2.3.4 圆与圆的位置关系（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）判断位置关系，延伸至公共弦方程、弦长计算及公切线（条数、方程、长度），构建从基础判断到综合应用的递进学习支架。 该资料亮点在于题型分类系统（9大题型含典例与变式），结合高考真题强化应用，通过几何与代数方法对比培养数学思维的推理能力，即学即练设计提升数学眼光的几何直观，助力课中教学效率提升与课后学生查漏补缺。

2.3.4 圆与圆的位置关系 教学目标 1.能够判断圆与圆的位置关系。 2.弦长、切线长等问题的求解。 教学重难点 1.重点 （1）圆与圆的位置关系及其判断方法； （2）弦长的求解。 2.难点 直线与圆的综合应用问题。 知识点01 圆与圆的位置关系判断 1.几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断。 消元，一元二次方程 【即学即练】 例1：（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 例2：（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选题）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 知识点02 两圆相交的公共弦 两圆公共弦所在直线方程： 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程。 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程。 【即学即练】 例1：（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 例2：（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 知识点03 两圆的公切线 1.定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2.公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【即学即练】 （25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 题型01 判断圆与圆的位置关系 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【变式2】（25-26高二上·四川眉山·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内含 C．内切 D．外离 【变式3】（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【变式4】（25-26高二上·江苏·期中）两圆和的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 题型02 求两圆的交点坐标 【典例1】（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆和圆在第四象限内的交点为，过点的直线分别交圆于两点异于点且，则直线斜率为__________. 题型03 由圆的位置关系确定参数或范围 【典例1】（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【变式3】（25-26高二上·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 题型04 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 【变式2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________.   【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 题型05 相交圆的公共弦方程 【典例1】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 题型06 两圆的公共弦长 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【变式3】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 题型07 圆的公切线条数 【典例1】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）（多选题）点在圆上，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．圆，圆有两条公切线 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 题型08 圆的公切线方程 【典例1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二·山东·月考）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选题）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选题）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 题型09 圆的公切线长 【典例1】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【变式2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【变式3】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3.（25-26高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．3 C．2 D．1 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 6．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 10．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 11．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 12．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 13.（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 14.（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选题）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 17．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 18．（2026高二·全国·专题练习）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 19．（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 20．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 21．（2025高二·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 22．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 23．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 24．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 1.（25-26高二上·湖北·期中）已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 4．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（   ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 6．（25-26高二下·安徽·期中）（多选题）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 7．（25-26高二上·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________. 8．（25-26高二下·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 9．（25-26高二上·江苏·期末）已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 圆与圆的位置关系 教学目标 1.能够判断圆与圆的位置关系。 2.弦长、切线长等问题的求解。 教学重难点 1.重点 （1）圆与圆的位置关系及其判断方法； （2）弦长的求解。 2.难点 直线与圆的综合应用问题。 知识点01 圆与圆的位置关系判断 1.几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断。 消元，一元二次方程 【即学即练】 例1：（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 例2：（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选题）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 知识点02 两圆相交的公共弦 两圆公共弦所在直线方程： 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程。 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程。 【即学即练】 例1：（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简圆的方程为一般式方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故选：A. 例2：（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 知识点03 两圆的公切线 1.定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2.公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【即学即练】 （25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 题型01 判断圆与圆的位置关系 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 【变式1】（24-25高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 【变式2】（25-26高二上·四川眉山·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内含 C．内切 D．外离 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，再计算两圆的圆心距，最后根据圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】将圆的方程化为标准方程，即， 所以圆的圆心坐标为，半径. 将圆的方程化为标准方程，即， 所以圆的圆心坐标为，半径， 两圆的圆心距， ，所以，所以两圆的位置关系是外离. 故选：D 【变式3】（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案 【详解】由，得， 所以圆的圆心，半径， 由，得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以两圆内切， 故选：A 【变式4】（25-26高二上·江苏·期中）两圆和的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】根据两圆的圆心距与两圆的半径之和的关系，可得两圆的位置关系． 【详解】由圆可化为，则圆心，半径为； 由可化为，则圆心，半径为. 则，即两圆外切． 故选：D． 题型02 求两圆的交点坐标 【典例1】（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 【变式1】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    【变式2】（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（    ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆和圆在第四象限内的交点为，过点的直线分别交圆于两点异于点且，则直线斜率为__________. 【答案】或 【分析】联立圆的方程求得，根据已知设，应用几何法求圆的弦长，结合已知列方程求参数，即可得. 【详解】由题设，可得或，而交点在第四象限，则， 由且异于，则直线的斜率一定存在， 设，即， 且对应半径，圆心与直线的距离， 所以， 且对应半径，圆心与直线的距离， 所以， 所以， 所以或. 故答案为：或 题型03 由圆的位置关系确定参数或范围 【典例1】（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 【变式1】（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 【变式3】（25-26高二上·江西赣州·期末）若圆：与圆：外切，则（   ） A．1 B．2 C．9 D．1或9 【答案】A 【分析】利用两圆外切的性质列方程求解即得. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 而圆：的圆心为，半径为， 因两圆外切，则，解得. 故选：A. 题型04 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【典例1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设过两圆交点的圆系方程，再将经过的点的坐标代入，求得所求圆的方程即可得圆心． 【详解】设经过两圆与交点的圆的方程为， 因为该圆经过点， 所以，解得， 所以，故圆心坐标为 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解. 【详解】由图可知，满足题意的圆共有四个： 设与圆内切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 设与圆外切的圆,故有：,解得, 故圆的标准方程为：； 现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程. 设圆心，则有：, 整理得：,解得. 由对称性可知，的两解即的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可. 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）圆经过点，且与圆相切于坐标原点，则圆的标准方程为_________________. 【答案】 【分析】根据条件确定圆D与圆C相外切，确定圆心D的坐标及圆D的半径，从而得到圆的标准方程. 【详解】圆的标准方程为， 则圆心，半径，圆C过原点. 因为圆与圆相切于坐标原点，且过点， 所以圆与圆相外切，圆心是线段的垂直平分线与直线的交点. 直线的方程为，线段的垂直平分线的方程为，所以， 所以圆的半径，所以圆的标准方程为. 故答案为：    【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 【答案】 【分析】先设圆的方程，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆过点且与圆相切于点，列出方程组可求相应参数，从而可求方程． 【详解】设所求圆方程为， 圆即的圆心为，半径为， 由题意得，所以，解得， 所以 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 题型05 相交圆的公共弦方程 【典例1】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 【变式1】（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 【变式2】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两圆方程相减即可得公共弦直线方程. 【详解】由两圆和圆方程相减， 可得公共弦的直线方程， 故选：C. 题型06 两圆的公共弦长 【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 【变式1】（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求公共弦长. 【详解】设圆，圆， 圆，其圆心，半径； 圆，其圆心，半径； 则，即，可知两圆相交， 用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长是. 故选：D. 【变式2】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【变式3】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【详解】由题,圆，圆心，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 题型07 圆的公切线条数 【典例1】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 【变式1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】求出两圆的位置关系，再根据位置关系判断即可． 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 又，故， 得两圆外切，所以两圆的公切线条数为3． 故选：B． 【变式2】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别确定两个圆的圆心坐标与半径，根据圆与圆的位置关系求解圆心距，从而得圆与圆的位置关系，即可得公切线条数. 【详解】由题意可得圆25，圆心， 圆，圆心， 则圆心距， 则，所以两圆相交，故其公切线条数为2. 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆圆心距离与半径的关系可判断两圆位置关系，进而可得公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为， 故选：B. 【变式4】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）（多选题）点在圆上，点在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．圆，圆有两条公切线 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先把两个圆的方程都转化成标准形式，得出圆心坐标和半径大小，再算圆心距，并判断位置关系，求的最值，及圆心连线斜率，最后逐一判断选项即可． 【详解】圆，圆心，半径， 圆，即， 所以圆心，半径， 则， 所以两圆相离，有四条公切线，A错误． 的最大值：的最大值为7，B正确； C.选项：两圆心连线斜率,C正确． D.选项：两圆外离，无相交弦，故方程不存在，D错误． 题型08 圆的公切线方程 【典例1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【变式1】（25-26高二·山东·月考）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式2】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选题）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 【变式3】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选题）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 题型09 圆的公切线长 【典例1】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式1】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 【变式3】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1)；(2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的 为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 2．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 3.（25-26高二上·山东青岛·期中）圆与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 则，圆与圆相交， 所以两圆的公共点个数为2. 故选：C 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 6．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 7．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 8．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选题）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系，以确定两圆公切线的条数. 【详解】圆，圆心，半径. 圆16，圆心，半径. 所以， 则， 则两个圆相交，所以两圆的公切线有2条． 故选：C． 10．（2026·陕西榆林·三模）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 11．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 12．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 【答案】4 【分析】联立两圆方程，求得公共弦所在直线方程，根据圆心到公共弦所在直线的距离，由几何法求得公共弦长. 【详解】圆与圆相交于，两点， 所以，两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则公共弦的长为4． 13.（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 14.（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 15．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选题）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）半径相同的圆，交于，两点，若，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】由题意得到，根据两点间距离公式列方程组求出圆半径，代入圆的标准方程求解即可. 【详解】半径相同的圆，交于，两点，若， 则圆的半径. 设圆的圆心坐标为， 则，解得（舍去，此时与圆重合）或. 所以圆的圆心坐标为. 故圆的标准方程为. 17．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 18．（2026高二·全国·专题练习）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则___________ 【答案】3 【分析】设两圆心分别为，切线与x轴的交点为,由切线斜率可求出切线与x轴的夹角，再结合即可求解. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 过点，斜率为， 和x轴的夹角，则不妨设两圆心为，则， 可得， 又两圆外切， 则， 则，故. 故答案为：3 19．（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【答案】，，，(写一条即可） 【分析】设公切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即得答案. 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：， 解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 故答案为：，，，（写一条即可）. 20．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________.（写出全部符合题意的直线方程，漏写不给分） 【答案】，和 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 21．（2025高二·全国·专题练习）求过直线和圆的交点，且过原点的圆方程． 【答案】 【分析】设所求圆的方程为：，将原点代入方程可得，进而求解即可. 【详解】设所求圆的方程为：， 即， 因为所求圆过原点，所以，得， 故所求圆的方程为：． 22．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出已知圆的圆心和半径，然后按照直线的斜率存在和不存在两种情况分类讨论，进而利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）由题意设，利用两圆外切列方程求得或，代入圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）圆，化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为5， ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径5， 所以，即，解得，所以直线方程为. 综上，所求直线的方程为或； （2）由圆心D在直线上，故设圆D的圆心为， 又已知圆C的圆心为，半径为5， 由两圆外切，可知，所以， 解得或， 所以或，              所以所求圆D的方程为或. 23．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆O: 圆 (1)求圆O与圆M 的公共弦长： (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标，并求公切线方程. 【答案】(1) (2)，公切线方程为和. 【分析】（1）首先根据题意得到公共弦方程，再利用弦长公式求解即可. （2）首先判断两圆的位置关系得到圆和圆相交，根据图形得到为两圆的一条公切线，从而得到，再求另一条公切线即可. 【详解】（1）圆①，圆②， ①②得公共弦方程：. 到的距离， 则公共弦长为. （2）如图所示： 因为，， 所以圆和圆相交， 因为到的距离为，到的距离为， 所以为两圆的一条公切线. 因为，，所以， 设公切线为，即， 到的距离，解得， 即公切线方程为. 综上：，公切线方程为和. 24．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 1.（25-26高二上·湖北·期中）已知圆与圆相交于、两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得出的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得． 【详解】圆，即， 则圆心为，半径为1，， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为， 所以，得，解得， 因此． 故选：D． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 3．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 4．（25-26高二下·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（   ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，因为两圆半径相等，所以通过判断的中点不在直线上，判断A错；求得两圆的公共弦长，判断B；因为两圆相交，所以的最小值为，最大值为圆心距加两圆半径，由此求出最大值，判断C；求出圆关于直线的对称点的坐标，再结合两点间距离公式，求出的最小值，判断D. 【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为； 由，得，所以圆的圆心为，半径为. 因为线段的中点为，不满足方程，所以的中点不在直线上， 所以圆和圆不关于直线对称，所以A错误； 由，得两圆的公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为，所以B错误； 因为两圆相交，所以的最小值为，最大值为圆心距加两圆半径. ，所以的最大值为. 所以的取值范围为，所以C错误； 设圆心关于直线对称的点为，则的中点为，直线的斜率为. 所以，解得.即. 所以以为圆心，半径为的圆与圆关于直线对称. 设点关于直线对称的点为，则在圆上，则. 结合图象知的最小值为. 所以的最小值为.所以D正确. 故选：D. 6．（25-26高二下·安徽·期中）（多选题）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；直线与圆的位置关系和三角形的面积公式计算即可判断B；如图，确定当取最小值时取得最小值，结合点与圆的位置关系计算即可判断C；设，根据平面向量数量积的定义，由选项C可得，结合换元法和基本不等式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 且，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，当与圆相切时，， 所以的面积为，故B正确． 对于C，连接，则， 当取最小值时取得最小值， 又，所以，故C正确； 对于D，设，则， 在中，，则， 由对C的分析，知， 所以， 令，则，， 当且仅当时等号成立，故D错误． 7．（25-26高二上·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________. 【答案】或 【分析】由已知等式变形得出，设直线的方程为，可知点到直线的距离为，点到直线的距离为，即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，对圆、圆的位置进行分类讨论，数形结合可求得的值. 【详解】由变形得， 设直线的方程为， 该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.    情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得， 情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为， 因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为， 与两个圆的切点分别为、， 因为，所以，可得点，切线的方程为，即， 此时. 故答案为：或. 8．（25-26高二下·北京·阶段检测）不全为0的实数对满足关系式，则这样的实数对共有_________组. 【答案】 【分析】由，可知点与点到直线的距离都为，以，为圆心，半径分别作圆，判断两圆公切线个数即可求解. 【详解】由，得， 根据点到直线的距离公式，可知点与点到直线的距离都为， 分别以，为圆心，半径作圆、圆， ，，所以两圆外离， 根据圆的位置关系，外离的两圆有条公切线 结合图形，可知这条公切线对应的直线都满足点、到直线的距离为，且每条公切线对应一组实数对， 因此，满足条件的实数对共有对. 9．（25-26高二上·江苏·期末）已知过原点O的直线与圆C：交于A，B两点，弦的中点为P，则点P的轨迹与圆C的公共弦长为______. 【答案】 【分析】首先设弦的中点，利用垂直关系，建立方程，求点的轨迹方程；再与圆联立，求出交点得到公共弦长. 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 设弦的中点，则，， 则，即. 联立两圆，解得：， 故所求弦长为：. 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $