2.5.1 直线与圆的位置关系（8个题型归纳）暑假预习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.5.1 直线与圆的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _两个____ __一个___ __零个___ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 __ ___ __ ___ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _ ____ _____ _____ 2．若直线与圆相交，则圆的半径r，弦心距d，与弦长的一半满足______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 1.直线与圆相离无公共交点 2.直线与圆相切仅有一个公共点 3.直线与圆相交存在两个公共点 方法技巧 1.法一（几何法）计算圆心到直线距离与半径比较大小（优先选用） 2.法二（代数法）联立直线与圆方程消元得到一元二次方程通过判别式判断 3.相交相切相离 （26-27高三·全国·一轮复习）已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？经典例题1例题 （26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ）小试牛刀1 A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 （2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ）小试牛刀2 A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 （河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ）小试牛刀3 A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【题型2：由直线和圆的位置关系求参数】 【练方法】 公式结论 根据位置关系列出对应不等式或等式 相离： 相切： 相交： 方法技巧 1.写出圆心坐标与半径代入距离公式构造含参方程或不等式 2.去掉绝对值后转化为双向不等式求解参数范围 3.直线含参数时注意直线恒过定点的特殊情况简化运算 （25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ）经典例题1例题 A． B．0 C． D．0或 （2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ）小试牛刀1 A．或 B． C． D．或 （2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·山东青岛·三模）已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ）小试牛刀3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3：求圆的弦长】 【练方法】 公式结论 弦长公式 为圆心到直线距离为圆半径 方法技巧 1.几何法优先：求圆心到直线距离直接代入弦长公式 2.代数法：联立方程利用韦达定理弦长公式 3.垂直于直径的弦适用垂径定理 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．2 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ）小试牛刀1 A．2 B． C．3 D．4 （2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（   ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．1 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（   ）小试牛刀3 A． B．4 C． D．5 【题型4：由弦长求参数】 【练方法】 公式结论 由变形得 再带入距离表达式建立含参方程 方法技巧 1.已知弦长先反求圆心到直线允许的距离 2.带入点到直线距离公式构造含参等式 3.解出参数后验证直线与圆确实相交 （26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ）小试牛刀1 A．2 B．3 C．4 D．5 （2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ）小试牛刀2 A．6 B． C．6或16 D．或 （2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：求圆的切线方程】 【练方法】 公式结论 1.点在圆上 切线方程： 2.过圆外一点存在两条切线 3.斜率为的切线常设利用求解 方法技巧 1.先判断点在圆上、圆外还是圆内圆内不存在切线 2.设斜截式务必单独讨论斜率不存在的竖直线 3.利用圆心与切点连线垂直切线得到斜率关系 （2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ）小试牛刀1 A． B． C．或 D． （25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ）小试牛刀2 A．或 B．或 C．或 D． （25-26高二下·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.小试牛刀3 (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【题型6：直线与圆的位置关系的距离最值】 【练方法】 公式结论 设定点圆心 1.圆上点到直线距离最大值：（通用几何模型） 2.圆上动点到定直线距离最值： 为圆心到定直线距离 方法技巧 1.优先几何直观法利用圆心作为中间桥梁 2.动直线问题先寻找直线恒过定点 3.相切位置通常对应距离临界最值 （25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______.经典例题1例题 （25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ）小试牛刀1 A．2 B．3 C．5 D．6 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____．小试牛刀2 （2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ）小试牛刀3 A．7 B．5 C．3 D．2 【题型7：切点弦方程】 【练方法】 公式结论 圆圆外一点 切点弦直线方程： 方法技巧 1.区分切线方程与切点弦方程点在圆上为切线点在圆外为切点弦 2.可联立两个切点处切线方程推导得到 3.切点弦中点、圆心、外点三点共线 （2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.经典例题1例题 （2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________．小试牛刀1 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ）小试牛刀3 A． B．1 C． D．2 【题型8：直线与圆的位置关系实际应用】 【练方法】 公式结论 核心依旧依托距离公式、弦长公式、切线判定、垂径定理 方法技巧 1.建立平面直角坐标系将文字条件转化坐标与方程 2.提取几何模型：视线对应切线、遮挡边界对应相交相离、桥梁轨道对应弦 3.结合实际定义域取舍参数解 （24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处.经典例题1例题 (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. （24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点．小试牛刀1 (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ （24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.小试牛刀2 (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. （24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.小试牛刀3 (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 二、多选题 5．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 6．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 三、填空题 7．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 8．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 9．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 10．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 12．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 四、解答题 13．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 14．（24-25高二上·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 15．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 16．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.5.1 直线与圆的位置关系】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _两个____ __一个___ __零个___ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 __ ___ __ ___ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _ ____ _____ _____ 2．若直线与圆相交，则圆的半径r，弦心距d，与弦长的一半满足______． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：判断直线和圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 1.直线与圆相离无公共交点 2.直线与圆相切仅有一个公共点 3.直线与圆相交存在两个公共点 方法技巧 1.法一（几何法）计算圆心到直线距离与半径比较大小（优先选用） 2.法二（代数法）联立直线与圆方程消元得到一元二次方程通过判别式判断 3.相交相切相离 （26-27高三·全国·一轮复习）已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？经典例题1例题 【答案】当时，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，直线与圆相离，无公共点． 【分析】根据消元后判别式的符号或圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系. 【详解】法1：由可得， 故， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 法2：圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． （26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ）小试牛刀1 A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. （2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ）小试牛刀2 A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. （河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ）小试牛刀3 A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 【题型2：由直线和圆的位置关系求参数】 【练方法】 公式结论 根据位置关系列出对应不等式或等式 相离： 相切： 相交： 方法技巧 1.写出圆心坐标与半径代入距离公式构造含参方程或不等式 2.去掉绝对值后转化为双向不等式求解参数范围 3.直线含参数时注意直线恒过定点的特殊情况简化运算 （25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ）经典例题1例题 A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. （2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ）小试牛刀1 A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. （2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 （2026·山东青岛·三模）已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ）小试牛刀3 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切求出的值，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】若直线与圆相切，且圆的圆心为坐标原点，半径为，则， 整理可得，可得，解得或， 因为是的真子集，故“”是“与圆相切”的充分不必要条件. 【题型3：求圆的弦长】 【练方法】 公式结论 弦长公式 为圆心到直线距离为圆半径 方法技巧 1.几何法优先：求圆心到直线距离直接代入弦长公式 2.代数法：联立方程利用韦达定理弦长公式 3.垂直于直径的弦适用垂径定理 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ）小试牛刀1 A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 （2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（   ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，所以． （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在轴上截得的弦长为（   ）小试牛刀3 A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】通过令，确定三个交点坐标，再设圆的一般方程，代入三个交点坐标，得到，，进而可求解. 【详解】与轴交点：令，得，设交点为； 与轴交点：令，得，判别式， 有两个不同实根，设交点，共三个不同交点， 设过三点的圆方程为 ， 将代入得：， 将代入， 得， 又， 对应相减得：， 因为，故系数必为0， 得，， 代入，解得， 令代入圆方程得：， 设两根为，由韦达定理：，， 弦长为：， 因此弦长为. 【题型4：由弦长求参数】 【练方法】 公式结论 由变形得 再带入距离表达式建立含参方程 方法技巧 1.已知弦长先反求圆心到直线允许的距离 2.带入点到直线距离公式构造含参等式 3.解出参数后验证直线与圆确实相交 （26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线被圆截得的弦长为，而该圆半径为2， 因此圆心到该直线的距离，又， 即，所以直线的斜率. （2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ）小试牛刀1 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. （2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ）小试牛刀2 A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. （2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂径定理计算出弦长，其中为圆心到直线的距离，再计算出,再利用点到直线的距离公式计算出. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 直线l的一般式方程为. 由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 则，得，即， 又， 解得. 【题型5：求圆的切线方程】 【练方法】 公式结论 1.点在圆上 切线方程： 2.过圆外一点存在两条切线 3.斜率为的切线常设利用求解 方法技巧 1.先判断点在圆上、圆外还是圆内圆内不存在切线 2.设斜截式务必单独讨论斜率不存在的竖直线 3.利用圆心与切点连线垂直切线得到斜率关系 （2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． （25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ）小试牛刀1 A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆 相切的直线方程是或. 故选：D. （25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ）小试牛刀2 A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. （25-26高二下·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.小试牛刀3 (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 【题型6：直线与圆的位置关系的距离最值】 【练方法】 公式结论 设定点圆心 1.圆上点到直线距离最大值：（通用几何模型） 2.圆上动点到定直线距离最值： 为圆心到定直线距离 方法技巧 1.优先几何直观法利用圆心作为中间桥梁 2.动直线问题先寻找直线恒过定点 3.相切位置通常对应距离临界最值 （25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______.经典例题1例题 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. （25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ）小试牛刀1 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. （2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. （2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ）小试牛刀3 A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 【题型7：切点弦方程】 【练方法】 公式结论 圆圆外一点 切点弦直线方程： 方法技巧 1.区分切线方程与切点弦方程点在圆上为切线点在圆外为切点弦 2.可联立两个切点处切线方程推导得到 3.切点弦中点、圆心、外点三点共线 （2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________.经典例题1例题 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. （2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________．小试牛刀1 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用圆外切线的几何性质得出四点共圆，求出辅助圆的方程，联立两圆方程求出切点弦方程，再通过联立所在直线方程求出定点． 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆 ， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． （25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ）小试牛刀3 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 【题型8：直线与圆的位置关系实际应用】 【练方法】 公式结论 核心依旧依托距离公式、弦长公式、切线判定、垂径定理 方法技巧 1.建立平面直角坐标系将文字条件转化坐标与方程 2.提取几何模型：视线对应切线、遮挡边界对应相交相离、桥梁轨道对应弦 3.结合实际定义域取舍参数解 （24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处.经典例题1例题 (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1) (2)不会有触礁危险，理由如下： 以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. （24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点．小试牛刀1 (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． （24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.小试牛刀2 (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. （24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.小试牛刀3 (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【分析】（1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. 【详解】（1）由题意知：，，， ，，. （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 2．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 3．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 4．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】比较直线到圆心距离与圆半径大小关系，据此可判断选项正误. 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 二、多选题 5．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【详解】解法1：对于A，∵点在圆上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故A正确； 对于B，∵点在圆内，， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离，故B正确； 对于C，∵点在圆外，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相交，故C错误； 对于D，∵点在直线上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故D正确． 解法2：（极点极线），若此点为极点，则对应极线刚好是：． 如果极点在圆内，则极线在圆外，与圆相离；如果极点在圆外，则极线在圆内，与圆相交； 如果极点在圆上，则极线与圆相切，因此ABD正确． 6．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 三、填空题 7．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式计算，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 8．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 9．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【答案】 【分析】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 10．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 12．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 四、解答题 13．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 14．（24-25高二上·福建厦门·期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②直线的一个方向向量为；③与直线 平行.已知直线过点，______. (1)求直线的一般方程； (2)若直线与圆相交于P、Q，求弦长|PQ|. 【答案】(1)选①，直线的方程为，选②，直线的方程为，选③，直线的方程为 (2)4 【分析】（1）①应用垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程；②根据方向向量得出斜率，再点斜式得出直线方程；③应用平行得出斜率，再点斜式得出直线方程； （2）应用点到直线的距离及圆的半径，再结合几何法计算得出弦长即可. 【详解】（1）选①；因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为.即 选②:因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 依题意，直线的方程为，即； 选③:因为直线的斜率为，又因为直线与平行， 所以直线的斜率为 依题意，直线的方程为，即 （2）圆的圆心到直线的距离为 由圆的半径为，可知 15．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【详解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 16．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 【答案】(1)与 (2)， 【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合点到直线距离公式求解； （2）先求出切点坐标，再利用圆的切线的基本性质求出所在直线斜率，进而求出直线方程，最后求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出． 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 过的直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1， 若直线斜率不存在，则过的直线方程为，则圆心到直线的距离为， 符合题意，故是圆的切线方程； 若直线斜率存在，设为，则直线方程为，圆心到直线的距离为， 即，解得，则直线方程为， 切线方程为与． （2） 联立切线与圆的方程，解得，故点， 点位于圆外，连接交于点， ， ，， ，为等腰三角形，为中点， ， ，解得， 直线的方程为，一般方程为：， 圆心到直线的距离为， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $