3.1.1　椭圆的标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过三级分层设计，以椭圆标准方程为核心，从基础概念辨析到跨情境创新应用，构建“概念理解-综合应用-素养提升”的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|椭圆定义、标准方程及简单计算|以选择填空为主，如第1题辨析定义条件，强化数学抽象与概念理解| |B级|焦点位置判断、参数范围及综合应用|含多选与解答题，如第13题结合焦点与余弦定理，培养逻辑推理能力| |C级|椭圆与圆、函数的跨情境创新|如第15题将函数转化为椭圆轨迹问题，发展数学眼光与模型意识|

3.1　椭圆 3.1.1　椭圆的标准方程 A级　必备知识基础练 1.若平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，则(　　) A．p是q的充分且不必要条件 B．p是q的必要且不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 2.已知椭圆＋=1的左、右焦点分别为F1，F2，点B为椭圆与y轴的一个交点，则△BF1F2的周长为(　　) A.20　　 B.18　　 C.16　　 D.9 3.“m＞－3”是“方程＋=1表示椭圆”的(　　) A．必要且不充分条件　　 B．充分且不必要条件 C．充要条件　　 D．既不充分又不必要条件 4.若方程＋=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞)　　 B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)⋃(3，＋∞)　　 D．(－6，－2)⋃(3，＋∞) 5.设P为椭圆＋=1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则PF1•PF2的最大值是　　　　． 6.若椭圆C：＋=1(a＞b＞0)过点M(1，)，N(－，)，则椭圆的方程为　　　　． 7.椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左顶点到右焦点的距离为＋，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为－．求椭圆C的方程． 8.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为，，椭圆上任意一点M到两个焦点的距离之和等于26； (2)经过点，且与椭圆9x2＋4y2=36有共同的焦点． B级　关键能力提升练 9.(多选题)若方程＋=1表示椭圆C，则下面结论错误的是(　　) A．k∈(1，9) B．椭圆C的焦距为2 C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1，5) D．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(5，9) 10.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋=1　　 B．＋=1 C．＋x2=1　　 D．＋y2=1 11.我们把由半椭圆＋=1(x≥0)与半椭圆＋=1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2＋c2，a＞b＞c＞0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　) A．，1　　 B．，1　 C．5，3　　 D．5，4 12.已知点A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆＋=1上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值． 13.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的两个焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2=4b2. (1)求此椭圆的标准方程； (2)若点P在这个椭圆上，且PF1－PF2=1，求∠F1PF2的余弦值． C级　学科素养创新练 14.设P是椭圆＋=1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2=1和圆B：(x－4)2＋y2=1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为(　　) A．9，12　　 B．8，11 C．8，12　　 D．10，12 15.(多选题)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点A与点B之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数f=＋，下列结论正确的是(　　) A．f=6无解 B．f=6的解为x=± C．f的最小值为2 D．f的最大值为2 答案： 1.B　2.B 3.A　解析　若方程＋=1表示椭圆，则m＋3＞0， ∴ ∴m＞－3且m≠－1，m≠2， ∴“m＞－3”是“方程＋=1表示椭圆”的必要条件； 反过来，当m＞－3时，取m=－1或m=2，方程＋=1表示圆， ∴“m＞－3”不是方程“＋=1表示椭圆”的充分条件． 综上所述，“m＞－3”是“方程＋=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选A． 4.D　解析　由a2＞a＋6＞0， 得所以 所以a＞3或－6＜a＜－2.故选D． 5.9　解析　由题意得PF1＋PF2=2a=6，则PF1•PF2≤=9，当且仅当PF1=PF2=3时取等号． 6.＋y2=1 7.解　设椭圆＋=1(a＞b＞0)的半焦距为c， 由题意可得 解得 所以b2=a2－c2=1. 则椭圆C的方程为＋y2=1. 8.解　 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准方程为＋=1(a＞b＞0)，由椭圆的定义可得2a=26，则a=13，故b==12，所以椭圆的标准方程为＋=1. (2)椭圆9x2＋4y2=36的标准方程为＋=1，该椭圆的焦点为F1(0，－)，F2(0，)． 设所求椭圆的标准方程为＋=1(a＞b＞0)，由椭圆的定义，可得2a=＋=＋=(－)＋ (＋)=2，则a=，b==．故所求椭圆的标准方程为＋=1. 9.ABD　解析　因为方程表示椭圆，则有9－k＞0，k－1＞0，且9－k≠k－1，即k∈(1，5)⋃(5，9)，A错误； 焦点在x轴上时，9－k＞k－1＞0，解得k∈(1，5)，D错误，C正确； 焦点在x轴上时，则c2=9－k－(k－1)=10－2k，焦距为2，焦点在y轴上时，c2=k－1－(9－k)=2k－10，焦距为2，B错误．故选ABD． 10.B 11.A　解析　因为|OF2|==，|OF0|=c=|OF2|=，所以b=1，所以a2=b2＋c2=1＋=，得a=． 12.解　由椭圆＋=1，得点A为椭圆右焦点．设左焦点为F(－4，0)，则由椭圆定义知|MA|＋|MF|=2a=10，于是|MA|＋|MB|=10＋|MB|－|MF|．当点M不在直线BF与椭圆交点上时，M，F，B三点构成三角形，于是||MB|－|MF||＜|BF|，而当点M在直线BF与椭圆交点上时，交点在第一象限，有|MB|－|MF|=－|BF|，交点在第三象限，有|MB|－|MF|=|BF|．显然当点M在第三象限的直线BF与椭圆交点上时，|MA|＋|MB|有最大值，其最大值为10＋|BF|=10＋=10＋2． 13.解　(1)依题意，知c=1.又c2=a2－b2，且3a2=4b2，所以a2－a2=1，解得a2=4，从而b2=3.因此，椭圆的标准方程为＋=1. (2)因为点P在椭圆上，所以PF1＋PF2=4.又PF1－PF2=1，所以PF1=，PF2=． 又F1F2=2， 所以由余弦定理，得cos∠F1PF2==， 即∠F1PF2的余弦值等于． 14.C　解析　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义知PA＋PB=2a=10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PM＋PN最小，最小值为PA＋PB－2r=8(r为两圆半径)．延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时PM＋PN最大，最大值为PA＋PB＋2r=12，即最小值和最大值分别为8，12. 15.BC　解析　如图，f(x)=＋=＋． 设P(x，1)，A(－2，0)，B(2，0)，则 f(x)=|PA|＋|PB|． 若f(x)=6，则|PA|＋|PB|=6＞|AB|=4，则点P在以A，B为焦点的椭圆上，此时2a=6，c=2，即a=3，b2=9－4=5，即椭圆方程为＋=1，当y=1时，=1－=，解得x2=，得x=±，故A错误，B正确；点B关于直线y=1的对称点为C(2，2)，则|PA|＋|PB|=|PA|＋|PC|≥|AC|，当A，P，C三点共线时，f(x)最小，此时f(x)=|AC|====2，f(x)无最大值，故C正确，D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $