专题3.2.2 奇偶性（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性这一核心知识点，系统梳理定义、判断方法及应用，延伸至函数图象识别、周期性与对称性，构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 资料通过13类题型设计，每题型配例题与变式题，培养学生用数学思维推理奇偶性与单调性关系，用数学语言表达函数性质应用，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识迁移能力。

专题3.2.2 奇偶性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 2 【题型2 由函数奇偶性求解析式】 4 【题型3 由函数奇偶性求参数】 6 【题型4 函数奇偶性的应用】 7 【题型5 抽象函数的奇偶性】 8 【题型6 由函数奇偶性解不等式】 10 【题型7 函数图象的识别与判断】 14 【题型8 函数图象的应用】 16 【题型9 函数的周期性】 20 【题型10 函数的对称性】 21 【题型11 根据函数的性质解不等式】 23 【题型12 抽象函数的性质】 26 【题型13 函数性质的综合应用】 30 考点1 函数的奇偶性 知识点1 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由偶函数的定义判断即可． 【解答过程】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【解答过程】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据奇函数的定义即可得出判断． 【解答过程】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解题思路】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【解答过程】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 故选：C． 【题型2 由函数奇偶性求解析式】 【例2】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【解答过程】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数是奇函数求解解析式. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，， 设时，则，可得. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【解答过程】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，则， 所以. 故选：C. 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】由求得，代回检验即可. 【解答过程】因为的定义域为，且为奇函数，所以， ，得， 则，又，满足题意， 故. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据函数是奇函数，得到，从而可求出，，计算即可. 【解答过程】因为为定义在上的奇函数， 所以，即，则，所以， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的定义域关于原点对称及求解即可. 【解答过程】由题意，，解得，即， 又，则， 则，即，所以. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由奇函数性质可知，对任意恒成立，代入化简即可. 【解答过程】不妨设，由奇函数性质可知， 所以，即对任意恒成立， 于是，所以. 故选：D. 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的性质判断即可. 【解答过程】因为函数是偶函数，所以，，故A、B错误； 又，所以，故D正确，C错误. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据奇函数的性质，直接求出结果即可. 【解答过程】因为是上的奇函数，所以. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知偶函数的定义域为，当时，单调递减，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的单调区间结合偶函数性质化简比较求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减， 由，得， 所以. 故选：C. 【变式4-3】（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【解题思路】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【解答过程】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 【题型5 抽象函数的奇偶性】 【例5】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【解题思路】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【解答过程】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 【变式5-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【解题思路】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【解答过程】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【解题思路】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可. 【解答过程】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】D 【解题思路】A：令结合可求解出；B：令结合可求解出；C：令结合换元法可得的关系，由此可判断出奇偶性；D：根据C中的关系可进行判断. 【解答过程】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则， 因为，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 【题型6 由函数奇偶性解不等式】 【例6】（25-26高一上·天津·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意及偶函数的性质，可得在上单调递增，根据条件，可得，求解即可得答案. 【解答过程】因为定义在上的偶函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即，解得，则解集为. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性可判断函数的零点与单调性，进而可解不等式. 【解答过程】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，， 当或时，， 又不等式可转化为或， 即或，即不等式的解集为. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·山东淄博·期末）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，，进而结合已知条件得为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，，再分类讨论解不等式即可. 【解答过程】因为对任意，均有， 所以，两边同乘以得， 令， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，， 所以，即为偶函数， 所以在上单调递减， 因为，所以，， 当时，等价于，即 因为在上单调递增， 所以的解集为； 当时，等价于，即 因为在上单调递减， 所以的解集为； 综上，不等式的解集为 故选：D. 【变式6-3】（25-26高一上·天津·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，并判断其奇偶性及单调性，讨论和两种情况，并结合的奇偶性和单调性解不等式即可. 【解答过程】 因为为奇函数，且定义域为. 所以，且. 令，则的定义域为. 且，且. 所以函数为偶函数，且. 因为对任意的，且，都有不等式，即恒成立， 所以当，即时，，即. 所以函数在上单调递减. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于或. 因为，所以. 所以或， 所以或. 故选：D. 考点2 函数的图象 知识点2 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 【题型7 函数图象的识别与判断】 【例7】（25-26高一上·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据函数的奇偶性排除AB选项，利用赋值法可排除D，进而可得结论. 【解答过程】函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于轴对称，故排除AB选项； 又，故排除D选项. 所以函数的大致图象是C. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由函数奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【解答过程】函数定义域为， 又， 所以函数为奇函数，排除BC， 又，排除D， 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【解答过程】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A. 【变式7-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 【题型8 函数图象的应用】 【例8】（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【答案】C 【解题思路】利用为定义域在的奇函数，结合图象逐项进行判断即可. 【解答过程】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【解答过程】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 【变式8-3】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 考点3 函数的周期性与对称性 知识点3 函数的周期性与对称性 1．函数的周期性 (1)周期定义：已知函数y=f(x)，若存在非零常数T，使对定义域的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为函数f(x)的周期. (2)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a； ⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b). 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型9 函数的周期性】 【例9】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．0 【答案】D 【解题思路】利用奇函数和函数对称性推导周期，再借助周期将化简为，最后结合奇函数和已知条件即可求得. 【解答过程】已知是定义域为的奇函数，故满足，且. 又因为，将替换为，得：. 结合奇函数性质，得：. 再将上式中的替换为，得：， 故是周期为4的周期函数. 又因为，令，所以， 所以. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高一上·安徽·期末）已知是周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的周期性可得，再根据函数的奇偶性可得，代入条件中的关系式即可求解. 【解答过程】因为是周期为的函数，所以. 又是奇函数，所以，即. 又当时，，所以. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据为奇函数，得到，再由为偶函数，得到，从而推出函数的周期求解. 【解答过程】因为函数为奇函数， 所以， 又为偶函数，则，即， 所以，即， 所以，所以其周期为， 所以， ， 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】推导出函数是周期为的周期函数，，以及，计算出的值，结合函数周期性可得出所求代数式的值. 【解答过程】因为是定义域为的奇函数，满足， 即，， 在等式中，用代替得， 所以， 故函数是周期为的周期函数，且， 对任意的，， 所以， 因为， 所以 ， 故选：C. 【题型10 函数的对称性】 【例10】（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知函数的定义域为，且函数的图象关于对称，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】利用对称性可得，再结合已知求出的周期，进而求出函数值. 【解答过程】由函数的图象关于对称，得，而， 则，即，于是， 函数的周期为，又当时，， 所以. 故选：C. 【变式10-1】（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心. 【解答过程】因为： . 由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象. 所以的对称中心为：. 故选：C. 【变式10-2】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 【变式10-3】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．是奇函数 D． 【答案】D 【解题思路】对A、B，由已知条件通过变量代换判断对错；对C，分析的周期，利用周期性及中心对称赋值化简判断；对D，利用周期性和对称性求解判断. 【解答过程】对于A：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，A正确； 对于B：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，B正确； 对于C： 因为关于点对称，所以， 因为关于对称，所以， 所以，所以，所以， 即周期为， 又由关于点对称可得 即，所以是奇函数，C正确； 对于D：因为关于对称，所以， 因为关于点对称，所以， 所以，D错误； 故选：D. 【题型11 根据函数的性质解不等式】 【例11】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到，把不等式转化为，结合是上的单调递增函数，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由函数为奇函数，可得， 即，所以， 又由不等式，可得， 因为函数是上的单调递增函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式11-1】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集. 【解答过程】因为关于点对称，根据函数图象平移的性质， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增. 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以. 综上可得不等式的解集为. 故选：C. 【变式11-2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）若定义在上的函数满足：当时，，的图象关于对称，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合函数的单调性，对称性，奇偶性解不等式即可. 【解答过程】因为函数的定义域为，且当时，， 所以在上单调递增. 由的图象关于对称，可得的图象关于对称， 即为偶函数，则，且函数在上单调递减， 于是，不等式可化为(i)或(ii)， 由（i）可得，解得； 由（ii）可得，解得. 故该不等式的解集为. 故选：B. 【变式11-3】（25-26高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，对、，满足，且为奇函数，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析出函数在上为增函数，且求得，由可得出，可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集. 【解答过程】、，满足， 不妨设，可得，即， 故函数在上为增函数， 因为函数为奇函数，即对任意的，， 即，故函数的图象关于点对称， 作出函数的草图如下图所示： 因为函数在上为增函数，所以函数在为增函数，故函数在上为增函数， 因为，即，故， 由可得，即， 所以，解得， 故不等式的解集为. 故选：B. 【题型12 抽象函数的性质】 【例12】（2026·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【答案】C 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 【变式12-1】（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案 【解答过程】因为， 所以，与联立可得， 即的图象关于直线对称， 又为奇函数，则， 所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 因为，所以也是周期为4的周期函数， 因为，，所以， 即，从而为偶函数，故A错误． 又为奇函数，则，即， 所以 ， 故 ，故C错误． 由，得，则不可能为奇函数，故B错误． 可求 ， 所以，故D正确． 故选D． 【变式12-2】（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【解答过程】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）证明：函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 【变式12-3】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【解题思路】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【解答过程】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令 . 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 【题型13 函数性质的综合应用】 【例13】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【解答过程】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得 ， ，解得： ，         不等式的解集为. 【变式13-1】（25-26高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明：函数在上的单调性； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【解题思路】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到不等式对于任意实数恒成立，求解不等式即可. 【解答过程】（1）奇函数，证明： 由函数，可得其定义域为，关于原点对称． 又由， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）证明：当时，， 任取，，且， 可得 ， 因为，，且，可得，， 所以，即，所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数，又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得； 综上可得，，即实数的取值范围. 【变式13-2】（25-26高一上·山东日照·期中）已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）利用单调性定义按照步骤进行证明即可得在区间上单调递增； （2）根据成中心对称图形的充要条件代入解方程组可得对称中心； （3）依题意利用对称中心并对函数的对称轴进行分类讨论，得出两函数对应值域的包含关系解不等式即可得实数m的取值范围. 【解答过程】（1）函数在上单调递增， 证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （3）因为的图象关于点对称，由题可知：， 任取，则，所以， 故，； 所以在上有解，转化为在能成立， 令，， 所以原问题等价于，； ①当时，不成立； ②时，即，此时， 解得：或，与无交集，舍去； ③当，即时，符合题意， 综上，. 【变式13-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）令可得的值，根据的定义域即可判断其奇偶性；（2）由当时，可联想到利用换元法求解；（3）根据（2）中的单调性，将已知不等式转化为自变量之间的不等关系，分析法证明. 【解答过程】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. （3）因为 ， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2.2 奇偶性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 2 【题型2 由函数奇偶性求解析式】 3 【题型3 由函数奇偶性求参数】 3 【题型4 函数奇偶性的应用】 4 【题型5 抽象函数的奇偶性】 4 【题型6 由函数奇偶性解不等式】 5 【题型7 函数图象的识别与判断】 6 【题型8 函数图象的应用】 7 【题型9 函数的周期性】 9 【题型10 函数的对称性】 9 【题型11 根据函数的性质解不等式】 10 【题型12 抽象函数的性质】 11 【题型13 函数性质的综合应用】 12 考点1 函数的奇偶性 知识点1 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【题型2 由函数奇偶性求解析式】 【例2】（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【变式3-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 【变式3-3】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（25-26高一上·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知偶函数的定义域为，当时，单调递减，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【题型5 抽象函数的奇偶性】 【例5】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【变式5-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式5-2】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式5-3】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【题型6 由函数奇偶性解不等式】 【例6】（25-26高一上·天津·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·山东淄博·期末）已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·天津·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点2 函数的图象 知识点2 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 【题型7 函数图象的识别与判断】 【例7】（25-26高一上·贵州安顺·期末）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式7-1】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【题型8 函数图象的应用】 【例8】（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【变式8-2】（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 考点3 函数的周期性与对称性 知识点3 函数的周期性与对称性 1．函数的周期性 (1)周期定义：已知函数y=f(x)，若存在非零常数T，使对定义域的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为函数f(x)的周期. (2)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a； ⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b). 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型9 函数的周期性】 【例9】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知是定义域为的奇函数，满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．0 【变式9-1】（25-26高一上·安徽·期末）已知是周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式9-3】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 【题型10 函数的对称性】 【例10】（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知函数的定义域为，且函数的图象关于对称，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式10-1】（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（     ） A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．是奇函数 D． 【题型11 根据函数的性质解不等式】 【例11】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）若定义在上的函数满足：当时，，的图象关于对称，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，对、，满足，且为奇函数，，那么的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型12 抽象函数的性质】 【例12】（2026·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【变式12-1】（25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【变式12-2】（25-26高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【变式12-3】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【题型13 函数性质的综合应用】 【例13】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【变式13-1】（25-26高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明：函数在上的单调性； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【变式13-2】（25-26高一上·山东日照·期中）已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【变式13-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $