1.4.1.3空间中直线、平面的垂直同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间中直线、平面垂直的向量应用，通过基础计算、综合判断、复杂证明三层设计，实现从概念理解到空间推理的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量垂直判定与计算|单选1-4、填空12-14直接应用定义公式，夯实运算能力| |提升层|线面垂直条件与空间关系判断|多选9-11结合正方体模型，解答16通过坐标系证明，培养空间观念| |综合层|存在性问题与二面角计算|解答17以四棱锥为情境，融合逻辑推理与模型构建，发展创新意识|

1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 3．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 7．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 二、多选题 9．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 10．直线一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与所成的角为 D．平面平面 三、填空题 12．已知向量，，若，则实数________． 13．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 14．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 四、解答题 15．已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 16．如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 17．如图，四棱锥中，是正三角形，平面，，，为的中点，为直线与平面所成的角，且，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 同步练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B C C C D ACD AC 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 2．C 【详解】， ，解得． 3．D 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 4．B 【分析】利用两向量垂直等价于数量积为0，得出方程，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴， 解得：. 5．C 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 6．C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 7．C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 8．D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 9．ACD 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可判断B，利用空间向量垂直和平行的坐标表示即可判断AC，利用空间向量夹角的坐标表示即可判断D.. 【详解】空间向量 对于A，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 10．AC 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 11．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：设该正方体的棱长为， . A：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以不互相垂直，因此平面不成立，故本选项结论不正确； B：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以， 所以平面，故本选项结论正确； C：因为， 所以， 因此与所成的角为，所以本选项结论正确； D：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以，因此平面平面，所以本选项结论正确， 故选：BCD 12． 【详解】向量，， 因为，所以， 解得. 13．0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 14．1 【详解】依题意，向量与向量垂直， 因此，所以. 15．(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 16．(1)证明：如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. (2)证明：设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)证明：因为平面，平面，平面平面， 所以． 所以，又因为是正三角形，所以． 又因为，，所以， 则， 则，所以． 又因为为的中点，所以，又因为，，平面， 所以， 又因为平面，平面，所以平面； (2)证明：因为点为中点，所以，又因为，， 所以，即， 即，所以，． 因为为直线与平面所成的角， 所以过点作平面，垂足一定在直线上， 因为平面，所以， 又因为是正三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 且为的中点，所以； (3)存在， 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，即证即可； （2）利用余弦定理计算，得，又为直线与平面所成的角，过点作平面，垂足一定在直线上，利用线面垂直的判定定理即可得证平面，进而得证； （3）连接，得即为二面角的平面角，进而得，，利用正弦定理得，进而得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，且，，所以， 所以，连接，因为为的中点，所以， 又因为，则即为二面角的平面角， 即， 在中，又因为， 所以， 由正弦定理得：，即， 解得， 所以，所以． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $