1.4.2第二课时用空间向量解决夹角问题作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固聚焦空间向量求夹角的概念与基本运算，能力进阶侧重复杂几何体及综合情境应用，形成从单一到综合的知识巩固路径，培养数学抽象、逻辑推理与运算素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量求夹角的概念辨析、基本运算及简单几何体应用|含概念辨析题（如直线夹角与方向向量夹角关系）、简单几何体（直三棱柱、正方形）中异面直线角、线面角、面面角计算，解答题分步引导运算| |能力进阶|复杂几何体及综合情境下的夹角问题|涉及三棱锥体积关系、四面体、折叠问题，需综合体积、垂直证明等知识，提升逻辑推理与空间想象能力|

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【基础巩固】 1．已知直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ　　　　　　 B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 解析：D　α＝θ或α＝π－θ，且α∈，因而cos α＝|cos θ|. 2．(2026·江苏南京期中)若向量a＝是直线l的方向向量，向量n＝(2，2，1)是平面α的法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A．　 B.　 　 C．　 D． 解析：C　设直线l与平面α所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝. 3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N.故＝＝所以＝. 4．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．于是＝(0，1，0)，取PD的中点E，则E，∴＝，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos 〈〉＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 5．(多选)已知＝(0，1，1)，＝(2，－1，2)，BE⊥平面BCD，则(　　) A．点A到平面BCD的距离为 B．AB与平面BCD所成角的正弦值为 C．点A到平面BCD的距离为 D．AB与平面BCD所成角的正弦值为 解析：BC　因为BE⊥平面BCD，所以是平面BCD的一个法向量，所以点A到平面BCD的距离为，故A错误，C正确；AB与平面BCD所成角的正弦值为，故B正确，D错误．故选BC. 6．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的大小为________． 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．令PD＝AD＝1，所以A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，－1)，＝(－1，－1，0)，设PA与BD所成的角为θ，则cos θ＝＝，故两直线PA与BD所成角的大小为60°. 答案：60° 7．在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，D，D1分别是AB，A1B1的中点，AC＝BC＝1，A1A＝2.则二面角D-A1C-C1的余弦值是 ________． 解析：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，2)，C(0，0，0)， 可得＝(1，0，2)，＝， 设平面DA1C的法向量为n＝(x，y，z)，则 令x＝2，则可得n＝(2，－2，－1)， 由题意可得：平面A1CC1的法向量m＝(0，1，0)， 则cos 〈n，m〉＝， 由图形可知：二面角D-A1C-C1为钝角，所以其余弦值为－. 答案：－ 8．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________． 解析：平面xOy的一个法向量为n＝(0，0，1)．设平面α的法向量为u＝(x，y，z)， 又＝(－3，4，0)，＝(－3，0，a)，则即即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.而cos 〈n，u〉＝， 又∵a＞0，∴a＝. 答案： 9．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值． 解：以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)， ∴＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)， ∴cos 〈〉＝， ∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为. 10．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 解：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1，C1(0，1，2)． (1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而＝. 又＝(0，2，2)， 故cos 〈〉＝. 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为. (2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝＝(0，2，2)，＝(0，0，2)． 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的法向量，则即 不妨取y＝－1，则x＝，z＝1，所以n＝. 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sin θ＝＝， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为. 【能力进阶】 11．如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，△BCD是正三角形，BC＝2，AD＝，F是棱AC上一点，且满足V三棱锥F-BCD＝2V三棱锥A-BDF，则异面直线BC与DF所成角的余弦值是(　　) A．－　 B．　　 C．　 D． 解析：B　以D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．易知D(0，0，0)，B，A，C(0，2，0)，＝＝. 设，则＝. 因为V三棱锥F-BCD＝2V三棱锥A-BDF， V三棱锥F-BCD＝V三棱锥B-CDF，V三棱锥A-BDF＝V三棱锥B-ADF，所以V三棱锥B-CDF＝2V三棱锥B-ADF，可得S△CDF＝2S△ADF， 即FC＝2FA，所以λ＝，所以＝，则＝， 所以异面直线BC与DF所成角的余弦值为.故选B. 12．如图所示，在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B-AP-C的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：C　如图所示，过点B作BD⊥AP于点D，过点C作CE⊥AP于点E.设AB＝1，则易得CE＝，可以求得BD＝. ∵， ∴， ∴，∴cos 〈〉＝－. 又二面角B -AP-C为锐二面角， 故二面角B -AP-C的余弦值为. 13．正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成的角的余弦值为________． 解析：设正三棱柱的所有棱长为1，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则， ∴＝. 平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1，0，0)． 设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，则 sin θ＝＝， ∴cos θ＝. 答案： 14．如图①所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②所示． (1)证明：CD⊥平面A1OC； (2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值． 　　　 图①　 图② 解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD.则在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，OA1∩OC＝O， OA1⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC， 从而BE⊥平面A1OC， 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. (2)由题得，平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC即为二面角A1-BE-C的平面角，所以∠A1OC＝. 如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，则BE＝，所以B，E，A1，C， ＝＝＝.设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，两平面所成的锐二面角的平面角为θ， 得取n1＝(1，1，1)， 由 得取n2＝(0，1，1)， 从而cos 〈n1，n2〉＝， 所以cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝. 即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【基础巩固】 1．已知直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ　　　　　　 B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ| 2．(2026·江苏南京期中)若向量a＝是直线l的方向向量，向量n＝(2，2，1)是平面α的法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A．　 B.　 　 C．　 D． 3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 4．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．(多选)已知＝(0，1，1)，＝(2，－1，2)，BE⊥平面BCD，则(　　) A．点A到平面BCD的距离为 B．AB与平面BCD所成角的正弦值为 C．点A到平面BCD的距离为 D．AB与平面BCD所成角的正弦值为 6．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的大小为________． 7．在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，D，D1分别是AB，A1B1的中点，AC＝BC＝1，A1A＝2.则二面角D-A1C-C1的余弦值是 ________． 8．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________． 9．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值． 10．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 【能力进阶】 11．如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，△BCD是正三角形，BC＝2，AD＝，F是棱AC上一点，且满足V三棱锥F-BCD＝2V三棱锥A-BDF，则异面直线BC与DF所成角的余弦值是(　　) A．－　 B．　　 C．　 D． 12．如图所示，在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B-AP-C的余弦值为(　　) A． B． C． D． 13．正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成的角的余弦值为________． 14．如图①所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②所示． (1)证明：CD⊥平面A1OC； (2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值． 　　　 图①　 图② 学科网（北京）股份有限公司 $