精品解析：上海市格致中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

格致中学 二O二五学年度第一学期第二次测验 高二年级 数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 若复数满足：，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求出后可得其模. 【详解】因为，故，故，填. 【点睛】本题考查复数的除法及复数的模，属于容易题. 2. 已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于______________． 【答案】 【解析】 【分析】结合单位向量的概念以及平面向量数量积的定义即可求出结果. 【详解】因为、均为单位向量，它们的夹角为60°， 所以， 故答案为： 3. 若，，且，则_____. 【答案】14 【解析】 【分析】由向量的数量积为0即可列方程求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 4. 已知函数，则此函数的值域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的单调性确定值域即可． 【详解】根据题意，在单调递增，在单调递减， 且， 所以，此函数的值域为． 5. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 6. 若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解. 【详解】由已知得正方体的棱长为， 又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长， 所以正方体的外接球的半径， 所以外接球的表面积， 故得解. 【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题. 7. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 【答案】 【解析】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 8. 若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质计算得到；，再利用韦达定理计算得到答案. 【详解】不妨设方程和的四个根为 则；，故； 故，， 故答案为： 【点睛】本题考查了数列和韦达定理的综合应用，意在考查学生的综合应用能力. 9. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用频率代替概率和古典概型概率公式计算即可判断①；利用平均数计算公式求得的值，再用方差公式计算即可判断②；利用百分位数概念计算判断③；利用极差定义计算判断④. 【详解】对于①，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本， 则某个个体被抽到的概率是，故①正确； 对于②，由这组数据1，2，m，6，7的平均数为4，可得，解得， 则数据为的方差为，故②错误； 对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23按从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30， 因，故第70百分位数是顺数第六个数，即23，故③正确； 对于④，样本的极差为，故④正确. 故答案为：①③④. 10. 甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分______元奖金才公平. 【答案】875 【解析】 【分析】先算出甲赢的概率，再用这个概率乘以1000即可. 【详解】甲连胜两局后， 乙最后获胜的情况为后面三局必须乙胜，其概率为：， 即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为， 故甲分得奖金元才公平. 故答案为：875. 11. 对于数列，若，则称数列为“广义递增数列”，若，则称数列为“广义递减数列”，否则称数列为“摆动数列”.已知数列共4项，且，则数列是摆动数列的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的元素，先根据数列中数字的组成求得所有的数列，再将符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分类求得，即可求得“摆动数列”的个数，进而求得数列是摆动数列的概率. 【详解】根据题意可知，，则四位数字组成的数列有以下四类： （1）由单个数字组成：共有4个数列； （2）由2个数字组成：则共有种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列（如1222,2111等），则有个数列；分别由2个相同数字组成的4个数的数列（如1122等）共有6个数列，因而此种情况共有种； （3）由3个数字组成：共有种数字搭配（如1123等），相同数字有3种可能，则共有个数列； （4）由4个数字组成：共有个数列. 因而组成数列的个数为个数列. 其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为： （1）由单个数字组成：4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有4个数列； （2）由2个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为 个； （3）由3个数字组成：个； （4）由4个数字组成：则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”， 综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为个. 所以“摆动数列”的个数为个， 因而数列是摆动数列的概率为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了数列新定义的综合应用，数字排列的综合应用，概率的求法，分类过程较为繁琐，属于难题. 12. 已知函数的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图像与x轴的交点；将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为______________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的最小正周期，从而得到，，作出辅助线，表达出，根据，求出，T表示的区域是以为圆心，为半径，且圆心角为的扇形及其内部，从而求出面积. 【详解】设的最小正周期为，则， 过点作⊥轴于点，连接， 因为绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 其中，， 又，由勾股定理得， ， 即， 因为，解得， 因为，由勾股定理得， 故T表示的区域是以为圆心，为半径，且圆心角为的扇形及其内部， 如图所示，①部分即为所求区域的面积， 其中， 故， 所以. 故答案为： 二、选择题（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可. 【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误； 因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误； 抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件， 则，，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B 14. 在中，若，则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小． 【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接， 则，，， ，，， 所以， 故选：A． 16. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【解析】 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 三、解答题（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． （1）请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； （2）写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】（1），，， （2），，， 【解析】 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【小问1详解】 样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 【小问2详解】 ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出，从而用线面角的定义求解. 【小问1详解】 因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 取中点，连结， 因为，所以， 由（1）知平面，平面，所以， 因为， 底面， 所以底面， 设，求得，， 因为四棱锥的体积为， 所以 解得， 所以， 因为底面， 所以为与平面所成的角， 在中，， 所以． 所以与平面所成的线面角为． 19. 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： （1）求a； （2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1求解即可； （2）以每个分组的中间值代表整个组，再根据平均数的算法求解即可； （3）根据古典概型的方法，将所有可能的情况列举再分析即可； 【小问1详解】 解：因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以， 解得； 【小问2详解】 平均数为， 所以估计该地年轻人阅读时间的平均数约为74分钟； 【小问3详解】 由题意，阅读时间位于的人数为人， 阅读时间位于的人数为人， 阅读时间位于的人数为人， 则抽取的5人中位于区间有1人，位于区间有2人，位于区间有2人， 则从中任选3人共有（种）， 其中恰有2人每天阅读时间位于的有种， 故所求概率． 20. 我们可以用多种方法证明命题：如果平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直． 即在平面四边形中，若，则． （1）请用向量的方法进行证明． （2）在平面四边形中，命题“”是命题“”的______________条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”），并将此命题在空间进行推广．（只写结论，无需证明） （3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试根据表格提示将勾股定理推广到空间． 勾股定理的类比 三角形 四面体 条件 、、两两垂直 结论 ？ 请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）充要；推广为：在空间四边形中，命题“”是命题“”的充要条件 （3）结论为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助空间向量模长与数量积的关系结合线性运算计算即可得证； （2）由（1）可得充分性，再证明必要性后即可得两命题关系，再将此命题在空间进行推广即可得解； （3）利用勾股定理结合表格提示可类比出该结论为，再利用三角形面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系计算即可得证. 【小问1详解】 若，则， 即有， 即，故， 即，则， 即，则, 故，即，故； 【小问2详解】 命题“”是命题“”的充要条件，证明如下： 由（1）可证明充分性，下证必要性： 由，则，则， 则，则， 则，则， 则，则， 则， 则，即得证； 故命题“”是命题“”的充要条件； 此命题在空间进行推广：在空间四边形中， 命题“”是命题“”的充要条件，证明如下： 先证明充分性： 由，则， 即有， 即，故， 即，则， 即，则, 故，即，故； 再证明必要性： 由，则，则， 则，则， 则，则， 则，则， 则，则； 故可得：在空间四边形中， 命题“”是命题“”的充要条件； 【小问3详解】 类比结论为，证明如下： 设、、，且、、两两垂直， 则，，， 则， ，，， 则， 则， 则 ， 则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学 二O二五学年度第一学期第二次测验 高二年级 数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本题共有12个小题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 若复数满足：，则______. 2. 已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于______________． 3. 若，，且，则_____. 4. 已知函数，则此函数的值域为_______． 5. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 6. 若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为________. 7. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 8. 若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列，则的值为__________． 9. 下列说法正确的序号是______. ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1； ②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； ③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； ④数据8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的极差为4.5 10. 甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1000元奖金.甲连胜两局后，因为有其他要事而中止比赛.甲应分______元奖金才公平. 11. 对于数列，若，则称数列为“广义递增数列”，若，则称数列为“广义递减数列”，否则称数列为“摆动数列”.已知数列共4项，且，则数列是摆动数列的概率为______. 12. 已知函数的部分图像如图1所示，A，B分别为图像的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于，点C为该部分图像与x轴的交点；将绘有该图像的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，S是及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为______________ 二、选择题（本题共有4个小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 14. 在中，若，则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 15. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 16. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 三、解答题（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． （1）请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； （2）写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 18. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 19. 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： （1）求a； （2）根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率． 20. 我们可以用多种方法证明命题：如果平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直． 即在平面四边形中，若，则． （1）请用向量的方法进行证明． （2）在平面四边形中，命题“”是命题“”的______________条件（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”），并将此命题在空间进行推广．（只写结论，无需证明） （3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试根据表格提示将勾股定理推广到空间． 勾股定理的类比 三角形 四面体 条件 、、两两垂直 结论 ？ 请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $