2.3.4 圆与圆的位置关系-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）判断两圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的方法，以及公切线、公共弦等应用问题，构建从圆的方程到位置关系判断的完整知识支架。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础落实训练、题型分类解析（位置关系判断、相交问题、相切问题）及思维建模，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维进行推理运算、用数学语言精确表达的核心素养。例如例2结合几何法与代数法求解公共弦方程及长度，课中助力教师分层教学，课后通过课时检测与针对训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

2.3.4　圆与圆的位置关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.掌握圆与圆的位置关系的判定方法. 2.能利用圆与圆的位置关系解决公切线、公共弦等有关问题. 　　圆与圆位置关系的判断 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2(r2>r1),两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 圆心距 与半径 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 r2-r1<d<r1+r2 d=r2-r1 d<r2-r1 图示 (2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元,一元二次方程 |微|点|助|解| (1)利用代数法判断两圆位置关系时,当方程无解或一解时,无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时,优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线,当两圆外切时有三条公切线,当两圆相交时有两条公切线,当两圆内切时只有一条公切线,当两圆内含时无公切线. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切. (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交. (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=r2(r>1)有两个交点,则r的取值范围是 (　　) A.(1,+1) B.(2-1,2+1) C.(1,+1] D.[2-1,2+1] 解析:选B　由题意知,圆心C1(0,0)与圆心C2(2,2),则圆心距|C1C2|=2,因为圆C1与圆C2有两个交点,则圆C1与圆C2相交,则r-1<|C1C2|<r+1,解得2-1<r<2+1. 题型(一)　两圆位置关系的判断 [例1]　已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为 (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. 解:圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. ∴|C1C2|= =a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当r1-r2<|C1C2|<r1+r2,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>r1+r2,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<r1-r2,即0<a<3时,两圆内含. |思|维|建|模| 　　判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤. (1)将圆的方程化成标准方程,写出圆心和半径. (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围,必要时可数形结合. 　　[针对训练] 1.圆C1:(x-4)2+y2=4与圆C2:x2+(y-3)2=16的位置关系是 (　　) A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 解析:选B　因为|C1C2|==5,两圆的半径分别为r1=2,r2=4,所以|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以C1,C2相交,故选B. 2.圆O:x2+y2=4与圆M:x2+(y-5)2=4的公切线条数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选D　由圆O:x2+y2=4,则圆心O(0,0),半径为r1=2,圆M:x2+(y-5)2=4,则圆心M(0,5),半径r2=2,所以两圆圆心距|OM|=5>r1+r2,所以圆O与圆M的位置关系为外离,则圆O与圆M的公切线条数为4. 3.若圆O1:x2+y2=25与圆O2:(x-7)2+y2=r2(r>0)相交,则r的取值范围为 (　　) A.[2,10] B.(2,10) C.[2,12] D.(2,12) 解析:选D　因为圆O1与圆O2相交,所以|r-5|<|O1O2|<|r+5|.又|O1O2|=7,所以|r-5|<7<|r+5|,解得2<r<12. 题型(二)　两圆的相交问题 [例2]　已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)求证:圆C1与圆C2的位置关系是相交; (2)求公共弦所在直线方程和公共弦长; (3)求经过点M(1,0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程. 解:(1)证明:将两圆方程配方化为标准方程,得C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10, 则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5. 圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=. 又∵|C1C2|=2,r1+r2=5+,r1-r2=5-, ∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0. 法一　圆C1的圆心为(1,-5), 其到公共弦所在直线x-2y+4=0的距离d==3, ∴公共弦长l=2=2=2. 法二　设两圆相交于点A,B,则A,B两点的坐标满足方程组 解得或即A(-4,0),B(0,2), ∴|AB|==2,即公共弦长为2. (3)所求圆经过两圆的交点,则可设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1), 整理得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(10+2λ)y-24-8λ=0, 此圆经过点(1,0),代入上述方程,解得λ=-5. ∴该圆方程为x2+y2+3x-4=0. |思|维|建|模| 1.处理两圆相交的有关问题的方法 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 2.圆系方程的设法 已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 　　[针对训练] 4.已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长; (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 联立圆C1与圆C2的方程,得 由①-②,得x-y+4=0. ∵A,B两点的坐标都满足此方程, ∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3,0),r=, ∴C1到直线AB的距离d==, ∴|AB|=2=2=5, 即两圆的公共弦长为5. (2)解方程组 得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),∵圆心在直线x-y-4=0上,∴b=a-4. 则 = , 解得a=,故所求圆的圆心为,半径为 . 故所求圆的方程为+=, 即x2+y2-x+7y-32=0. 题型(三)　两圆的相切问题 [例3]　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,则=r+1①. 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0, 故=②. =r③. 由①②③解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 　　[变式拓展] 　将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,-)的圆的方程”,如何求? 解:因为圆心在x轴上,所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r, 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-), 所以解得所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 　　|思|维|建|模|　解决两圆相切问题的两个步骤 定性 必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论 转化 思想 将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 　　 [针对训练] 5.若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则|AB|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选C　如图所示,设直线l交x轴于点M,由于直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则AC1⊥l,BC2⊥l,∴AC1∥BC2,∵|BC2|=2=2|AC1|,∴C1为MC2的中点,∴A为BM的中点,∴|MC1|=|C1C2|=2,由勾股定理可得|AB|=|MA|==. 6.已知圆C1:x2+y2-4x-16=0与圆C2:x2+y2+2y-4=0,则圆C1与圆C2的公切线方程是　　　　　　.  解析:圆C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圆心为C1(2,0),半径r1=2.圆C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圆心为C2(0,-1),半径r2=.圆心距|C1C2|==r1-r2,所以两圆相内切. 由解得所以两圆切点的坐标为(-2,-2),==, 所以公切线的斜率为-2,所以公切线的方程是y+2=-2(x+2),即2x+y+6=0. 答案:2x+y+6=0 [课时检测] 1.圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=4的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.外离 D.不确定 解析:选C　C1:x2+y2=1的半径r1=1,圆心C1(0,0),C2:(x-3)2+(y-4)2=4的半径r2=2,圆心C2(3,4),两圆心的距离d==5,因为d>r1+r2,所以两圆外离,故选C. 2.圆C1:x2+y2-2x-3=0与圆C2:x2+y2+4x-2y+1=0的公共弦所在直线的方程为 (　　) A.3x+y+1=0 B.3x-y+1=0 C.3x+y+2=0 D.3x-y+2=0 解析:选D　将两圆的方程相减得到两圆公共弦所在直线方程为3x-y+2=0. 3.以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=1外切的圆C的方程为 (　　) A.(x+3)2+(y+4)2=4 B.(x-3)2+(y+4)2=16 C.(x-3)2+(y-4)2=16 D.(x-3)2+(y+4)2=4 解析:选B　由题意可知,两圆的圆心距为5,设圆C的半径为r,因为两圆外切,则5=r+1,得r=4,所以圆C的方程为(x-3)2+(y+4)2=16. 4.已知圆O:x2+y2=1与圆M:(x-2)2+(y-1)2=2相交于A,B两点,则|AB|= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由圆O:x2+y2=1的圆心O(0,0)且半径为1,将两圆方程作差,得(x-2)2+(y-1)2-x2-y2=1,整理得2x+y-2=0,所以相交弦方程为2x+y-2=0,则O到其距离为,所以|AB|=2×=. 5.(多选)已知圆A:x2+y2-2y-3=0,圆B:x2+y2-4x+3=0,则下列说法正确的是 (　　) A.点P(2,-1)在圆A内 B.圆A上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为1 C.圆A和圆B的公切线长为2 D.圆A和圆B的公共弦所在的直线方程为2x-y-3=0 解析:选BCD　圆A:x2+y2-2y-3=0的圆心和半径分别为A(0,1),R=2,圆B:x2+y2-4x+3=0的圆心和半径为B(2,0),r=1,由于22+(-1)2-2×(-1)-3>0,故点P(2,-1)在圆A外,故A错误;A(0,1)到3x-4y+19=0的距离为d==3,所以圆A上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为d-R=1,故B正确;由于|AB|==∈(1,3),故两圆相交,两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为2x-y-3=0,故D正确;由于两圆相交,所以公切线的长度为==2,故C正确,故选BCD. 6.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,则下列说法正确的是 (　　) A.圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x+4y-5=0 B.圆C1与圆C2有两条公切线 C.x=-1是圆C1与圆C2的一条公切线 D.圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x+4y-5=0的距离为2 解析:选C　由条件可得,圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1;圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为C2(3,4),半径r2=4.因为|C1C2|==5=r1+r2,所以圆C1与圆C2外切,A、B错误;圆心C1(0,0)到直线x=-1的距离d1=|0-(-1)|=1=r1;圆心C2(3,4)到直线x=-1的距离d2=|3-(-1)|=4=r2,所以x=-1是圆C1与圆C2的一条公切线,C正确;圆心C1(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d3==1=r1,所以圆C1:x2+y2=1上有且仅有一点到直线的距离为2,D错误. 7.(多选)圆O1:x2+y2-4y=0和圆O2:x2+y2-6x-4y+4=0的交点为A,B,点M在圆O1上,点N在圆O2上,则 (　　) A.直线AB的方程为x= B.线段AB的中垂线方程为y=2 C.|AB|= D.点M与点N之间的距离的最大值为8 解析:选ABD　将两圆的方程作差,可得x=,即直线AB的方程为x=,故A正确.圆O1:x2+(y-2)2=4,圆O2:(x-3)2+(y-2)2=9,圆O1的圆心为O1(0,2),半径r1=2,圆O2的圆心为O2(3,2),半径r2=3,线段AB的中垂线经过O1和O2的圆心,故线段AB的中垂线方程为y=2,故B正确.圆O1的圆心O1到直线x=的距离为,故|AB|=2=,故C错误.点M与点N之间的距离的最大值为r1+r2+|O1O2|=8,故D正确.故选ABD. 8.(5分)若圆x2+y2=4与圆(x+m)2+y2=9(m>0)外切,则实数m=　　　　.  解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2.圆(x+m)2+y2=9(m>0)的圆心为(-m,0),半径为3.由于两圆外切,所以 =|m|=2+3=5,由于m>0,故解得m=5. 答案:5 9.(5分)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直线与圆C3:x2+y2=m相切,则实数m的值为　　　　.  解析:由圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0,两个圆的方程相减,可得2x+2y-1=1,即公共弦的方程为x+y-1=0,因为直线x+y-1=0与圆C3:x2+y2=m相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即d==,解得m=. 答案: 10.(5分)已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y+a=0相交,且它们的公共弦的长为 2,则a的值为　　　　.  解析:由圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y+a=0方程相减并化简得4x-4y-4-a=0,即两圆相交弦所在直线方程.圆x2+y2=4圆心为(0,0),半径为2.(0,0)到直线4x-4y-4-a=0的距离为,所以+=22.解得a=4或a=-12.圆x2+y2-4x+4y+a=0需满足(-4)2+42-4a>0⇒a<8.圆x2+y2-4x+4y+a=0,即(x-2)2+(y+2)2=8-a,圆心为(2,-2),半径为,由于两个圆相交,所以|2-|<<2+,即|2-|<2<2+,a=4或a=-12都符合. 答案:4或-12 11.(5分)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则a的取值范围为　　　　　　.  解析:如图,圆O的半径为1,圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则∠APO=30°,在Rt△PAO中,|PO|=2,又圆M的半径等于1,圆心坐标M(a,a-4),∴|PO|min=|MO|-1,|PO|max=|MO|+1.∵|MO|=,∴由-1≤2≤+1,解得2-≤a≤2+,则a的取值范围为. 答案: 12.(10分)已知圆C1:x2+y2-2y-4=0,圆C2:x2+y2-4x+2y=0. (1)分别将圆C1和圆C2的方程化为标准方程,并写出它们的圆心坐标和半径;(5分) (2)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程及公共弦长.(5分) 解:(1)圆C1:x2+y2-2y-4=0变形为x2+(y-1)2=5,圆心为(0,1),半径为. 圆C2:x2+y2-4x+2y=0变形为(x-2)2+(y+1)2=5,圆心为(2,-1),半径为. (2)圆C1:x2+y2-2y-4=0与圆C2:x2+y2-4x+2y=0相减得到公共弦所在直线方程, 即-2y-4+4x-2y=0,整理得x-y-1=0, 圆心(0,1)到直线x-y-1=0的距离为d==, 故公共弦长为2=2×=2. 13.(10分)如果A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上一段圆弧,是以BC为直径的圆上一段圆弧,是以OA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线Ω, (1)求所在圆与所在圆的公共弦方程;(4分) (2)求与的公切线方程.(6分) 解:(1)所在的圆是以(1,0)为圆心,1为半径的圆, 所以所在圆的方程为(x-1)2+y2=1. 所在的圆是以(0,1)为圆心,1为半径的圆, 所以所在圆的方程为x2+(y-1)2=1, 两圆的方程相减可得-2x+2y=0,即x-y=0. 故所在圆与所在圆的公共弦方程为x-y=0. (2)因为所在的圆是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,所在的圆是以(0,1)为圆心,1为半径的圆, 所以与所在圆的公切线平行于经过点(1,0),(0,1)的直线, 所以所求切线的斜率为k==-1. 设公切线的方程为y=-x+b(b>0), 则点(0,1)到y=-x+b的距离d==1, 解得b=1+或b=1-(舍去). 所以公切线的方程为x+y--1=0. 14.(15分)已知两圆M:x2+y2-2x-6y-1=0和N:x2+y2-10x-12y+m=0.求: (1)m取何值时两圆外切;(7分) (2)m取何值时两圆内切,并求此时公切线的方程.(8分) 解:(1)由题意,圆M:x2+y2-2x-6y-1=0,可化为M:(x-1)2+(y-3)2=11, 圆N:x2+y2-10x-12y+m=0,可化为N:(x-5)2+(y-6)2=61-m, 可得圆心坐标分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为r1=,r2=. 当两圆外切时,可得|MN|=r1+r2, 即=+, 解得m=25+10, 所以当m=25+10时,两圆外切. (2)由(1)知,圆心坐标分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为r1=,r2=. 当两圆内切时,可得|MN|=r2-r1, 即-=, 解得m=25-10,因为kMN==, 所以两圆公切线的斜率是-. 设切线方程为y=-x+b,即x+y-b=0, 则圆心M(1,3)到切线的距离等于圆M的半径r1, 即=,解得b=±. 当b=+时,直线与圆N:x2+y2-10x-12y+m=0相交,舍去, 故所求公切线方程为y=-x+-,即4x+3y+5-13=0.所以当m=25-10时,两圆内切,此时公切线的方程为4x+3y+5-13=0. 学科网（北京）股份有限公司 $