学易金卷：高二数学上学期第一次月考卷（上海专用，沪教版必修第三册第10章～第11章：空间直线与平面+简单几何体）

**基本信息** 以炒勺几何建模、勒洛四面体等创新情境为载体，覆盖空间直线与平面、简单几何体等核心内容，注重空间观念与数学建模能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|空间直线与平面（第1、2题）、简单几何体（第5、7题）|基础概念（第1题集合符号）与创新情境（第12题勒洛四面体）结合| |选择题|4题/18分|空间位置关系（第13题）、几何体辨析（第14题）|逻辑推理（第13题充要条件）与空间想象（第16题轨迹长度）并重| |解答题|5题/78分|线面平行证明（第17题）、体积计算（第18题）|融合祖暅原理推导（第20题炒勺容积）、翻折与“鳖臑”文化（第21题），体现数学应用与创新意识|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 23 123 123 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 破。 5. 正确填涂 6789 789 5678q 6789 5678 6789 5678q 12345678 5678q 0123456789 缺考标记 9 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 5 6 10. 11 12 餐 二、选择题（本大题共有4题， 满分18分，第1314题每题4分，第 1516题每题5分) 妇 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 茶 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) A B : ! 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) O B Q B 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) E B D 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 2R R 2 2R 图(1) 图(2) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) E B 数学第6页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 数学·参考答案 1、 填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 假 3. 4. 5. 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D D B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】(1)连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有，又平面，平面， 所以直线平面；……（6分） （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为．……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）由圆柱轴截面是边长为2的正方形，得圆柱的底面圆半径，高， 所以圆柱的体积，表面积.……（6分） （2）连接，显然点与点都不重合，由点在底面圆周上，得， 由是母线的中点，得平面，而平面， 则，又平面，因此平面， 由平面，平面，得平面， 则点到平面的距离等于，而，， 于是四面体的体积， 当且仅当，即是半圆弧的中点时取等号，此时，即， 所以四面体的体积最大值为，.……（14分） 19．（14分） 【详解】(1)因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．……（7分） （2）过点作于点， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 则的长即为点到平面的距离， 又，则，， 则， 故点到平面的距离为．……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），则炒勺的容积为；……（4分） （2）    如图：先证明对任意高度，图中的阴影部分面积相等， 图（1）中阴影部分圆的半径设为，则由垂径定理可知：， 所以图（1）中阴影部分圆的面积为：， 图（2）中阴影部分为圆环，设内圆半径为，则， 所以图（2）中阴影部分圆环的面积为：， 此时对任意的高度，都有，则根据祖暅原理， 可知炒勺的容积V等于一个高为的圆柱体积减去一个圆台体积， 即 ， 故炒勺的容积；……（10分） （3）    当厘米，厘米，先计算炒勺的容积， 再计算阴影部分圆的半径 图中阴影部分下方的圆锥体积， 再根据推导球的表面积公式的方法，将炒勺的球面分割成微小的 n 个部分，每一个部分与球心形成的锥体的高都近似看成球的半径， 从而可将这 n 个锥体的体积之和等于炒勺和圆锥组成的几何体体积，最后可近似求出炒勺的表面积，设炒勺的表面积为， 则 故炒勺的表面积为.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）①若点是边的中点，， 易知，四边形为直角梯形，且底面， ，则四边形的面积， 四棱锥的体积为；……（4分） ②假设存在点和，使得， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在直角中是斜边，但，显然不成立， 所以不存在点和，使得；……（10分） （2）易知， 由“鳖臑”的定义可知都是直角三角形， 则该四面体必有一条棱垂直于一面， ①若底面，此时，符合定义， ， ；②若底面，此时，符合定义， ， ；③若底面，此时， 所以，要符合定义需直角以为斜边， 显然，故假设不成立， ； ④若底面，此时，符合定义， ，设， 解得， ； ⑤若底面，此时，符合定义， 同④可知要符合题意需， ； 综上所述：可能取值.……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第10章~第11章空间直线与平面+简单几何体。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．用集合符号表示：直线在平面上________． 2．命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 3．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________.    4．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 5．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 6．已知是正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形），M为AB中点，则SM与BC所成角为____________. 7．已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 8．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 9．如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点在底面的射影为BC的中点.若，点到AC的距离为，则该三棱柱的高____________ .    10．在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 11．已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 12．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知直线，平面平面，那么“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 15．如图，已知点在表面积为的球的球面上，且平面，点为中点，当二面角的大小为时，则下列说法正确的有（　　）项． ①异面直线和所成角的大小为 ②直线与平面所成角的大小为 ③ ④的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 16．在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 18．（14分）如图，圆柱轴截面是边长为2的正方形，动点在底面圆周上，是母线的中点. (1)求圆柱的体积与表面积； (2)求四面体的体积的最大值及此时的大小. 19．（14分）如图，四边形是正方形，平面，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 20．（18分）李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R.    (1)若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； (2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程；    (3)设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 21．（18分）如图，等腰直角三角形中，，． (1)点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； (2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第10章~第11章空间直线与平面+简单几何体。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．用集合符号表示：直线在平面上________． 2．命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 3．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________.    4．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 5．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 6．已知是正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形），M为AB中点，则SM与BC所成角为____________. 7．已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 8．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 9．如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点在底面的射影为BC的中点.若，点到AC的距离为，则该三棱柱的高____________ .    10．在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 11．已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 12．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知直线，平面平面，那么“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 15．如图，已知点在表面积为的球的球面上，且平面，点为中点，当二面角的大小为时，则下列说法正确的有（　　）项． ①异面直线和所成角的大小为 ②直线与平面所成角的大小为 ③ ④的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 16．在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 18．（14分）如图，圆柱轴截面是边长为2的正方形，动点在底面圆周上，是母线的中点. (1)求圆柱的体积与表面积； (2)求四面体的体积的最大值及此时的大小. 19．（14分）如图，四边形是正方形，平面，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 20．（18分）李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R.    (1)若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； (2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程；    (3)设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 21．（18分）如图，等腰直角三角形中，，． (1)点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； (2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册第10章~第11章空间直线与平面+简单几何体。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．用集合符号表示：直线在平面上________． 【答案】 【详解】若直线在平面上，则. 故答案为：. 2．命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【详解】假设空间中的三条直线、、为墙角的三条直线，它们两两相交于同一点， 但直线、、不在同一平面上，故命题为假命题． 故答案为：假． 3．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为__________.    【答案】 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以. 故答案为：    4．如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 5．若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______． 【答案】 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为. 由题， 故，即 故（负根舍去）， 所以. 6．已知是正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形），M为AB中点，则SM与BC所成角为____________. 【答案】 【详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角为. 7．已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为____________.（结果精确到） 【答案】 【详解】由题意可知，该水库在水位上升过程中的形状可视为一个棱台， 设棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为， 根据题设数据可得：，，， 根据棱台的体积公式 ，代入上述数据得： ， 取 ，则： ， 所以，增加的水量约为 . 8．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 【答案】 【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由， 所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 9．如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点在底面的射影为BC的中点.若，点到AC的距离为，则该三棱柱的高____________ .    【答案】 【详解】设 ，，因为是正三角形中的中点，所以 ， 已知 ，在 中， ， 所以 ，即 . 因为 底面 ，平面， 所以 ，过 作 于 ，连接 ，    因为，平面， 所以平面，平面， 所以，所以就是点到的距离， 已知，在正三角形 中， 是中点，设边长为， 则 ，是直角三角形，， 所以 ． 又因为 ，所以 ，则 . 在 中， ， 已知 ，代入可得 ， 解方程得 ，所以 . 所以 . 故答案为：. 10．在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 【答案】 【详解】设点关于的对称点为， 以为顶点，以为底面，作四棱锥， 设平面，则的面积即为所求. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为为中点，所以， 则梯形的面积为 11．已知圆锥的底面半径与高均为5，用平行于该圆锥底面的平面截这个圆锥，得到的小圆锥的高为2.设和分别为圆和圆圆周上的两点，当直线与圆锥底面所成角的大小不超过时，线段长度的取值范围是____________. 【答案】 【详解】过点作底面圆，连接， 设半径为，半径为，则，解得， 所以即为直线与圆锥底面所成角的平面角， 由题意可知，，即，解得， 又因为， 其中，当且仅当共线时等号成立， 所以， 所以线段长度的取值范围是， 故答案为： 12．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 【答案】 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心， 也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知直线，平面平面，那么“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】由题意，若平面平面， 当时或， 当时与的关系可能是在平面内、平行或者相交， 所以“”是“”的既非充分又非必要条件， 故选：D 14．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 15．如图，已知点在表面积为的球的球面上，且平面，点为中点，当二面角的大小为时，则下列说法正确的有（　　）项． ①异面直线和所成角的大小为 ②直线与平面所成角的大小为 ③ ④的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于A：由题意得为球的直径，所以， 点为的中点，点O为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，所以平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为，所以为异面直线和所成角或其补角， 所以异面直线和所成角的大小为，所以A错误； 对于B：球O的表面积为， 即，解得， 可得， 过点作交于，连接， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角不为，所以B错误； 对于C：可知为直角三角形，， 所以， 所以，所以C正确； 对于D：由B可知，边上的高， 所以，所以D正确． 故选：B． 16．在棱长为2的正方体中，、、分别是棱、、的中点，点是正方体表面上的任意一点，且直线与平面无交点，则点的轨迹长度是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】 、、分别是棱、、的中点， ，平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 平面平面， 直线与平面无交点，等价于平面， 平面，且平面平面， 平面时，平面， 是正方体表面的点， 轨迹为平面与正方体表面的交线，即的三边， 正方体边长为2， ，，， 点的轨迹长度为，故D正确． 故选：D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【详解】(1)连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有，又平面，平面， 所以直线平面；……（6分） （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为．……（14分） 18．（14分）如图，圆柱轴截面是边长为2的正方形，动点在底面圆周上，是母线的中点. (1)求圆柱的体积与表面积； (2)求四面体的体积的最大值及此时的大小. 【详解】（1）由圆柱轴截面是边长为2的正方形，得圆柱的底面圆半径，高， 所以圆柱的体积，表面积.……（6分） （2）连接，显然点与点都不重合，由点在底面圆周上，得， 由是母线的中点，得平面，而平面， 则，又平面，因此平面， 由平面，平面，得平面， 则点到平面的距离等于，而，， 于是四面体的体积， 当且仅当，即是半圆弧的中点时取等号，此时，即， 所以四面体的体积最大值为，.……（14分） 19．（14分）如图，四边形是正方形，平面，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【详解】(1)因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面．……（7分） （2）过点作于点， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 则的长即为点到平面的距离， 又，则，， 则， 故点到平面的距离为．……（14分） 20．（18分）李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R.    (1)若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； (2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程；    (3)设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 【详解】（1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），则炒勺的容积为；……（4分） （2）    如图：先证明对任意高度，图中的阴影部分面积相等， 图（1）中阴影部分圆的半径设为，则由垂径定理可知：， 所以图（1）中阴影部分圆的面积为：， 图（2）中阴影部分为圆环，设内圆半径为，则， 所以图（2）中阴影部分圆环的面积为：， 此时对任意的高度，都有，则根据祖暅原理， 可知炒勺的容积V等于一个高为的圆柱体积减去一个圆台体积， 即 ， 故炒勺的容积；……（10分） （3）    当厘米，厘米，先计算炒勺的容积， 再计算阴影部分圆的半径 图中阴影部分下方的圆锥体积， 再根据推导球的表面积公式的方法，将炒勺的球面分割成微小的 n 个部分，每一个部分与球心形成的锥体的高都近似看成球的半径， 从而可将这 n 个锥体的体积之和等于炒勺和圆锥组成的几何体体积，最后可近似求出炒勺的表面积，设炒勺的表面积为， 则 故炒勺的表面积为.……（18分） 21．（18分）如图，等腰直角三角形中，，． (1)点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； (2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 【详解】（1）①若点是边的中点，， 易知，四边形为直角梯形，且底面， ，则四边形的面积， 四棱锥的体积为；……（4分） ②假设存在点和，使得， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在直角中是斜边，但，显然不成立， 所以不存在点和，使得；……（10分） （2）易知， 由“鳖臑”的定义可知都是直角三角形， 则该四面体必有一条棱垂直于一面， ①若底面，此时，符合定义， ， ；②若底面，此时，符合定义， ， ；③若底面，此时， 所以，要符合定义需直角以为斜边， 显然，故假设不成立， ； ④若底面，此时，符合定义， ，设， 解得， ； ⑤若底面，此时，符合定义， 同④可知要符合题意需， ； 综上所述：可能取值.……（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $