专题01 平方根与立方根（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以“考点-题型”架构系统覆盖平方根与立方根核心内容，通过分层题型设计实现概念理解到综合应用的递进训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算术平方根|6题型（含估算、非负性应用等）|聚焦概念辨析、非负性应用及实际问题，突出高频估算与规律探索|从非负性本质出发，通过取值范围、整数小数部分划分建立数感，结合面积问题培养几何直观| |平方根|5题型（含概念理解、解方程等）|强化平方根性质（互为相反数）及方程应用，设置概念辨析易错点|以算术平方根为基础，延伸至平方根的双值性，通过方程应用构建代数运算能力| |立方根与综合应用|6题型（含综合应用）|涵盖立方根符号特性、规律探索及与平方根的综合题，注重实际情境应用|衔接平方根知识，对比立方根唯一性，通过体积问题与跨考点综合题发展推理意识与应用意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 平方根与立方根 常考题型精准突破 ·考点一算术平方根。— ◆题型1求一个数的算术平方根 1.C 2.C 3.f四 4.1.0545 ◆题型2利用算术平方根的非负性解题 5.-1 6.-2 7.a≥0 8.1+v5或-5 ◆题型3估计算术平方根的取值范围 9.C 10.C 11.8 ◆题型4求算术平方根的整数部分和小数部分 V20-4 12.4 13. V11-3,-3+V1 14.10 ◆题型5与算术平方根有关的规律探索题 15.15.21 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.-228.4 17.0.7899 249.8 18.-43 ◆题型6算术平方根的实际应用 19.(1)2 R 20.(1)这场雷雨大约能持续0.2h (2)这场雷雨区域的直径是9km 21.10W2m/s ● 考点二平方根 ● ◆题型1平方根概念理解 22.B 23.A 24.A 25.3 ◆题型2求一个数的平方根 26.D 27±6 4 ±3 28.4 29.(1)a=1 v⑩ ◆题型3已知一个数的平方根，求这个数 30.A 31.A 217 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 32.1 33.±4 ◆题型4利用平方根解方程 34,=V5为=-V5 35.x=85=-6 36,【详解1解：x-5-8=0, 20x-5y=8, (x-5)}=16 x-5=4, 解得x=9或x=1. 37.【详解】解： 0》-苦 2 3(y+3)y-3)=2y2-6y 去分母得， 3y2-27=2y2-6y 去括号得， 整理得， y2+6y-27=0 y2+6y=27 y+6y+9=36,即0y+3=36, (±6)}=36 .y+3=6,即y=-3±6， 解得，片9，=3 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5平方根的应用 386 39.-2 40.L)BC=5V5 米 ②5米或25米 米 ● 考点三立方根与综合应用 ◆题型1立方根概念理解 41.D 42.C 43.D 44.A ◆题型2求一个数的立方根 45.B 46.C 47.141 48.【详解】解： V-3)+-27-5-2 =3+(27)-(2-5) =3-3-2+V5 =5-2 ◆题型3已知一个数的立方根，求这个数 49.5230 50.-68800 51.1000000 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52.(1)a=5:b=2: (2)±4. ◆题型4与立方根有关的规律探索 53.A 54.5230000 55.-0.235 56.(1)0.39536 (2)6180 ◆题型5立方根的实际应用 57.A 58.2 59.10.1a 60.(1)= 7,、10 10 (2)x=4 ◆题型6算术平方根和立方根的综合应用 61.(1)a=-2,x=25,y=-1 (2)6 62.(1)x=10,y=14 ②v6 6.【详解】解：：4=+)y+3是+y+3的统术平方根，B=+2是+2的立方根， x-y=2 ∴.x-2y+3=3, x=4 解得y=2, 517 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :1=4+2+3=3.B=4+2x2=2 B-A=2-3=-1, .B-A的立方根为-1. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.B 4.C 二、填空题 5.4或100/100或4 6.5.981 7.245 8.126 三、解答题 9【详解】解：：(3x+=(2x-, ax+旷-ex--（-引 3x+1=x别 3x+1=x- 或3x+1= 2, 3 1 解得=4名=8 10.【详解】1)解：（x-)-9=0 (x-1}=9 x-1=3. 解得x=4或x=-2: 6/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （2)-8(x-3=27 (&-3)2=-27 8 r-3s-3 2’ 的 11. ±V409 【答案】 > 12.55 (2)0 (3)欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为4.86dm的长方形纸片，且它的长宽之比为3：2，设长为3xdm, 则宽为2xdm,则有： 2x×3x=4.86, 解得，x=0.9, :3x为长方形的长， .x>0, .x=0.9 则长为3x=2.7, :要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框， ·长方形的长应当为 ×0.3+2.7=3.3(dm) 3.32=10.89>10, ∴.假设错误，不能 717 专题01 平方根与立方根 常考题型·精准突破 考点一 算术平方根 题型1 求一个数的算术平方根（高频） 题型2 利用算术平方根的非负性解题（重） 题型3 估计算术平方根的取值范围 题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 题型6 算术平方根的实际应用 考点二 平方根 题型1 平方根概念理解（重） 题型2 求一个数的平方根（高频） 题型3 已知一个数的平方根，求这个数 题型4 利用平方根解方程 题型5 平方根的应用（难） 考点三 立方根与综合应用 题型1 立方根概念理解 题型2 求一个数的立方根（高频） 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 题型4与立方根有关的规律探索 题型5 立方根的实际应用（难） 题型6算术平方根和立方根的综合应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 算术平方根 ◆题型1 求一个数的算术平方根 1．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根定义和立方根的定义判断各选项． 【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 4．已知：，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ◆题型2 利用算术平方根的非负性解题 5．已知，则________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分为零，从而求出x和y的值． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， 即 ，解得 ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为． 6．已知，则的立方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 7．如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 8．已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，理解算术平方根、绝对值的非负性是正确解答的关键． 根据算术平方根、绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， 或， 故答案为：或 ◆题型3 估计算术平方根的取值范围 9．定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值． 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 10．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 11．与最接近的整数是______． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． ◆题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 12．已知的整数部分为_________，小数部分是_________． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用的取值范围得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 13．的小数部分是m，则______； 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的估算，估算出的整数部分是解题的关键．根据算术平方根的大小估算可得，得出的整数部分，进而得到的小数部分，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， ∴． 故答案为：． 14．已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，则的值为________． 【答案】10 【分析】根据题意求出即可得到答案．本题考查立方根、算术平方根、无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】∵的立方根是， ∴，解得； ∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵， ∴， ∴； ∴． 故答案为：10． ◆题型5 与算术平方根有关的规律探索题 15．如果，，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 16．已知，，那么____________________． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17．若，，则______，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位．被开方数是把的小数点向左移动2位后得到的，则的值是把的值小数点向左移动1位；62400是把小数点向右移动4位，则是将的值向右移动2位得到． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 18．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． ◆题型6 算术平方根的实际应用 19．阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得， 答：该大正方形的边长是． 20．某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径是 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）把代入公式进行计算即可； （2）将代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； 答：这场雷雨大约能持续； （2）当时，则：， ∴或（舍去）； 答：这场雷雨区域的直径是． 21．海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 直接根据已知数据代入，化简得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 则． 答：其行进的速度为． 考点二 平方根 ◆题型1 平方根概念理解 22．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，根据定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：A选项：3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是B说法错误； C选项：的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 23．下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念，需注意特殊数和负数的处理． 逐一判断每个说法的正误：①立方根等于本身的数包括、、，但说法漏了，错误；②平方根和立方根都等于自身的数只有，但说法包括，错误；③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，正确；④算术平方根为非负数，的算术平方根为，不是正数，错误；⑤，有平方根，错误．因此仅有一个正确． 【详解】①立方根等于本身的数有、、，但说法限定为或，漏了，故①错误； ②平方根等于本身的数只有（因为平方根定义，的平方根为），立方根等于本身的数有、、，故②错误； ③设与互为相反数，即，则，故互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数，故③正确； ④算术平方根定义为非负数，的算术平方根为，不是正数，故④错误； ⑤因为，的平方根为，所以有平方根，故说法⑤错误． 仅③正确，正确的个数为个， 故选：A. 24．下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 25．若的平方根只有一个，则x的值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的性质，根据0的平方根是0，只有一个，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根只有一个， ∴， ∴； 故答案为：3． ◆题型2 求一个数的平方根 26．下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 【答案】D 【详解】解：选项A：，的立方根是，A错误； 选项B：表示16的算术平方根，结果为，即，B错误； 选项C：，的平方根是，C错误； 选项D：，的算术平方根是，的算术平方根是，D正确． 27．的平方根是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 28．16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 【答案】 4 【分析】本题考查算术平方根、立方根和平方根，根据算术平方根、立方根和平方根的定义和性质求解即可． 【详解】解：16的算术平方根是4，；4的立方根是；的平方根是； 故答案为：4，， 29．已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． ◆题型3 已知一个数的平方根，求这个数 30．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 31．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的平方根互为相反数求出的值，进而求出一个平方根即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 一个正数的两个不相等的平方根是和， ∴， 解得， ∴一个平方根为， ∴ 这个正数为， 故选：． 32．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 33．已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义求解出，再计算的值，最后计算平方根即可；注意一个正数的平方根有两个，一正一负且互为相反数． 【详解】解：∵3是的一个平方根， ∴， 解得，   是的立方根， ，   ∴， ∴的平方根为． ◆题型4 利用平方根解方程 34．方程：的根是_________． 【答案】， 【分析】本题考查了利用平方根的定义方程，熟练掌平方根的定义是解题的关键． 利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解： ∴，； 故答案为：，． 35．方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键． 直接运用平方根解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，解得：． 综上，，． 故答案为：， 36．解方程：． 【答案】 或 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得或． 37．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查运用平方根解方程，掌握平方根的计算方法是关键，根据题意，去分母，去括号，移项，整理为，再运用平方根的计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得，． ◆题型5 平方根的应用 38．有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 39．一个正数的平方根是和，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可得． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， 故答案为：． 40．如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 考点三 立方根与综合应用 ◆题型1 立方根概念理解 41．下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的基本概念． 选项A错误，因为负数在实数范围内没有平方根；选项B错误，因为，8的立方根是2，不是；选项C错误，因为，不一定等于；选项D正确，因为算术平方根的定义是非负数． 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵，8的立方根是2， ∴ B错误； ∵，当时，， ∴ C错误； ∵ 算术平方根的定义是非负数（包括0）， ∴ D正确． 故选：D． 42．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根是非负的，负数没有实数平方根；立方根有唯一实数解，即可得解，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意； 故选：C． 43．下列说法不正确的是（    ） A．平方根与立方根相等的数只有0 B．立方根等于它本身的数只有0和 C．7是49的算术平方根 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、平方根与立方根相等的数只有0，该选项正确，不符合题意； B、立方根等于它本身的数只有0和，该选项正确，不符合题意； C、7是49的算术平方根，该选项正确，不符合题意； D、是的一个平方根，该选项错误，符合题意； 故选D． 44．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． ◆题型2 求一个数的立方根 45．下列实数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，有理数包含整数与分数，无理数是无限不循环小数，据此对各选项判断即可． 【详解】解：是无理数，和是开方开不尽的数，属于无理数， 是分数，属于有理数，只有选项B符合题意． 46．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握以上定义是解题的关键．根据平方根，立方根，算术平方根，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意； D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 47．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 48．计算：． 【答案】 【分析】根据化简计算即可． 本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： ． ◆题型3 已知一个数的立方根，求这个数 49．已知，且，则______________ ． 【答案】5230 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的性质，被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍．由已知条件，立方根从1.735变为17.35，是原来的10倍，因此被开方数应为原来的1000倍． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为： 50．已知，且，则x=______． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根的运算，根据题意，得到，再解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 51．若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 52．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． ◆题型4 与立方根有关的规律探索 53．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 54．已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 55．已知，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 56．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． ◆题型5 立方根的实际应用 57．正方体M的体积是正方体N的体积的64倍，那么正方体M的棱长是正方体N的棱长的（   ）倍． A．4 B．8 C．16 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 设正方体M的棱长是，正方体N的棱长是，根据题意得出，根据立方根的定义得出，即可求解． 【详解】解：设正方体M的棱长是，正方体N的棱长是， 依题意得：， ∴， ∴正方体M的棱长是正方体N的棱长的4倍． 故选：A． 58．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 59．已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 60．求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴． ◆题型6 算术平方根和立方根的综合应用 61．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 62．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 63．已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键； 先计算16的算术平方根，再求该结果的平方根． 【详解】∵， 又 ∵ 4的平方根是， ∴的平方根是． 故选：C． 2．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 3．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 4．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 二、填空题 5．若与是同一个正数的平方根，则的值为______． 【答案】4或100/100或4 【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解． 【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况： 当时， 解得， ， ． 当时， 解得， ， ． 的值为4或100． 故答案为：4或100． 6．已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 7．已知，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算． 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 8．已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 【答案】126 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值，最后计算平方根． 【详解】解：， ∵是整数， ∴正整数的最小值是 21 ，． 故答案为： 126． 三、解答题 9．解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 10．计算 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根进行求解即可； （2）利用立方根进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）， ， ， 解得． 11．已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【答案】或 【分析】本题考查了平分根与立方根，熟悉理解平分根与立方根是解题的关键． 根据平分根的概念分两种情况分析：当和互为相反数时，当和互为相等时，求出的值，根据立方根的概念求出的值，代入运算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴当和互为相反数时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； 当和相等时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； ∴的平方根为或． 12．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；； （2）； （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）略 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根与立方根 常考题型·精准突破 考点一 算术平方根 题型1 求一个数的算术平方根（高频） 题型2 利用算术平方根的非负性解题（重） 题型3 估计算术平方根的取值范围 题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 题型6 算术平方根的实际应用 考点二 平方根 题型1 平方根概念理解（重） 题型2 求一个数的平方根（高频） 题型3 已知一个数的平方根，求这个数 题型4 利用平方根解方程 题型5 平方根的应用（难） 考点三 立方根与综合应用 题型1 立方根概念理解 题型2 求一个数的立方根（高频） 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 题型4与立方根有关的规律探索 题型5 立方根的实际应用（难） 题型6算术平方根和立方根的综合应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 算术平方根 ◆题型1 求一个数的算术平方根 1．下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 2．下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 3．若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 4．已知：，那么_______． ◆题型2 利用算术平方根的非负性解题 5．已知，则________． 6．已知，则的立方根是___________． 7．如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 8．已知与互为相反数，其中x、y是实数，则________． ◆题型3 估计算术平方根的取值范围 9．定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 11．与最接近的整数是______． ◆题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 12．已知的整数部分为_________，小数部分是_________． 13．的小数部分是m，则______； 14．已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，则的值为________． ◆题型5 与算术平方根有关的规律探索题 15．如果，，那么的值是__________． 16．已知，，那么____________________． 17．若，，则______，______． 18．将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为______． ◆题型6 算术平方根的实际应用 19．阅读与思考，请先完成第（1）小题，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 20．某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 21. 海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 考点二 平方根 ◆题型1 平方根概念理解 22．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 23．下列说法：①如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是或；②平方根和立方根都等于它自身的数是和；③互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤没有平方根．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 25．若的平方根只有一个，则x的值是_______． ◆题型2 求一个数的平方根 26．下列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 27．的平方根是______． 28．16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 29．已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； ◆题型3 已知一个数的平方根，求这个数 30．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 31．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 32．若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是______． 33．已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． ◆题型4 利用平方根解方程 34．方程：的根是_________． 35．方程的解是_____． 36．解方程：． 37．解方程：． ◆题型5 平方根的应用 38．有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为______． 39．一个正数的平方根是和，则a的值是______． 40．如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 考点三 立方根与综合应用 ◆题型1 立方根概念理解 41．下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．是的立方根 C． D．算术平方根是非负数 42．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 43．下列说法不正确的是（    ） A．平方根与立方根相等的数只有0 B．立方根等于它本身的数只有0和 C．7是49的算术平方根 D．是的一个平方根 44．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． ◆题型2 求一个数的立方根 45．下列实数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 46．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．的立方根是 47．定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 48．计算：． ◆题型3 已知一个数的立方根，求这个数 49．已知，且，则______________ ． 50．已知，且，则x=______． 51．若，，则b的值为________． 52．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． ◆题型4 与立方根有关的规律探索 53．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 54．已知，如果，则_____． 55．已知，那么________． 56．计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… ◆题型5 立方根的实际应用 57．正方体M的体积是正方体N的体积的64倍，那么正方体M的棱长是正方体N的棱长的（   ）倍． A．4 B．8 C．16 D．2 58．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为______． 59．已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 60．求下列各式中x的值． (1) (2) ◆题型6 算术平方根和立方根的综合应用 61．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 62．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 63．已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 2．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 3．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 4．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若与是同一个正数的平方根，则的值为______． 6．已知，，，，则的立方根是________． 7．已知，，那么______． 8．已知是正整数，且是整数，则的最小值为_____． 三、解答题 9．解方程：． 10．计算 (1) (2) 11．已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 12．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $