4.5.3 函数模型的应用（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

4.5 4.5.3 函数模型的应用 题型一：利用给定函数模型解决实际问题 1.（25-26高三上·河北保定·阶段练习）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 2.（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3.（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 4.（25-26高三上·北京顺义·开学考试）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 题型二：指数型函数模型的应用 1.（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 2.（24-25高一下·湖北荆门·期末）规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·黑龙江·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么要消除一半的污染物需要花的时间大约是（    ）（参考数据：） A．22 B．24 C．26 D．28 4.（21-22高二上·陕西渭南·阶段练习）已知某电子产品电池充满电时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品满电量待机时开启A模式，并在5小时后切换为B模式，若要使该电子产品至少保留5%的电量，则总待机时长最大约为（    ）（参考数据：） A．7.7小时 B．8.3小时 C．10.3小时 D．11.3小时 题型三:对数函数模型的应用 1.（24-25高二下·广东汕头·期末）音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（   ） A．（单位：） B．学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 2.（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3.（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（   ） A． B． C． D． 4.（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 题型四：建立拟合函数模型解决实际问题 1.（23-24高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·全国·单元测试）某网店新年礼盒促销，其中四款礼盒的价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%．在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型一：对数的运算、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 1.（24-25高二下·福建福州·期末）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A．64 B．65 C．66 D．67 2.（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 3.（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 4.（2024·内蒙古包头·三模）冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（    ） A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 题型二：指数幂的运算、利用给定函数模型解决实际问题 1.（24-25高三上·黑龙江·期末）已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·北京西城·期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 3.（2025·福建漳州·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，，若在前5h内消除了的污染物，则15h后污染物含量还剩余（ ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·河北·阶段练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据与小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6，则其视力的小数记录法的数据约为（    ）（参考数据：） A．0.5 B．0.4 C．0.7 D．0.6 题型三:对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用 1.（24-25高二上·广西贵港·期末）冈珀茨模型（）由冈珀茨提出，作为动物种群生长模型，可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型，（，当时表示2024年初的种群数量），经过年后，当该物种的种群数量不足2024年初种群数量的10%时即将有濒临灭绝的危险，则的最小值为（）（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 2.（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．27h B．27.5h C．28h D．28.5h 3.（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 4.（22-23高三上·云南·期中）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期（增加一倍所需的时间）为21个月，则100只野兔增长到100万只野兔需要（    ）个月.（记，） A． B． C． D． 题型四：分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 1.（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 2.（多选题）（22-23高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 3.（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·河南信阳·期末）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．140 D．180 1.（24-25高一上·广东深圳·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ） A．600 B．700 C．800 D．900 2.（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（    ） A．12件 B．24件 C．36件 D．40件 3.（24-25高一上·安徽阜阳·期末）某科研单位与企业合作，为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备.在清除过程中，产品中某杂质含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系满足:(为杂质含量的初始值，k为常数).已知经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，则经过3 h，产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是（    ） A．32% B．28% C．25% D．21% 4.（24-25高一上·云南昆明·期末）噪声污染问题越来越受到重视.声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝（dB），定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40dB，声音超过70dB会有损神经，设声压级为40dB时对应的声波压强为，声压级为70dB时对应的声波压强为，则（   ） A．10 B． C．100 D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 4.5.3 函数模型的应用 题型一：利用给定函数模型解决实际问题 1.（25-26高三上·河北保定·阶段练习）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】结合给定的函数模型利用对数的运算性质化简求解. 【详解】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，， ， 所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍. 故选：B 2.（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依次求时的值，由此可得，再求其比值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故；故， 所以. 故选：A. 3.（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由，，代入计算得，再根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得， 即， 设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过， 则，即，， 所以， 因为，所以废水净化的次数至少为次. 故选：D 4.（25-26高三上·北京顺义·开学考试）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据给定条件，列式求出，进而求出函数关系，再借助对数的运算求解. 【详解】依题意，，得， 两边同时取对数得，，解得，则， 令，得，两边同时取对数得，， 所以. 故选：D 题型二：指数型函数模型的应用 1.（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据已知函数模型结合指对数转化计算求解判断即可. 【详解】由题意，，所以，所以，， ， 所以，为冬季， 故选：D． 2.（24-25高一下·湖北荆门·期末）规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值． 【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的， 根据题设，得，，可得，所以，， 由，得， 两边取10为底对数，整理得， ，， 因此，至少还需过滤20小时， 故选：B. 3.（24-25高二下·黑龙江·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么要消除一半的污染物需要花的时间大约是（    ）（参考数据：） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【知识点】指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用前9小时污染物减少，建立方程求解k，通过取对数将指数方程转化为线性方程，结合参考数据化简计算，把求得的k代入模型，计算污染物减少一半所需时间. 【详解】由题意得， ∴. 故选：D. 4.（21-22高二上·陕西渭南·阶段练习）已知某电子产品电池充满电时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品满电量待机时开启A模式，并在5小时后切换为B模式，若要使该电子产品至少保留5%的电量，则总待机时长最大约为（    ）（参考数据：） A．7.7小时 B．8.3小时 C．10.3小时 D．11.3小时 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】先得到5小时后剩余电量，进而列出不等式，求出答案. 【详解】该电子产品满电量待机时开启A模式，5小时后剩余电量为毫安， 切换为B模式，则小时后的电量为， 令，解得：， 故总待机时长最大约为小时. 故选：B 题型三:对数函数模型的应用 1.（24-25高二下·广东汕头·期末）音量大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1，对应的声强级为120dB．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中错误的是（   ） A．（单位：） B．学生早读期间读书的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍 D．如果声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据已知求得，即，再应用指对数关系及对数运算性质依次判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A对； 所以， 若，则，所以，B对； 若，则，C错； 若，则，可得，D对. 故选：C 2.（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 3.（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据已知条件求出，再代入当燃料质量是火箭质量的63倍时的表达式可得答案.， 【详解】当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时， 则，得， 则当燃料质量是火箭质量的63倍时， 火箭的最大速度. 故选：D. 4.（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【答案】C 【知识点】对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为. 故选：C 题型四：建立拟合函数模型解决实际问题 1.（23-24高一上·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据题意以及表中数据画出散点图，可知，函数在定义域上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型. 【详解】依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件： 第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点. 由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A， 函数单调递减，排除C， 当时，没有意义，排除D， 故最符合实际的函数模型为. 故选:B． 2.（23-24高一上·广东·期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】指数函数模型的应用（1）、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量，， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 3.（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据题意1个感染者传染人数为，解出不等式即可. 【详解】因为，所以1个感染者传染人数为， 又1个感染者传染人数不超过1，所以，解得，即该地疫苗的接种率至少为， 故选：D. 4.（25-26高一上·全国·单元测试）某网店新年礼盒促销，其中四款礼盒的价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元．每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%．在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，设订单总价为元，当时，且，求解即可. 【详解】设订单总价为元，当时，实际支付元， 该笔订单店家得到的金额为， 根据题意，恒成立，即 即的最大值为10． 故选：D 题型一：对数的运算、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 1.（24-25高二下·福建福州·期末）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A．64 B．65 C．66 D．67 【答案】D 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意先求，再由解不等式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 即， 所以学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为次， 故选：D. 2.（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由，，可得，再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故选：B. 3.（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 4.（2024·内蒙古包头·三模）冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（    ） A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 【答案】D 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可． 【详解】由题意知，， 则，解得年. 故选：D． 题型二：指数幂的运算、利用给定函数模型解决实际问题 1.（24-25高三上·黑龙江·期末）已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为，其中m是正常数，若经过时间，该物质的能量由减少到，则再经过时间，该物质的能量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设的能量为，则，则题意可得，进而计算，可得结论. 【详解】设的能量为，则，又经过时间，该物质的能量由减少到， 所以，所以， 则再经过时间时，该物质的能量为. 故选：C. 2.（24-25高三上·北京西城·期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案. 【详解】依题意，，则， 由、，得， 所以. 故选：A 3.（2025·福建漳州·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，，若在前5h内消除了的污染物，则15h后污染物含量还剩余（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据所给函数模型，利用指数幂的运算性质计算可求解. 【详解】当时，； 当时，，即； 当时，， 故选：D. 4.（24-25高一上·河北·阶段练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据与小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6，则其视力的小数记录法的数据约为（    ）（参考数据：） A．0.5 B．0.4 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】将代入，利用对数式和指数式的互化，结合指数运算即可得解. 【详解】将代入，得， 则， 则其视力的小数记录法的数据约为0.4． 故选：B. 题型三:对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用 1.（24-25高二上·广西贵港·期末）冈珀茨模型（）由冈珀茨提出，作为动物种群生长模型，可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型，（，当时表示2024年初的种群数量），经过年后，当该物种的种群数量不足2024年初种群数量的10%时即将有濒临灭绝的危险，则的最小值为（）（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意得到不等式，求出，得到答案. 【详解】由，得，所以， 故的最小值为19. 故选：B 2.（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．27h B．27.5h C．28h D．28.5h 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意列方程，根据指数运算、对数运算性质求解即可. 【详解】由题意，， 则， 故选：C. 3.（23-24高二下·浙江·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 4.（22-23高三上·云南·期中）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期（增加一倍所需的时间）为21个月，则100只野兔增长到100万只野兔需要（    ）个月.（记，） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】设个月后野兔总只数为，列出方程，求出，得到，即为答案. 【详解】设个月后野兔总只数为， ∴，则， 则，所以. 故选：B. 题型四：分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 1.（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【答案】C 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设直线 的解析式为 ，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式，再把代入进行计算即可得解． 【详解】设直线 的解析式为 经过点 ， 解得 所以直线 的解析式为 ，由题中图像可知， 当 时，该植物最高，此时 . 故选 ：C. 2.（多选题）（22-23高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min B．甲从家到公园的时间是30min C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为 D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为 【答案】BC 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误， 由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确， 当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确， 当40≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3）， 则，故当时， y与x的关系式为，故D错误． 故选：BC 3.（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解. 【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间. 故选：. 4.（24-25高一上·河南信阳·期末）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．140 D．180 【答案】B 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据给定条件，求得函数的解析式，再分类讨论确定车流密度的取值． 【详解】当时，设，则，解得， 于是， 设车流量为q，则车流量， 当时，； 当时，，当且仅当取等号， 所以当时，车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B 1.（24-25高一上·广东深圳·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ） A．600 B．700 C．800 D．900 【答案】D 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】将代入式子，求出，再利用指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300， 所以，解得， 即， 当时，则，即，解得， 所以. 故选：D 2.（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（    ） A．12件 B．24件 C．36件 D．40件 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，利用基本不等式，即可求得和此时的值. 【详解】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则， 当且仅当时，等号成立， 即当每批应生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元. 故选：D. 3.（24-25高一上·安徽阜阳·期末）某科研单位与企业合作，为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备.在清除过程中，产品中某杂质含量M(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系满足:(为杂质含量的初始值，k为常数).已知经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，则经过3 h，产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是（    ） A．32% B．28% C．25% D．21% 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】应用已知及对数运算得，再代入计算求解即可. 【详解】因为经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质， 所以，即得， 设经过3 h产品中某杂质含量M， 则. 即21.6％ 故选：D. 4.（24-25高一上·云南昆明·期末）噪声污染问题越来越受到重视.声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝（dB），定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40dB，声音超过70dB会有损神经，设声压级为40dB时对应的声波压强为，声压级为70dB时对应的声波压强为，则（   ） A．10 B． C．100 D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依题意，可得方程组，利用指对数互化，求出，再计算即得. 【详解】依题意，在中，有 由① 可得：，即， 由② 可得：，即， 故. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $