3.3.2 抛物线的几何性质 分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的几何性质 一、基础达标练 1.下列抛物线中,开口最小的是(　　) A.y2=x B.y2=x C.y2=2x D.y2=4x 2.若直线y=kx+2与抛物线y2=x只有一个公共点,则实数k的值为(　　) A. B.0 C.或0 D.8或0 3.若F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知抛物线y2=4x,直线l与抛物线交于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为2,则直线AB的斜率为　　　　　.  5.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为　 .  6.已知直线l与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点. (1)若直线l过点Q(4,1),且倾斜角为45°,求|AB|的值; (2)若直线l过点Q(4,1),且弦AB恰被Q平分,求AB所在直线的方程. 二、能力提升练 7.已知直线l过点(0,-4),且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,线段AB的中点为,则l的方程为(　　) A.x-y-2=0 B.2x-y-6=0 C.x+y-6=0 D.x-2y=0 9.抛物线y2=-x上的点到直线x+y-1=0的最短距离是(　　) A. B. C. D. 10.抛物线Γ:x2=4y,F为抛物线的焦点,P为抛物线上一点,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,若|PF|=|QF|,则△PFQ的面积为(　　) A.4 B.2 C.4 D.8 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.若|AF|=4|BF|,则AB的中点到准线的距离为(　　) A. B. C. D. 12.经过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A,B.若S△AOB= 2(其中O为坐标原点),则直线l的斜率为　　　　　.  13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P在C上,过点P作l的垂线交l于点E,且∠PFE=60°,|PF|=6,则抛物线C的方程为　　　　　　　　.  14.已知过点M的直线l与抛物线y2=2x交于A,B两点,C(2,0),则△ABC面积的最小值为　　　　　　.  15.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线交于A,B两点,且|AB|=. (1)求抛物线的标准方程. (2)在x轴上是否存在一点C,使△ABC为正三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. 三、拓展探究练 16.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为1的直线l交抛物线C于A,B两点,则(　　) A.抛物线C的准线方程为x=1 B.线段AB的中点在直线y=2上 C.若|AB|=8,则△OAB的面积为2 D.以线段AF为直径的圆一定与y轴相切 17.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,Q()在抛物线C上,且|QF|=. (1)求抛物线C的方程及t的值; (2)若过点M(0,t)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,N为AB的中点,O是坐标原点,且S△AOB=S△MON,求直线l的方程. 参考答案 1.A　2.C　3.C　4.1　5.y2=4x 6.解 (1)因为直线l的倾斜角为45°,所以直线l的斜率k=tan 45°=1. 又因为直线l经过点Q(4,1),所以直线l的方程为y-1=x-4,即y=x-3. 联立得x2-14x+9=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),所以xA+xB=14,xAxB=9, 所以|AB|==8. (2)由点A,B在抛物线上,得=8xA,=8xB. 两式相减,得=8xA-8xB,则=4, 故直线l的斜率为4,所以直线l的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0. 7.D　8.A　9.B 10.C　解析 抛物线的准线方程为y=-1,焦点为F(0,1).设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(m,-1),|PQ|=n+1.由抛物线的定义,知|PF|=|PQ|=n+1. 因为|PF|=|QF|=,△PFQ为等边三角形,所以n+1=. 又n=m2,所以m=±2,n=3,所以点P的坐标为(±2,3),所以|PF|=4, 所以S△PFQ=×2×4=4. 11.C　解析 如图,设抛物线的准线交x轴于点N,AB的中点为P,过A,B,P作准线的垂线,使得AC⊥CD,BD⊥CD,PQ⊥CD,BE⊥AC,BE⊥x轴于点M. 设|BF|=t,则|BD|=t,|AF|=|AC|=4t,|AE|=3t.又,则|MF|=. 又|MN|=t,则|FN|==p=2,即t=,则|PQ|=. 12.± 13.y2=6x　解析 如图,设准线与x轴的交点为H,准线方程为x=-,焦点为(,0). 由抛物线的定义知|PE|=|PF|,又∠PFE=60°,所以△PFE为等边三角形,且∠FEH=30°,所以|EF|=|PF|=6,则|HF|=|EF|=3.又因为|HF|=p,所以p=3,故抛物线C的方程为y2=6x. 14.　解析 设直线l的方程为x=ty+,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得消去x,得y2-2ty-1=0,所以y1+y2=2t,y1y2=-1,所以S△ABC=×(2-)×|y1-y2|=,所以当t=0时,S△ABC取得最小值,最小值为. 15.解 (1)由题意,设所求抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), 联立得消去y,得x2-2(1+p)x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2(1+p),x1x2=1. 由|AB|=·, 得121p2+242p-48=0, 解得p=或p=-(舍去), 所以抛物线的标准方程为y2=x. (2)设AB的中点为D,则D(,-). 假设在x轴上存在满足条件的点C(x0,0),连接CD(图略). 因为△ABC为正三角形,所以CD⊥AB,即·(-1)=-1, 解得x0=,所以C(,0),所以CD=. 又CD=AB=, 所以在x轴上不存在一点C,使△ABC为正三角形. 16.BCD　解析 对于A选项,抛物线C的准线方程为x=-1,A错;对于B选项,设点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),则两式作差得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),可得=1,所以y1+y2=4,故y0==2,B对;对于C选项,设直线AB的方程为y=x+b,联立得可得x2+(2b-4)x+b2=0,Δ=4(b-2)2-4b2>0,解得b<1,由根与系数的关系可得x1+x2=4-2b,x1x2=b2,|AB|=×4=8,解得b=-1,点O到直线l的距离为d=,故S△AOB=|AB|·d=×8×=2,C对;对于D选项,设线段AF的中点为N(x3,y3),则x3=,由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2×,即|AF|等于点N到y轴距离的两倍,所以以线段AF为直径的圆一定与y轴相切,D对.故选BCD. 17.解 (1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,则其准线方程为x=-. 又Q(, )在抛物线C上, 由抛物线的定义知|QF|=-(-)=,解得p=2,即抛物线C的方程为y2=4x.将Q()的坐标代入y2=4x,得t=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,t的值为2. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),由(1)知M(0,2),显然直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+2, 由消去y,得k2x2-4(1-k)x+4=0,显然k≠0,Δ=16·(1-k)2-16k2=16(1-2k)>0, 解得k<,且k≠0,于是得x1+x2=,x1x2=. 而S△AOB=S△MON,且点A,B,M,N都在直线l上, 从而得|AB|=|MN|,则有|x1-x2|=·|x0-0|. 又N是AB的中点,即x0=,从而得|x1-x2|=|x1+x2|,即-4x1x2=,整理,得=16x1x2, 故有,解得k=-1或k=,均满足题意,所以直线l的方程为y=-x+2或y=x+2. 4 学科网（北京）股份有限公司 $