3.2.1 函数的最大（小）值（第二课时）说课稿-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的最大（小）值，通过复习函数单调性知识，结合二次函数图象的最低点或最高点问题引入，衔接初中二次函数顶点认知与高中单调性应用，搭建从直观到抽象的学习支架。 以数学抽象和逻辑推理为核心，通过问题驱动引导学生从图象观察到符号定义建构，如分析定义中“任意”与“存在”的逻辑关系，结合二次函数闭区间最值实例。采用数形结合与探究式教学，提升学生直观想象与数学运算能力，为教师提供清晰的核心素养培养路径和分层教学方案。

《3.2.1 单调性与最大（小）值》（第2课时）说课稿 尊敬的各位评委老师： 大家好！我是06号考生。 今天我说课的题目是人教A版高中数学必修第一册第三章《3.2 函数的基本性质》第一节《单调性与最大（小）值》（第2课时：函数的最大（小）值）。 下面我将从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书设计五个方面展开我的说课。 一、说教材 1. 教材的地位与作用 本节的主要内容是函数的最大值与最小值。函数的最值是函数的重要特征，它既是研究函数性质的重要角度，也是解决现实优化问题的重要工具。通过本节学习，学生认识到研究函数的最值不能仅依靠观察图象的最高点与最低点，还要通过函数单调性的方法来进行，从而实现由“形”的直观判断到“数”的严格推理的提升。 本节课是在学生已经学习了函数的概念和函数的单调性之后进行的第一个综合应用与性质深化。它既是对初中阶段二次函数顶点、最值问题的抽象概括和理论升华，也是后续学习函数奇偶性、函数零点、导数应用以及解决实际问题中优化问题的基础，在高中数学知识体系中起到承上启下的关键作用。同时，本节内容所涉及的主要数学核心素养有：直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算。 2. 教学目标 根据新课标要求和教材特点，我制定了以下教学目标： 1.结合具体函数图象，经历从直观观察到形式化定义的抽象过程，理解函数最大（小）值的概念，能用符号语言准确描述最值，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。 2.经历最值定义的建构过程，体会定义中“任意”与“存在”的逻辑关系，理解两个条件缺一不可，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次。 3.能根据函数图象判断函数在指定区间上的最大值和最小值，体会数形结合思想，达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次。 4.能利用图象法和单调性法求简单函数的最大（小）值，掌握二次函数在闭区间上求最值的基本方法，达到数学运算核心素养学业质量水平三的层次。 以上四个维度相互融合、相互渗透，共同指向“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”“直观想象”等核心素养的培育。 3. 教学重难点 重点：函数最大（小）值的定义，以及利用图象法和单调性法求简单函数的最大（小）值。 难点：理解函数最值定义中“∀x∈D，都有f(x)≤M（或f(x)≥M）”和“∃x₀∈D，使得f(x₀)=M”两个条件缺一不可；如何根据函数单调性求一个具体函数在指定区间上的最值。 二、说学情 明确了“教什么”之后，我们还要了解“教给谁”。 1. 知识基础 对学生而言，前面已经学习了函数的概念、函数的单调性以及增（减）函数的定义，并且在初中阶段已经掌握了正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象特征。初中学习二次函数时，学生已经接触过“最高点”“最低点”等直观认识，但尚未上升到形式化的“最大值”“最小值”概念。 2. 认知特点 学生可能遇到的困难主要有两个方面：一是最值形式化定义的形成——这个困难主要发生在由“图象最高点”这一直观认识到“∀x∈D，都有f(x)≤M”这一符号语言的过渡，尤其是对“任意”和“存在”两个量词共同作用的理解；二是利用单调性求最值，其主要原因是学生还不能熟练地把函数图象的升降趋势与代数变形、大小比较有机结合，对函数单调区间的划分和最值点的确定容易出现偏差。 高一学生正处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。学生能够通过观察具体函数图象感知“最高点”“最低点”，但这种认识停留在直观层面，缺乏精确的数学表述。将自然语言的“图象上最高的点”转化为含全称量词和存在量词的形式化定义，对学生而言是一个较大的思维跨越，需要教师搭建层层递进的思维台阶，引导学生完成从形到数的认知飞跃。 三、说教法学法 基于学情分析，我采用以下教法与学法： 教法方面： 第一，问题驱动法。以“二次函数f(x)=x²的图象上有一个最低点（0，0），如何对这个最低点进行描述？若二次函数开口向下，是否存在最高点？”的问题引入，引导学生探求新知、掌握新知，激发学生的求知欲和探究热情。 第二，讲授与探究结合法。函数最值概念的形成以教师引导为主，借助多媒体展示函数图象，让学生观察图象获得对函数最值的直观认识；最大（小）值的形式化定义则采用师生共同探究的方式，引导学生用数学语言表达出来，体现数学抽象的核心素养。 第三，数形结合法。由于函数图象是发现函数最值的直观载体，在本节教学中可以充分使用信息技术创设教学情境，引导学生观察图象、发现规律，同时结合代数运算进行严格推理，使学生从形与数两个角度理解函数最值。 学法方面： 引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方式。在概念形成环节，学生观察函数图象，找出最高点和最低点，锻炼直观想象能力；在概念深化环节，学生分组讨论最值定义中两个条件的必要性，培养逻辑推理素养；在应用举例环节，学生独立思考后小组交流、互相补充，掌握求最值的基本方法；每个环节结束后，学生参与归纳方法与步骤，训练概括能力，主动建构函数最值的知识体系。 四、说教学过程 这是本节课的核心。下面我将重点阐述教学过程，本节课我设计了5个教学环节： 环节一：复习引入，提出问题 首先，我将带领学生复习函数的单调性及相关知识，回顾增函数、减函数的定义和用定义证明函数单调性的基本步骤，为研究函数的最值做准备。然后提出核心问题：观察本节图3.2-2，二次函数f(x)=x²的图象上有一个最低点（0，0），对于这个最低点我们如何进行描述呢？如果二次函数的开口向下，有没有最高点呢？通过这一问题制造认知冲突，激发学生的探究欲望，自然引入本节课的课题——函数的最大（小）值，随即板书课题。 环节二：观察图象，概念形成 这是本节课的基础环节，分三个步骤推进。 第一步，直观感知。教师借助多媒体课件展示函数y=f(x)在区间[-5，5]上的图象，引导学生观察y值随x变化的特点，找出图象的最高点和最低点。学生通过观察发现：当x∈[-5，5]时，x=1时y值最大，x=-2时y值最小。教师进一步追问：如果将定义域限制在[0，5]内，最高点与最低点还是原来的吗？引导学生体会最值与定义域、区间密切相关。这一步锻炼了学生的观察能力和语言组织能力，为提出下一步问题做好准备。 第二步，引导归纳。教师引导学生总结最大值的描述：一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：①∀x∈D，都有f(x)≤M；②∃x₀∈D，使得f(x₀)=M。那么称M是函数y=f(x)的最大值，记为y_max=f(x₀)。学生分组探讨，教师巡视并及时鼓励学生较准确地概括，纠正不当之处，共同概括结论。 第三步，类比迁移。引导学生类比最大值的定义，自主归纳最小值的定义：只需把“f(x)≤M”改为“f(x)≥M”，将最大值改为最小值即可。教师课件出示最小值的定义，培养学生的归纳类比能力。 环节三：抽象概括，概念深化 这是本节课的核心环节，是从形象到抽象的关键跨越。 首先，强调定义中的两个条件缺一不可。教师引导学生分析：只有条件①没有条件②，说明不存在达到M的函数值，M只是上界，不是最大值；只有条件②没有条件①，则某个函数值等于M，但不能保证其他函数值都不超过M，M也不一定是最大值。结合具体例子帮助学生理解，如函数y=x²在[-1，2]上的最大值为4。 接着，组织学生进行辨析训练。提出问题：是否每个函数都有最大值和最小值？学生思考交流，讨论能否举出反例。例如，函数y=1/x在定义域内没有最大值，也没有最小值。通过辨析，加深学生对定义的理解，培养学生的逻辑推理素养。 环节四：应用举例，巩固迁移 这是知识内化的环节，通过典型例题帮助学生掌握求函数最值的方法。 例1（教材第80页例4）：教师操作课件，引导学生自己解决问题，分组讨论后作出评价，演示解题过程，总结如何求二次函数的最值。学生独立完成，同桌对照答案讨论结果，锻炼应用能力。 例2（教材第81页例5）：教师操作课件引导学生参照教材图，自己学习例5。学生归纳、探索利用单调性求函数最值的常见方法：先明确函数单调性，后利用单调性求最值。提示学生判定函数单调性的常用方法有图象法和定义证明法。学生黑板演示例5的求解过程，共同评价，培养自学能力和操作能力。 随后安排课堂练习：学生练习教材第81页练习第1、2、3题，以及补充练习“求y=x²-2x+3，x∈[-2，4]的最值”和“函数y=1/(1-x)，x∈[2，6]的最大值、最小值”。通过分层训练，让不同程度的学生各有所获，并为有余力的学生提供进一步学习的机会。 环节五：归纳小结，布置作业 我请学生自主分享本节课的收获，围绕两个方面进行归纳：第一，知识层面——①函数最大（小）值的概念；②定义中两个条件缺一不可。第二，方法层面——求函数最值的常见方法：图象法和单调性法；对于二次函数，关键是弄清对称轴与区间的位置关系，结合图象与单调性求解。学生相互交流收获与体会，并进行反思，关注学生的自主体验、反思和发表本堂课的体验与收获。 作业布置分为三个层次：基础巩固——教材第86页习题3.2第4题；能力提升——教材第86页习题3.2第7题；拓展延伸——补充应用题：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时可全部租出，月租金每增加50元时未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。求当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？通过分层作业使学生对所学内容得到巩固，并为有余力的学生提供进一步学习的机会。 五、说板书设计 我的板书力求简洁清晰、重点突出，便于学生笔记和课后复习。左侧依次呈现课题及复习回顾（函数单调性、增（减）函数定义）；中间核心区域呈现概念部分（最大值的定义、最小值的定义、定义中两个条件缺一不可）；右侧对应展示例题（例4、例5的分析过程）和小结（知识与方法两方面的总结）。整体结构一目了然，概念原理与例题分析、巩固训练三栏对应清晰，知识点之间的逻辑关系清晰可辨。 总之，我希望通过本节课的教学，学生收获的不仅是函数最大（小）值的概念和求法，更是对“从直观到抽象”“从特殊到一般”这一数学思想方法的深刻体验，以及运用数学符号语言精确表达数学对象和运用数形结合思想解决最值问题的能力。我的说课到此结束，感谢各位评委老师的聆听！ 学科网（北京）股份有限公司 $