3.1.2 函数的表示法第一课时 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的表示法及分段函数核心知识，通过复习初中解析法、图象法、列表法，结合教科书问题回顾不同表示法应用，搭建新旧知识支架，梳理函数表示法脉络。 以任务驱动教学，通过笔记本购买费用实例让学生转化三种表示法，培养数学抽象；借助绝对值函数图象理解分段函数，提升直观想象；用M(x)=max{f(x),g(x)}问题引导学生用分段函数表示，强化应用意识。数形结合方法助学生理解对应关系，提升学生选择表示法与解决问题能力，为教师提供清晰教学路径与评估方案。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.1.2 函数的表示法(第一课时) 设计时间 授课时间 课标要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教材分析 函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中各种变化关系及其规律的基本模型和工具.函数贯穿于整个高中数学课程，是学习方程、不等式、数列、导数等内容的基础和工具；函数在自然科学如物理学、化学、生物学、天文学都有着广泛的应用；函数是高等数学中最基本的研究对象；函数是数学建模的重要基础. 一般来说，数学对象的表示方法是在定义数学概念时同步给出的.但是对于函数概念而言，函数的表示方法——图象法、列表法、解析法等有各自的特点，而且有些函数只能采取某种表示方法，因此需要专门讨论函数的表示法.这样有助于学生把握不同表示法的特点，懂得根据具体问题选择恰当的表示法.同时加深对函数概念中“对应法则 ”的理解.不同表示法之间的相互转化能够体现解析法精确、图象法直观和列表法直接的特点，渗透数形结合的思想方法，培养直观想象的素养，为后续研究函数的基本性质做铺垫. 分段函数是现实中常用的函数类模型，很多现实问题难以用一个解析式表述，却能够分段用不同的解析式来表示，比如个人所得税纳税额、出租车收费等，所以需要专门研究分段函数，提高学生用数学知识解决身边问题的能力，体现数学知识在实际应用中的价值. 综上所述，本单元内容按照“实际情境→‘变量说’判断→‘对应关系说’描述→归纳共同特征→函数的定义→函数的表示→联系与应用”的基本路径来展开研究.在这个过程中让学生体会数学概念的建构方式，提高抽象思维能力，渗透数形结合思想，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象等素养. 学情分析 1.教科书要求学生不仅能够从具体情境中抽象函数模型，还能根据函数模型（解析式）还原具体情境.让学生从模型还原情境的主要目的：一是加深对函数概念的理解，二是加深认识学习函数的重要性，三是体现函数模型的概括性.由于学生缺乏解决这类问题的经历，相应的生活经验和物理知识储备也不足，所以有较大的困难.教学中要多准备一些学生能够理解的现实情境、物理情境，启发学生思考、模仿. 2.面对具体问题时，如何根据不同的需要选择恰当的函数表示方法？在教学中，可以呈现一个实际问题，让学生尝试用多种方法进行表示，同时让学生进行不同表示法的相互转化，促进学生把握不同表示法的特点、联系和差异，最终学会根据具体条件选择恰当的表示法. 3.理解分段函数概念中的三要素也是学生学习本单元内容的一个难点．一个分段函数有多个对应关系到底是一个函数还是多个函数，是初学者容易疑惑的.教学中可以通过具体实例，如个人所得税问题、水费收费问题、公司利润问题等，通过解析法、图象法、列表法等多种方式帮助学生理解分段函数的本质，回归函数的定义进行分析.分段函数刻画了一个完整的变量关系和规律，所以分段函数是一个函数、只是在定义域的不同子集上有不同的对应关系. 单元教学目标 1.在初中用变量间的依赖关系刻画函数概念的基础上，能用集合语言和对应关系描述函数的能说出定义域、对应关系、值域的含义和作用，能用区间表示变量的范围，能求简单函数的定义域，两个函数是否相等. 2.能举例说明抽象符号f的含义，能根据具体问题的特点选择恰当的方法表示函数的对应通过实例说明函数图象的作用，体会转化与化归、数形结合等数学思想方法. 3.能通过实例说明分段函数的特点，能用分段函数表示实际问题中的具体函数． 单元教学重点 难点 1.教学重点：函数的概念，根据具体问题选择恰当的函数表示法，分段函数. 2.教学难点：从具体情境中归纳出函数的三要素，抽象函数概念；对应关系f:：A→B的理解；选择恰当的表示法描述实际问题中的函数关系；分段函数. 单元课时分配 本单元分4课时： 第1课时，函数的概念（第一课时）； 第2课时，函数的概念（第二课时）：函数的定义域和函数值； 第3课时，函数的表示法（第一课时）； 第4课时，函数的表示法（第二课时）：分段函数的简单应用. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能够根据具体问题选择恰当的表示法，能将不同的表示法相互转化． 拓展性目标：★★ 通过任务二，能够理解分段函数的概念及其表示，会用具体例子说明分段函数的含义. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，能用分段函数表示某些具体函数. 课时学习重难点 教学重点：根据具体问题选择恰当的表示法及不同表示法相互转化． 教学难点：分段函数的应用，理解函数图象的作用． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 在前面两节课中我们学习了函数的概念，为了更加深入地理解函数概念，接下来我们进一步研究函数的表示法. 2、 复习回顾：(回顾初中学习知识，回答思考的答案) 思考：你能回顾初中学习过哪些函数表示法吗？ 答：解析法、图象法、列表法。（可能知道其中一个或几个，但是不一定能说出对应的概念） 预习评估：（学生能回答问题的答案). 问题：（1）教科书第60~61页3.1.1的四个问题中各用了哪种表示方法？ （2）这些表示法有哪些优点和缺点？ 答：（1）问题1，2用解析法表示，问题3用图象法表示，问题4用列表法表示. （2） 三、目标一：能够根据具体问题选择恰当的表示法，能将不同的表示法相互转化． 任务一：能够根据具体问题选择恰当的表示法 例4. 某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5}）本笔记本需要元．试用函数的三种表示法表示函数 . 解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}. 用解析法可将函数表示为 ,{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数表示为 笔记本数 1 2 3 4 5 钱数 5 10 15 20 25 用图象法可将函数表示为图3.1-2. 评估一：学生能回答问题1，能将不同的表示法相互转化． （小组讨论）问题1：（1）请你思考(∈R)的图象是怎样的？与,{1,2,3,4,5}有什么区别？ （2）如何判断一个图形是不是函数图象？下面图形是不是一个函数的图象？ ① ② （3）我们已经知道了函数的三种表示法各自的优缺点，那么给出函数的解析法是否都能转化为图象法？反之呢？你能举例吗？ 答： （1）函数(∈R)的图象是一条过（0,0）(1,5)两点的直线，后者是直线上的5个点。 （2）从图象的角度来说，“每个都有唯一的与它对应”也就是“垂直于 轴的直线与图形至多只有一个交点”。图① 是函数的图象，而图 ②不是函数的图象． （3）都不能，举例：函数(ｘ)=，就无法画出图象，反之，图象法也不一定能转化为解析法，如图① 中的函数图象就无法求出解析式． 注意：教师可以强调,高中所学的函数大都以用两种以上的方式表示，表示法之间的相互转化有利于理解相应函数的对应关系，尤其是用解析法表示的函数，在研究时一般都要通过图象直观帮助理解其变化规律.综合解析法和图象法的优点，数形结合地研究函数，是高中解答研究函数问题的基本思想方法. 四、目标二：能够理解分段函数的概念及其表示，会用具体例子说明分段函数的含义. 任务二：学生能够理解分段函数的概念及其表示 例5. 画出函数|x| 的图象. 解：由绝对值的概念，我们有 所以，函数|x| 的图象如图3.1-3所示. 1.分段函数的定义： 像例5中其中，这样的函数称为分段函数. 评估二：学生会用具体例子说明分段函数的含义. 问题2：（1）你认为分段函数是一个函数还是多个函数呢？ （2）请根据分段函数的特点，想想实际问题中是否有这类函数，并举例说明． 答： （1） 一个函数。 （2） 举例可以为：生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、用水费用、加油站的优惠活动、个人所得税的计算等.（学生仅举例，不需要写出具体函数） 教师强调：分段函数是同一个函数分成几段，在定义域内的不同子区间上有不同的对应关系，它的图象可能是连续的也可能是间断的. 五、目标三：能用分段函数表示某些具体函数. 任务三：能用分段函数表示某些具体函数. 例6. 给定函数 =x+1, （1）在同一直角坐标系中画出函数 g(x)的图象； （2）∀x∈R，用M(x)表示 ,g(x)中的最大者，记为 M(x)= max{,g(x)}. 例如，当x=2时，M(2)=max{(f(2)，g(2)}=max{3，9}=9. 请分别用图象法和解析法表示函数 M(x). 解： （1）在同一直角坐标系中画出函数,g(x)的图象(图3.1-4). （3） 由图 3.1-4 中函数取值的情况，结合函数 M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图3.1-5). 由(x+1)2=x+1,得 x(x+1)=0.解得x=-1，或 x=0. 结合图3.1-5，得出函数 M(x)的解析式为 M(x)＝ 注意：教师引导学生通过两个函数的图象，取图象中的“较高的”得出 M(x）的图象，再通过两个函数相交时这个特殊位置，求出x的值，作为分段函数的分段点，同时在写分段函数的解析式时，分段点需要做到不重不漏，得出表示这个抽象函数的解析法.这种方法侧重数形结合的思想. 评估三：理解函数图象的作用 问题3（1）能用其他方法求出 M(x)的解析式吗？ （2）能说说这两种方法的联系和区别吗？ 答： （1）作差比较大小：当f(x)>g(x)，即，求出自变量x的范围，此时M(x)=f(x)=x+1,-1<x<0.同理求f(x)=g(x)或者f(x)<g(x)的情况，最后书写 M(x)格式一定要规范. （2）利用函数图象可以增强直观性，有利于发现问题的关键点；通过代数推理研究函数是一种非常精确的方法，但需要较高的代数变形技巧、抽象思维能力.数形结合地研究函数，可以充分发挥图象和运算的力量，更有利于问题的解决. 由学生思考后回答，教师在点评后给出解析法、图象法、列表法的定义. 由学生思考后，针对（1）请同学发言，教师对学生的答题情况进行点评，针对（2）教师与学生一起交流总结，建议总结成表格，得出结论 学生独立思考、小组讨论后，请代表回答，教师要引导学生回到函数定义去判断图象 观察掌握学生的回答情况，教师适当点评，引导学生得出结果.可以给出反例。 由学生独立思考，然后通过信息技术展示学生的答题情况，学生可能是直接通过描点连线直接画图，画出的图象不完整，教师引导学生思考. 学生独立思考完成问题并通过信息技术展示 学生思考并同桌讨论，可能会有困难.教师可以引导学生回顾不等式的相关知识 复习初中已学的三种表示法，为后面进一步认识三种表示法的特点、进行不同表示法的相互转化做好铺垫. 通过例4体会三种表示法的各自特点，尤其是函数的图象是离散的点，这是学生以往经验中没有出现过的，这也让学生更深入地认识函数概念是一个由定义域、对应关系、值域这三要素构成的整体． 通过问题（1）、（2）让学生理解函数图象的特点，加深对函数概念的理解，培养学生直观想象素养和回归定义思考问题的思维习惯. 通过问题促进学生更深入地理解函数是由定义域、值域和对应关系组成的一个整体，理解不是所有的函数都能用三种表示法表示.通过教师总结，帮助学生理解不同表示法的综合使用的必要性。 通过例5，帮助学生体会函数三种表示法之间相互转化的本质，体会数形结合地研究函数问题的重要性，培养直观想象素养.通过追问加深学生对分段函数的理解，尤其是对定义域的不同子区间上有不同的对应关系的理解，列举实例可以更好地让学生体会从定义出发思考问题的过程，体会函数三要素的整体性等. 例6是从形到数的一个思维过程，学生是没有这个经验的，在求解过程中培养学生运用函数图象的特点来简化运算的能力，又由于学生没有见过M(x)=max{f(x) g(x)}这个函数符号，通过对这个符号的理解，还有对分段函数的应用，提高学生的数学抽象素养.通过追问，引导学生进一步思考通过代数运算探究函数解析式的表示方法；通过两种方法的比较，体会两种方式各自的特点，加强数形结合观念，提高直观想象、代数运算能力. 课堂小结 1.函数的表示方法 2.分段函数的定义 学生作业 1.基础性作业：教科书第69页练习第1、2、3题； 答案： １.如图，圆的直径AC＝50cm,边AB＝x cm,在Ｒｔ△ABC中,由勾股定理,知BC＝ cm. ∴ 矩形ABCD的面积ｙ ＝AB×BC＝ｘ. ∵ ０<ＡＢ<ＡＣ＝50, ∴ ０<ｘ<５０, ∴ ｙ＝ｘ(０<ｘ<５０). ２.ｙ＝|ｘ－２|= 3. (1) (2)ｍ(ｘ)＝ 2.提升性作业：教科书第72~74页习题3.1第5、7、12题； 答案： 5. (1)∵ (３)＝＝-≠14,∴点(３,14)不在(ｘ)的图象上. (2)(4)＝＝-３. (3)由(ｘ)＝＝２,解得x＝14 7.(1) (2) 12.满足条件的一个函数的图象如图. (１)略. (２)定义域为{ｘ｜-３≤ｘ≤８且ｘ≠５},图象在-３≤ｘ≤８ 范围内,且横坐标为5的点不在图象上,值域为{ｙ|-１≤ｙ≤２,ｙ≠０},图象在-１≤ｙ≤２范围内,且所有纵坐标为0的点不在图象上. 3. 拓展性作业:教科书第73页习题3.1第13,16题. 答案：13.(x)=,则(ｘ)的图象如图. 16.(１) ,是函数. (２)＝±,∈( －∞ ,０],不是函数 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $