2.4 确定二次函数的表达式 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用待定系数法确定二次函数表达式”，通过回顾一次函数待定系数法的步骤，搭建知识迁移支架，引导学生从已知两点求一次函数过渡到用一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式。 其亮点在于以蔬菜大棚抛物线、运动员踢球等真实情境激发数学眼光，通过三种方法的分类教学培养数学思维，规范步骤总结强化数学语言。实例丰富且分层，助力学生提升问题解决能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第二章 二次函数 2.4 确定二次函数的表达式 鲁教版（五四制）九年级上册 学习目标 学习重难点 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. 会用待定系数法求二次函数的解析式. 难点 重点 1.会用待定系数法求二次函数的解析式. 2.会根据待定系数法解决二次函数的相关问题. 回顾复习 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？ 2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写解析式） 如图，某农户搭建了一个蔬菜大棚，其棚顶的横截面为抛物线的一段(曲线AOB)。它的拱宽AB为6m，拱高CO为0.9m。试建立适当的平面直角坐标系，写出这段抛物线所对应的二次函数的表达式。 4 如图，以线段AB的垂直平分线为y轴，以过点O且垂直于y轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系。这时，棚顶的横截面所成抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，所以可设它的函数表达式为y=ax²(a≠0)。 5 因为AB与y轴交于点C，所以CB==3(m)。 因为CO=0.9m，所以点B的坐标为（-3，-0.9）。 因为点B在这段抛物线上，将它的坐标代入①， 得-0.9=a×3²， 所以a=-01。 因此，这段抛物线所对应的二次函数约表达式是y=-0.1x²(-3≤x≤3)。 6 (1)课本例1还有没有其他解法交流。 (2)如果二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为(h，k)，那么这个二次函数的表达式可表示成什么形式呢? 思考·交流 7 知识点1 一般式法求二次函数的解析式 探究新知 例1 如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，得关于a，b，c的三元一次方程组， ∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5. 解得 3.解方程组 1.设一般式 2.坐标代入 4.写出解析式 a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7, a=2, b=-3, c=5, 8 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数解析式为 y=ax2+bx+c； ②将三个点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组； ③解方程组得到 a，b，c 的值； ④把待定系数换掉，写出函数解析式. 总结 9 知识点2 顶点法求二次函数的解析式 例2 已知二次函数的顶点是 (-2，1) 且过点 (1，-8)，求二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式是 y=a(x-h)2+k， 把顶点(-2，1) 的坐标代入 y=a(x-h)2+k ，得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）的坐标代入上式，得 a(1+2)2+1= -8， 解得 a=-1. 故所求二次函数的解析式是 y=-(x+2)2+1 或 y=-x2-4x-3. 已知顶点，一般设顶点式. 已知抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数的解析式是 y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数解析式. 总结 知识点3 交点法求二次函数的解析式 例3 已知二次函数的最小值为-4，它的图象经过点(-2，0)与(6，0)，求这个二次函数的解析式. 解：因为(-2，0)，(6，0) 是抛物线 y=ax2+bx+c 与x 轴的交点， 所以可设这个二次函数的解析式是 y=a(x+2)(x-6)=ax2-4ax-12a. 故所求二次函数的解析式是 因为函数的最小值为-4 ， 解得 利用抛物线与 x 轴的交点，求解析式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数解析式是 y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标 x1, x2 代入解析式中，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入，求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数解析式. 总结 用待定系数法求二次函数解析式的技巧： 1.若已知抛物线上三点坐标(x1，y1),(x2，y2),(x3，y3), 则设一般式y＝ax2＋bx＋c; 2.若已知抛物线的顶点(h,k)或者对称轴x=h， 则设顶点式 y=a(x-h)2+k; 3.若已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）， 则设交点式y=a(x-x1)(x-x2). 总结 1. 已知,由下表可知与 之间的函数关系式 是( ) 0 1 1 8 3 A A. B. C. D. 课堂练习 15 （第2题） 2. 运动员将足球沿与地面成 一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作 是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面 的高度（单位： ）与足球被踢出后经过的时 B A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 间（单位：）近似满足函数关系 . 如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可 推断出足球飞行到最高点时，最接近的时间 是( ) 16 3. 若抛物线的顶点为，且经过点 关于原点的对称点 ，则抛物线的表达式为( ) D A. B. C. D. 17 4. 已知抛物线 的对称轴为直线 ,最大值为3，且过点 ，则此抛物线的表达式为 ___________________. （第5题） 5. 二次函数 的图象经过 点，且顶点在直线 上，则 二次函数的表达式为__________________ ________________. 或 18 6. 如图，抛物线对应的函数表达式可能是( ) D A. B. C. D. 19 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于点，，顶点坐标为 . 抛物线交轴于点， ，顶点坐 标为 . （1）连接,则线段 的长为___； 3 【点拨】由题意可得， ， 20 （2）点在抛物线上，点在抛物线 上， 比较大小：___（填“ ”“ ”或“=”）. 21 8. 如果抛物线经过点和 ，且 与轴交于点，若 ，则这条抛物线的表达式是( ) D A. B. 或 C. D. 或 22 9. 已知抛物线 上部 分点的横坐标和纵坐标 的对应值如下表： … 0 1 3 4 5 … … … 根据上表，下列判断正确的是( ) D A. 该抛物线开口向上 B. 该抛物线的对称轴是直线 C. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D. 该抛物线一定经过点 23 10. [江苏省南通市中考] 在平面直角坐标系 中，五 个点的坐标分别为,,,, .若 抛物线 经过上述五个点中的三个点， 则满足题意的 的值不可能为( ) C A. B. C. D. 24 【点拨】由题意得抛物线 的对称 轴为直线，,，,关于对称轴 对称. 点， 同时在抛物线上，或同时不在抛物线上.当点 ，，在抛物线上时，将, 代入得 解得 .当 25 时，， 点在抛物线 上，故抛 物线同时经过，， 三点；当 ，，三点在抛物线 上时，把 ,代入得 解得 .当时，， 点 在抛物线 上，故抛物线 同时过，，三点；当，， 三点在抛物线上时，把 , 代入得 解得 .当时， 点 在抛物线上， 抛物线 同时过，，三点；当，， 三点在抛物线上时，将 ， 代入得， 解得 .当时，， 点 ，， 不能同时在抛物线上.综上所述，抛物线 能同时经过三个点有，， ； ，，；，，，且的值分别是,,. 的值不可能为 .故选C . 11. 如图，一段抛 物线： ，记为 ，它与轴交于点，；将绕点 旋转 得，交轴于点；将 绕点 6 076或6 077 旋转 得，交轴于点； ，如此进行下去，直 至得，若点在第2 026段抛物线 上，则 ______________. 30 【点拨】 , 图象与轴的交点坐标为, , 将绕点旋转 得 ,交 轴于点,, ； 同理可得, , , , 第2段抛物 线的表达式为,当 时, 31 ,解得, , 点,在第2段抛物线 上.易 知第2 026段抛物线可以看作抛物线 向右平移 （个）单位长度 得到的,此时点, 对应的坐标为 ,, 的值为6 076或 6 077. 12. 如图，二次函数 的图象经过点，，与轴正半轴交于点 ，连接 ， . 33 （1）求二次函数的表达式. 【解】， . ， ， ， . 由题可得二次函数的表达式为 ，将点 的坐标代入，得,解得 . 二次函数的表达式为 . 34 （2）若轴上有一点从出发，沿 轴正方向平移，平 移距离为，是否存在点使得 是等腰三角形？ 若存在，请求出 的值；若不存在,请说明理由. 35 存在. 在中， . 由题意可知平移后的点的坐标为 , . 36 分三种情况讨论: 当时， , 解得或 ; 当时， , .易知此时 ，，解得 ; 37 当时，在 中, , , 即 , 解得，与 矛盾，舍去. 综上所述，存在点，使得是等腰三角形， 的值为 或 或3. 38 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 $