2.5.2 圆与圆的位置关系讲义 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义以“圆与圆的位置关系”为核心，通过表格系统梳理几何法与代数法的判断依据，结合圆系方程、公共弦及切点弦等知识点构建知识脉络，清晰呈现五种位置关系的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分题型分层设计练习，如位置关系判断、公切线问题等题型示例，通过“几何法求圆心距”“两式相减得公共弦方程”等方法指导，培养数学思维与运算能力，既帮助基础学生掌握方法，又助力优秀学生深化理解，为教师精准教学提供有力支持。

2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一 圆与圆的位置关系及求参 3 题型二 两圆的公切线问题 4 题型三 圆的公共弦问题 6 题型四 圆的切点弦问题 7 课时精练 9 【基础回顾】 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种， 分别为相离、外切、相交、内切、内含。 注意：事实上, 外离和内含统称为相离, 外切和内切统称为相切, 则圆与圆的位置关系可分为三类：两圆相离一没有公共点, 两圆相切一有唯一公共点, 两圆相交一有两个不同的公共点。 知识点 2: 圆与圆的位置关系的判断 （1）几何法 设两圆圆心分别为 ，半径分别为 ，且 ，则 位置关系 图示 距离关系 公切线数 相离 4 条 外切 3 条 相交 2 条 内切 1 条 内含 无 （2）代数法（利用 判断） 设由两圆的方程组成的方程组为 由此方程组得： 有两组不同的实数解 两圆相交； 有两组相同的实数解 两圆相切； 无实数解 两圆相离。 注意：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法， 通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定， 这种方法运算量小。 也可利用代数法， 但是利用代数法解决时， 一是运算量大， 二是方程组仅有一解时， 只能判断相切， 并不能确定是外切还是内切， 两圆的位置关系不明确， 还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定。 因此， 在处理圆与圆的位置关系时， 一般不用代数法。 当要求圆与圆的交点坐标时， 可采用代数法。 知识点 3: 圆系方程 （1）经过圆 与直线 的两个交点的圆的方程可设为： . 整理得 （2）经过圆 与 的两个交点的圆的方程可设为： 【当 时，即两圆相减时，分为以下三种情况】 ①当两圆相交时，它为公共弦所在直线方程； ②当两圆相切时，它为公切线方程； ③当两圆相离或内含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合；显然，当两圆相离且半径相等时，它为两圆的对称轴。 (3) 与圆 相切于点 的圆的方程可设为： 【把切点当点圆就可理解此方程】 知识点 4: 两圆相交的公共弦方程 （1）公共弦所在直线方程 圆 , 圆 . 两式相减得 . 圆 与 相交，此式为公共弦所在直线方程。 （2）两圆公共弦长的求法 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长； 方法二： 求出公共弦所在直线的方程， 利用勾股定理建立直角三角形, 从而求出弦长。 题型一 圆与圆的位置关系及求参 1: 几何法判断位置关系 判断两圆的位置关系要确定两圆半径分别为 ,以及两圆的圆心距为 ,则有以下关系，有时也可借助图形，数形结合。 ① 两圆外离 ; ②两圆外切 ; ③两圆相交 ; ④两圆内切 ; ⑤两圆内含 . 2: 代数法求交点坐标 判断两圆相交并求交点坐标时, 必须借助方程组的解, 这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果。 【例题精讲】 1．圆x2+y2＝2与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝8的位置关系为（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．已知圆，圆，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．9 D．10 3．圆O：x2+y2＝4与圆M：的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 4．已知直线3x﹣4y+2＝0是圆M：x2+y2+2ax＝0（a＞0）的一条对称轴，则圆M和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 5．圆，圆，则圆C1与C2（　　） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线x﹣y＝0对称 D．公共弦所在直线方程为x+y+1＝0 6．在平面直角坐标系中，圆C：x2+y2＝1与圆D：（x﹣a）2+y2＝4有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣3，﹣1]∪[1，3] B．[﹣1，3] C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．[﹣3，1] 7．已知圆与圆外切，则m＝（　　） A．5 B．7 C．11 D．13 8．（多选）记圆M：（x﹣1）2+y2＝a2，圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4a2，则（　　） A． B．若坐标原点在圆M上，则点（0，1）在圆N上 C．若圆M与圆N内切，则 D．当a＝1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y﹣1＝0 9．（多选）圆与圆C2：x2+（y﹣a）2＝9有且只有一个公共点，则a的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）记圆M：（x﹣1）2+y2＝a2，圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4a2，则（　　） A． B．若坐标原点在圆M上，则点（0，1）在圆N上 C．若圆M与圆N内切，则 D．若圆M与圆N相交，则圆M的面积大于1 题型二 两圆的公切线问题 （1）判断圆的公切线条数 （2） 求圆的公切线方程 对于求圆的公切线方程问题, 可先根据圆的圆心和半径确定两圆的位置关系及公切线条数, 然后根据几何关系讨论斜率是否存在, 对于斜率存在的情况, 可设直线方程并根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组, 最终确定直线方程. 【例题精讲】 1．圆与圆的公切线条数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知圆与圆有3条公切线，则实数a的值为（　　） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 3．与圆C：x2+（y+2）2＝4和圆D：（x+5）2+（y+2）2＝9都相切的直线有（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若圆（a∈R）与圆（b∈R）恰有三条公切线，则a+b的值不可以是（　　） A． B．﹣3 C．4 D． 5．已知圆，圆，若C1与C2有且仅有2条公切线，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，10） B．（1，10） C．（2，9） D．（1，9） 6．若圆O1：x2+y2＝1与圆O2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9（a，b∈R）有且仅有2条公切线，则|3a﹣4b+10|的取值范围为（　　） A．[0，6） B．（0，6） C．（0，30） D．[0，30） 7．若圆与圆有且仅有三条公切线，则m＝（　　） A．6 B．4 C．36 D．16 8．（多选）下列说法正确的是（　　） A．若直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行，则m＝﹣3 B．∀a∈（0，1），都有原点O在圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2a外 C．一条光线从点A（﹣2，3）射出，经x轴反射后，与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射后光线所在的直线方程为4x﹣3y﹣1＝0 D．圆x2+y2+2x+8y﹣8＝0与圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0的公切线恰有2条 9．（多选）已知圆，圆，则（　　） A．当a＝3时，圆C1与C2内含 B．圆C1关于直线x﹣y＝0对称的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1 C．若圆C1与圆C2恰有三条公切线，则 D．若圆C1与C2相交，则公共弦长的最大值为2 10．（多选）下列说法中，正确的有（　　） A．直线ax﹣y+2﹣3a＝0过定点（3，2） B．过点（2，0）且与圆x2+（y﹣1）2＝4相切的直线l的方程为2x﹣y﹣4＝0 C．圆x2+（y﹣1）2＝4上存在两个点到直线x+y﹣2＝0的距离为2 D．若圆与圆有唯一公切线，则m＝﹣25 题型三 圆的公共弦问题 1. 公共弦所在直线方程 圆 , 圆 . 两式相减得 . 若圆 与 相交，此式为公共弦所在直线方程。 若圆 与 内切，此式为公切线所在直线方程。 若圆 与 外切，则两圆有三条公切线，此式只表示夹在两圆中间的一条公切线所在直线方程。 【例题精讲】 1．圆与的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 2．已知圆P：x2+y2+2y＝0与圆Q：x2+y2+4x＝0交于A，B两点，则下列结论不正确的是（　　） A．两圆有2条公切线 B．圆P与圆Q的公共弦所在直线的方程是y＝2x C． D．四边形PAQB的面积为2 3．已知圆 , 圆 ,则两圆公共弦所在的直线过定点( ) A. B. C. D. 4．圆C：x2+y2＝1与圆E：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的公共弦所在直线的方程为（　　） A．2x+2y﹣1＝0 B．2x+2y+1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y+1＝0 5．已知圆O1：x2+y2﹣6x﹣4y+4＝0与圆O2：x2+y2＝4的交点为M，N，则直线MN的方程为（　　） A．3x+2y﹣4＝0 B．3x+2y+4＝0 C．3x+2y+2＝0 D．3x+2y﹣2＝0 6．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0与圆x2+y2+2y＝0的公共弦所在直线的方程为（　　） A．2x+3y﹣4＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+3y+4＝0 7．已知圆与圆相交于A，B两点，则点P（3，﹣2）到直线AB的距离是（　　） A．3 B． C． D．2 8．（多选）已知圆与圆，则（　　） A．点（1，﹣1）在圆O2内 B．两圆相交，公共弦的方程为x+y﹣1＝0 C．圆O1与圆O2有三条公切线 D．圆O1平分圆O2的周长 9．（多选）圆和圆的交点为A，B，则（　　） A．圆O1的半径为2 B．两圆圆心距 C．公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0 D．公共弦AB的垂直平分线的方程为x+y+2＝0 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．若方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则 B．过两圆x2+y2﹣2x+12y﹣24＝0和x2+y2+2x+3y﹣8＝0交点的直线方程为4x﹣9y+16＝0 C．直线的一个方向向量为 D．圆C：x2+y2﹣4x﹣4y＝0内一点M（3，0）过点M的最短弦所在直线方程2x+y﹣6＝0 题型四 圆的切点弦问题 点 在圆外时,方程 或 表示过点 做圆的两条切线,切点为 ,过 的直线方程 (切点弦),如图。 证明方法 1 : 设圆上切点 ,由直线与圆的切线方程结论可知切线 的方程分别为 ，于是 ，显然点 的坐标满足方程 , 所以直线 的方程为 . 证明方法 2: （公共弦法） 连接 ,由于 为圆 的切线，则有 ,则点 在以 为直径的圆上,以 为直径的圆的圆心为 ，半径 , 则其方程为 , 变形可得 , 联立 ,所以直线 为两圆公共弦，两式相减可得直线 . 【例题精讲】 1．已知P（x0，y0）是l：x+y﹣6＝0上一点，过点P作圆O：x2+y2＝16的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与l平行时，直线AB的方程为（　　） A．x+y＝4 B．x+y＝8 C．3x+3y＝16 D．3x+3y＝8 2．过圆O：x2+y2＝9上一点P作圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B．当∠APB最大时，直线AB的斜率为（　　） A． B． C．﹣1 D．1 3．已知⊙M：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，直线l：x﹣y﹣1＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y+1＝0 4．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1和直线l：y＝x，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．2x﹣2y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x﹣2y+1＝0 5．已知圆C的方程为x2+y2＝16，直线l：x+y﹣8＝0，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（　　） A．x+y＝4 B．3x+4y＝4 C．2x+3y＝4 D．x+y＝1 6．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0 7．设圆O：x2+y2＝2，直线l：x+y﹣4＝0，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，给出下列四个结论： ①当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为（2，2）； ②|PA|的取值范围为； ③当△PAB为等边三角形时，点P坐标为（1，3）； ④直线AB恒过定点． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：x+2y+2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 　 ． 9．若一个圆的圆心为（0，2），且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 　 ．过点P（﹣2，﹣1）作该圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 　 　 ． 10．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，|PM|•|AB|最小值是 　 　 ，此时直线AB的方程为 　 　 ． 课时精练 一．选择题 1．已知圆与圆相切，则a＝（　　） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 2．已知圆O1：（x+2）2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+3）2＝8，则两圆（　　） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 3．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B． C．5 D． 4．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知圆与圆交于A，B两点，若|AB|＝2，则r＝（　　） A．2 B． C．3 D． 6．已知C1：x2+y2﹣4x＝0和圆C2：x2+y2﹣4y＝0相交，则这两个圆的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 7．已知点P为圆O：x2+y2＝1上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆O1：x2+y2﹣2x﹣8y＝19相交于两点A，B，则的最大值为（　　） A． B．5 C． D． 8．已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝1上的两个动点，点P是直线l：x+y＝0上动点，且，下列说法正确的是（　　） A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．PA长的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 二．多选题 9．（多选）下列说法正确的是（　　） A．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0 B．直线mx﹣y+1﹣m＝0必过定点（﹣1，1） C．已知直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则平行线间的距离是1 D．已知向量，，若，则为钝角 10．（多选）已知圆O：x2+y2＝4，则（　　） A．圆O与直线mx+y﹣m﹣1＝0必有两个交点 B．圆O上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆O与圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16 D．动点P在直线x+y﹣4＝0上，过点P向圆O引两条切线，A、B为切点，则四边形PAOB面积最小值为2 11．（多选）已知圆和圆的交点为A，B，则下列说法正确的是（　　） A．两圆的圆心距 B．直线AB的方程为x﹣y﹣1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q，使得PQ＞AB D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为 三．填空题 12．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0外切，则m的值为　　 ． 13．已知圆和圆交于两点，点P在圆C1上运动，点Q在圆C2上运动，则下列说法正确的是　　 ． ①点C1和点C2关于直线8x+6y﹣1＝0对称； ②圆C1和圆C2的公共弦长为； ③|PQ|的取值范围为． 14．已知圆M：x2+y2﹣2ay+a2﹣4＝0与圆N：x2+y2﹣4x+3＝0有4条公切线，则实数a可以取的一个值为　 　 ． 四．解答题 15．已知圆M：x2+y2＝10和圆N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0． （1）求证：圆M与圆N相交； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求经过圆M与圆N的交点，且面积最小的圆的方程． 16．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，圆C2：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）． （1）若两圆内含，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 17．已知圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+16＝0，求： （1）圆C2的标准方程，以及圆心C2的坐标和半径r2； （2）圆C1与圆C2的位置关系． 18．已知圆，圆． （1）证明圆C1与圆C2相交； （2）求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程； （3）求公共弦长． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+8）2+（y+6）2＝25和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝25． （1）若直线l过原点，且被C2截得的弦长为6，求直线l的方程； （2）是否存在点P满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由． $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一 圆与圆的位置关系及求参 3 题型二 两圆的公切线问题 7 题型三 圆的公共弦问题 12 题型四 圆的切点弦问题 17 课时精练 23 【基础回顾】 ( 1 / 34 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种， 分别为相离、外切、相交、内切、内含。 注意：事实上, 外离和内含统称为相离, 外切和内切统称为相切, 则圆与圆的位置关系可分为三类：两圆相离一没有公共点, 两圆相切一有唯一公共点, 两圆相交一有两个不同的公共点。 知识点 2: 圆与圆的位置关系的判断 （1）几何法 设两圆圆心分别为 ，半径分别为 ，且 ，则 位置关系 图示 距离关系 公切线数 相离 4 条 外切 3 条 相交 2 条 内切 1 条 内含 无 （2）代数法（利用 判断） 设由两圆的方程组成的方程组为 由此方程组得： 有两组不同的实数解 两圆相交； 有两组相同的实数解 两圆相切； 无实数解 两圆相离。 注意：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法， 通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定， 这种方法运算量小。 也可利用代数法， 但是利用代数法解决时， 一是运算量大， 二是方程组仅有一解时， 只能判断相切， 并不能确定是外切还是内切， 两圆的位置关系不明确， 还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定。 因此， 在处理圆与圆的位置关系时， 一般不用代数法。 当要求圆与圆的交点坐标时， 可采用代数法。 知识点 3: 圆系方程 （1）经过圆 与直线 的两个交点的圆的方程可设为： . 整理得 （2）经过圆 与 的两个交点的圆的方程可设为： 【当 时，即两圆相减时，分为以下三种情况】 ①当两圆相交时，它为公共弦所在直线方程； ②当两圆相切时，它为公切线方程； ③当两圆相离或内含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合；显然，当两圆相离且半径相等时，它为两圆的对称轴。 (3) 与圆 相切于点 的圆的方程可设为： 【把切点当点圆就可理解此方程】 知识点 4: 两圆相交的公共弦方程 （1）公共弦所在直线方程 圆 , 圆 . 两式相减得 . 圆 与 相交，此式为公共弦所在直线方程。 （2）两圆公共弦长的求法 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长； 方法二： 求出公共弦所在直线的方程， 利用勾股定理建立直角三角形, 从而求出弦长。 题型一 圆与圆的位置关系及求参 1: 几何法判断位置关系 判断两圆的位置关系要确定两圆半径分别为 ,以及两圆的圆心距为 ,则有以下关系，有时也可借助图形，数形结合。 ① 两圆外离 ; ②两圆外切 ; ③两圆相交 ; ④两圆内切 ; ⑤两圆内含 . 2: 代数法求交点坐标 判断两圆相交并求交点坐标时, 必须借助方程组的解, 这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果。 【例题精讲】 1．圆x2+y2＝2与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝8的位置关系为（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解答】解：圆x2+y2＝2的圆心为O（0，0），半径r，圆（x﹣2）2+（y+3）2＝8的圆心为C（2，﹣3），半径R， 因为R+r，|R﹣r|， 所以两圆的圆心距∈（|R﹣r|，R+r），可得两圆相交． 故选：B． 2．已知圆，圆，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值为（　　） A．1 B．2 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：已知圆， 则圆C1方程可化为：（x+4）2+（y﹣3）2＝16，所以圆心C1为（﹣4，3），半径r1＝4， 由圆C2的方程可知，圆心C2为（﹣1，﹣1），半径r2＝a（a＞0）， 所以圆心距． 因为圆C1与圆C2内切，所以圆心距|C1C2|＝|r1﹣r2|＝5，即|a﹣4|＝5，所以a＝9或a＝﹣1，而a＞0，因此a＝9． 故选：C． 3．圆O：x2+y2＝4与圆M：的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】A 【解答】解：圆O：x2+y2＝4与圆M：的半径分别为2，1， 圆心坐标分别为O（0，0），， 则， 故圆O与圆M的位置关系是外离． 故选：A． 4．已知直线3x﹣4y+2＝0是圆M：x2+y2+2ax＝0（a＞0）的一条对称轴，则圆M和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】D 【解答】解：圆的圆心N（﹣1，1），半径， 圆M：x2+y2+2ax＝0（a＞0）化为标准方程为（x+a）2+y2＝a2， 所以圆M的圆心M（﹣a，0），圆的半径r2＝a， 因为直线3x﹣4y+2＝0是圆M：x2+y2+2ax＝0（a＞0）的一条对称轴， 所以M（﹣a，0）在直线3x﹣4y+2＝0上，则﹣3a+2＝0，得， 故圆M的圆心，圆的半径， 根据两点间的距离公式可得， 则|MN|＞r1+r2＝1， 所以圆M和圆N的位置关系是外离． 故选：D． 5．圆，圆，则圆C1与C2（　　） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线x﹣y＝0对称 D．公共弦所在直线方程为x+y+1＝0 【答案】C 【解答】解：圆的圆心C2（0，2），半径r2＝2， 圆的圆心C1（2，0），半径r1＝2， ， 圆C1与圆C2相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程x﹣y＝0，D错误； 对于C，线段C1C2的中垂线的斜率为﹣1，过线段C1C2的中点（1，1），该中垂线方程为x﹣y＝0， 又圆C1与圆C2是等圆，它们关于线段C1C2的中垂线对称，C正确． 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，圆C：x2+y2＝1与圆D：（x﹣a）2+y2＝4有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣3，﹣1]∪[1，3] B．[﹣1，3] C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D．[﹣3，1] 【答案】A 【解答】解：依题意，C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为1， 圆D：（x﹣a）2+y2＝4的圆心为（a，0），半径为2， 两圆有公共点，则2﹣1≤|CD|＝|a|≤2+1， 即1≤|a|≤3，解得a∈[﹣3，﹣1]∪[1，3]． 故选：A． 7．已知圆与圆外切，则m＝（　　） A．5 B．7 C．11 D．13 【答案】D 【解答】解：圆，可知圆的圆心为O1（﹣2，0），圆的半径r1＝2， 圆，可知圆的圆心为O2（2，﹣3），半径（m＞4）． 两圆外切，可知|O1O2|＝r1+r2，即，解得m＝13． 故选：D． 8．（多选）记圆M：（x﹣1）2+y2＝a2，圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4a2，则（　　） A． B．若坐标原点在圆M上，则点（0，1）在圆N上 C．若圆M与圆N内切，则 D．当a＝1时，圆M与圆N的相交弦方程为2x+2y﹣1＝0 【答案】ABD 【解答】解：圆M：（x﹣1）2+y2＝a2，圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4a2， A选项，圆M的圆心为M（1，0），圆N的圆心为N（2，1）， 则，A正确； B选项，若坐标原点在圆M上，则（0﹣1）2+02＝a2，故a2＝1， 故圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4， 将（0，1）代入可得（0﹣2）2+（1﹣1）2＝4，故点（0，1）在圆N上，B正确； C选项，圆M的圆心为M（1，0），半径为|a|，圆N的圆心为N（2，1），半径为2|a|， 由A知，， 若圆M与圆N内切，则，解得，C错误； D选项，a＝1时，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4， 两圆相减得2x+2y﹣1＝0，D正确． 故选：ABD． 9．（多选）圆与圆C2：x2+（y﹣a）2＝9有且只有一个公共点，则a的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【解答】解：圆与圆C2：x2+（y﹣a）2＝9， 圆心C1（0，0），半径r1＝1，圆心C2（0，a），半径r2＝3， 圆与圆C2：x2+（y﹣a）2＝9有且只有一个公共点， 当两圆外切时，|C1C2|＝|a|＝r1+r2＝4，解得a＝±4， 当两圆内切时，|C1C2|＝|a|＝r2﹣r1＝2，解得a＝±2． 故选：BD． 10．（多选）记圆M：（x﹣1）2+y2＝a2，圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4a2，则（　　） A． B．若坐标原点在圆M上，则点（0，1）在圆N上 C．若圆M与圆N内切，则 D．若圆M与圆N相交，则圆M的面积大于1 【答案】AB 【解答】解：已知圆M：（x﹣1）2+y2＝a2，圆N：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4a2， 则圆M（1，0），半径为|a|，圆N（2，1），半径为2|a|， 对于A，，即A正确； 对于B，若坐标原点在圆M上，则a2＝1， 又（﹣2）2+（1﹣1）2＝4， 即点（0，1）在圆N上，即B正确； 对于C，若圆M与圆N内切，2|a|﹣|a|， 即，即C错误； 对于D，若圆M与圆N相交，则， 即， 则，即圆M的面积不一定大于1，即D错误． 故选：AB． 题型二 两圆的公切线问题 （1）判断圆的公切线条数 （2） 求圆的公切线方程 对于求圆的公切线方程问题, 可先根据圆的圆心和半径确定两圆的位置关系及公切线条数, 然后根据几何关系讨论斜率是否存在, 对于斜率存在的情况, 可设直线方程并根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组, 最终确定直线方程. 【例题精讲】 1．圆与圆的公切线条数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：将两圆化成标准方程，可得圆，圆心为O1（0，3），半径为r＝1， 圆，圆心为O2（4，0），半径为R＝3， 因为，所以两圆相离，它们的公切线有4条． 故选：A． 2．已知圆与圆有3条公切线，则实数a的值为（　　） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【答案】D 【解答】解：圆，圆心为C1（2，1），半径r1＝1， 圆，圆心为C2（a，2），半径r2＝2， 根据圆C1与圆C2恰有3条公切线，可知圆C1和圆C2外切，所以圆心距|C1C2|＝r1+r2， 即，解得或． 故选：D． 3．与圆C：x2+（y+2）2＝4和圆D：（x+5）2+（y+2）2＝9都相切的直线有（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：因为圆C：x2+（y+2）2＝4和圆D：（x+5）2+（y+2）2＝9的圆心坐标、半径分别为（0，﹣2），2；（﹣5，﹣2），3． 所以圆心距为5＝2+3， 所以两个圆的关系是外切， 所以两圆的公切线有3条． 故选：C． 4．若圆（a∈R）与圆（b∈R）恰有三条公切线，则a+b的值不可以是（　　） A． B．﹣3 C．4 D． 【答案】D 【解答】解：圆C1即（x+a）2+y2＝4可知：C1（﹣a，0），半径r1＝2， 圆C2即x2+（y﹣b）2＝1可知：C2（0，b），半径r2＝1， 由题可得：两个圆外切，所以，即a2+b2＝9， 所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9+2ab≤9+a2+b2＝18，所以． 故选：D． 5．已知圆，圆，若C1与C2有且仅有2条公切线，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，10） B．（1，10） C．（2，9） D．（1，9） 【答案】D 【解答】解：圆，圆心C1（﹣4，3），半径r1＝4， 又圆心C2（﹣1，﹣1），半径r2＝a， 由题可得两圆相交， 又， ∴|4﹣a|＜5＜4+a，解得1＜a＜9． 故选：D． 6．若圆O1：x2+y2＝1与圆O2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9（a，b∈R）有且仅有2条公切线，则|3a﹣4b+10|的取值范围为（　　） A．[0，6） B．（0，6） C．（0，30） D．[0，30） 【答案】D 【解答】解：因为圆O1：x2+y2＝1的圆心O1（0，0），半径r1＝1， 圆O2：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝9的圆心O2（a，b），半径r2＝3， 可得rr1＝3﹣1＝2，r1+r2＝4， 圆心距|O1O2|， 因为两个圆有且仅有2条公切线，可得两个圆相交，即24， 设P（a，b），可得4＜a2+b2＜16，即以原点为圆心，半径介于（2，4）的圆环， 这表示点（a，b）在以原点（0，0）为圆心，半径分别为2和4的两个圆所构成的圆环内（不包括边界）， 将|3a﹣4b+10|转化为点到直线的距离形式， 可将其变形|3a﹣4b+10|＝5， 而，表示点 （a，b）到直线3x﹣4y+10＝0的距离， 设圆心（0，0）到直线3x﹣4y+10＝0的距离为d0， 根据点到直线的距离公式可得d02， 因为点 （a，b） 在圆环4＜a2+b2＜16内， 所以点（a，b）到直线3x﹣4y+10＝0的距离的最小值为d0＝0， 最大值为d0+4＝2+4＝6， 可得|3a﹣4b+10|＝5∈[0，30）． 故选：D． 7．若圆与圆有且仅有三条公切线，则m＝（　　） A．6 B．4 C．36 D．16 【答案】D 【解答】解：因为圆的圆心C1（0，0），半径为r1＝1， 圆的圆心C2（﹣4，﹣3），半径为， 又圆与圆有且仅有三条公切线， 可得圆C1与圆C2外切， 故|C1C2|＝r1+r2，即， 解得m＝16． 故选：D． 8．（多选）下列说法正确的是（　　） A．若直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行，则m＝﹣3 B．∀a∈（0，1），都有原点O在圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2a外 C．一条光线从点A（﹣2，3）射出，经x轴反射后，与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射后光线所在的直线方程为4x﹣3y﹣1＝0 D．圆x2+y2+2x+8y﹣8＝0与圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0的公切线恰有2条 【答案】BD 【解答】解：若两直线2x+（m+1）y+4＝0与mx+3y﹣2＝0平行，需满足2×3＝m（m+1）， 由2×3＝m（m+1）得m2+m﹣6＝0，解得m＝2或m＝﹣3； 当m＝﹣3时，两直线分别为2x﹣2y+4＝0和﹣3x+3y﹣2＝0，平行； 当m＝2时，两直线分别为2x+3y+4＝0和2x+3y﹣2＝0，平行； 所以m＝2和m＝﹣3都满足条件，故A选项错误； 将原点（0，0）代入圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝2a的左边得（0﹣a）2+（0﹣1）2＝a2+1，右边为2a， 而a2+1﹣2a＝（a﹣1）2＞0，即原点到圆心的距离的平方大于半径的平方，所以原点在圆外，故B选项正确； 点A（﹣2，3）关于x轴的对称点为A′（﹣2，﹣3），反射光线过A′且与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切， 设反射光线方程为y+3＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3＝0， 由圆心（3，2）到直线的距离等于半径1，得，即， 化简得：24k2﹣50k+24＝0，解得或， 反射光线方程为4x﹣3y﹣1＝0或3x﹣4y﹣6＝0，故C选项错误； 圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0化为标准方程：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，圆心C2（2，2），半径， 圆x2+y2+2x+8y﹣8＝0化为标准方程：（x+1）2+（y+4）2＝25，圆心C1（﹣1，﹣4），半径r1＝5； 两圆心距， 因为，两圆相交，公切线有2条，故D选项正确． 故选：BD． 9．（多选）已知圆，圆，则（　　） A．当a＝3时，圆C1与C2内含 B．圆C1关于直线x﹣y＝0对称的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1 C．若圆C1与圆C2恰有三条公切线，则 D．若圆C1与C2相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】BD 【解答】解：对于A，圆，所以圆心为C1（0，1），半径为r1＝1， 圆，所以圆C2的圆心为C2（a，2），半径为r2＝2， 当a＝3时，，所以圆C1与圆C2外离，故A错误； 对于B，圆心C1（0，1）关于直线x﹣y＝0的对称点为（1，0），所以对称的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1，故B正确； 对于C，因为圆C1与圆C2恰有三条公切线，所以圆C1与圆C2外切，所以，解得，故C错误； 对于D，由圆，圆， 两方程相减得公共弦所在直线方程为2ax+2y﹣a2＝0， 当公共弦长最大时，公共弦为圆C1的直径（长度为2）， 所以直线过圆心C1（0，1）， C1（0，1）代入2ax+2y﹣a2＝0，可得2a×0+2×1﹣a2＝0，解得， 所以，所以1＝|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2＝3， 所以两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，故D正确． 故选：BD． 10．（多选）下列说法中，正确的有（　　） A．直线ax﹣y+2﹣3a＝0过定点（3，2） B．过点（2，0）且与圆x2+（y﹣1）2＝4相切的直线l的方程为2x﹣y﹣4＝0 C．圆x2+（y﹣1）2＝4上存在两个点到直线x+y﹣2＝0的距离为2 D．若圆与圆有唯一公切线，则m＝﹣25 【答案】AC 【解答】解：对于A，直线ax﹣y+2﹣3a＝0转化为y﹣2＝a（x﹣3），可知过定点（3，2），故A正确； 对于B，当切线斜率存在时，设l为y＝k（x﹣2）， 圆心（0，1）到切线距离，解得， 此时l的方程为3x﹣4y﹣6＝0， 当切线斜率不存在时，直线方程为x＝2，为圆x2+（y﹣1）2＝4的切线， 故l的方程为3x﹣4y﹣6＝0或x＝2，故B错误； 对于C，圆心（0，1）到直线x+y﹣2＝0的距离， 因为且， 故存在两个点到直线x+y﹣2＝0的距离为2，故C正确； 对于D，圆的圆心为（0，1），半径为2， 圆圆心为（3，5），半径为， 要想两圆有唯一的公切线，则两圆内切， 所以两圆圆心距，解得m＝﹣15，故D错误． 故选：AC． 题型三 圆的公共弦问题 1. 公共弦所在直线方程 圆 , 圆 . 两式相减得 . 若圆 与 相交，此式为公共弦所在直线方程。 若圆 与 内切，此式为公切线所在直线方程。 若圆 与 外切，则两圆有三条公切线，此式只表示夹在两圆中间的一条公切线所在直线方程。 【例题精讲】 1．圆与的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为AB：x﹣3y+12＝0， 而圆心O1到直线AB的距离为， 圆O1的半径为，所以， 所以． 故选：D． 2．已知圆P：x2+y2+2y＝0与圆Q：x2+y2+4x＝0交于A，B两点，则下列结论不正确的是（　　） A．两圆有2条公切线 B．圆P与圆Q的公共弦所在直线的方程是y＝2x C． D．四边形PAQB的面积为2 【答案】C 【解答】解：由x2+y2+2y＝0，得x2+（y+1）2＝1，所以圆P的圆心为P（0，﹣1），半径为r1＝1， 由x2+y2+4x＝0，得（x+2）2+y2＝4，所以圆Q的圆心为Q（﹣2，0），半径为r2＝2， 因为，则1＝|r1﹣r2|＜|PQ|＜r1+r2＝3，所以两圆相交， 所以两圆有2条公切线，故A正确； 由圆P：x2+y2+2y＝0与圆Q：x2+y2+4x＝0，两式相减得2y﹣4x＝0， 即y＝2x，故B正确； 因为P（0，﹣1）到直线y＝2x的距离为，所以，故C错误； 连接PQ，因为直线AB是圆P与圆Q的公共弦所在直线， 所以PQ⊥AB，所以四边形PAQB的面积为， 由选项C知，， 因为，所以，故D正确． 故选：C． 3．已知圆 , 圆 ,则两圆公共弦所在的直线过定点( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解答】解： 由题意知圆 ,圆 将两圆方程式相减得两圆公共弦所在直线方程为 变形得 ,由 得 , 即公共弦所在直线过定点 ,故 项正确. 故选: . 4．圆C：x2+y2＝1与圆E：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的公共弦所在直线的方程为（　　） A．2x+2y﹣1＝0 B．2x+2y+1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y+1＝0 【答案】C 【解答】解：将圆C：x2+y2＝1与圆E：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的方程相减， 可得x+y﹣1＝0， 所以两圆公共弦所在直线的方程为x+y﹣1＝0． 故选：C． 5．已知圆O1：x2+y2﹣6x﹣4y+4＝0与圆O2：x2+y2＝4的交点为M，N，则直线MN的方程为（　　） A．3x+2y﹣4＝0 B．3x+2y+4＝0 C．3x+2y+2＝0 D．3x+2y﹣2＝0 【答案】A 【解答】解：圆O1：x2+y2﹣6x﹣4y+4＝0与圆O2：x2+y2＝4， 两圆方程相减得：6x+4y﹣8＝0，化简得3x+2y﹣4＝0， 即直线MN的方程为3x+2y﹣4＝0． 故选：A． 6．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0与圆x2+y2+2y＝0的公共弦所在直线的方程为（　　） A．2x+3y﹣4＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+3y+4＝0 【答案】D 【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣8＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16， 则圆心O1（2，2），半径为r1＝4， 圆x2+y2+2y＝0化为标准方程为：x2+（y+1）2＝1， 则圆心O2（0，﹣1），半径为r2＝1， 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得4x+6y+8＝0，即2x+3y+4＝0， 故两圆公共弦所在直线的方程为2x+3y+4＝0． 故选：D． 7．已知圆与圆相交于A，B两点，则点P（3，﹣2）到直线AB的距离是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【解答】解：联立，两式相减得2x﹣2y+2＝0，即x﹣y+1＝0， 所以直线AB的方程为x﹣y+1＝0， 则点P（3，﹣2）到直线AB的距离是． 故选：B． 8．（多选）已知圆与圆，则（　　） A．点（1，﹣1）在圆O2内 B．两圆相交，公共弦的方程为x+y﹣1＝0 C．圆O1与圆O2有三条公切线 D．圆O1平分圆O2的周长 【答案】BD 【解答】解：圆， 则圆O2的圆心坐标为（0，1），半径为． 圆， 则圆O1的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2； A：因为12+（﹣1﹣1）2＞2， 所以点（1，﹣1）在圆O2外，因此本选项说法不正确； B：， 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为（﹣1）2+（0﹣1）2＝2， 所以圆心O1在圆O2上， 又因为0+1﹣1＝0， 所以圆心O2在公共弦所在直线x+y﹣1＝0上， 因此圆O1平分圆O2的周长，所以本选项说法正确． 故选：BD． 9．（多选）圆和圆的交点为A，B，则（　　） A．圆O1的半径为2 B．两圆圆心距 C．公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0 D．公共弦AB的垂直平分线的方程为x+y+2＝0 【答案】BC 【解答】解：由题意可知，， 所以圆心O1（1，1），圆心O2（﹣2，4），圆O1的半径为，故A错误； ，故B正确； 两圆方程作差得x﹣y＝0，所以公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0，故C正确； 由圆的对称性可知公共弦AB的垂直平分线为直线O1O2， 因为O1（1，1），O2（﹣2，4）， 所以直线O1O2方程为，整理得x+y﹣2＝0，故D错误． 故选：BC． 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．若方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则 B．过两圆x2+y2﹣2x+12y﹣24＝0和x2+y2+2x+3y﹣8＝0交点的直线方程为4x﹣9y+16＝0 C．直线的一个方向向量为 D．圆C：x2+y2﹣4x﹣4y＝0内一点M（3，0）过点M的最短弦所在直线方程2x+y﹣6＝0 【答案】AB 【解答】解：若方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则（4m）2+（﹣2）2﹣20m＞0， 解得或m＞1，A正确； 两圆x2+y2﹣2x+12y﹣24＝0和x2+y2+2x+3y﹣8＝0的方程相减得交点弦的直线方程为： 4x﹣9y+16＝0，B正确； 直线Ax+By+C＝0的方向向量为（﹣B，A）， 所以直线的一个方向向量为（﹣1，），C错误； 圆C：x2+y2﹣4x﹣4y＝0的圆心为C（2，2），因为圆内一点M（3，0）， 则过点M的最短弦与CM垂直，因为kCM2，所以所求弦所在直线斜率k， 直线方程为y（x﹣3），即x﹣2y﹣3＝0，D错误． 故选：AB． 题型四 圆的切点弦问题 点 在圆外时,方程 或 表示过点 做圆的两条切线,切点为 ,过 的直线方程 (切点弦),如图。 证明方法 1 : 设圆上切点 ,由直线与圆的切线方程结论可知切线 的方程分别为 ，于是 ，显然点 的坐标满足方程 , 所以直线 的方程为 . 证明方法 2: （公共弦法） 连接 ,由于 为圆 的切线，则有 ,则点 在以 为直径的圆上,以 为直径的圆的圆心为 ，半径 , 则其方程为 , 变形可得 , 联立 ,所以直线 为两圆公共弦，两式相减可得直线 . 【例题精讲】 1．已知P（x0，y0）是l：x+y﹣6＝0上一点，过点P作圆O：x2+y2＝16的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与l平行时，直线AB的方程为（　　） A．x+y＝4 B．x+y＝8 C．3x+3y＝16 D．3x+3y＝8 【答案】C 【解答】解：因为以OP为直径的圆的方程为， 又圆O：x2+y2＝16，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为x0x+y0y＝16， 由， 可得， 即得直线AB的方程为3x+3y＝16． 故选：C． 2．过圆O：x2+y2＝9上一点P作圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B．当∠APB最大时，直线AB的斜率为（　　） A． B． C．﹣1 D．1 【答案】C 【解答】解：易知要使∠APB最大，则|PM|最小， 此时AB⊥OM， 又O（0，0），M（1，1）， 则， 所以直线AB的斜率为﹣1． 故选：C． 3．已知⊙M：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，直线l：x﹣y﹣1＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y+1＝0 【答案】A 【解答】解：⊙M的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为M（﹣1，2），半径为2． 因为， 所以当|PM|最小时，|PM|•|AB|最小， 此时PM与直线l垂直，所以直线PM的方程为y﹣2＝﹣（x+1）， 即x+y﹣1＝0． 联立， 解得， 所以点P的坐标为P（1，0），|PM|2， 在Rt△PAM中，，同理|BP|＝2． 以P为圆心，|AP|为半径的⊙P的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0， 则线段AB为⊙M与⊙P的公共弦， 两圆方程相减得x﹣y+1＝0， 即直线AB的方程为x﹣y+1＝0． 故选：A． 4．已知圆M：x2+（y﹣2）2＝1和直线l：y＝x，点P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．x﹣y+1＝0 B．2x﹣2y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x﹣2y+1＝0 【答案】A 【解答】解：由题意可得：， 所以， 要使得|AB|最小，只需直线上的动点P到点M的距离最小， 其最小值是圆心（0，2）到直线y＝x的距离，此时，且满足PM⊥l． 所以此时直线PM的方程为：y﹣2＝﹣1（x﹣0），即y＝﹣x+2， 联立，解得：，即P（1，1）， 由于P，A，B，M四点共圆，以|PM|为直径的圆的方程：， 即：x2+y2﹣x﹣3y+2＝0，联立两个圆的方程， 得到直线AB的方程为：x﹣y+1＝0． 故选：A． 5．已知圆C的方程为x2+y2＝16，直线l：x+y﹣8＝0，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（　　） A．x+y＝4 B．3x+4y＝4 C．2x+3y＝4 D．x+y＝1 【答案】A 【解答】解：∵圆x2+y2＝16的圆心为C（0，0），半径r＝4， 当点P与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形OPAQ的面积最小， ∴PO⊥直线l：x+y﹣8＝0， ∴PO的方程为x﹣y＝0， 两方程联立可得x＝y＝4，∴P（4，4）， ∴以OP为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8 两圆方程相减可得x+y＝4 故选：A． 6．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（　　） A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．2x+y+1＝0 【答案】D 【解答】解：化圆M为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 圆心M（1，1），半径r＝2． ∵2S△PAM＝|PA|•|AM|＝2|PA|． ∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直． 直线PM的方程为y﹣1（x﹣1），即y， 联立，解得P（﹣1，0）． 则以PM为直径的圆的方程为． 联立，相减可得直线AB的方程为2x+y+1＝0． 故选：D． 7．设圆O：x2+y2＝2，直线l：x+y﹣4＝0，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，给出下列四个结论： ①当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为（2，2）； ②|PA|的取值范围为； ③当△PAB为等边三角形时，点P坐标为（1，3）； ④直线AB恒过定点． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：对于A：当四边形OAPB为正方形时，|OA|＝|OB|＝|AP|＝|BP|， 又圆O：x2+y2＝2的圆心O（0，0），半径r， ∴|PO|r＝2，设点P（x0，y0），则y0＝4﹣x0， ∴|PO|2，化简得x02﹣4x+6＝0，该方程的判别式Δ＝16﹣24＜0，方程无解， ∴不存在点P使得四边形OAPB为正方形，故①不正确； |AP|＝|，即②|PA|的取值范围为，故②正确； 点P的坐标为（2，2）；∵圆x2+y2＝2的圆心为C（0，0），半径r， 当点P与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形PAOB的面积最小， 当△PAB为等边三角形时，可知∠APB＝60°，又OP平分∠APB，∴∠APO＝∠BPO＝30°， 在直角三角形PAO中，由于|OA|， ∴sin∠APO，即sin30°，∴|OP|＝2， 又点P（x0，4﹣x0），∴2， 化简得（x0﹣2）2＝0，解得x0＝2，∴y0＝4﹣2＝2，则P（2，2），故③错误： 以PO为直径的圆的圆心为（，），半径为|PO|， ∴以PO为直径的圆的方程为（x）2+（y）2， 化简得x2+y2﹣x0x﹣（4﹣x0）y＝0， 两圆方程相减得x0x+（4﹣x0）y＝2， ∴直线AB的方程为x0x+（4﹣x0）y＝2， 将x，y代入直线方程恒成立，故直线AB恒过定点，故④正确． 故正确命题的个数为2． 故选：B． 8．已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：x+2y+2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 x+2y+1＝0　 ． 【答案】x+2y+1＝0． 【解答】解：⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4， 则圆心C（1，1），半径r＝2． 因为四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝|CA|•|AM|＝2|AM|＝2， 要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直， 直线CM的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1， 联立，解得M（0，﹣1）．则|CM|， 则以CM为直径的圆的方程为（x）2+y2， 与⊙C的方程作差可得直线AB的方程为x+2y+1＝0． 故答案为：x+2y+1＝0． 9．若一个圆的圆心为（0，2），且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 x2+（y﹣2）2＝4　 ．过点P（﹣2，﹣1）作该圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 　2x+3y﹣2＝0　 ． 【答案】x2+（y﹣2）2＝4；2x+3y﹣2＝0． 【解答】解：点（0，2）到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝4； 当斜率不存在时，切线：x＝﹣2，与圆相切于点（﹣2，2）， 由圆的切线的性质可知，AB⊥OP， ∴， ∴，即2x+3y﹣2＝0． 故答案为：x2+（y﹣2）2＝4；2x+3y﹣2＝0． 10．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，|PM|•|AB|最小值是 　4　 ，此时直线AB的方程为 　2x+y+1＝0　 ． 【答案】4，2x+y+1＝0 【解答】解：过点P作⊙M的切线PA，PB，所以S四边形BAMB|AB|•MP|＝2S△PAM， 所以|AB|•|PM|＝4S△PAM， 因为⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0圆心M（1，1），半径r＝|AM|＝2， 而S△PAM|PA|•|AM|•|AM|•2， 当|PM|为M到直线的距离时最小，而M到直线的距离d＝|PM|， 所以S△PAM≥1， 即|AB|•|PM|≥4， 这时AB∥l，设直线AB的方程为y＝﹣2x+b，（b≠﹣2）， 圆心M到直线AB的距离d'， 所以弦长|AB|＝22， 整理可得：4， 解得b＝﹣1或b＝7（舍）， 此时直线AB的方程为：y＝﹣2x﹣1，即2x+y+1＝0， 故答案为：4，2x+y+1＝0． 课时精练 一．选择题 1．已知圆与圆相切，则a＝（　　） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【解答】解：根据题意，圆C1的圆心为（1，0），半径r1＝1， 圆C2的圆心为（﹣2，4），半径r2＝a（a＞0）， 可得圆心距， ①当两圆外切时，|C1C2|＝r1+r2，即5＝1+a，解得a＝4； ②当两圆内切时，|C1C2|＝|r1﹣r2|，即5＝|1﹣a|，解得a＝6． 综上所述，实数a的值为4或6． 故选：C． 2．已知圆O1：（x+2）2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+3）2＝8，则两圆（　　） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解答】解：圆O1：（x+2）2+y2＝4的圆心O1（﹣2，0），半径r＝2； 圆O2：（x﹣2）2+（y+3）2＝8的圆心O2（2，﹣3），半径R＝2． ∴|O1O2|5， 又5＞R+r． 故两圆外离， 故选：D． 3．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解答】解：已知圆的圆心C1（0，0），半径r1＝1， 圆可化为，圆心C2（1，1），半径r2＝1， 圆的圆心C3（1，1），半径， 又，因此圆C1与圆C2相交， 将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：x+y﹣1＝0， 圆心C3（1，1）到直线x+y﹣1＝0的距离， 因此所求弦长为． 故选：A． 4．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：∵圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝1，∴圆C1的圆心为（0，2），圆的半径为r1＝1． 又圆，可知圆的圆心为（3，﹣2），半径为r2＝a． ∴两圆的圆心距为． ∵圆与圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ∴d＝r1+r2＝a+1＝5，解得a＝4． 故选：C． 5．已知圆与圆交于A，B两点，若|AB|＝2，则r＝（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解答】解：两圆相减可得（x2+y2﹣4y+3）﹣（x2+y2﹣4x﹣8y+20﹣r2）＝0， 故直线AB的方程为4x+4y﹣17+r2＝0，由题意得C1（0，2）， 设C1到直线AB的距离为d，由弦长公式得， 解得d＝0，则C1在直线AB上，可得4×0+4×2﹣17+r2＝0，解得r＝3，故C正确． 故选：C． 6．已知C1：x2+y2﹣4x＝0和圆C2：x2+y2﹣4y＝0相交，则这两个圆的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：两圆方程作差可得x﹣y＝0， 即公共弦所在直线l的方程为：x﹣y＝0， 由C1：x2+y2﹣4x＝0，可化为+y2＝4， 则C1（2，0），r＝2， 圆心C1到直线l的距离d， 故公共弦长为：222． 故选：A． 7．已知点P为圆O：x2+y2＝1上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆O1：x2+y2﹣2x﹣8y＝19相交于两点A，B，则的最大值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解答】解：位于两圆圆心在切线的两侧，如图所示， 连接 AO1，OO1，过 O1 作 O1M⊥AB 垂足为 M， 连接OP并延长与过O1且与 AB 平行的直线相交于点N， 设|O1M|＝x，则 ， 当 时，P 与 M 重合，此时 ， 当 时， ， 而， ， ∴， 又当时，， ∵函数 在 上单调递增， ∴ 的最小值为 ， ∴ 的最小值为 ，∴ 的最大值为 5． 若两圆圆心在切线的异侧，作O1M⊥AB交AB于M，连接OP，则OP⊥AB， 设O1M＝x，则， ∴， 令，，则． 由题意知，∴， 令t＝x﹣10，则x＝t+10， ∴，当且仅当t＝﹣8等号成立； ∴， ∴． 故选：A． 8．已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝1上的两个动点，点P是直线l：x+y＝0上动点，且，下列说法正确的是（　　） A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．PA长的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 【答案】D 【解答】解：对于选项A：易知圆C的圆心C（2，0），半径r＝1， 所以圆心C到直线l的距离d， 因为， 所以圆C上有两个点到直线l的距离为，故选项A错误； 对于选项B：因为， 所以PA⊥CA，PB⊥CB， 则， 当|CP|最小时，|PA|有最小值， 当CP⊥l， 即CP为圆心C（2，0）到直线l的距离时，， 所以，故选项B错误； 对于选项C：易知|PA|＝|PB|， 所以四边形ACBP面积， 由选项B知Smin＝1，故选项C错误； 对于选项D：设P（t，﹣t）， 因为PA，PB是圆C的切线， 所以点A，B在以PC为直径的圆上， 因为C（2，0）， 所以以PC为直径的圆为（x﹣t）（x﹣2）+（y+t）（y﹣0）＝0， 整理得x2+y2﹣（t+2）x+ty+2t＝0， 又圆C：（x﹣2）2+y2＝1， 两式相减得2x﹣3﹣t（x﹣y﹣2）＝0， 即直线AB方程为2x﹣3﹣t（x﹣y﹣2）＝0， 联立， 解得， 即直线AB恒过定点，故选项D正确． 故选：D． 二．多选题 9．（多选）下列说法正确的是（　　） A．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的公共弦AB所在直线的方程为x﹣y＝0 B．直线mx﹣y+1﹣m＝0必过定点（﹣1，1） C．已知直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则平行线间的距离是1 D．已知向量，，若，则为钝角 【答案】AC 【解答】解：对于A，因为圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0， 所以由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为﹣4x+4y＝0，即x﹣y＝0，故A正确； 对于B，由mx﹣y+1﹣m＝0＝m（x﹣1）﹣（y﹣1），该直线恒过定点（1，1），故B错误； 对于C，由两直线平行可知3m＝4×6，所以m＝8， 此时方程6x+my﹣12＝0可化为3x+4y﹣6＝0， 故两直线距离为，故C正确； 对于D，当x＝﹣1时，，， 此时，即，夹角为π，不符合题意，故D错误． 故选：AC． 10．（多选）已知圆O：x2+y2＝4，则（　　） A．圆O与直线mx+y﹣m﹣1＝0必有两个交点 B．圆O上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆O与圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝16 D．动点P在直线x+y﹣4＝0上，过点P向圆O引两条切线，A、B为切点，则四边形PAOB面积最小值为2 【答案】AC 【解答】解：对于A，直线mx+y﹣m﹣1＝0可化为（x﹣1）m+y﹣1＝0， 由，解得x＝1，y＝1，可知直线mx+y﹣m﹣1＝0过定点（1，1）， 因为12+12＜4，所以该点在圆x2+y2＝4的内部， 因此，圆O与直线mx+y﹣m﹣1＝0必有两个交点，故A项正确； 对于B，圆O：x2+y2＝4，圆心为O（0，0），半径r＝2． 圆心O到直线的距离d1＝r﹣1， 因此，过圆心且与直线l平行的直线与圆相交有两个点到直线l的距离为1． 当一条直线与直线l平行且与圆相切时，若它与l在圆心的同侧，则该直线到l的距离为1， 综上所述，圆O上存在3个点到直线的距离都等于1，故B项错误； 对于C，将圆x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0化成标准形式， 可得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圆心为（3，4），半径R， 因为两圆有三条公切线， 所以两圆外切，可得，解得m＝16，故C项正确； 对于D，连接OP、OA、OB，因为A、B是切点，所以OA⊥PA且OB⊥PB， 可得S四边形PAOB＝2S△POA＝2PA•AO＝2PA， 所以当PO最小时，S△POA有最小值，相应地四边形PAOB面积有最小值 当PO与直线x+y﹣4＝0垂直时，， 此时S四边形PAOB4，即四边形PAOB面积的最小值为4，故D项错误． 故选：AC． 11．（多选）已知圆和圆的交点为A，B，则下列说法正确的是（　　） A．两圆的圆心距 B．直线AB的方程为x﹣y﹣1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q，使得PQ＞AB D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为 【答案】AD 【解答】解：对于A，因为圆O1的圆心坐标为（1，0），圆O2的圆心坐标（0，1）， 因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确； 对于B，将两圆方程作差可得﹣2x+2y﹣2＝0， 即得公共弦AB的方程为x﹣y+1＝0，故B错误； 对于C，由B选项可知，直线AB的方程为x﹣y+1＝0，由于（0，1）满足x﹣y+1＝0上， 故直线AB经过圆O2的圆心坐标（0，1），所以线段AB是圆O2的直径， 故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误； 对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2， 圆心O1到直线AB：x﹣y+1＝0的距离为， 所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为，故D正确． 故选：AD． 三．填空题 12．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0外切，则m的值为　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1； 圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0的圆心（4，3），半径为：； 圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0外切， 可得：1，解得m＝9． 故答案为：9． 13．已知圆和圆交于两点，点P在圆C1上运动，点Q在圆C2上运动，则下列说法正确的是　②　 ． ①点C1和点C2关于直线8x+6y﹣1＝0对称； ②圆C1和圆C2的公共弦长为； ③|PQ|的取值范围为． 【答案】②． 【解答】解：对于①，将圆化为标准方程得：（x+3）2+（y+1）2＝16， 所以其圆心是C2（﹣3，﹣1），半径是R2＝4， 圆的圆心是C1（1，2），半径是， 所以两圆心连线的中点为， 若点C1和点C2关于直线8x+6y﹣1＝0对称，则点在直线8x+6y﹣1＝0上， 但点不在直线8x+6y﹣1＝0上，故①错误； 对于②，因为圆C1的一般方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣7＝0， 所以两圆相减得两圆公共弦所在直线的方程为8x+6y+1＝0， 因为点C1到直线8x+6y+1＝0的距离， 所以圆C1和圆C2的公共弦长为，故②正确； 对于③，圆心距为，当点P和Q重合时，|PQ|的值最小为0； 当P，Q，C1，C2四点共线且C1，C2在P，Q之间时，|PQ|的值最大为， 所以|PQ|的取值范围为，故③错误． 故答案为：②． 14．已知圆M：x2+y2﹣2ay+a2﹣4＝0与圆N：x2+y2﹣4x+3＝0有4条公切线，则实数a可以取的一个值为　3（答案不唯一）　 ． 【答案】3（答案不唯一）． 【解答】解：根据题意，圆M：x2+y2﹣2ay+a2﹣4＝0，即x2+（y﹣a）2＝4，其圆心为（0，a），半径为2， 圆N：x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，其圆心为（2，0），半径为1， 若两圆有4条共切线，则两圆外离，则有圆心距d＞2+1，即3， 变形可得：a2＞5，解可得a或a， 故a可取的一个值为3． 故答案为：3（答案不唯一）． 四．解答题 15．已知圆M：x2+y2＝10和圆N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0． （1）求证：圆M与圆N相交； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求经过圆M与圆N的交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】（1）证明：圆M：x2+y2＝10，圆心M（0，0），半径， 圆N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0，圆心N（﹣1，﹣1），半径， 圆心距， 因为，故两圆相交； （2）x+y﹣2＝0； （3）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8． 【解答】解：（1）证明：圆M：x2+y2＝10，圆心M（0，0），半径， 圆N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0，圆心N（﹣1，﹣1），半径， 圆心距， 因为，故两圆相交； （2）由题意圆M：x2+y2＝10和圆N：x2+y2+2x+2y﹣14＝0， 将两圆方程相减得（x2+y2+2x+2y﹣14）﹣（x2+y2）＝0﹣10， 化简得2x+2y﹣4＝0，即x+y﹣2＝0， 所以两圆公共弦所在直线的方程x+y﹣2＝0； （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆， 联立两圆方程，由公共弦方程x+y﹣2＝0得y＝2﹣x， 代入圆M方程：x2+（2﹣x）2＝10⇒x2﹣2x﹣3＝0，解得交点A（3，﹣1），B（﹣1，3）， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8． 16．已知圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，圆C2：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）． （1）若两圆内含，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（0，1）； （2）． 【解答】解：（1）圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，C2：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）． 两圆内含，可得|2﹣m|，解得m＜1， m＞0， 故0＜m＜1， 综上所述，m的取值范围为（0，1）； （2）圆C1：（x﹣1）2+（y+1）2＝4，C2：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）， 两圆方程相减可得，（m﹣1）x+y﹣1＝0，即两圆公共弦所在直线方程， 圆C1的圆心为C1（1，﹣1），半径为r1＝2， 两圆公共弦的长度为2， 则点C1（1，﹣1）到直线（m﹣1）x+y﹣1＝0的距离d， 由点到直线的距离公式可知，，解得， m＞0， 则m． 17．已知圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+16＝0，求： （1）圆C2的标准方程，以及圆心C2的坐标和半径r2； （2）圆C1与圆C2的位置关系． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9，圆心为（4，3），半径为3； （2）外切． 【解答】解：（1）将圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+16＝0，通过配方法转化为标准方程：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9， 则圆C2的圆心坐标为（4，3），半径为3； （2）因为圆C1的标准方程为x2+y2＝4，所以圆心为（0，0），半径为2， 所以两圆心之间的距离， 两圆半径之和为r1+r2＝2+3＝5， 因为d＝r1+r2，所以两圆外切． 18．已知圆，圆． （1）证明圆C1与圆C2相交； （2）求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程； （3）求公共弦长． 【答案】（1）圆C2的标准方程为，所以圆心，半径； 圆C1的标准方程为，所以圆心，半径； 两圆圆心距d＝|C1C2|＝1，，； 所以圆C1与圆C2相交． （2）2x+1＝0； （3）． 【解答】解：（1）圆C2的标准方程为，所以圆心，半径； 圆C1的标准方程为，所以圆心，半径； 两圆圆心距d＝|C1C2|＝1，，； 所以圆C1与圆C2相交． （2）由（1）知，圆C1与圆C2相交， 所以将圆C1与圆C2的方程相减， 得x2+y2+2x+3y+1﹣（x2+y2+4x+3y+2）＝0，化简得2x+1＝0． 即两圆的公共弦所在直线的方程为：2x+1＝0； （3）圆心到2x+1＝0的距离为，圆C1的半径， 此时弦长为，即公共弦长为． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+8）2+（y+6）2＝25和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝25． （1）若直线l过原点，且被C2截得的弦长为6，求直线l的方程； （2）是否存在点P满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）x＝0或yx； （2）P1（4，﹣6）或点P2（﹣8，6）． 【解答】解：（1）直线l被C2截得的弦长为6，∴圆心到直线的距离为4， 直线l的斜率不存在，满足题意，方程为x＝0； ∴直线l的斜率存在，设l方程为：y＝kx， 圆C2的圆心到直线l的距离为d4 ∴k， ∴直线l的方程为yx． ∴直线l的方程为：x＝0或yx； （2）设点P（a，b）满足条件， 由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l1的方程为y﹣b＝k（x﹣a），k≠0 则直线l2方程为：y﹣b（x﹣a） ∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等， ∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即 整理得|﹣6﹣b+8k+ka|＝|6k﹣bk+4﹣a| ∴﹣6﹣b+8k+ka＝±（6k﹣bk+4﹣a）即（a+b+2）k＝b﹣a+10或（a﹣b+14）k＝a+b+2 因k的取值有无穷多个，所以或 解得a＝4，b＝﹣6或a＝﹣8，b＝6 这样的点只可能是点P1（4，﹣6）或点P2（﹣8，6） 经检验点P1和P2满足题目条件． $