2.5.2 圆与圆的位置关系（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线与圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 课标要点 1.掌握圆与圆的五种位置关系，会用几何法、代数法判别两圆位置，能区分公切线条数。 2.理解圆心距、半径之间的数量关系，能利用等式、不等式求解相关参数取值问题。 3.理解圆系方程的几何意义，会使用圆系、根轴（公共弦）解决两圆相交、相切类计算。 学习重难点 重点： 1.圆与圆五种位置关系，掌握几何法，利用圆心距d与两圆半径、的大小关系判断位置。 2.两圆相交求公共弦直线方程，掌握根轴的几何含义，会简单计算公共弦长。 3.圆系方程的三种常见形式，能利用圆系简化求解过交点、相切定点的圆的方程。 难点： 1.区分代数法的局限：代数只能分出相交、相切、相离，不能区分内切 / 外切、外离 / 内含。 2.圆系方程参数的限制条件，理解退化为根轴直线，容易遗漏不能表示的圆。 知识点一 圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。 进一步归类： ①相离（无公共点）：包含外离、内含；同心圆是内含的特殊情形（圆心距）。 ②相切（仅有一个公共点）：包含外切、内切。 ③相交（两个不同公共点）。 （1）几何法判断 设两圆圆心为、，半径、，圆心距。 位置关系 圆心距与半径关系 公共点个数 公切线条数 图示 外离 0个 4条 外切 1个 3条 相交 2个 2条 内切 1个 1条 内含 0个 0条 （2）代数法判断 设圆，圆，联立两圆的方程，得到方程组： 有两组不同实数解两圆相交； 有两组相同实数解两圆相切（内切或外切）； 无实数解两圆相离（外离或内含）。 特别提醒 代数法只能判断相交、相切、相离三大类，无法区分外切/内切，也无法区分外离/内含，需要结合几何图形或者圆心距进一步判定。 即学即练 1．（2025·26高二上·河南·阶段检测）已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（   ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为，，，， 所以圆与圆相交. 故选：B 2．（2025·26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 知识点二 圆系方程 1.过圆与直线交点的圆系方程 已知圆：与直线：，圆与直线有交点。 过圆与直线交点的圆系方程： 说明：（1），该方程表示全部经过圆与直线交点的圆； （2）该圆系不能表示直线本身，始终代表圆； （3）用途：已知交点，不需要解出交点坐标，直接求满足其他条件的圆方程。 2.过两圆交点的圆系方程 已知圆：，圆： 过两圆交点的圆系方程： 说明：（1），保证系数不为0，方程表示圆； （2）该圆系可以表示过两圆交点的所有圆，但是不能表示圆；若所求圆恰好是，需要单独检验代入。 当，两圆方程相减，消去二次项，得到直线方程： 这条直线的几何意义： （1）两圆相交：此直线为公共弦所在直线，两个交点都在这条直线上； （2）两圆相切（外切/内切）：此直线为两圆的公切线，切点在该直线上； （3）两圆相离、内含：直线上每一点到两个圆的切线长相等，叫做根轴；特别当两圆半径相等时，根轴就是两圆圆心连线的垂直平分线。 易错提醒 不管两圆位置，直接将两圆方程相减，把得到的直线一律当成公共弦：只有两圆相交，相减得到的才是公共弦；相切得到公切线；相离、内含得到根轴，不是公共弦。 处理方法：求公共弦前，先判断两圆为相交关系，再做两圆方程相减运算。 即学即练 3．经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【详解】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得， 解得，故所求圆的方程为. 故答案为： 题型01 判断两圆的位置关系 典｜例｜精｜析 【例1】圆与圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】由圆可知，则圆心坐标为，设半径为， 圆可知圆心坐标为，设半径为， 所以两圆圆心距， 又因为， 所以两圆相交， 故选：B. 【例2】已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【详解】由圆得，，圆心，半径， 圆关于直线对称，说明圆心在该直线上， 所以，，解得，故，. 由得，圆心，半径，， ，， 所以，所以两圆外切. 故选：C 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】圆与圆的位置关系为_____ 【答案】相交 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 所以圆与圆相交． 故答案为：相交． 【变式1-2】若直线被圆截得的弦长为，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】圆可化为， 则圆圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 又截得的弦长为， 所以，解得， 即，， 由题意知，圆半径， 因为，，， 则， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故选：C. 【变式1-3】已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【详解】由点在圆外，得， 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因此，所以圆与圆外离. 故选：D 题型02 根据两圆的位置关系求参数范围 典｜例｜精｜析 【例3】若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 【例4】若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 【变式2-2】（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 【变式2-3】已知圆（，且），在这五个圆中任意选取两个不同的圆，则这两圆相切的不同取法种数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】已知每个圆的半径，若两圆内切，则，不符合题意；若两圆外切，则，则两圆外切的取法有和，和，和，共3种. 综上所述，两圆相切的不同取法种数为3． 题型03 公切线条数问题 典｜例｜精｜析 【例5】圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A 【例6】已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 【变式3-2】已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【答案】 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 【变式3-3】已知两圆和恰有一条公切线，则动点（m，n）的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两圆的标准方程分别为和， 得圆心分别为（0，2m）和（n，0），半径分别为1和3， 又两圆恰有一条公切线，所以两圆内切， 所以，则，即. 故选：D. 题型04 公切线长问题 典｜例｜精｜析 【例7】圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 【例8】如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【答案】 【详解】如图所示，因为圆与圆相外切，所以连接，则. 延长，交直线于点. ，所以，所以点分别为的中点. 所以，所以，所以. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 【变式4-2】）圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 【变式4-3】已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 题型05 求公切线方程 典｜例｜精｜析 【例9】已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，或填或填） 【详解】设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切，    由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一，或填或填） 【例10】（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【答案】，和 【详解】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 【变式5-2】（多选）已知圆和圆，下列说法正确的是（   ） A．两圆相内切 B．两圆相外切 C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线 【答案】BCD 【详解】由题可得,,,，所以，所以两圆相外切，故A错误，B正确； 对于C选项，圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故C正确； 对于D选项,圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故D正确； 故选：BCD 【变式5-3】（十七、两圆的公切线问题）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 【答案】 【详解】由题意，圆心都在轴与直线组成角的角平分线上． 若直线的斜率，设，则． 圆心在直线上，可设． 交点在第一象限，， 所以． 所以 即 所以是方程的两根，于是． 由半径的积，得，故． 所以，直线的方程为． 题型06 求公共弦方程 典｜例｜精｜析 【例11】已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 【例12】在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 联立方程组，可得直线的方程， 原点到直线的距离为， 在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点， ， 在中，， 所以， 所以. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程相减， 即可得公共弦所在直线的方程为. 故选：C 【变式6-2】已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为________. 【答案】 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，，所以，在圆心为，半径为的圆上， 其方程为，所以与两边分别作差， 得，即直线的方程为. 故答案为：. 【变式6-3】已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______. 【答案】 【详解】因点为直线上，所以设，而和均为直角三角形， 所以四点在一个圆上，圆心为的中点，直径为， 所以方程为，即， 与相减得直线的方程：，， 令，得，所以直线过定点. 根据平面几何知识，当时点到直线的距离最大，. 故答案为：. 题型07 求公共弦长 典｜例｜精｜析 【例13】已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 【例14】已知圆为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点， (1)求圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）圆可化为， 则其圆心为，半径， 则中点，， 所以圆的方程为. （2）由（1）知，圆与圆相交，将两个方程相减得：， 所以直线的方程为. （3）点到直线的距离，则， 而，所以四边形的面积. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 【变式7-2】过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以． 【变式7-3】已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则______. 【答案】 【详解】如下图所示： 圆：即，圆心为，半径为， 由题意可知，，，，所以， 所以，所以， 设，则为的中点， 故四边形的面积为，则， 故，所以， 所以，又因为， 所以，解得. 故答案为： 题型08 圆系方程问题 典｜例｜精｜析 【例15】已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程; (2)求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由得， 圆心，半径， 又到圆心的距离为， 所以点在圆外， 所以过点的切线共有两条， 当切线斜率存在时，设切线方程为， 即， 所以圆心到直线的距离， 解得，所以直线方程为， 即， 当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切， 综上所述，切线方程为或. （2）已知可设圆的方程为， 即， 则圆的半径， 可知当时，取最小值为，此时面积最小为. 圆的方程为 【例16】已知圆与圆． (1)判断圆与圆的位置关系 (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1)相交 (2) 【分析】 【详解】（1）圆可得圆心，半径， 圆化成标准方程为，得圆心，半径，， 则，即， 所以圆与圆相交. （2）由，解得或， 则交点，， 因为圆心在直线上，所以设圆心， 则，即，解得， 可得圆心，半径为， 所以所求圆的方程为. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 【变式8-2】已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)证明： 圆：化为标准方程为， ∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为， ∴，∵.∴两圆相交； (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）由，解得或 则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为， 则，即，解得， 故圆心，半径，∴所求圆的方程为. 40．已知两个圆C1:x2+y2=4，C2:x2+y2-2x-4y+4=0，直线l:x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程. 【答案】x2+y2-x-2y=0. 【详解】设所求圆的方程为x2+y2+4-2x-4y+λ(x2+y2-4)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0. 所以圆心为， 半径为， 即. 解得λ=±1，舍去λ=-1，圆x2+y2=4显然不符合题意，故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0 【点睛】本题考查直线与圆以及圆与圆的位置关系，考查点线距公式，考查学生计算能力，属于中档题． 基础通关 一、单选题 1．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 2．在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆心，半径， ，故圆心，半径． 圆心距， 所以两圆相交，有两条公切线． 故选：B． 3．圆与圆的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相交 D．内含 【答案】A 【详解】即，圆心，半径， 的圆心，半径， 则， 故两圆的位置关系是外切. 故选：A 4．圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故圆的半径为，圆的半径为，且， 故圆心距为，而， 故两圆相交，故两圆有两条外公切线，    设一条公切线与两圆的切点分别为，两条切线的交点为， 连接，则，故， 由几何性质可得共线，故， 故为的中点，故， 故选：C. 5．若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆，即， 则圆心为，半径为， 由圆，即， 则圆心为，半径为， 由于线段的垂直平分线即为直线， 而，则直线的方程为，即. 故选：D 6．如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得圆的方程为，圆的方程为， 圆的方程为； 圆与圆的相交弦所在直线方程为； 到直线的距离为， 所以圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为， 故选：A 二、填空题 7．圆与圆的公共弦的长为__________. 【答案】 【详解】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为： 8．已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得，则m的最大值为_________. 【答案】6 【详解】以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为. 圆的圆心为，半径为. 要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，解得， 所以的最大值为6. 故答案为：6 三、多选题 9．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 10．已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．取圆上点，则的最大值为 D．直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【详解】对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由，解得，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 四、解答题 11．已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 【答案】(1)； (2)相交，两条公切线. 【分析】 【详解】（1）圆可化为， 圆心，半径， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，不合题意； 若直线的斜率存在，设为，则直线，即， 圆心到直线的距离，若直线与圆相切，则， 解得，所以直线的方程为，即. （2）圆可化为，圆心，半径， 因为，所以， 所以两圆相交，公切线有两条. 12．已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，得，解得． ，， 两式相减得． 又两圆公共弦所在直线的方程为，即， 所以，即，满足，故； （2）圆化为标准方程：．设圆的半径为． 在中，取的中点，连接，如图． 因为，所以． 又因为为圆心到直线的距离，所以， 所以，解得． 素养提升 1．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 2．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 3．在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 4．已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 【答案】 【详解】圆：的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心关于直线对称点为，半径， 故圆：与圆：关于直线的对称. 对于圆上的任意点，在圆上存在点，使得. 因此只需求的最大值. 因为，则圆和圆外切， ， 当且仅当三点共线时等号成立. 因为当，，时等号成立， 所以所求最大值为.    5．（多选）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 【答案】BC 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心C在直线上， 选项A，当时，，即在圆内，过点A不存在圆C切线，A错误； 选项B，，则在以为圆心，2为半径的圆上， 当时，，， 因此圆B与圆C相交，即圆C上有点P，满足，B正确； 选项C，，则P在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 取，即，， 显然，即圆M与圆C相交， 所以圆C上有点P，满足，C正确； 选项D，，设，则， 化简得，即在以为圆心，2为半径的圆上， 到直线的距离为， 取，则得，而， 因此圆N与圆C外离，从而取任意实数，都有圆N与圆C外离， 所以不存在P，满足，D错误. 迁移创新 1．已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】根据四个圆的方程，在同一平面直角坐标系中，作出图象： 易知这四个圆两两相切，记直线与这四个圆的公共点个数为． 当直线的方程为时，； 当直线的方程为时，； 考虑证明不合题意．注意到圆与直线最多有两个公共点， 故当时，直线必与其中三个圆有两个公共点， 且与另外一个圆有至少一个不同的公共点． 若存在这样的直线，显然其斜率存在，设直线的方程为． 不妨设与，，均有两个公共点， 则，，， 此时，， 两式相加得，即， 而，解得， 于是，即与相离，矛盾，故的最大值为6． 2．（多选）如图，，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ） A．曲线上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点） B．曲线与轴围成的图形的面积等于 C．弧与弧的公切线方程为 D．动点分别在圆和上，动点在上，的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由，，，，有5个整点，故A正确； 对于B选项，如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， 则曲线与轴围成的图形的面积为，故B错误； 对于C选项，弧与弧的公切线方程为，由图象可知， 则，，解得，，即，故C正确; 对于D选项，如图 动点在上，，，则， 故的最小值为点关于的对称点到的距离， 所以最小值为. 故选：ACD. 3．已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【详解】作出图形，如图所示： 圆关于轴的对称圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由图象可知当三点共线时，取得最小值，同时取得最小值， 所以的最小值为. 4．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 课标要点 1.掌握圆与圆的五种位置关系，会用几何法、代数法判别两圆位置，能区分公切线条数。 2.理解圆心距、半径之间的数量关系，能利用等式、不等式求解相关参数取值问题。 3.理解圆系方程的几何意义，会使用圆系、根轴（公共弦）解决两圆相交、相切类计算。 学习重难点 重点： 1.圆与圆五种位置关系，掌握几何法，利用圆心距d与两圆半径、的大小关系判断位置。 2.两圆相交求公共弦直线方程，掌握根轴的几何含义，会简单计算公共弦长。 3.圆系方程的三种常见形式，能利用圆系简化求解过交点、相切定点的圆的方程。 难点： 1.区分代数法的局限：代数只能分出相交、相切、相离，不能区分内切 / 外切、外离 / 内含。 2.圆系方程参数的限制条件，理解退化为根轴直线，容易遗漏不能表示的圆。 知识点一 圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。 进一步归类： ①相离（无公共点）：包含外离、内含；同心圆是内含的特殊情形（圆心距）。 ②相切（仅有一个公共点）：包含外切、内切。 ③相交（两个不同公共点）。 （1）几何法判断 设两圆圆心为、，半径、，圆心距。 位置关系 圆心距与半径关系 公共点个数 公切线条数 图示 外离 0个 4条 外切 1个 3条 相交 2个 2条 内切 1个 1条 内含 0个 0条 （2）代数法判断 设圆，圆，联立两圆的方程，得到方程组： 有两组不同实数解两圆相交； 有两组相同实数解两圆相切（内切或外切）； 无实数解两圆相离（外离或内含）。 特别提醒 代数法只能判断相交、相切、相离三大类，无法区分外切/内切，也无法区分外离/内含，需要结合几何图形或者圆心距进一步判定。 即学即练 1．（2025·26高二上·河南·阶段检测）已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（   ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 2．（2025·26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点二 圆系方程 1.过圆与直线交点的圆系方程 已知圆：与直线：，圆与直线有交点。 过圆与直线交点的圆系方程： 说明：（1），该方程表示全部经过圆与直线交点的圆； （2）该圆系不能表示直线本身，始终代表圆； （3）用途：已知交点，不需要解出交点坐标，直接求满足其他条件的圆方程。 2.过两圆交点的圆系方程 已知圆：，圆： 过两圆交点的圆系方程： 说明：（1），保证系数不为0，方程表示圆； （2）该圆系可以表示过两圆交点的所有圆，但是不能表示圆；若所求圆恰好是，需要单独检验代入。 当，两圆方程相减，消去二次项，得到直线方程： 这条直线的几何意义： （1）两圆相交：此直线为公共弦所在直线，两个交点都在这条直线上； （2）两圆相切（外切/内切）：此直线为两圆的公切线，切点在该直线上； （3）两圆相离、内含：直线上每一点到两个圆的切线长相等，叫做根轴；特别当两圆半径相等时，根轴就是两圆圆心连线的垂直平分线。 易错提醒 不管两圆位置，直接将两圆方程相减，把得到的直线一律当成公共弦：只有两圆相交，相减得到的才是公共弦；相切得到公切线；相离、内含得到根轴，不是公共弦。 处理方法：求公共弦前，先判断两圆为相交关系，再做两圆方程相减运算。 即学即练 3．经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 题型01 判断两圆的位置关系 典｜例｜精｜析 【例1】圆与圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【例2】已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】圆与圆的位置关系为_____ 【变式1-2】若直线被圆截得的弦长为，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1-3】已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 题型02 根据两圆的位置关系求参数范围 典｜例｜精｜析 【例3】若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【例4】若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【变式2-2】（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式2-3】已知圆（，且），在这五个圆中任意选取两个不同的圆，则这两圆相切的不同取法种数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型03 公切线条数问题 典｜例｜精｜析 【例5】圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例6】已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【变式3-3】已知两圆和恰有一条公切线，则动点（m，n）的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型04 公切线长问题 典｜例｜精｜析 【例7】圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【例8】如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】）圆与圆的一条公切线长为______（填入一个答案即可）． 【变式4-3】已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为__________． 题型05 求公切线方程 典｜例｜精｜析 【例9】已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为________．（写出一个即可） 【例10】（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【变式5-2】（多选）已知圆和圆，下列说法正确的是（   ） A．两圆相内切 B．两圆相外切 C．是两圆的公切线 D．是两圆的公切线 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 题型06 求公共弦方程 典｜例｜精｜析 【例11】已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例12】在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为________. 【变式6-3】已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______. 题型07 求公共弦长 典｜例｜精｜析 【例13】已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【例14】已知圆为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点， (1)求圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【变式7-2】过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则______. 题型08 圆系方程问题 典｜例｜精｜析 【例15】已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程; (2)求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程. 【例16】已知圆与圆． (1)判断圆与圆的位置关系 (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【变式8-2】已知圆：与圆：. (1)求证：圆与圆相交； (2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程. 40．已知两个圆C1:x2+y2=4，C2:x2+y2-2x-4y+4=0，直线l:x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程. 基础通关 一、单选题 1．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，圆：与圆：的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．圆与圆的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相交 D．内含 4．圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．圆与圆的公共弦的长为__________. 8．已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得，则m的最大值为_________. 三、多选题 9．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 10．已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．取圆上点，则的最大值为 D．直线被圆所截得弦长最短为 四、解答题 11．已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)判断圆与圆的位置关系，写出两圆公切线的条数. 12．已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 素养提升 1．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 3．在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．已知为直线上一点，分别为圆与圆上的点，则的最大值为_________. 5．（多选）已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 迁移创新 1．已知圆，，，，则直线与这四个圆的公共点个数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（多选）如图，，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（    ） A．曲线上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点） B．曲线与轴围成的图形的面积等于 C．弧与弧的公切线方程为 D．动点分别在圆和上，动点在上，的最小值为 3．已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 4．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $