1.4.2空间距离的向量求法练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦高中数学空间距离向量求法，通过分层设计实现从基础公式应用到综合几何问题解决的进阶，适配新授课知识巩固，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点到平面/直线距离公式直接应用|单选1-5直接套用公式，强化符号意识| |中档|公式变式与几何模型结合|多选9含动点讨论，填空13需建系求法向量，提升推理意识| |综合|跨知识综合应用|解答题16结合线面平行证明与距离计算，体现数学思维的逻辑性|

空间距离的向量求法练习题 本卷满分100分，考试时间100分钟。 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 3．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 B． C． D． 5．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 6．已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 7．下列命题中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若和都为基底，则可以为 D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分) 9．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 10．如图，在正三棱柱中，若，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的体积为 C．点C到直线的距离为 D．点C到直线的距离为 11．已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12．已知点，点，则点到直线的距离为________. 13．如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 14．已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 四、解答题(本大题共2小题,共27分) 15．（12分） 在三棱锥中，已知. (1)若与垂直，求； (2)求点到平面的距离. 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，是中点. (1)求证：平面； (2)若，且，求直线到平面的距离. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《空间距离的向量求法练习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C D D B BC AC 题号 11 答案 AB 1．D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 2．D 【分析】由点到直线的距离的向量公式即可求解． 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 3．A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 4．C 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 5．C 【分析】根据题意，求得，结合点到平面的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由点，，可得， 因为平面的一个法向量，且到平面的距离为， 可得，解得或. 故选：C. 6．D 【分析】先求平面的法向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为，则有， 取，得， 所以点点平面的距离，即四棱锥的高为. 故选：D 7．D 【分析】利用空间直角坐标系对称判断A；利用空间位置关系的向量证明判断B；利用空间基底的意义判断C；求出直线与平面所成角判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A错误； 对于B，若直线的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B错误； 对于C，由是空间向量的一个基底，得，，不共面，则，不共线， 假设，则，即，，共面， 与是空间的一个基底矛盾，因此不可以为，C错误； 对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线与平面所成的角为，D正确. 故选：D 8．B 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量及所过的点，再利用点到平面距离公式求解 【详解】依题意，平面过点，其法向量， 则，所以点Q到平面距离. 9．BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 10．AC 【分析】利用等体积法和三棱锥的体积公式计算即可判断AB；建立如图空间直角坐标系，求出在上的投影的长度，利用向量法求出点线距即可判断CD. 【详解】三棱锥即三棱锥，其体积为，故A正确，B不正确； 取AC的中点O，则，， 以O为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，所以，， 所以在上的投影的长度为， 故点C到直线的距离，故C正确，D错误. 故选：AC. 11．AB 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 12． 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 13．/ 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 14．/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则. 故答案为： 15．(1)； (2). 【分析】（1）利用空间向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解. （2）求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求解. 【详解】（1）由，得，而， 由与垂直，得，即， 所以. （2）设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离. 16．(1)如图所示，连接交于点，连接， 由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形， 则是的中点，又是中点，则. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明；（2）解法一，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法二，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法三，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用空间向量法求解点到面的距离 【详解】（1）略 （2）【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，， 所以，所以. 因为平面，由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为. 因为，，所以. 又因为，，所以，所以. 又因为，，，平面.， 所以平面. 因为点为中点，所以点到平面的距离为. 由，得. 又因为，， 所以，解得， 即直线到平面的距离为. 【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 设平面的法向量为，则， 取，则，，即. 又，则点到平面的距离. 由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $