2026-2027学年人教版九年级数学上册周清练习（范围：26.1-26.2）

**基本信息** 聚焦二次函数概念与图像性质，通过基础-中档-综合三层设计，实现从概念辨析到实际应用的渐进式巩固，培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数定义、系数识别、图像平移|以单选（1-7）、填空（11-13）为主，直接考查概念与基本性质，如第1题定义判断、第3题平移规律| |中档层|图像性质综合判断、函数与方程结合|单选（8-10）、填空（14-16）涉及多性质辨析（如第5题开口/对称轴判断）、简单应用（第8题与x轴交点）| |综合层|实际问题建模、几何综合探究|解答题（17-24）结合生活情境（鸡场面积、宾馆定价）与几何（菱形、抛物线交点），如23题垂直平分线与二次函数关系探究，培养数学眼光与应用意识|

九年级数学周清练习 （范围：26.1二次函数的概念--26.2二次函数的图像和性质） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 4．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 7．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 9．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，下列结论错误的是（     ） A．菱形的边长为 B．自变量的取值范围为 C．与之间的函数图象是抛物线的一部分 D．的最小值为 10．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．函数的最小值为________． 12．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 13．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 15．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 16．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： (1)若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ (3)鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 18．某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 19．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 20．我们已经知道二次函数的图象和性质，利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质． (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (2)抛物线可以看作是由抛物线怎样平移得到的? (3)在平面直角坐标系中，画出抛物线． 21．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． (1)求两点的坐标； (2)求菱形的面积． 22．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 23．综合与实践． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，M是x轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． 【操作与发现】 (1)当M为时，点P的坐标为____；当M为时，点P的坐标为___； 【猜想与证明】 (2)在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想图像L为我们学过的____图象；（请填序号：①一次函数；②二次函数） (3)设点P的坐标是，根据与的关系，求x、y满足的关系式； 【实践与运用】 (4)运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出x的取值范围． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 九年级数学周清练习（答案及解析） （范围：26.1二次函数的概念--26.2二次函数的图像和性质） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D B A A C C C 1．B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3．B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4．D 【详解】解：， ， ， ， . 5．B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 6．A 【分析】利用二次函数顶点式的对称轴与的对应关系，判断各选项对称轴是否在轴左侧． 【详解】解：A选项，的对称轴为直线，在轴左侧，符合题意； B、C选项对应的二次函数对称轴均为轴，不符合题意； D选项，的对称轴为直线，在轴右侧，不符合题意． 7．A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 8．C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 9．C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理建立与的数量关系，结合函数图象读取关键点坐标逐一判断． 【详解】解：A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知， 即． 由图3可知，当时，， 代入得， 解得， 故A正确． B、由图3可知，的取值范围为， 故B正确． C、由可知，，图象不是抛物线， 故C错误． D、当时，取得最小值， ， 解得， 故D正确． 故答案为C． 10．C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 11． 【分析】二次函数开口向上，最小值在顶点处，利用交点式求对称轴后代入计算即可． 【详解】解：∵中二次项系数， ∴函数开口向上，顶点处取得最小值， ∵函数图象与轴交点横坐标为和， ∴对称轴为， 将代入函数得：， 因此函数的最小值为． 12． 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 13． 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 14． 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 15． 【分析】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 16． ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 17．(1) (2)鸡场的长与宽分别为16米、10米； (3)鸡场的最大面积为162平方米，此时鸡场的长与宽分别为18米、9米 【分析】本题主要考查二次函数的应用； （1）用含的式子表示鸡场与墙垂直的一边长，根据矩形面积公式即可写出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，将代入即可求解； （3）求出函数的最大值，使得面积取最大值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，鸡场与墙平行的一边长为米，可得鸡场与墙垂直的一边长为米，即米， ∴ ∵鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门， ∴ ∴ （2）令，即， 解得，（不合题意，舍去），所以． 当时， ． 所以，鸡场的长与宽分别为米、米； （3）对于，， 所以函数有最大值，当时， 函数有最大值，最大值 当时， ． 所以鸡场的最大面积为平方米，此时鸡场的长与宽分别为米、米． 18．(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 19．(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 20．(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的 (3)如图： 【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，再写出对称轴和顶点坐标即可； （2）对比（1）中所得的顶点式与抛物线，结合平移规律即可得到平移过程； （3）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∴抛物线可以看作是由抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）略 21．(1) (2)菱形的面积为 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． （2）解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 22．(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 23．(1)， (2)② (3) (4)且 【分析】（1）由题意可知当M为时，线段的垂直平分线为直线，当M为时，得出图象，然后问题可求解； （2）由（1）可得当M为时，可得点P的坐标为，然后问题可求解； （3）由两点间距离公式可得：，，则有，进而问题可求解； （4）由题意可得当时，点，此时，四边形是正方形，则可画出函数图象，然后可得当时，可知，则，进而问题可求解． 【详解】（1）解：当M为时，线段的垂直平分线为直线，过点M垂直于x轴的垂线即为y轴， ∴点P的坐标为； 当M为时，如图1，点P的坐标为， （2）解：∵线段的垂直平分线， ∴当M为时，同理可得点P的坐标为， ∵当点M为时，点P的坐标为， ∴点和关于y轴对称， ∴由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数； （3）解：由两点间距离公式可得：，， ∵， ∴， ∴x、y满足的关系式为； （4）解：x的取值范围为且．理由如下： 如图2，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 由（1）可知当M为时，点P的坐标为，点A、M、P三点共线构成不了三角形， ∴， 综上所述，要使为钝角三角形，x的取值范围为且． 24．(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $