1.4.1 第3课时空间中直线、平面的垂直同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间垂直关系为核心，通过基础概念辨析、坐标运算应用到综合探究的三阶分层设计，强化逻辑推理与空间观念，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线/平面垂直的概念与判定|单选/填空题（1-4,8-9），如方向向量垂直判断，夯实符号意识| |能力提升|坐标法证明垂直与简单计算|中档选择/填空（5-7,11-13），如正方体中轨迹问题，培养运算能力| |综合应用|复杂垂直证明与存在性探究|解答题（10,14-15），如四棱锥中面面垂直探究，发展创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第3课时　空间中直线、平面的垂直 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共62分 1.若空间中三条不同直线a，b，c的方向向量分别为a，b，c，已知a⊥b，且b∥c，则直线a与直线c必定(　　) A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面 2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列结论中，正确的是(　　) A.两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则l1⊥l2 B.直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则l⊥α C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则α⊥β D.直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则l∥α 4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A.(1，0，-2) B.(1，0，2) C.(-1，0，2) D.(2，0，-1) 5.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，=3，点P在底面ABCD内(包含边界)上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(　　) A. B. C.3 D. 6.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点(包括端点)，且平面MBD⊥平面OC1D1，则等于(　　) A. B. C. D.1 8.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　　　　对. 9.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则=　　　　　. 10.(11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求证：AE⊥CD；(5分) (2)求证：PD⊥平面ABE.(6分) 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DD1的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足NS⊥OM，则下列结论正确的是(　　) A.点S可以是棱CC1的中点 B.点S的轨迹是矩形 C.点S的轨迹所围成的图形的面积为 D.点S轨迹的长度为2+ 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则(　　) A.存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 B.不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 C.存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 D.不存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为　　　　　　. 14.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 15.(15分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (1)证明：A1C⊥AB1；(6分) (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.(9分) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第3课时　空间中直线、平面的垂直参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共62分 1.若空间中三条不同直线a，b，c的方向向量分别为a，b，c，已知a⊥b，且b∥c，则直线a与直线c必定(　　) A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面 答案　C 解析　依题意，a，b，c都不是零向量， 由b∥c可得b∥c，又a⊥b，则可得a⊥c，即a⊥c. 2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量， 则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之，若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件. 3.下列结论中，正确的是(　　) A.两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则l1⊥l2 B.直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则l⊥α C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则α⊥β D.直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则l∥α 答案　C 解析　对于A，两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则b=-a，所以a∥b，即l1∥l2，故A错误； 对于B，直线l的方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的法向量是u=(6，4，-1)，则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误； 对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则u·v=0，所以α⊥β，故C正确； 对于D，直线l的方向向量是a=(0，3，0)，平面α的法向量是u=(0，-5，0)，则u=-a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误. 4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　) A.(1，0，-2) B.(1，0，2) C.(-1，0，2) D.(2，0，-1) 答案　C 解析　由题意知=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC， 所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0， 得-x+1-z=0. ① ·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， ② 联立①②得x=-1，z=2， 故点P的坐标为(-1，0，2). 5.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，=3，点P在底面ABCD内(包含边界)上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(　　) A. B. C.3 D. 答案　B 解析　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D1(0，0，3)，E(1，3，0)，B1(3，3，3)， 设P(x，y，0)，x，y∈[0，3]，则=(x-3，y-3，-3)，=(1，3，-3)， 因为B1P⊥D1E，则·=x+3y-3=0，即x=3-3y，又x∈[0，3]， 所以0≤3-3y≤3，则y∈[0，1]， 而||===， 故当y=1时，线段B1P的长度的最大值为. 6.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 答案　ABC 解析　因为·=-2-2+4=0， 所以⊥，所以AP⊥AB，A正确； 因为·=-4+4+0=0， 所以⊥，所以AP⊥AD，B正确； 因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A， AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD， 所以是平面ABCD的一个法向量，C正确； =-=(2，3，4)， 设=λ=(-λ，2λ，-λ)， 即此方程组无解，D错误. 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，M是棱AA1上一点(包括端点)，且平面MBD⊥平面OC1D1，则等于(　　) A. B. C. D.1 答案　D 解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则B(1，1，0)，D(0，0，0)，O，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)， 设M(1，0，t)，0≤t≤1， 则=，=， =(1，1，0)，=(1，0，t)， 设平面OC1D1的法向量为m=(x，y，z)， 则 令z=1，则m=(2，0，1)， 设平面MBD的法向量为n=(a，b，c)， 则 令c=1，则n=(-t，t，1)， 由题意得m⊥n，则m·n=(2，0，1)·(-t，t，1)=-2t+1=0，解得t=，故=1. 8.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　　　　对. 答案　0 解析　因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对. 9.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且BP⊥平面ABC，则=　　　　　. 答案　 解析　因为⊥， 所以·=0， 即1×3+5×1+(-2)z=0， 所以z=4. 因为BP⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，则BP⊥AB，BP⊥BC， 即⊥，⊥， 所以 解得 所以=. 10.(11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点. (1)求证：AE⊥CD；(5分) (2)求证：PD⊥平面ABE.(6分) 证明　(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1). 因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形. 所以C，E，=， 设D(0，y1，0)，则=， 由AC⊥CD得·=0， 即-+=0， 解得y1=，则D， 所以=. 又=， 所以·=-×+×=0， 所以⊥，即AE⊥CD. (2)方法一　由(1)知=(1，0，0)，=， 设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 则即 令y=2，则n=(0，2，-). 又=，显然=n，所以∥n， 所以PD⊥平面ABE. 方法二　由(1)知=，=. 所以·=×+×(-1)=0， 所以⊥，即PD⊥AE. 由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，DD1的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足NS⊥OM，则下列结论正确的是(　　) A.点S可以是棱CC1的中点 B.点S的轨迹是矩形 C.点S的轨迹所围成的图形的面积为 D.点S轨迹的长度为2+ 答案　C 解析　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为该正方体的棱长为2，M，N分别为BB1，DD1的中点， 则D(0，0，0)，M(2，2，1)，N(0，0，1)，O(1，1，0)， 所以=(1，1，1)，设S(x，y，z)，则=(x，y，z-1)， 因为NS⊥OM，所以·=0， 即x+y+z-1=0，即x+y+z=1， 令z=0，当x=1时，y=0；令z=0，当x=0时，y=1， 取E(1，0，0)，F(0，1，0)， 连接EF，FN，NE，则=(-1，1，0)，=(-1，0，1)， 则·=-1×1+1×1+0×1=0， ·=-1×1+0×1+1×1=0， 所以EF⊥OM，EN⊥OM， 又EF∩EN=E，且EF，EN⊂平面EFN， 所以OM⊥平面EFN， 所以为使NS⊥OM，必有点S∈平面EFN，又点S在正方体的表面上运动， 所以点S的轨迹为正三角形EFN(不与点N重合)，故B错误； 因此点S不可能是棱CC1的中点，故A错误； 正△EFN的边长为，则面积为×()2=，故C正确； 点S轨迹的长度为3，故D错误. 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则(　　) A.存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 B.不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 C.存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 D.不存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 答案　BC 解析　如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 所以=(0，1，0)，=(1，1，1). 设平面B1CD的法向量为m=(x，y，z)， 则 令x=1，则m=(1，0，-1)是平面B1CD的一个法向量. 设Q(1，0，t)(0≤t≤1)， 则=(0，-1，t)， 若BQ与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数λ，使=λm，则(0，-1，t)=λ(1，0，-1)，等式不可能成立， 所以与m不共线，所以不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直，故A错误，B正确； =(1，0，t-1)，若D1Q与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的实数μ，使=μm，则(1，0，t-1)=μ(1，0，-1)， 得μ=1，t=0， 所以当Q的坐标为(1，0，0)时，与m共线，此时D1Q与平面B1CD垂直，故C正确，D错误. 13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=，AB=AC=AA1=1.已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为　　　　　　. 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则E，G，设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)， 则=，=， 由于GD⊥EF， 所以·=0，即x+2y-1=0，x=1-2y， 所以||== =， 又因为x，y∈(0，1)，所以1-2y∈(0，1)， 得y∈，所以||∈， 即线段DF长度的取值范围为. 14.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2.在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由. 解　假设存在，连接AC，交BD于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线， 取AD的中点O，连接GF，OF，OP，则OF⊥AD，OP⊥AD， 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OF⊂平面ABCD， 所以OF⊥平面PAD，又因为OP⊂平面PAD，所以OF⊥OP， 以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示. 则C(-1，2，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，E，F(0，1，0)， 设G(x1，y1，z1)，则=(x1，y1-1，z1)，=(1，1，0)，=， 设平面EDF的法向量是n=(x0，y0，z0)， 则 即 令x0=1，则n=(1，-1，-)， ∵GF⊥平面EDF，∴存在唯一实数λ，使=λn， ∴x1=λ，y1-1=-λ，z1=-λ， ∵，共线， =(-1，2，-)，=(x1+1，y1-2，z1)， ∴==， ∴==，无解， 故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF. 15.(15分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC=60°，AC=4，平面ABC⊥平面ACC1A1. (1)证明：A1C⊥AB1；(6分) (2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，如果存在，找出D点的位置；如果不存在，请说明理由.(9分) (1)证明　连接AC1，由四边形ACC1A1为菱形，得AC1⊥A1C，由∠ACB=90°，得BC⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BC⊂平面ABC， 则BC⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，于是BC⊥A1C，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C， 又AC1∩B1C1=C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1，因此A1C⊥平面AB1C1，又AB1⊂平面AB1C1， 所以A1C⊥AB1. (2)解　取A1C1的中点为E，连接CE， 因为四边形ACC1A1是菱形，且∠A1AC=60°， 所以CE⊥A1C1，CE⊥AC， 又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC， CE⊂平面ACC1A1， 所以CE⊥平面ABC， ∠ACB=90°，即AC⊥BC， 如图，以C为原点， CA，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(2，0，2)，B1(-2，4，2)，C1(-2，0，2)， 设=λ=λ(-4，4，0)，0<λ<1，D(x，y，z)， 所以(x-2，y，z-2)=(-4λ，4λ，0)，可得D(2-4λ，4λ，2)， =(-6，0，2)，=(-2-4λ，4λ，2)， 设平面AC1D的法向量为m=(x1，y1，z1)， 则 令x1=λ，则y1=λ-1，z1=λ， 可得m=(λ，λ-1，λ). =(-4，4，0)，=(-2，0，2)， 设平面ABB1A1的法向量为n=(x2，y2，z2)， 则 令z2=1，则x2=y2=， 可得n=(，，1)， 若平面AC1D⊥平面ABB1A1， 则m·n=λ+(λ-1)+λ=0，解得λ=， 故在线段A1B1(不含端点)上存在一点D，使得平面AC1D⊥平面ABB1A1，此时=. . 学科网（北京）股份有限公司 $