专题10 圆与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系判定（几何法、代数法）、公切线、公共弦方程及圆系方程等内容，构建从基础原理到综合应用的递进式学习支架。 该资料以高频考点为纲，结合丰富例题覆盖位置关系判断、参数范围确定等八类问题，通过具体实例培养学生数学思维与应用意识，课中助力教师系统授课，课后便于学生回顾强化、查漏补缺。

专题10 圆与圆的位置关系高频考点精讲 知识点1： 圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点2： 两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 知识点3： 两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 知识点4： 利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 考点一　判断圆与圆的位置关系 考点二　由圆的位置关系确定参数或范围 考点三　相交圆的公共弦方程 考点四　两圆的公共弦长 考点五　圆的公切线方程 考点六　圆的公切线长 考点七　圆系方程的应用 考点八　与圆有关的最值 考点一　判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆与圆的公切线条数为___________． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)圆，当为何值时，两圆外切？ 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 6．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 考点二　由圆的位置关系确定参数或范围 7．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 9．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三　相交圆的公共弦方程 13．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 15．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 16．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 考点四　两圆的公共弦长 17．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 19．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 20．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 考点五　圆的公切线方程 21．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 23．（2026·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 24．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆与圆． (1)若，且圆与圆相切，求的值； (2)若，，且圆与圆有两个不同的交点，，求线段的长； (3)若，，求圆与圆的公切线一般式方程． 考点六　圆的公切线长 25．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 26．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 27．（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 28．（25-26高二·全国·课后作业）圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 考点七　圆系方程的应用 29．（2026高二·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 30．（25-26高二·全国·课后作业）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 31．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 32．（25-26高二·全国·课后作业）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 考点八　与圆有关的最值 33．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）（多选）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 34．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为____________ 35．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（多选）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 38．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； (3)若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆与圆的位置关系高频考点精讲 知识点1： 圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点2： 两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 知识点3： 两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 知识点4： 利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 考点一　判断圆与圆的位置关系 考点二　由圆的位置关系确定参数或范围 考点三　相交圆的公共弦方程 考点四　两圆的公共弦长 考点五　圆的公切线方程 考点六　圆的公切线长 考点七　圆系方程的应用 考点八　与圆有关的最值 考点一　判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求圆心坐标，再求圆心距，再利用两圆相交得，解出即可求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆与圆的公切线条数为___________． 【答案】 【分析】先求圆心距，利用几何法判断圆与圆的关系，进而求解. 【详解】由圆得，由圆得，所以， 所以，所以， 所以圆与圆内切，所以圆与圆有1条公切线， 故答案为：1. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心距，得到两圆相交，有两条公切线． 【详解】圆心，半径， ，故圆心，半径． 圆心距， 所以两圆相交，有两条公切线． 故选：B． 4．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)圆，当为何值时，两圆外切？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心，利用圆心到点和距离相等联立关于的方程，进而求解圆的方程； （2）利用两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，建立关于的方程求解. 【详解】（1）设圆心，则圆心到点和距离分别为 ， 所以 ，即， 解得， 所以圆的半径，圆心， 故圆的方程为. （2）由圆，得， 故圆的圆心，设半径为，则. 两圆外切时满足， 又因为， 所以，解得. 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【分析】根据圆与圆的位置关系的判断即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 6．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【分析】圆关于直线对称，说明圆心在该直线上，求出圆的圆心和半径，根据圆的半径与圆心距的关系判断选项. 【详解】由圆得，，圆心，半径， 圆关于直线对称，说明圆心在该直线上， 所以，，解得，故，. 由得，圆心，半径，， ，， 所以，所以两圆外切. 故选：C 考点二　由圆的位置关系确定参数或范围 7．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 【答案】 1 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解半径；由是钝角得出M点在以为直径的圆内，列出不等式求解即可． 【详解】圆化为， 所以圆的半径为1，圆心； 是钝角，表示M点在以为直径的圆内， 设以为直径的圆为圆O，则两圆内含，圆C在内部， 两圆心距离，圆C的半径为1，圆半径为， 由． 9．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由相切性质可计算出圆的半径的最小值，则可求出点坐标，即可得其标准方程. 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 10．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为直径的圆上，根据圆与圆的位置关系可得的范围. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 11．