2.5.1直线与圆《一隅三反》讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆”核心知识点，系统梳理位置关系判断、弦长计算、切线方程、切线长及应用、距离相关问题、几何意义求最值等考向，构建从基础到综合的递进学习支架，包含例题解析与“一隅三反”变式练习。 资料特色在于整合多地期中、期末及模拟真题，通过分类考向与题组设计，引导学生用数学眼光发现问题，以数学思维推理运算，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

2.5.1 直线与圆 考向一 直线与圆的位置关系 【例1-1】（26-27广东广州）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 【例1-2】（2026·江苏）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 【例1-3】．（25-26云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【解析】直线：可变形为： ，令系数为0，则，解得， 直线恒过定点，圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆，，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 【一隅三反】 1．（25-26陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 2．（2026·云南·模拟预测）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】集合A表示以原点为圆心，半径为1的圆上满足的所有点的集合， 集合B表示直线上的所有点的集合， 结合图形可知，两者交于两点,即的元素个数为2. 3．（25-26河北）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【解析】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 4（25-26广东云浮）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【答案】D 【解析】直线，即， 令，解得，故直线l经过点. 又，所以点在圆外， 故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关. 故选：D 考向二 直线与圆的弦长 【例2-1】（26-27湖南岳阳）直线 被圆 截得的弦长为______. 【答案】 【解析】圆 的圆心 ，半径 . 圆心到直线的距离 . 所以所求的弦长 . 【例2-2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数 【答案】 【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 【例2-3】（2026·辽宁）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为 【答案】 【解析】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点，将化为标准形式，因为，所以点在圆内，而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值，又直线的斜率，所以. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·广东汕头）已知圆，则其被直线截得的弦长为________. 【答案】 【解析】由圆可得，圆心坐标为(2,-1),半径为2， 所以圆心到直线的距离为： 根据半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理， 所以弦长 故答案为： 2．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是 【答案】-4 【解析】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得,由 ，得. 3．（2026·陕西榆林）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为. 定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短. 因为，所以直线的斜率为1，故，解得. 考向三 切线方程 【例3-1】（25-26高二上·河北石家庄）圆在点处的切线方程为 【答案】 【解析】，由切线与直线垂直，得：，得：， 又因为切线经过，所以切线的方程为：，即. 【例3-2】（2026·黑龙江哈尔滨）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【解析】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】将圆化为标准方程，可得圆心坐标为， 由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 2．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为 【答案】或 【解析】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 3．（25-26湖南张家界）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【解析】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为， 因为，即点在圆外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为，则圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或， 故所求切线的方程为或，即或. 考向四 切线长及应用 【例4-1】（2026·天津河西）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【解析】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上，联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：，则， 所以切线长为. 【例4-2】（26-27北京）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 【答案】 【解析】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【例4-3】（25-26高二上·广东汕尾·期末）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径，设， 过点的圆的切线的切点分别为、，连接、、，    则且，又，，所以， 所以. 【例4-4】（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以，所以， 所以四边形面积的最大值. 【例4-5】（25-26湖南长沙）过点与圆相切的两条直线的切点分别为，则___________． 【答案】/ 【解析】将圆化为标准方程得到，所以圆心，半径 ， 则.在直角三角形中，， 所以；同时，代入得到. 故答案为：. 【一隅三反】 1（25-26湖北）由点向圆引的切线长是 【答案】3 【解析】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为，所以点向圆引的切线长是. 2．（2026·浙江）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为 【答案】 【解析】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为 【答案】 【解析】由 可得， 所以，进而可得，故，所以四边形的面积为. 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】/ 【解析】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 【答案】 【解析】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，，则，， 由圆的对称性可知，则，解得.故答案为：. 考向五 圆上点到直线距离相关问题 【例5-1】（25-26福建厦门）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【解析】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 【例5-2】（25-26四川德阳）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为 【答案】7 【解析】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 【例5-3】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是 【答案】 【解析】圆的方程为，圆心坐标为，直线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1，所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即，即，则半径的取值范围是. 【一隅三反】 1．（2026·河南濮阳）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径，直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 2．（26-27高二上·浙江）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为 【答案】 【解析】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨）若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是 【答案】 【解析】根据点到直线的距离公式 圆心到直线的距离等于: 由 解得 半径的取值范围是:. 4．（2025·四川）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是 【答案】 【解析】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线l的距离.因为圆上恰有两个点到直线l的距离为2，所以，即，又，解得：. 考向六 利用几何意义求最值 【例6】（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的范围是 【答案】ABD 【解析】因为实数x，y满足方程， 所以，得圆心为，半径为1， 对于AB，设，则两直线与圆有公共点， 所以， 解得，， 所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确， 对于C，因为原点到圆心的距离为， 所以圆上的点到原点的距离， 所以，所以， 所以的最大值为，所以C错误， 对于D， 表示出圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即，所以D正确， 故选：ABD 【一隅三反】 1.（25-26湖南）（多选）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】设，变形为，此式表示圆上一点 与点 连线的斜率， 由 ，可得，此直线与圆有公共点，则 ， 解得，故 的最大值为，最小值为.故A正确，B错误， 令并将其变形为， 问题可转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值， 所以，解得 ， 所以的最大值为，最小值为. 故C错误； 表示圆 上的点到坐标原点的距离， 原点到圆心的距离， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，故D正确， 故选：AD. 2（25-26北京）（多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】BC 【解析】因为：，化简为：，所以：圆的圆心，半径为. 对于A项：表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示： 所以：的最大值为：，故A项错误； 对于B项：表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示： 设，由圆心到直线的距离：，即：解得：， 所以的最大值为，故B项正确； 对于C、D项：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图所示： 又圆心到直线的距离，所以：圆上任意一点到直的距离的最小值为：，最大值为：， 所以：的最小值为：，最大值为：，故C项正确，D项错误.故选：BC. 3（2026高二·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 【题组一 直线与圆的位置关系】 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【解析】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径.由可知，直线与圆相离. 2．（2026·山东聊城）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【解析】圆C：的圆心为，半径为，圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 4．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 5．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【解析】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 6．（25-26高二下·上海·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，，解得（舍）或， 设，，则，由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 【题组二 直线与圆的弦长】 1．（25-26高二下·甘肃兰州）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】可化为，圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为，所以. 2．（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 3．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知直线被圆所截得的弦长为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆可化为， 圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为. 由弦心距公式可知，，即，解得. 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 6．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 【题组三 圆的切线】 1．（25-26高二上·广东清远·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 【答案】 【解析】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为： 2．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【解析】将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 3．（25-26广西）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为 【答案】或 【解析】设斜率为，圆心到直线的距离为， 当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除， 即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 由题意得，可得，解得或， 即切线方程为或，显然D正确. 4（25-26广东汕头）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【解析】由圆的方程可得圆心，半径，由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为；当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即所以，解得， 此时，切线方程为，综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 5．（2026黑龙江）圆在点处的切线方程为 【答案】 【解析】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为 【答案】 【解析】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【题组四 切线长及应用】 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 2．（25-26福建省泉州）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【解析】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 3．（2026高三下·天津·专题练习）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】由题意，圆的半径， 由直线与圆相切，故连接,有， 即，当时取等号， 故. 4．（2026·广西）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【答案】 【解析】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得, 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ， 将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，， 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则， 其中， 代入得 5．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则 【答案】3 【解析】由题意得，圆心，半径，切线长为， 过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，则有， 即为圆心到直线的距离，解得 6．（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为 【答案】16 【解析】由题意，， 四边形周长为， 当共线且按此顺序排列时，， 则四边形周长最大值为16 7．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为 【答案】 【解析】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离，    因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 8．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】圆的标准方程为， 圆心为，半径，A错误； 对于B，过作直线的垂线，交圆于点，交直线于， 圆心到直线的距离： ，而， 所以圆上只有点满足到直线的距离为2，B正确； 对于，C正确； 对于D，由切线的性质， 得切线长为，D错误. 故选：BC. 【题组五 圆上点到直线距离相关问题】 1．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【解析】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为 【答案】7 【解析】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为 【答案】5 【解析】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点.若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 5．（2025高二·全国·专题练习）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是 【答案】 【解析】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 故需，解得. 【题组六 利用几何意义求最值】 1．（2025·重庆渝中）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，又，令，整理得到， 由题可得，整理得到，解得， 所以，故选：B. 2．（25-26高二下·广西南宁·期末）（多选）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 【答案】BC 【解析】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 3．（2026河北）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1)(2)(3)最小值为，最大值为． 【解析】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 4．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3)9 【解析】（1）方程表示以为圆心，的圆，表示点与的连线的斜率，设过点的直线的斜率为，则，即， 所以圆心到直线的距离，解得，所以 的最小值为； （2）令，即， 则圆心到直线的距离，解得，即， 故的最小值为； （3）=，表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离，因为，所以，即， 所以，故 的最小值为9； 5．（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【答案】(1)21 (2) (3)最小值为，最大值为 【解析】（1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆 考向一 直线与圆的位置关系 【例1-1】（26-27广东广州）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【例1-2】（2026·江苏）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【例1-3】．（25-26云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【一隅三反】 1．（25-26陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．（2026·云南·模拟预测）已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26河北）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 4（25-26广东云浮）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 考向二 直线与圆的弦长 【例2-1】（26-27湖南岳阳）直线 被圆 截得的弦长为______. 【例2-2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数 【例2-3】（2026·辽宁）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为 【一隅三反】 1．（25-26高二上·广东汕头）已知圆，则其被直线截得的弦长为________. 2．（25-26高二下·广东广州）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是 3．（2026·陕西榆林）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为 考向三 切线方程 【例3-1】（25-26高二上·河北石家庄）圆在点处的切线方程为 【例3-2】（2026·黑龙江哈尔滨）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【一隅三反】 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）圆在点处的切线方程为______. 2．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为 3．（25-26湖南张家界）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 考向四 切线长及应用 【例4-1】（2026·天津河西）已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【例4-2】（26-27北京）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 【例4-3】（25-26高二上·广东汕尾·期末）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则 【例4-4】（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为 ． 【例4-5】（25-26湖南长沙）过点与圆相切的两条直线的切点分别为，则___________． 【一隅三反】 1（25-26湖北）由点向圆引的切线长是 2．（2026·浙江）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为 4．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 5．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 考向五 圆上点到直线距离相关问题 【例5-1】（25-26福建厦门）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【例5-2】（25-26四川德阳）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为 【例5-3】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是 【一隅三反】 1．（2026·河南濮阳）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（26-27高二上·浙江）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨）若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是 4．（2025·四川）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是 考向六 利用几何意义求最值 【例6】（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的范围是 【一隅三反】 1.（25-26湖南）（多选）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 2（25-26北京）（多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 3（2026高二·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【题组一 直线与圆的位置关系】 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．（2026·山东聊城）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 5．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二下·上海·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【题组二 直线与圆的弦长】 1．（25-26高二下·甘肃兰州）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知直线被圆所截得的弦长为4，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【题组三 圆的切线】 1．（25-26高二上·广东清远·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 2．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）过点作圆的切线，则切线方程为_________. 3．（25-26广西）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为 4（25-26广东汕头）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 5．（2026黑龙江）圆在点处的切线方程为 6．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为 【题组四 切线长及应用】 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 2．（25-26福建省泉州）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 3．（2026高三下·天津·专题练习）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 4．（2026·广西）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 5．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则 6．（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为 7．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为 8．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）（多选）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【题组五 圆上点到直线距离相关问题】 1．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是 5．（2025高二·全国·专题练习）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是 【题组六 利用几何意义求最值】 1．（2025·重庆渝中）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广西南宁·期末）（多选）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 3．（2026河北）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 4．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 5．（23-24高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $