 所以平移后抛物线的函数表达式为 。 课堂小结 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. a左降右升 a左升右降 平移规律： k为正，向上平移； k为负，向下平移. 感谢聆听! $