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 12．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 考点三　相交圆的公共弦方程 13．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 14．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 15．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 16．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 考点四　两圆的公共弦长 17．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 18．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 19．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 20．（25-26高二上·江苏南京·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 考点五　圆的公切线方程 21．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 22．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 23．（2026·江苏·模拟预测）写出与圆和都相切的一条直线的方程______． 【答案】（或，） 【分析】由题知两圆位置关系为外切，有三条公切线，进而作出图象，结合图象可设公切线方程为，再根据相切关系建立方程，，两式作比得，再分类求解即可. 【详解】由题知的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 所以，故两圆位置关系为外切，有三条公切线. 如图，由图可知，公切线方程斜率存在，故设方程为， 则由直线与相切得：，即， 由直线与相切得：，即， 所以，即， 所以， 当时，，代入整理得，解得或， 此时公切线方程为（）或， 当时，，代入整理得，解得，此时公切线方程为（）， 综上，所求的公切线方程为，或 故答案为：（或，） 24．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆与圆． (1)若，且圆与圆相切，求的值； (2)若，，且圆与圆有两个不同的交点，，求线段的长； (3)若，，求圆与圆的公切线一般式方程． 【答案】(1)相外切：；相内切 (2) (3)或或 【分析】（1）求出两个圆的圆心距，再利用两个圆相切的条件求解即可； （2）求出公切线所在直线的方程，再利用圆的弦长公式计算即可； （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）（1）已知圆的圆心为，圆的圆心为，则， 当圆与圆相外切时，由，得：，解得：； 当圆与圆相内切时，由，得：，又，解得：. （2）当时，得：圆， 当时，得：圆，即. 由于，所以此时两个圆相交， 将两圆的方程相减得直线方程为. 圆心到直线的距离， 所以. （3）当，时，，即得：圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，条外公切线，，    如图易知，外公切线的斜率不存在，其方程为； 切线和的斜率存在，设方程为，则， 整理得或， 解，得：，解，得：， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即. 所以圆与圆的公切线方程为，，. 考点六　圆的公切线长 25．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 26．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 27．（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 28．（25-26高二·全国·课后作业）圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 考点七　圆系方程的应用 29．（2026高二·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 【答案】 【分析】设所求圆的方程为：，将原点代入方程可得，进而求解即可. 【详解】设所求圆的方程为：， 即， 因为所求圆过原点，所以，得， 故所求圆的方程为：． 30．（25-26高二·全国·课后作业）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【分析】由已知，设所求的圆的方程为，再根据圆心在直线上，求得，代入即可得到所求圆的方程. 【详解】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 31．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 32．（25-26高二·全国·课后作业）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 考点八　与圆有关的最值 33．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）（多选）若圆与圆N关于直线对称，则（   ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【答案】BC 【分析】根据对称求出圆N的方程，根据两圆的方程可判断A,B，根据点和圆心的距离可判断C,D. 【详解】因为圆与圆N关于直线对称，所以圆. 圆心距，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确； 因为，所以圆N上一点与点的距离的最小值为，C正确； 因为，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为，D错误. 34．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为____________ 【答案】 【分析】由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程. 【详解】由，则动圆心的轨迹方程为. 为圆上的动点，又， ∴， ∵，，， ∴， ∴当最小时，最小，当最大时，最大. 当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为， ∴外接圆方程为，即. 故答案为：. 35．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：A. 36．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上， 所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以. 故选：    37．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（多选）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 【答案】BCD 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆M上的点到直线l的最小和最大距离，分析可判断A的正误；根据切线长公式，结合圆心到直线的距离，分析可判断B的正误；根据B选项中的最小距离，代入面积公式，即可判断C的正误；求出点P的轨迹方程，与圆M方程联立，可得直线AB的方程，分析可判断D的正误. 【详解】对于A，由圆M：，可知圆心，半径r＝1， 所以圆心到直线的距离为， 圆M上的点到直线l的最小和最大距离分别为和， 由于，圆M上有两个点到直线l的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值， 又，所以，故B正确； 对于C，因为四边形AMBP面积为， 因为，所以四边形AMBP面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点A，B在以PM为直径的圆上， 又，所以点P的轨迹为， 即， 又圆M：，即， 两式子相减得直线AB的方程为：，即， 令，得，即直线AB恒过定点，故D正确．    38．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； (3)若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求解； （2）根据和圆M的半径解出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式列出方程即可求解； （3）设的坐标，根据，分析出P点满足另一圆的方程，结合两圆存在交点即可求解． 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得， 解得，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． （2）已知圆的方程为，则圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，所以直线的方程为，整理得； 综上，直线的方程为或． （3）设的坐标，因为， 所以， 整理得，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点在圆，所以两个圆有公共点， 故有， 解得．    2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $