课时分层作业18 抛物线的标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

课时分层作业(十八) 1．B　［当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故选B．］ 2．D　［y2＝2px的焦点为，而椭圆的右焦点为(2，0)，由＝2得p＝4．故选D．］ 3．C　［抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0)．从而kAF＝．］ 4．D　［如图，由抛物线的定义知PM⊥l． 在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∵△FPM是等边三角形， ∴S△PMF＝．故选D．］ 5．C　［依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知，欲求从M到A，B修建公路的最低费用，只需求出B到直线l的距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，∴B到点A的水平距离为3 km， ∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，那么修建这条公路的总费用最低为5a万元，故选C．］ 6．4　［抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4．］ 7．2　［设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋＝3，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，∵M(2，y0)在抛物线上，∴＝8，∴|OM|＝．］ 8．6　［因为＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．］ 9．解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上． 设抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0)．由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．所以，所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44，0)． 10．解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x． (2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2． 解方程组所以N． 11．ACD　［抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，A满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋ ，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线y2＝10x的有ACD．］ 12．C　［过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M'，D，如图所示，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，∵M为AB的中点，且|MM'|＝6， ∴|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝12．］ 13．y2＝4x　3　［椭圆＝1，∴p＝2．所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．由抛物线的方程为y2＝4x，可得焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，∵＝x1·x3，且log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，∴log2＝3，解得x2＝2，∴|P2F|＝x2－(－1)＝3．］ 14．y2＝12x　［如图所示，过点M作MD垂直于抛物线的准线，垂足为D，交直线x＝于C， ∴sin∠MFA＝，由抛物线定义可得MF＝MD，∴，即5x0＋p，∴x0＝3p．∵点M(x0，6是抛物线上一点，∴(6)2＝2px0，即36×6＝6p2，∴p＝6，得y2＝12x．］ 15．解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则B(9，－8)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．∵B点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，∴p＝，∴抛物线的方程为x2＝－y．当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6．∴|DE|不超过6 m才能使货船通过拱桥． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十八)　抛物线的标准方程 一、选择题 1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＝1的右焦点重合，则p的值为(　　) A．－2　　　 B．2　　　 C．－4　　　 D．4 3．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　) A．2 B．4 C．6 D．4 5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用(单位：万元)最低是(　　) A．(2＋)a B．2(＋1)a C．5a D．6a 二、填空题 6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________． 7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于________． 8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则||＋||＋||＝________． 三、解答题 9．(源自人教A版教材)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图2．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． 10．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M． (1)求抛物线的方程； (2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程y2＝10x的有(　　) A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 C．焦点到准线的距离为5 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1) 12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．无法确定 13．已知抛物线C的焦点F与椭圆＝1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为_______________．若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且＝x1·x3，又log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，则|P2F|＝________． 14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，点M(x0，6)是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝交于A，B两点(A在B的上方)，若sin ∠MFA＝，则抛物线C的方程为____________． 15．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF． 若|CD|＝9 m，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $