第6章 几何图形初步 同步练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 分层覆盖几何图形初步核心知识点，从概念辨析到动态综合，梯度合理，适配单元复习巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|几何体展开图、直线射线线段性质|生活情境题（如木工弹墨线）强化概念理解| |能力提升|线段比例计算、角度关系推理|结合折叠（如长方形折叠求角度）考查空间观念| |综合应用|动态几何（如射线旋转）、多步作图|含参数计算（如动点运动t秒）提升运算与模型意识|

专题04 几何图形初步 题型一、常见的几何体 1．（2025秋•海淀区校级期末）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（　　） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 2．（2025秋•延庆区期末）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆柱 3．（2025秋•北京校级期末）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 （填序号） 题型二、直线、线段、射线 1．（2025秋•延庆区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在房间的墙面上钉一根木条，木条能在墙面上随意转动，若使木条固定不动，至少还需钉上 枚钉子，依据是 ． 3．（2025秋•朝阳区期末）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一条线，沿这条线就可以砌出直的墙了，其中的数学道理是 ． 4．（2025秋•北京校级期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用“两点确定一条直线”解释的为 （填序号）． 5．（2025秋•延庆区期末）如图，点P是直线l外一点，点B，C，D在直线l上，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 cm（精确到0.1cm）． 题型三、线段及其相关计算 1．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB：BC：CD＝5：4：3，P，Q分别是AB，CD的中点，若PQ＝6，则AB的长为 ． 2．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点O是AB的中点，点C在线段OB上，且BC＝3OC，若AB＝16，则线段OC的长为 ． 3．（2025秋•海淀区校级期末）如图，已知线段AB，点C是线段AB的中点，延长线段AB到D，BD＝3AC，E是AC的中点．若CE＝3，求线段DE的长． 4．（2025秋•西城区期末）在数轴上，点A，B，C分别表示数﹣5，10，20，数轴上有一动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点M表示的数是 （用含t的式子表示）； （2）当M，B两点之间相距5个单位长度时，求t的值； （3）若点D，E，F分别从点A，B，C的位置出发与点M在数轴上同时开始运动，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点E和点F分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，在这个运动过程中，已知存在常数n，使得ME﹣3MF+nMD为一个定值，则n的值为 ． 题型四、对顶角与邻补角、互余与互补 1．（2025秋•北京校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部，若∠AOD＝150°，∠EOF＝30°且OF平分∠AOE，则∠DOE的度数为（　　） A．90° B．120° C．130° D．150° 2．（2025秋•海淀区校级期末）如图，OC⊥AB，垂足为O，直线DE经过点O，∠COD＝50°，则∠BOE＝ ． 3．（2026春•西城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠BOD＝145°，则∠COE的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 4．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠EOD＝90°，且∠EOC与∠EOB互余，∠EOC＝65°，那么∠BOD的值为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 5．（2025秋•东城区校级期末）一个角的补角比它大80°，则这个角的度数为（　　） A．20° B．100° C．50° D．65° 6．（2025秋•东城区校级期末）下列语句中，正确语句的个数是（　　） ①互余的角一定不相等； ②多项式中每一项的次数均为正数； ③延长线段AB至点C，得到射线AC； ④两点确定一条直线． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2025秋•海淀区校级期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角∠α的补角与∠α的余角之差为 ． （2）如果锐角∠α的补角为∠β，那么是∠α的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果∠AOB和∠BOC互余，且∠AOC＝20°，直接写出此时∠AOB的度数． 题型五、角度及其相关计算 1．（2025秋•门头沟区期末）如图，点O是直线AB上一点，若∠AOC＝124°42′，则∠BOC＝（　　） A．34°42′ B．45°18′ C．55°18′ D．55°58′ 2．（2025秋•西城区期末）如图，∠BOC＝12°，∠COD＝62°，∠AOB＝3∠BOC，则∠AOD的度数为 °． 3．（2025秋•东城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F，G在边CD上，连接EG，EF．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若点G在点F的右侧，且∠MEN＝105°，则∠FEG的度数为 °． 4．（2025秋•昌平区期末）如图，直线l上有A，B，C三点，射线AD在直线l上方，且∠BAD＝50°，射线AE在∠DAC内部，射线AF平分∠DAE． （1）如图1，若∠EAC＝40°，求∠BAF的度数； （2）如图2，若∠BAF比∠EAC小30°，求∠EAC的度数． 5．（2025秋•北京期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OC，OD在直线AB的同侧，且∠AOC＝2∠BOD．作∠AOC的平分线OM，∠BOD的平分线ON． （1）如图1，当射线OC，OD重合时，依题意补全图形，并求出∠MON的度数； （2）如图2，60°＜∠BOD＜90°，用等式表示∠BOD与∠MON的数量关系，并说明理由． 题型六、尺规作图 1．（2025秋•昌平区期末）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列要求完成任务： （1）画射线AB与射线DC相交于点E，连接AD； （2）过点A作CD的垂线，交CD于点M； （3）根据图形可得AM+EM AE（用“＞”，“＜”或“＝”填空）； （4）∠ADC ∠AMC（用“＞”，“＜”或“＝”填空）． （4）利用三角形的外角的性质判断即可． 2．（2025秋•门头沟区期末）如图，在同一平面内有三点A、B、C． （1）作射线CA，连接BC； （2）延长线段BC，得到射线CD，画∠ACD平分线CE； （3）在射线CD上取一点F，使得CF＝AC； （4）在射线CE上作一点P，使PF+PA最小； （5）第（4）步作图的依据是 ． 3．（2025秋•海淀区校级期末）如图，已知∠AOB，点C在边OA上． （1）按步骤画图． ①在射线OB上取一点D，使OD＝2OC； ②连接CD，在线段CD上取一点E，作射线OE，使得OE平分∠AOB； ③在射线OE上取一点P（不与点O，E重合），连接PC，PD； （2）由图可知：PC+OC OP（填“＞”“＜”或“＝”）．并写出判断的依据： ． 4．（2025秋•西城区期末）如图，已知线段AB和线段a，b（AB＞b＞a）． （1）使用直尺和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： ①在线段AB上截取AC＝a； ②在线段AB的延长线上作线段BD＝b． （2）在（1）的条件下，若AB＝6，a＝3，b＝5，且点E是线段CD的中点，则线段CD的长为 ，线段AE的长为 ． 【巩固提升】 1．（2025秋•海淀区校级期末）小明在学习了线段与角的知识之后，得到了两条结论： 甲：已知线段AB，若平面内的点C满足AC＝BC，则C是线段AB的中点； 乙：已知∠AOB，若射线OC满足∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的角平分线． 关于这两个结论，以下判断正确的是（　　） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲乙都对 2．（2025秋•东城区期末）我国“风云四号”气象卫星在太空中对某地进行观测．已知观测点A位于地面指挥中心O的西北方向上，另一监测点B位于A的右侧．若∠AOB＝75°，则监测点B位于指挥中心O的（　　） A．南偏东30° B．南偏东60° C．北偏东60° D．北偏东30° 3．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西60°的方向，同时轮船B在南偏东20°的方向，那么∠AOB的大小为（　　） A．170° B．140° C．130° D．80° 4．（2025秋•朝阳区期末）下列选项中的两个语句（分号隔开）表述的含义不一致的是（　　） A．画直线l，使点A在直线l上；经过点A画直线l B．延长线段AB；反向延长线段BA C．延长线段AB至点C，使BC＝AB；延长线段AB至点C，使AC＝2AB D．画∠AOB的平分线OC；画射线OC，使 5．（2025秋•海淀区校级期末）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体 6．（2025秋•东城区期末）若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为 度． 7．（2025秋•海淀区校级期末）已知点A，B，C，D，E的位置如图所示，下列结论：①∠AOB＝130°；②∠BOC＝∠DOE；③∠COD和∠BOE互补；④∠AOB与∠COD互余．所有正确结论的序号是　 ． 8．（2025秋•昌平区期末）如图，某条公路可视为直线l，从公路外一点P向公路前进，PB垂直于直线l，三条路线PA，PB，PC中最短的是PB ，依据是 ． 9．（2025秋•海淀区校级期末）如图，折叠长方形纸片ABCD，使点C落在点E处，折痕为GF，∠BFH＝30°，若FE恰好平分∠GFH，则∠GFC的大小是 °． 10．（2025秋•北京校级期末）如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，∠COD＝90°且OA，OB位于直线CE两侧． （1）当∠AOC＝30°时，求∠BOC，∠AOD的度数； （2）请你猜想∠BOC和∠AOD的数量关系，并说明理由． 11．（2025秋•门头沟区期末）根据题意，补全证明过程： 已知，如图，点A在线段BC上，，点D是线段BC的中点，CD＝3．求线段AD的长． 解：∵点D是线段BC的中点，CD＝3， ∴BD＝CD＝3，BC＝2CD＝ ． 又∵， ∴ ． ∴AD＝CD﹣ ＝3﹣ ＝ ． 12．（2025秋•门头沟区期末）如图，∠AOB＝120°，点C为∠AOB内部一点．OD平分∠BOC，OE平分∠AOD． （1）当∠AOC＝30°时，依题意补全图形，并求∠EOC的度数； （2）当∠AOC＝α（0°＜α＜120°）时，直接用含a的代数式表示∠EOC的度数． 13．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在平面内有一点O，过点O作射线OA、OB、OC，使得∠AOB＝120°，OC在∠AOB内部，且∠AOC＝2∠BOC． （1）求∠AOC和∠BOC的度数； （2）若射线OD平分∠AOC，求∠COD的度数； （3）在（2）的条件下，过点O作射线OE，使得∠DOE＝90°，求∠BOE的度数（分两种情况讨论）． 14．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA、OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD． （1）当∠AOC＝70°时，求∠DOE的度数． （2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 15．（2025秋•海淀区校级期末）如图，已知∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC． （1）∠MON的大小为 ； （2）射线OC从图中位置开始，以10°/s的速度绕着点O逆时针旋转，设运动时间为t（单位：s）． ①当10≤t＜16时，判断∠MON的大小是否发生变化，并说明理由； ②当0≤t≤22时，若∠MON＝2∠AON，则t的值为 ． 专题04 几何图形初步 题型一、常见的几何体 1．（2025秋•海淀区校级期末）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（　　） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【解答】解：由展开图可知，这个几何体的底面是四边形，四个侧面是三角形，所以这个几何体是四棱锥， 故选：C． 2．（2025秋•延庆区期末）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆柱 【解答】解：由图形可知，该几何体有四个面，且每个面都是三角形，则该几何体是三棱锥，故选：B． 3．（2025秋•北京校级期末）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 （填序号） 【解答】解：观察题干4个的表面展开图，得出①是无盖正方体的表面展开图，不符合题意，②不是无盖正方体的表面展开图，符合题意，③是无盖正方体的表面展开图，不符合题意，④是无盖正方体的表面展开图，不符合题意，故答案为：②． 题型二、直线、线段、射线 1．（2025秋•延庆区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，依据是两点确定一条直线．故选：A． 2．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在房间的墙面上钉一根木条，木条能在墙面上随意转动，若使木条固定不动，至少还需钉上 枚钉子，依据是 ． 【解答】解：若使木条固定不动，至少还需钉上1枚钉子，依据是两点确定一条直线． 3．（2025秋•朝阳区期末）建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一条线，沿这条线就可以砌出直的墙了，其中的数学道理是 ． 【解答】解：建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根线，沿着这条线就可以砌出直的墙．则其中的道理是：两点确定一条直线． 4．（2025秋•北京校级期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用“两点确定一条直线”解释的为 （填序号）． 【解答】解：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，原理是“两点之间，线段最短”，与“两点确定一条直线”无关；②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的，的原理是“两点确定一条直线”；③只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上，的原理是“两点确定一条直线”．故答案为：②③． 5．（2025秋•延庆区期末）如图，点P是直线l外一点，点B，C，D在直线l上，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 cm（精确到0.1cm）． 【解答】解：∴PC⊥l于点C，∴最短的线段是线段PC，测量点P到直线l的距离是1.4cm（精确到0.1cm）． 题型三、线段及其相关计算 1．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB：BC：CD＝5：4：3，P，Q分别是AB，CD的中点，若PQ＝6，则AB的长为 ． 【解答】解：由于AB：BC：CD＝5：4：3，可设AB＝5k，则BC＝4k，CD＝3k， ∵P，Q分别是AB，CD的中点，∴AP＝BP＝2.5k，CQ＝DQ＝1.5k， ∴PQ＝PB+BC+CQ＝2.5k+4k+1.5k＝6，解得k，∴AB＝5k． 2．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点O是AB的中点，点C在线段OB上，且BC＝3OC，若AB＝16，则线段OC的长为 ． 【解答】解：∵点O是AB的中点，AB＝16，∴OB，∵BC＝3OC，∴OCOB＝2， 3．（2025秋•海淀区校级期末）如图，已知线段AB，点C是线段AB的中点，延长线段AB到D，BD＝3AC，E是AC的中点．若CE＝3，求线段DE的长． 【解答】解：∵E是AC的中点．CE＝3，∴AE＝CE＝3，AC＝2CE＝6，又∵BD＝3AC，∴BD＝3×6＝18， ∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC＝6，∴DE＝EC+BC+BD＝3+6+18＝27． 4．（2025秋•西城区期末）在数轴上，点A，B，C分别表示数﹣5，10，20，数轴上有一动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点M表示的数是 （用含t的式子表示）； （2）当M，B两点之间相距5个单位长度时，求t的值； （3）若点D，E，F分别从点A，B，C的位置出发与点M在数轴上同时开始运动，点D以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点E和点F分别以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，在这个运动过程中，已知存在常数n，使得ME﹣3MF+nMD为一个定值，则n的值为 ． 【解答】解：（1）当运动时间为t秒（t＞0）时，点M表示的数是﹣5+2t．故答案为：﹣5+2t； （2）根据题意得：|﹣5+2t﹣10|＝5，即15﹣2t＝5或2t﹣15＝5，解得：t＝5或t＝10． 答：t的值为5或10； （3）当运动时间为t秒（t＞0）时，点M表示的数是﹣5+2t，点D表示的数是﹣5﹣t，点E表示的数是10+3t，点F表示的数是20+4t， ∴ME＝10+3t﹣（﹣5+2t）＝15+t，MF＝20+4t﹣（﹣5+2t）＝25+2t，MD＝﹣5+2t﹣（﹣5﹣t）＝3t， ∴ME﹣3MF+nMD＝15+t﹣3×（25+2t）+n×3t＝（3n﹣5）t﹣60． ∵ME﹣3MF+nMD为一个定值，∴3n﹣5＝0，解得：n，∴n的值为．故答案为：． 题型四、对顶角与邻补角、互余与互补 1．（2025秋•北京校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部，若∠AOD＝150°，∠EOF＝30°且OF平分∠AOE，则∠DOE的度数为（　　） A．90° B．120° C．130° D．150° 【解答】解：∵∠EOF＝30°且OF平分∠AOE，∴∠AOE＝30°×2＝60°，∵∠AOD＝150°， ∴若∠AOD＝150°，∠EOF＝30°且OF平分∠AOE，则∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝150°﹣60°＝90°，故选：A． 2．（2025秋•海淀区校级期末）如图，OC⊥AB，垂足为O，直线DE经过点O，∠COD＝50°，则∠BOE＝ ． 【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝40°，∴∠BOE＝∠AOD＝40°． 3．（2026春•西城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠BOD＝145°，则∠COE的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【解答】解：∵∠BOD＝145°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣145°＝35°， ∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，故选：D． 4．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠EOD＝90°，且∠EOC与∠EOB互余，∠EOC＝65°，那么∠BOD的值为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 【解答】解：∵∠EOC与∠EOB互余，即∠EOC+∠EOB＝90°，∴OC⊥AB，∴∠AOC＝90°＝∠AOD+∠COD， ∵∠EOD＝90°＝∠DOC+∠EOC，∴∠BOE＝∠COE＝90°﹣65°＝25°，∴∠BOD＝＝115°，故选：B． 5．（2025秋•东城区校级期末）一个角的补角比它大80°，则这个角的度数为（　　） A．20° B．100° C．50° D．65° 【解答】解：设这个角为x，∵补角比它大80°，∴180°﹣x＝x+80°，∴x＝50°．故选：C． 6．（2025秋•东城区校级期末）下列语句中，正确语句的个数是（　　） ①互余的角一定不相等； ②多项式中每一项的次数均为正数； ③延长线段AB至点C，得到射线AC； ④两点确定一条直线． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①互余的角可能相等，如两个角都是45°，它们的和是90°，即这两个角互余，故错误；②多项式中常数项的次数是0，故错误；③延长线段AB至点C，得到线段AC，故错误；④两点确定一条直线，故正确；故选：D． 7．（2025秋•海淀区校级期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角∠α的补角与∠α的余角之差为 ． （2）如果锐角∠α的补角为∠β，那么是∠α的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果∠AOB和∠BOC互余，且∠AOC＝20°，直接写出此时∠AOB的度数． 【解答】（1）解：∵∠α的补角为180°﹣∠α，余角为90°﹣∠α， ∴180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝180﹣∠α﹣90°+∠α＝90°，故答案为：90°； （2）证明：∵∠α的补角为∠β，∴∠α+∠β＝180°，∴， ∴∠α的余角为：90°﹣∠α ， ∴如果锐角∠α的补角为∠β，那么是∠α的余角； （3）解：分两种情况： ①OC在∠AOB的内部时，如图1，∵∠AOB和∠BOC互余，∴∠AOB+∠BOC＝90°， ∵∠AOC＝20°，∴20°+2∠BOC＝90°，∴∠BOC＝35°，∴∠AOB＝55°； ②OC在∠AOB的外部时，如图2，∵∠AOB+∠BOC＝90°，∠AOC＝20°， ∴20°+2∠AOB＝90°，∴∠AOB＝35°，综上，∠AOB的度数为55°或35°． 题型五、角度及其相关计算 1．（2025秋•门头沟区期末）如图，点O是直线AB上一点，若∠AOC＝124°42′，则∠BOC＝（　　） A．34°42′ B．45°18′ C．55°18′ D．55°58′ 【解答】解：∵∠AOC＝124°42′，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣124°42′＝55°18′，故选：C． 2．（2025秋•西城区期末）如图，∠BOC＝12°，∠COD＝62°，∠AOB＝3∠BOC，则∠AOD的度数为 °． 【解答】解：∵∠BOC＝12°，∠AOB＝3∠BOC，∴∠AOB＝36°，∴∠AOC＝4∠BOC＝48°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝48°+62＝110°．故答案为：110． 3．（2025秋•东城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F，G在边CD上，连接EG，EF．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．若点G在点F的右侧，且∠MEN＝105°，则∠FEG的度数为 °． 【解答】解：∵∠AEB＝180°，∠MEN＝105°，∴∠AEN+∠BEM＝∠AEB﹣∠MEN＝180°﹣105°＝75°． 由折叠的性质可知：∠AEN＝∠FEN，∠BEM＝∠GEM，∴∠FEN+∠GEM＝∠AEN+∠BEM＝75°． ∴∠FEG＝∠MEN﹣（∠FEN+∠GEM ）＝105°﹣75°＝30°．故答案为：30． 4．（2025秋•昌平区期末）如图，直线l上有A，B，C三点，射线AD在直线l上方，且∠BAD＝50°，射线AE在∠DAC内部，射线AF平分∠DAE． （1）如图1，若∠EAC＝40°，求∠BAF的度数； （2）如图2，若∠BAF比∠EAC小30°，求∠EAC的度数． 【解答】解：（1）∵∠BAD＝50°，∠EAC＝40°，∴∠DAE＝180°﹣∠BAD﹣∠EAC＝90°， ∵射线AF平分∠DAE，∴∠DAF45°，∴∠BAF＝∠BAD+∠DAF＝50°+45°＝95°； （2）∵∠BAF比∠EAC小30°，∴设∠EAC＝x°，则∠BAF＝（x﹣30）°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝（130﹣x）°， ∵射线AF平分∠DAE，∴∠DAF∠DAE（130﹣x）°， ∵∠BAF＝∠BAD+∠DAF，即：x﹣30＝50（130﹣x），解得：x，即：∠EAC． 5．（2025秋•北京期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OC，OD在直线AB的同侧，且∠AOC＝2∠BOD．作∠AOC的平分线OM，∠BOD的平分线ON． （1）如图1，当射线OC，OD重合时，依题意补全图形，并求出∠MON的度数； （2）如图2，60°＜∠BOD＜90°，用等式表示∠BOD与∠MON的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）依题意补全图形如图， ∵∠AOC＝2∠BOD，∴∠AOB＝3∠BOD＝180°，∴∠BOD＝60°，∠AOC＝120°， ∵OM为∠AOC 的平分线，ON 为∠BOD的平分线， ∴，，∴∠MON＝∠COM+∠DON＝90°， （2），理由如下：如图，设∠BOD＝α， ∵∠AOC＝2∠BOD，∴∠AOC＝2α．OM为∠AOC 的平分线，ON 为∠BOD的平分线， ∴∠AOC＝α，， ∴，即． 题型六、尺规作图 1．（2025秋•昌平区期末）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列要求完成任务： （1）画射线AB与射线DC相交于点E，连接AD； （2）过点A作CD的垂线，交CD于点M； （3）根据图形可得AM+EM AE（用“＞”，“＜”或“＝”填空）； （4）∠ADC ∠AMC（用“＞”，“＜”或“＝”填空）． （4）利用三角形的外角的性质判断即可． 【解答】解：（1）如图，射线AB，DC，点E即为所求；（2）如图，直线AM即为所求； （3）AM+EM＜AE．（4）∠ADC＜∠AMC． 2．（2025秋•门头沟区期末）如图，在同一平面内有三点A、B、C． （1）作射线CA，连接BC； （2）延长线段BC，得到射线CD，画∠ACD平分线CE； （3）在射线CD上取一点F，使得CF＝AC； （4）在射线CE上作一点P，使PF+PA最小； （5）第（4）步作图的依据是 ． 【解答】解：（1）如图所示，射线CA，线段BC即为所求；（2）如图所示，射线CD，射线CE即为所求； （3）如图所示，点F即为所求；（4）如图所示，点P即为所求； （5）第（4）步作图的依据是：两点之间，线段最短． 3．（2025秋•海淀区校级期末）如图，已知∠AOB，点C在边OA上． （1）按步骤画图． ①在射线OB上取一点D，使OD＝2OC； ②连接CD，在线段CD上取一点E，作射线OE，使得OE平分∠AOB； ③在射线OE上取一点P（不与点O，E重合），连接PC，PD； （2）由图可知：PC+OC OP（填“＞”“＜”或“＝”）． 并写出判断的依据： ． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）PC+OC＞OP（两点之间线段最短）． 4．（2025秋•西城区期末）如图，已知线段AB和线段a，b（AB＞b＞a）． （1）使用直尺和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，保留作图痕迹）： ①在线段AB上截取AC＝a； ②在线段AB的延长线上作线段BD＝b． （2）在（1）的条件下，若AB＝6，a＝3，b＝5，且点E是线段CD的中点，则线段CD的长为 ，线段AE的长为 ． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）如图， ∵AB＝6，AC＝a＝3，BD＝b＝5，∴BC＝AB﹣AC＝6﹣3＝3，∴CD＝CB+BD＝3+5＝8， ∵点E是线段CD的中点，∴，∴AE＝AC+CE＝3+4＝7， 【巩固提升】 1．（2025秋•海淀区校级期末）小明在学习了线段与角的知识之后，得到了两条结论： 甲：已知线段AB，若平面内的点C满足AC＝BC，则C是线段AB的中点； 乙：已知∠AOB，若射线OC满足∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的角平分线． 关于这两个结论，以下判断正确的是（　　） A．甲错乙对 B．甲对乙错 C．甲乙都错 D．甲乙都对 【解答】解：甲：已知线段AB，若平面内的点C满足AC＝BC，则C不一定是线段AB的中点，但点C在线段AB的中垂线上，因此甲的说法不正确；乙：已知∠AOB，若射线OC满足∠AOC＝∠BOC，当射线OC在∠AOB的内部时，OC是∠AOB的角平分线，当射线OC在∠AOB的内部时，OC不是∠AOB的角平分线，因此乙的说法是不正确的．故选：C． 2．（2025秋•东城区期末）我国“风云四号”气象卫星在太空中对某地进行观测．已知观测点A位于地面指挥中心O的西北方向上，另一监测点B位于A的右侧．若∠AOB＝75°，则监测点B位于指挥中心O的（　　） A．南偏东30° B．南偏东60° C．北偏东60° D．北偏东30° 【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，∠AON＝45°，∵∠AOB＝75°， ∴∠BON＝75°﹣45°＝30°，即监测点B位于指挥中心O的北偏东30°，故选：D． 3．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西60°的方向，同时轮船B在南偏东20°的方向，那么∠AOB的大小为（　　） A．170° B．140° C．130° D．80° 【解答】解：由题意得到：∠1＝60°，∠3＝20°，∴∠2＝90°﹣∠1＝30°， ∴∠AOB＝30°+90°+20°＝140°．故选：B． 4．（2025秋•朝阳区期末）下列选项中的两个语句（分号隔开）表述的含义不一致的是（　　） A．画直线l，使点A在直线l上；经过点A画直线l B．延长线段AB；反向延长线段BA C．延长线段AB至点C，使BC＝AB；延长线段AB至点C，使AC＝2AB D．画∠AOB的平分线OC；画射线OC，使 【解答】解：A、B、C中的两个语句表述的含义一致，故A、B、C不符合题意；D、画射线OC，使∠AOC∠AOB，射线OC可能在∠AOB外部，因此这个语句和前一个语句不一致，故D符合题意．故选：D． 5．（2025秋•海淀区校级期末）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体 【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体， 又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：A． 6．（2025秋•东城区期末）若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角的度数为 度． 【解答】解：设这个角为x度，则：180﹣x＝3（90﹣x）．解得：x＝45．故这个角的度数为45度． 7．（2025秋•海淀区校级期末）已知点A，B，C，D，E的位置如图所示，下列结论：①∠AOB＝130°；②∠BOC＝∠DOE；③∠COD和∠BOE互补；④∠AOB与∠COD互余．所有正确结论的序号是　 ． 【解答】解：①由图可知∠AOB＝50°，不是∠AOB＝130°；②∵∠DOE＝40°，∠BOC＝90°﹣50°＝40°，∴∠BOC＝∠DOE；③∵∠DOC＝50°，∠BOE＝130°，∴∠DOC+∠BOE＝180°；④∵∠AOB＝50°，∠DOC＝50°，∴∠AOB＝∠DOC，∴∠AOB和∠DOC不互余．故答案为：②③． 8．（2025秋•昌平区期末）如图，某条公路可视为直线l，从公路外一点P向公路前进，PB垂直于直线l，三条路线PA，PB，PC中最短的是PB ，依据是 ． 【解答】解：三条路线PA，PB，PC中最短的是PB，依据是垂线段最短．故答案为：PB，垂线段最短． 9．（2025秋•海淀区校级期末）如图，折叠长方形纸片ABCD，使点C落在点E处，折痕为GF，∠BFH＝30°，若FE恰好平分∠GFH，则∠GFC的大小是 °． 【解答】解：设∠GFC＝α，由折叠性质得：∠EFG＝∠GFC＝α，∵FE恰好平分∠GFH， ∴∠EFH＝∠EFG＝α，∴∠GFC+∠EFH+∠EFG+∠BFH＝180°， ∵∠BFH＝30°，∴α+α+α+30°＝180°，解得：α＝50°，∴∠GFC＝α＝50°． 10．（2025秋•北京校级期末）如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，∠COD＝90°且OA，OB位于直线CE两侧． （1）当∠AOC＝30°时，求∠BOC，∠AOD的度数； （2）请你猜想∠BOC和∠AOD的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）由条件可得∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°， ∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝120°； （2）∠AOD+∠BOC＝180°，理由如下： ∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°． 11．（2025秋•门头沟区期末）根据题意，补全证明过程： 已知，如图，点A在线段BC上，，点D是线段BC的中点，CD＝3．求线段AD的长． 解：∵点D是线段BC的中点，CD＝3， ∴BD＝CD＝3，BC＝2CD＝ ． 又∵， ∴ ． ∴AD＝CD﹣ ＝3﹣ ＝ ． 【解答】解：∵CD＝3，点D是线段BC的中点，∴BC＝2CD＝6，BD＝CD＝3， 又∵，∴．∴AD＝CD﹣AC＝3﹣2＝1． 12．（2025秋•门头沟区期末）如图，∠AOB＝120°，点C为∠AOB内部一点．OD平分∠BOC，OE平分∠AOD． （1）当∠AOC＝30°时，依题意补全图形，并求∠EOC的度数； （2）当∠AOC＝α（0°＜α＜120°）时，直接用含a的代数式表示∠EOC的度数． 【解答】解：（1）则OD为∠BOC的角平分线， 同样方法即可作出∠AOD的平分线OE，如图， ∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣30°＝90°， ∵OD为∠BOC的角平分线，∴，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝45°+30°＝75°， ∵OE为∠AOD的角平分线，∴， ∴∠EOC＝∠COD﹣∠EOD＝45°﹣37.5°＝7.5°； （2）解：∵∠AOB＝120°，∠AOC＝α（0°＜α＜120°），∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣α， ∵OD为∠BOC的角平分线，∴， ∴， ∵OE为∠AOD的角平分线，∴， ∴∠EOC＝∠COD﹣∠EOD＝60°（30°）＝30°． 13．（2025秋•海淀区校级期末）如图，在平面内有一点O，过点O作射线OA、OB、OC，使得∠AOB＝120°，OC在∠AOB内部，且∠AOC＝2∠BOC． （1）求∠AOC和∠BOC的度数； （2）若射线OD平分∠AOC，求∠COD的度数； （3）在（2）的条件下，过点O作射线OE，使得∠DOE＝90°，求∠BOE的度数（分两种情况讨论）． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOC＝2∠BOC，设∠BOC＝x，则∠AOC＝2x， ∴2x+x＝120°，解得x＝40°，∴∠AOC＝80°，∠BOC＝40°； （2）如图：∵OD平分∠AOC，∠AOC＝80°∴； （3）分两种情况： ①当OE在OD上方： ∵∠DOE＝90°，∠COD＝40°，∴∠COE＝50°，∵∠BOC＝40°，∴∠BOE＝∠COE﹣∠BOC＝10°， ②当OE在OD下方： ∵∠DOE＝90°，∠COD＝40°，∴∠COE＝130°，∵∠BOC＝40°，∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝170°； 综上，∠BOE的度数为10°或170°． 14．（2025秋•海淀区校级期末）如图，点O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA、OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD． （1）当∠AOC＝70°时，求∠DOE的度数． （2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝70°，∴∠BOC＝AOB﹣∠AOC＝90°﹣70°＝20°， ∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝20°， ∴∠DOE＝180°﹣∠BOC﹣∠BOD＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠DOE＝140°； （2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠BOC， ∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD， ∴∠DOE＝180°﹣∠BOC﹣∠BOD＝180°﹣2∠BOC＝2（90°﹣∠BOC）＝2∠AOC，∴∠DOE＝2∠AOC． 15．（2025秋•海淀区校级期末）如图，已知∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC． （1）∠MON的大小为 ； （2）射线OC从图中位置开始，以10°/s的速度绕着点O逆时针旋转，设运动时间为t（单位：s）． ①当10≤t＜16时，判断∠MON的大小是否发生变化，并说明理由； ②当0≤t≤22时，若∠MON＝2∠AON，则t的值为 ． 【解答】解：（1）∵∠MOC∠BOC，∠NOC∠AOC，∴∠MOC+∠NOC（∠BOC+∠AOC）∠AOB＝30°． （2）①当10≤t＜16时，则∠AOC＝20°+10°t，∴120°≤∠AOC＜180°， 如图， ∵∠MOC∠BOC，∠NOC∠AOC，∴∠MON＝∠NOC﹣∠MOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB＝30°． ∴∠MON的大小不会发生变化． ②由①可知当10≤t＜16时和0≤t＜10时，∠MON的大小不变．∴当0≤t＜16时，∠MON＝30°． ∵2∠AON＝∠MON＝30°，∴∠AON＝15°，∴∠AOC＝20°+10°t＝2∠AON＝30°，∴t＝1． 当16＜t≤22时，如图，∠AOC＝360°﹣（20°+10°t）＝340°﹣10°t． ∴∠MON＝∠NOC+∠MOC∠AOC∠BOC（360°﹣∠AOB）＝150°． ∵∠MON＝2∠AON．∴∠AON＝75°＝∠CON∠AOC（340°﹣10°t）．∴t＝19．故答案为：1或19． 试卷第1页，共3页 2 学科网（北京）股份有限公司 $