4.5.1函数的零点与方程的解课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过“基础落实”“素能提升”分层设计，以函数零点定义及判定为起点，逐步深化至参数综合应用，强化数学抽象与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|零点定义、存在性定理、简单方程求解|多选题辨析概念（第1题）、图象判断零点（第2题），夯实抽象能力与几何直观| |素能提升|零点与参数综合、分段函数零点、证明推理|抽象函数零点比较（第10题）、含参零点个数讨论（第11题），发展推理能力与模型观念|

4.5.1　函数的零点与方程的解 一、基础落实 1.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0) B.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1 C.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的公共点 D.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标 2.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　) 3.函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在区间是(　　) A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 4.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间为(　　) x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A.(-1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(1,2) 5.已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 6.若函数f(x)=2x--a存在一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,3) B.(-3,3) C.[-3,3] D.(-3,0) 7.方程x+ln x=3的解的个数为　　　　　　　.  8.若方程|3x-1|=k只有一个解,则实数k的取值范围为　　　　　.  9.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1. (1)当m为何值时,函数f(x)有两个零点、一个零点、无零点? (2)若函数f(x)恰有一个零点为0,求m的值. 二、素能提升 10.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2的零点为α,β,其中a<b,α<β,则a,b,α,β的大小关系为(　　) A.α<a<b<β B.a<α<β<b C.a<α<b<β D.α<a<β<b 11.(2025·广西南宁模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m的零点个数为3或4,则m的取值范围为(　　) A.[2,4] B.[2,6)∪{1} C.(0,1)∪{2} D.(0,1]∪[2,4] 12.(多选题)已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=-1 B.x3x4=1 C.1<x4<2 D.0<x1x2x3x4<1 13.已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点为　　　　　　　.  14.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则实数k的取值范围是　　　　　.  15.设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-. (1)求证:函数g(x)有两个零点; (2)证明函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 参考答案 一、基础落实 1.BD 解析:根据函数零点的定义,可知f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1.函数f(x)的零点就是函数f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.故选BD. 2.A 解析:B,C,D中图象均与x轴有公共点,故对应函数均有零点,A中图象与x轴没有公共点,故对应函数没有零点. 3.C 解析:∵f(x)=ln x+2x-6在区间(0,+∞)上单调递增,∴f(x)最多有一个零点. 又f(2)=ln 2+2×2-6=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+2×3-6=ln 3>0, ∴f(2)·f(3)<0,∴f(x)的零点在区间(2,3)内. 故选C. 4.D 解析:由题中表格内的数据可知f(-1)≈0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)≈2.72-3=-0.28<0,f(2)≈7.39-4=3.39>0,f(3)≈20.09-5=15.09>0,所以f(1)f(2)<0.又f(x)的图象是连续不断的曲线,所以由函数零点存在定理可知f(x)的一个零点所在的区间为(1,2). 5.C 解析:当x<1时,函数f(x)有一个零点x=.当x≥1时,令2x2-ax=0,得x=(x=0舍去).要使函数f(x)有两个不同的零点,只需≥1,解得a≥2. 6.A 解析:由题意知f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 若f(x)存在一个零点在区间(1,2)内,则f(1)=-a<0,f(2)=3-a>0,所以0<a<3.故选A. 7.1 解析:(方法一)由x+ln x=3,得ln x=3-x. 在同一平面直角坐标系中,分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示. 由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,故原方程只有一个解. (方法二)由x+ln x=3,得x-3+ln x=0. 设f(x)=x-3+ln x,可知f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.又f(2)=-1+ln 2=ln<0,f(3)=ln 3>0, 所以f(x)只有一个零点,且该零点在区间(2,3)内, 所以原方程只有一个解. 8.{0}∪[1,+∞) 解析:作出y=|3x-1|的图象如图所示.由图知当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,即方程|3x-1|=k只有一个解.故k的取值范围为{0}∪[1,+∞). 9.解:(1)令f(x)=-3x2+2x-m+1=0,则Δ=4+12(1-m)=16-12m. 若f(x)有两个零点,则Δ>0,即m<. 若f(x)有一个零点,则Δ=0,即m=. 若f(x)无零点,则Δ<0,即m>. 故当m<时,函数f(x)有两个零点; 当m=时,函数f(x)有一个零点; 当m>时,函数f(x)无零点. (2)由题意知0是方程-3x2+2x-m+1=0的根,故有1-m=0,解得m=1. 二、素能提升 10.A 解析:函数f(x)的图象可由函数g(x)=(x-a)(x-b)的图象向下平移2个单位长度得到,g(x)的零点为a,b. 作出函数f(x),g(x)的大致图象如图所示. 由图可知α<a<b<β. 故选A. 11.D 解析:根据题意,作出f(x)的图象,如图所示. 函数g(x)=f(x)-m的零点个数等于函数f(x)与y=m的图象的公共点个数,结合图象可知,当0<m≤1或2≤m≤4时,函数f(x)与y=m的图象的公共点个数为3或4.故m的取值范围为(0,1]∪[2,4].故选D. 12.BCD 解析:画出函数f(x)的图象如图所示,可知x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,则x3x4=1,故A中结论错误,B中结论正确. 由图可知1<x4<2,故C中结论正确.因为-2<x1<-1,x1x2=x1(-2-x1)=--2x1=-(x1+1)2+1∈(0,1),所以x1x2x3x4=x1x2∈(0,1),故D中结论正确. 13.-8,2 解析:当x≤0时,令y=f(x)-3=-3=0,解得x=-8. 当x>0时,y=f(x)-3=x+log2x-3在区间(0,+∞)上单调递增,且当x=2时,y=0, 故y=f(x)-3在区间(0,+∞)上有且仅有一个零点2. 综上所述,函数y=f(x)-3的零点为-8,2. 14.(,1) 解析:画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,由图可知<k<1. 15.证明:(1)∵g(1)=a+b+c=-, ∴3a+2b+2c=0,∴c=-a-b. ∴g(x)=ax2+bx-a-b, ∴Δ=b2-4a=(2a+b)2+2a2. ∵a>0,∴Δ>0恒成立,故函数g(x)有两个零点. (2)由题意得g(0)=c,g(2)=4a+2b+c, 又由(1)知3a+2b+2c=0,∴g(2)=a-c. 当c>0时,有g(0)>0,又a>0, ∴g(1)=-<0,则函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 当c≤0时,g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a-c>0, ∴函数g(x)在区间(1,2)内有一个零点. 综上,可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 6 学科网（北京）股份有限公司 $