4.5.1 函数的零点与方程的解（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 4.5.1 函数的零点与方程的解 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 求函数的零点 1.A 2.ABC 3.C 4.1 颗型02 判断零点所在区间 5.D 6.A 7.B 8.B 9.B 题型03 根据零点所在区间求参数（范围） 10.A 11.D 12.B 13.4 14.1 15.3;4 颗型04 根据函数存在零点求参数范围 16.A 17.(-18,-4-V2) 题型05 直接法判断函数零点或方程根的个数 19.B 20.D 21.A 22.log23 颗型06 数形结合法判断函数零点或方程根的个数 23.D 24.C 25.2 题型07 根据零点个数求参数范围 26.D 27.B 28.D 29.B 30 -3 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型08 比较函数零点的大小 31.B 32.B 33.D 34.D 35.ACD 颗型09 函数与方程的综合问题 36.B 37.AC 38.(0,1) 39.13 40.(-0,-1)U{0} B组 能力进阶 1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.ABD 10.BD 11.4 12.(1,2] 133 14.【答案】(1)-1和3：(2) 当k<0时，方程f()=k无实根： 当k=0或k>4时，方程f(x)=k有2个实根： 当0<k<4时，方程f(x)=k有4个实根： 当k=4时，方程有3个实根. (3)x+x2+x3+x4=4 【详解】(1)解方程f(x)=0,即x2-2x-3=0, 解得x=-1或x=3, 所以，函数y=f()的零点为-1和3： (2)则函数y=f(x)=x2-2x-3到的图象如下图所示 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4 3 t- -51-4-31-2-10 12.345元 -1 2 -4--- 人3 ------- -1--1--- --r-9--1--下- -4 -5 方程f(x)=k的解的个数等于函数y=k和y=f(x)图象的交点个数，如下图所示： 75 4 5-4-3-2-10 12.345x 当k<0时，方程f(x)=k无实根： 当k=0或k>4时，方程f()=k有2个实根： 当0<k<4时，方程∫()=k有4个实根： 当k=4时，方程有3个实根 (3)由图象可知，函数y=(x)的图象关于直线x=1对称， 因此X+x2+x3+x4=4 1-21,x>0 15.【答案】(1)f(x)= 0,x=0 ；(2） 2+-1,x<0（-1,0)U(0,1) 【详解】(1)设x>0,则-x<0, 所以f(-x)=21-1 又f(x)是定义在R上的奇函数 所以f(x)=-f(-x)=1-21 318 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又f(0)=0, [1-2,x>0 所以f(x)={0,x=0 21-1,x<0 1-21,x>0 (2)由(1)知：f(x)= 0,x=0 其图象如图所示： 2+1-1,x<0 yf(x) 关于x的方程f(x)=1有2个不相等的实数根， 由图象知： -l<t<1,且t≠0， 所以实数t的取值范围是(~l,0U(0,) 16.【答案】(19：(2(-0，-)U(0,+0):《3)当k<0时，方程无实数解：当0≤k≤1时，方程有一个实数解： 当k>1时，方程有两个实数解。 【详解】(1)因为f(-3)=23-1=7,f(2)=log24=2, 所以f(-3)+f(2)=9: (2)当x≥-1时，1og2(x+2)>1→x+2>2→x>0,而x≥-1，所以x>0: 当x<-1时，2-1>1→2>2→-x>1→x<-1, 综上：x<-1或x>0 所以原不等式的解集为(-o,-l)U(0,+∞)： 3)当<时.f=2-1 -1单调减，所以有f(x)>f(-1)=1' 所以此时函数的值域(L,+o)； 当x≥-1时，f(x)=1og,(c+2)单调递增，所以有f(x)≥f(-1)=0, 所以此时函数的值域0，+o), 所以函数f(x)的图象如下图所示： 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=f(x) y=k -10 所以当k<0时，方程无实数解； 当0≤k≤1时，方程有一个实数解： 当k>1时，方程有两个实数解 n【客1。-2”4：，：3+25 【详解】(1)因为a>0且a≠1a>0,则f(x)的定义域为R,又f(x)为奇函数， 则r@=。0.得。-2所以)=12异-多品 22-1 则)片号-，所以=2满足题， 又+1>1所以2<2名<0，则1<12<1，所以西数f付的值城为( ②白④如)=1品由小相到品号 2 整理得到2>5，解得x>10g,5,所以不等式f()>3的解集为(1og5,+w) ③因为8（创-2”-） 令g的=0：2-2名-0，意理得到2产-你-2+m0, 又函数g(x)=2-mf(x)在区间(-∞，2]上有两个不同的零点，所以x∈(-0,2]时，方程 22x-(m-1)2+m=0有两个不等根， 令1=2，得到-(m-1)1+m=0,又1=2在区间(-0,2]上单调递增，所以t=2∈(0,4]， 则-(m-)r+m=0在t∈(0,4]上有两个不等根， △=(m-1)2-4m>0 0<m-1<4 ，则 2 ,解得 h(0)=m>0 h(t)=t2-(m-1)t+m h(4)=16-4(m-1)+m≥0 3+2W2<m≤20 3 所以实数的取值范围为3+2√2,3一 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18【省案】412：2@(：2(， 【详解】(1)~f(x)=1og,(2+)-2x,由f(2)<0,得log,(4+)-4<0,即log,(4+)<4 「4+1>0 4+1<16解得4<1<12 t的取值范围为(4,12). (2)①x,x为f(x)的零点，且x<x, “f(,)=0有两个不相等的实根，即1og,(2+）=2x有两个不相等的实根 1og,(2+)=2x,即2+1=2，解得1=(2)-2 设m=2,m∈(0，+o）,则函数y=t与y=m2-m,m∈(0，+o)的图象有两个不同的交点 函数y=m2-m在(0，+o∞)上的图象，如图所示： y=m2-m 4 17 当m0,2时， 1 当m=2时，y=m2-m取到最小值，即ym=一4 ~函数y=t与y=m-m,m∈(0，+∞)的图象有两个不同的交点 ②由0可知x,为f)的零点，且2-2-1=0：0<2<<25<1，且1（年0 2+25=1,2.25=2+=-t,x<-1<x2<0 .x+x2=l0g2（-t) ..f(x)=log2(2*+t)-2x,g(x)=f(x)+x, 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .g(x)=log2（2*+t)-x :g(x+1)+g(32-)=1og2(21+1)-x-1+log2(251+)-x+1 =ee2n+g+* =e22+22*+号-r-6+s） =ee+-2月-e,o) =e321- 又(2-25-t=0 g6+0g-0=e32-1+2-2产）e2+2-） -06. g-+号s方-1ek+sk-- ∴8(：+1)+g(:-)的取值范围为(-∞，-) C组 思维拔高 1.c 2.A 3.±5 4【答案】仙4=，B=:包4EB,正明见解折：创}≤a 3 -4 【详解】(1)令f)=4x+3=x,可得x=-1,故A={-1: 令f(4x+3)=4(4x+3)+3=x,可得x=-1,故B=-1。 (2)证明如下： 法一：由题意，不动点为f(x)与y=x的交点横坐标，稳定点为ffx)与y=x的交点横坐标， 若f(田与y=x有交点，则横纵坐标相等，则f)=f)=x,所以AcB. 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法二：x∈A,则有f(x)=x,因此ffx》=f)=x,所以x∈B, 所以ASB」 (3)由A=B≠0，则： 令f()=axr2+1=x,即a2-x+1=0有实根， 当a=0时，x=1,则A=B=符合题设： 当a≠0时，A=1-4a≥0：可得a≤4 令ffx》=a(ar2+1)2+1=x,即ax4+2a2x2-x+a+1=0有实根， 所以(ax2-x+10(a2x2+ax+a+)=0, 因为A=B,则a2x2+acr+a+1=0无实根，或有与ar2-x+1=0相同的实根， 当a2x2+ax+a+1=0无实根，有△=a2-4a(a+)<0且a2≠0， 3 可得a>-4且a≠0： 当a2x2+ax+a+1=0与ax2-x+1=0有公共实根x时， 由ax2-x+1=0可得ax2=x-1,即a2x2=ax-a, 1 所以2a+1=0则x=2a 11 3 代入am2-x+1=0得：4a2a +1=0,可得a=- 4 1 综上， sa-4 拓展 链接高考 1.B 2.C 3.B 4.(4,+0） 5.[l,] 6.（-o,0)u(0,1)u(1,+∞）7. [10,+o) 818 分层作业 4.5.1 函数的零点与方程的解 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 求函数的零点 题型02 判断零点所在区间（常考点） 题型03 根据零点所在区间求参数（范围）（重点） 题型04 根据函数存在零点求参数范围（重点） 题型05 直接法判断函数零点或方程根的个数 题型06 数形结合法判断函数零点或方程根的个数（重点） 题型07 根据零点个数求参数范围（重点） 题型08 比较函数零点的大小 题型09 函数与方程的综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 求函数的零点题型01 1．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 3．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 判断零点所在区间题型02 5．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川眉山·开学考试）函数 的零点所在的一个区间是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 根据零点所在区间求参数（范围）题型03 10．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 14．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 15．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 根据函数存在零点求参数范围题型04 16．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 18．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是__________. 直接法判断函数零点或方程根的个数题型05 19．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 22．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 数形结合法判断函数零点或方程根的个数题型06 23．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 25．方程的解的个数为__. 根据零点个数求参数范围题型07 26．（24-25高二下·贵州遵义·阶段检测）已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知函数，若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______． 比较函数零点的大小题型08 31．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 35．（多选）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 函数与方程的综合问题题型09 36．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 38．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 39．（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 40．（25-26高一下·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数的零点为，若，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） 4．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）设函数，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 11．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 12．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________. 13．（23-24高三上·山东德州·期末）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是__________． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 15．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 16．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)讨论方程的实数解个数. 17．（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 1.【跨学科问题】11．（25-26高一上·河南焦作·期末）伯努利原理是流体力学中的基本定律之一，其数学表达式为，其中为压强（单位：帕斯卡），为密度（单位：千克每立方米），为重力加速度（取米每二次方秒），为常数（单位：帕斯卡），为速度（单位：米每秒），为高度（单位：米）.现对某液体增压，使其在空中匀速下降，此时，，为运动时间（单位：秒）.若当运动时间为秒时，在时，函数有且仅有个零点，则该液体密度的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．【数形结合】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法不正确的是（   ） A．若函数有四个零点，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为4个 3．【数学抽象】（25-26高一上·安徽安庆·期末）定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 4．【新定义问题】（25-26高一上·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 3．（2017·山东·高考真题）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 5．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________． 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 7．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.5.1 函数的零点与方程的解 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 求函数的零点 题型02 判断零点所在区间（常考点） 题型03 根据零点所在区间求参数（范围）（重点） 题型04 根据函数存在零点求参数范围（重点） 题型05 直接法判断函数零点或方程根的个数 题型06 数形结合法判断函数零点或方程根的个数（重点） 题型07 根据零点个数求参数范围（重点） 题型08 比较函数零点的大小 题型09 函数与方程的综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 求函数的零点题型01 1．（25-26高一上·辽宁·期中）已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【详解】当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 2．（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 【答案】ABC 【详解】A，令，解得，得函数的零点为1和-1，A正确； B，令，解得或，定义域为或， 令，解得或，即函数的零点为和1，B正确； C，的定义域为，令，解得， 即函数的零点为1和-1，C正确； D，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点， 故不存在零点. 3．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 判断零点所在区间题型02 5．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 7．（25-26高一下·四川眉山·开学考试）函数 的零点所在的一个区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】结合选项可知，因为函数和在均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又， ， ， 所以函数的零点在区间上. 8．（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在定义域上连续，且为增函数， 又， ， 故函数的零点在区间内. 9．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 根据零点所在区间求参数（范围）题型03 10．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 11．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 12．（25-26高一上·河南信阳·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 14．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 15．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知函数的零点为．若，则的值是______；若函数的零点为，则的值是______． 【答案】 【详解】（1）因为， ，所以， 由零点存在性定理可知，存在，使得. 又因为在定义域内单调增，所以零点唯一. 综上可知，. （2）由题可知， 即，于是可得. 所以， 所以，. 显然在定义域上单调增. 所以，即. 根据函数存在零点求参数范围题型04 16．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 17．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 18．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，，在区间上不存在零点，不合题意. 当时，函数是一次函数，若在区间上存在零点， 则. 因为，， 所以， 解得， 因此，实数的取值范围为. 直接法判断函数零点或方程根的个数题型05 19．（25-26高一下·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 20．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 21．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 22．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 数形结合法判断函数零点或方程根的个数题型06 23．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 24．方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 【答案】C 【详解】由方程，得，设函数与， 画出与的图象有两个交点， 故方程的实数解的个数为2个. 25．方程的解的个数为__. 【答案】2 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 根据零点个数求参数范围题型07 26．（24-25高二下·贵州遵义·阶段检测）已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递增， 由函数在内有唯一零点，得，解得， 所以实数b的取值范围是. 故选：D 27．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 作出函数的图象和直线，如图， 由题意函数的图象与直线有两个交点， 由图象知， 故选：B. 28．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得到，令，因为的零点个数为， 则与的图象有个交点， 当时，，易知在区间上单调递增，又时，，且，所以当时，， 当时，，作出的图象，其图象如图所示， 由图知，. 29．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，解得，又，所以， 则是函数的一个零点，由，解得， 要使得有两个不同的零点，则． 30．已知函数，若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】解法1：构造两个函数和，画出它们的图象， 当与相切时，，即， 若函数在区间上有两个不同的零点，即两个函数和区间上有两个交点， 且直线斜率，所以， 当直线过点，把代入，解得， 由数形结合思想知两图象要有两个不同交点，则． 故答案为：. 解法2：分离参数，函数在区间上有两个不同的零点， 因为当时，，所以不是函数零点， 所以，令， 结合图象可知，当，函数单调递增；当，函数单调递减； 所以当时，函数取最大值；当时，函数值， 函数在区间上有两个不同的零点， 即函数与直线在区间上有两个不同的交点， 所以可知． 比较函数零点的大小题型08 31．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 32．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 33．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得， 所以函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 画函数与函数图象， 如图所示： 结合图象，得， 故选：D 34．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 35．（多选）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标， 通过上面函数图象可得：， 而，即， 所以，，正确，错误； 故选：ACD 函数与方程的综合问题题型09 36．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分段函数：， ：开口向上抛物线，对称轴，最小值 ； ：指数函数，单调递减，值域； 要存在使 ， 直线 需与两段曲线交于三点，因此， 是抛物线部分的两个交点，关于对称轴对称， 由韦达定理知：；由图得 ， 因此总和：， 当时，此时，则， 此时，即. 当时，此时，则， 综上所述，，即的取值范围为. 37．（多选）（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．函数在上单调递减 C．函数的零点之积为 D．方程最多有3个实数根 【答案】AC 【详解】时，令，即，则， 当时，令，即，得或，故有3个零点，A正确， 当时，为开口向下的二次函数，且对称轴为，此时在单调递减，当时，，此时在单调递减，但，因此在上不是单调递减，B错误， 由于有3个零点，分别为或或，结合，故有3个零点，分别为，故的零点之积为，C正确， 作出的大致图像如下，当时，此时有四个交点，故有四个实数根，由于，故也有四个实数根，D错误. 38．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数图象：    因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点， 即a的取值范围是. 故答案为： 39．（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 40．（25-26高一下·上海·期中）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 1．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数的零点为，若，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 根据对数函数的性质可知在上单调递增， 又， ， 所以， 根据函数的零点的判定定理可得：函数的零点所在的区间是， 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出分段函数的图象如下： 结合图象可知，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是. 4．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 5．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设，则，即， 所以，解得，所以， 由可得， 作出函数与的图象如图所示： 由图可知，函数与有且只有三个交点， 故函数的零点个数为. 6．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 7．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 8．（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 9．（多选）（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 10．（多选）（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）设函数，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 【答案】BD 【详解】对于A，代入可得，故A错误； 对于B，若，由，解得或，满足; 若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确； 对于C，由，得，而二次函数的对称轴为, 当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误； 对于D，当时，的零点即为的零点， 当时，由，解得，满足; 当时，由，解得,满足， 所以的零点之和为，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 12．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】已知， 在、上递增，在上递减， 且在上值域为，在上值域为， 可得函数图象大致如下， 由图象得时，有三个不同的零点. 故答案为： 13．（23-24高三上·山东德州·期末）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设， 显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令−2x+6=−1，解得x=72， 显然它在和以及的交点和之间， 故， 所以， 故答案为： ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3；(2) 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． (3)． 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 15．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设，则， 所以， 又是定义在R上的奇函数， 所以， 又， 所以； （2）由（1）知：，其图象如图所示： 关于x的方程有2个不相等的实数根， 由图象知： ，且， 所以实数的取值范围是. 16．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)讨论方程的实数解个数. 【答案】(1)9；(2)；(3)当时，方程无实数解；当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个实数解. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）当时，，而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为； （3）当时，单调减，所以有， 所以此时函数的值域； 当时，单调递增，所以有， 所以此时函数的值域， 所以函数的图象如下图所示： 所以当时，方程无实数解； 当时，方程有一个实数解； 当时，方程有两个实数解. 17．（25-26高一下·广东梅州·阶段检测）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)①；② 【详解】（1），由，得，即 ，解得 的取值范围为. （2）①为的零点，且， 有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根 ，即，解得 设，则函数与的图象有两个不同的交点 函数在上的图象，如图所示： 当时，函数单调递减，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，取到最小值，即 函数与的图象有两个不同的交点 ②由①可知为的零点，且，， 且 ，， ，， 又 ，， ，即 的取值范围为 1.【跨学科问题】11．（25-26高一上·河南焦作·期末）伯努利原理是流体力学中的基本定律之一，其数学表达式为，其中为压强（单位：帕斯卡），为密度（单位：千克每立方米），为重力加速度（取米每二次方秒），为常数（单位：帕斯卡），为速度（单位：米每秒），为高度（单位：米）.现对某液体增压，使其在空中匀速下降，此时，，为运动时间（单位：秒）.若当运动时间为秒时，在时，函数有且仅有个零点，则该液体密度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件知此时，且， 注意到， 易知函数在时单调递减， 由零点存在定理知，可得. 故选：C. 2．【数形结合】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法不正确的是（   ） A．若函数有四个零点，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为4个 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，即， 所以函数关于对称， 当时，， ∴函数的大致图象如图， 令，则为方程的解， 所以且，即， 则，得， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且，∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减， ∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点，     当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或， 则或或或，得或或或， 故函数有4个零点，D选项正确． 3．【数学抽象】（25-26高一上·安徽安庆·期末）定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 【答案】 【详解】令，则，解得， 令，得，解得， 所以， 由得或， 所以或（舍）， 解得， 故答案为：. 4．【新定义问题】（25-26高一上·福建泉州·期中）对于函数，若存在，使得，则称为函数的”不动点”;若存在，使得，则称为函数的”稳定点”.记函数的”不动点”和”稳定点”的集合分别为A和B，即 (1)若函数，求A和B； (2)请探究集合A和B的关系，并证明你的结论； (3)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)，证明见解析；(3) 【详解】（1）令，可得，故； 令，可得，故. （2）证明如下： 法一：由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等，则，所以. 法二：，则有，因此，所以， 所以. （3）由，则： 令，即有实根， 当时，，则符合题设； 当时，，可得. 令，即有实根， 所以， 因为，则无实根，或有与相同的实根， 当无实根，有且， 可得且； 当与有公共实根时， 由可得，即， 所以，则， 代入得：，可得. 综上，. 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 3．（2017·山东·高考真题）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B. 4．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 5．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________． 【答案】 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 7．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $