第6章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（人教版2024）

本章综合提升（答案P32) 171111711 ·本章知识归纳· /////A 常见的立体图形：圆柱、 柱、圆锥、锥、球 从正面看 几何图形 从不同的方向看立体图形从看 从上面看 立体图形的平面 图 表示方法：用两个 字母；用一个小写字母 直线特点：向两个方向无限 没有端点 性质： 确定一条直线 表示方法：用两个大写字母；用一个 字母 射线 特点：向 方向无限延伸，一个端点 直线、射 线、线段 表示方法：用 大写字母；用一个小写字母 几何图形初步 特点： 端，点 比较方法：度量法、 法 线段 线段的中点：把一条线段分成两条 的线段的点 性质：两点之间， 最短 两点间的距离：连接两点的线段的 有公共端点的两条 所组成的图形 定义 由一条射线绕着它的端点 而形成的图形 表示方法：用三个 字母；用一个大写字母；用个阿拉伯数字 或希腊字母 角的度量：1°=60,1'= 角 比较方法： 法、叠合法 角的平分线：从一个角的 出发，把这个角分成两个相等的角的射线 余角：两个角的和等于 两角的特殊关系补角：两个角的和等于。 性质：同角（等角）的余角；同角（等角）的补角 ←思想方法归纳·恤 【例1】运算能力一个角的补角比它的余 角的3倍少30°，求这个角的余角、补角的度数. 1.方程思想 Q链接本章 本章求有关线段或角度的问题时，通常 把一个量设为未知数，利用它们之间的和差 倍分关系列方程求解 △七年级·上册·数学.RJi 143 【变式训练1】（常德安乡期末）如图所示，点 【变式训练2】（广州期末）如图所示，线段 C在线段AB上，且AC：BC=2：3,点D在线 AB=20cm,C为AB的中点，点P从点A出发， 段AB的延长线上，BD=2AC,点E为AD的 以2cm/s的速度沿线段AB向右运动，到点B 中点. 停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段 (1)当线段AC=2x厘米时，用含x的代数 AB向左运动，到点A停止.若P,Q两点同时出 式表示线段AE的长度. 发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止 (2)当线段CE=20厘米时，求线段BE 设点P的运动时间为xs(x>0). 的长度 (1)AC= cm. A C EB (2)是否存在某一时刻，使得C,P,Q这三点 中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存 在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说 明理由. QB 2.分类讨论思想 链接本章 在本章中，线段或角的无图（或图形不 完整)的计算题，图形往往会有不同的情况， 需要分类讨论， 【例2】在同一平面内有三条射线OA, OB,OC,若∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC, ∠BOD=21°，求∠BOC的度数 ←通模拟ww 1.(遵义汇川区模拟)如图所示，有 一定厚度的墙面上有一个圆形 的通风口，下列几何体不能堵住 这个通风口的是() g 144 优+学案·课时通△ 2.(沧州任丘模拟)下列四个生活中的现象可用 通中考 111I111/1/I11/11I1/1/1I/1/1/0 公理“两点之间，线段最短”来解释的是( 7.(巴中中考)如图所示图形中为圆柱的 在墙上用钉子 是( 钉木板 D 3.(深圳南山区模拟)如图所示，三棱柱的底面边 长都为2cm,侧棱长为5cm,则这个三棱柱的 A B C D 侧面展开图的面积为 8.(常州中考)下列图形中，为四棱锥的侧面展开 北 图的是( B B D 第3题图 第4题图 9.(德阳中考)走马灯，又称仙音烛，据史料记载， 4.(韶光仁化期末)如图所示，在灯塔O观测小岛 走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代， B位于正西方向，同时小岛C在灯塔O的北偏 是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等 东28°30的方向，那么∠BOC= 度 节日.在一次综合实践活动中，一同学用如图 5.(苏州工业园区期末)如图所示，已知线段 所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走 AB=8cm,P是AB的中点，C,D分别是线段 马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写 PA,PB上的点，且AC=2PC,PD=2BD,则 了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意” CD= cm. 的字样.则在A,B,C处依次写上的字可以 A C P D B 是( 6.(廊坊广阳区期末)如图所示是由5个大小相 同的正方体搭成的几何体， (1)请在下面分别画出从左面、上面两个方向 看到的图形 A.吉如意 B.意吉如 ----- --------- C.吉意如 D.意如吉 10.（南京中考)如图所示，点A,O,B在同一条直 从左面看 从上面看 线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC (2)边长为5的正方形以它的一边所在直线为 的平分线.若∠AOE=162°，则∠BOD= 轴旋转一周，求得到的几何体的体积。 从正面看 △七年级·上册.数学.RJiH 145 综合与实践设计学校田径运动会比赛场地（答案P33) 合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要.某学校受校园场地空间的客 观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为300m的跑道如图①所示. 第1分道第2分道 A 0.3m 12n 西 26m 26m 南 第1分道测量线第2分道测量线 ⊙ 注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内 突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿 的宽度忽略不计； 注2：以上计算π取3； 注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保 证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等； 注4：A,B,C,D四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点， (1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为1.2m,共有6条分道，从内到外分别是第一至 第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离 内突沿（见注1）外沿0.30m,其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿0.20m(如图②所示).已知 第一分道的总长度1为300m(即第一分道的测量线总长度为300m),第一分道弯道的内侧边缘所 在圆的半径为26m. ①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）. ②学校将在该跑道举行200跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧 弯道交汇处（如图所示的线段CH),为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧 弯道”“北侧直道”“西侧弯道”或“南侧直道”)，并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）； (2)在(1)的条件下，半径为10m阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形AECFG是“沙包投 掷”项目的比赛场地，AG=20m,EC=10m,FC=10m.求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的 和). 146 优+学案·课时通△(任选两种即可) ∠COM=∠AOC+∠AOE+∠EOM 2.解：(1)(3a2+ab)(48a2+16ab) =40°+35°+209 (2)当a=6,b=8.5时， =95°； 48a2+16ab 当OM在OE的上方时，如图②所示， =48×62+16×6×8.5 ∠COM=∠AOC+∠AOE-∠EOM =2544(cm2). =40°+35°-20 3.解：在图①中用半径去截圆周使得AB=BC=CD=DE= =55°. EF=FA=OA,连接AC,CE,EA,BF,FD,DB即可. 综上所述，∠COM=95°或55° 在图②中作∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA= 8.解：(1)60°+t 72°，连接AC,CE,EB,BD,DA即可. (2)由题意可知∠POB=3t. 如图①所示，当射线OB在射线OA左侧时，∠AOB= ∠POA-∠POB, 即60°+t-3t=40°，解得t=10° 如图②所示，当射线OB在射线OA右侧时，∠AOB= ∠POB-∠POA, 即3t-(60°+t)=40°，解得t=50°. ① M A 4.解：(1)12 B (2)如图所示，这个图形的边数是20： 60R 60 P Q ① ② (3)由题意可知∠POD=2t, (3)如图所示，得到的图形的边数是30. 因为∠POB=3t>∠POD, 所以射线OD在射线OB左边 如图③所示，当射线OB是射线OA与射线OD组成的夹角 ∠AOD的平分线时，此时，∠AOB=∠BOD(此时OM与OB重 合)，因为∠AOB=t,∠BOD=60°-2t, 本章综合提升 所以t=60°一2t,解得t=20°. 【本章知识归纳】 M(B)A D 棱棱左面展开大写延伸两点小写一个 D 两个两个叠合相等线段长度射线旋转大写 60 60° 60度量顶点90180相等相等 P 0 Q 0 ③ 【思想方法归纳】 【例1】解：设这个角为x°. 如图④所示，当射线OA是射线OB与射线OD组成的夹角 180-x=3(90-x)-30, ∠BOD的平分线时，此时，∠AOB=∠AOD, 解得x=30, 因为∠A0B=3t-(60°+t)=2t-60°，∠AOD=60°+t-2t= 90°-x=60°， 60°一t,所以2t-60°=60°-t,解得t=40°， 180°-x=150°， 综上所述，t=20°或40°. 答：这个角的余角度数为60°，补角度数为150° 【变式训练1】解：(1)因为AC=2x厘米，AC:BC=2：3, 数学活动 所以BC=3x厘米，AB=5x厘米. 1.解：如图所示。 因为BD=2AC, 所以BD=4x厘米， 所以AD=AC+BC十BD=9x厘米. 因为点E为AD的中点， 所以AE=DE=子AD=号r厘米. 32 (2)由(1)得AE= 2x厘米，AC=2x厘米， 9 ③当Q为PC的中点时，则PC=2CQ,如图③所示. 9 C Q P B x-2x=20, ③ x=8. 因为PC=AP-AC=(2x-10)cm,CQ=BC-BQ=(10- 911 x)cm, BE=AB-AE=5x-2x=2x=2×8=4(厘米). 所以2x-10=2(10-x), 【例2】解：①若OA在OB,OC之间，如图 解得x=7.5. ①所示. 综上所述：当x=6s或7.5s时，C,P,Q三点中，有一点恰为 设∠AOB=x,则∠BOC=2x. 另外两点所连线段的中点 因为∠AOC=∠BOC-∠AOB, ① 【通模拟】 所以∠AOC=2x-x=x 1.D2.B 因为OD平分∠AOC, 3.30cm24.118.55.4 所以∠0A=号∠A0C=克 6.解：(1)从左面、上面两个方向看到的图形如图所示， 因为∠BOD=∠AOB+∠DOA, 所以x+2x=21 解得x=14°， 从左面看 从上面看 所以∠BOC=28° (2)边长为5的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得 ②若OA不在OB,OC之间，如图②所示. 到的几何体为以5为半径，高为5的圆柱，得到的几何体的体 设∠AOB=x,则∠BOC=2x. 积为π×52×5=125元. 因为∠AOC=∠BOC+∠AOB, 【通中考】 所以∠AOC=2x+x=3x, 7.B8.B9.A10.108 因为OD平分∠AOC, 综合与实践设计学校田径运动会比赛场地 所以∠D0A=号∠A0C=1.52. 解：(1)①记第一分道弯道测量线所在圆半径为r1,第六分道弯 因为∠BOD=∠DOA-∠AOB, 道测量线所在圆半径为r。· 所以1.5x一x=21°. 因为1=300m,r1=26+0.3=26.3(m), 解得x=42°， 所以第六分道的直道总长度为 所以∠BOC=84°. 300-2xr1=300-2×3×26.3=300-157.8=142.2(m). 综上，∠BOC的度数是28°或84°. 因为r6=26+(6-1)×1.2+0.2=32.2(m), 【变式训练2】解：(1)10 所以第六分道的两侧弯道总长度为2π×32.2=2×3×32.2= (2)存在. 193.2(m). 依题意得AP=2xcm,BQ=xcm, ②第六分道起跑点设在北侧直道. 由(1)可知：AC=BC=10cm, 分三种情况讨论如下： 因为第六分道西侧弯道长为号×2，=号×2X3X322= 1 ①当点C为PQ的中点时，则PC=QC,如图①所示. 96.6(m), A P C Q ① 第一分道西侧弯道长为分×2m,=言×2X3×263 因为PC=AC-AP=(10-2x)cm,QC=BC-BQ=(10 78.9(m), 所以96.6-78.9=17.7(m), x)cm, 所以10-2x=10-x, 所以第六道相对于第一道的前伸数是17.7m. 解得x=0(不合题意，舍去)； 1 (2)根据题意，得CD=AB=26×2=52(m),AD=BC=2× ②当点P为CQ的中点时，则PC=PQ,如图②所示. 142.2=71.1(m), A C PQ B 所以长方形ABCD的面积为AB X BC=52×71.1= ② 3697.2(m2). 因为PC=AP-AC=(2x-10)cm, 因为EC=10m, 所以BP=AB-AP=(20-2x)cm, 所以BE=BC-EC=71.1-10=61.1(m), 所以PQ=BP-BQ=20-2x-x=(20-3x)cm, 所以2x-10=20-3x, 所以三角形ABE的面积为号AB×BE=合×52×61.1= 解得x=6; 1588.6(m2). 33 因为AG=20m,FC=10m, (5)-[-(+1)]=-(-1)=1. 所以DG=AD-AG=71.1-20=51.1(m),DF=CD-FC= (6)-[-(-9)]=-(+9)=-9. 52-10=42(m), 2.解：(1)点C表示的数是-1. 所以三角形DFG的面积为2 DFX DG=2×42×51.1= 1 (2)点C表示的数是0.5，点D表示的数是-4.5. 1.2.4绝对值 1073.1(m), 1.解：因为a的相反数等于2， 所以五边形AECFG的面积为3697.2一1588.6一1073.1= 所以a=-2. 1035.5(m2). 因为1b1=3, 因为“跳绳”项目比赛场地的面积为π×102=300(m2), 所以b=士3. 所以1035.5+300=1335.5(m2), 2.解：(1)-516 所以两项比赛场地的总面积为1335.5m2. (2)|x-1| 限时训练 当PB=3时， 1.1正数和负数 即|x一1|=3， 1.解：正数有+2018,10.58，+1，+00负数有-3,1，-9 则x一1=3或x-1=一3， 解得x=4或x=一2. -456,-7%,-1 1.2.5有理数的大小比较 1.解：(1)-(+0.16)=-0.16，-1-0.161=-0.161， 2.解：(1)67+68+67+66+64+63+65+63=523（元）. 即销售后的总额为523元. 因为1-0.161=0.16，-0.161|=0.161， 又因为0.16<0.161， (2)因为523>400， 所以-(+0.16)>-|-0.161|. 所以该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利：523-400=123（元）. (2)-(-15)=15. 1.21.2.1有理数的概念 因为1-0.3-03-号- 1.解：自然数集合：{十2,0，…}： 负整数集合：{-3，一8，…)； 又因为0.38日 正分数集合：{0.6,10%，0.3，…； 所以-03a8>-号 有理数集合：{0.6，-3，+2,10%，0，一8，一1.2,0.3，…}. (4)|-9|=9,-|+9|=-9, 2.解：(1①因为负数有-8号，-10，-41，-0.01，-号， 、2 因为9>-9， 所以1-9>-|+9. 一10%，一20共7个； 2.解：l-2.5=2.5,-13=-3,-(-1)=1. 正整数有5,53，十200共3个. 在数轴上表示各数如图所示. 所以小王坐的是7号座位，小李坐的是3号座位 (2)7×2+4×3=14+12=26(名). 025 -4-31-1 答：这次聚会到了26名同学 -5-4-3-2-1012345 1.2.2数轴 1 所以-4<-31<-12<0<-（-1)<1-2.51. 1.解：(1)如图所示. (2)如图所示，将点A沿数轴平移4个单位长度后得到的数 2.12.1.1 是3或一5. 第1课时有理数的加法法则(1)】 2 -1(A) 3.55 解：(1)原式=十(2025-11)=2014. 6-5-4-3-2023456 (2)原式=-(2025-11)=-2014. 2.解：(1)-41 (3)原式=0. (2)如图所示. (4)原式=-(3.4+5.7)=-9.1. D B (5)原式=-(21-9)=-12. -1.5 6)原式=-32 (3)27 (7)原式= 1.2.3相反数 (+)=-1 1.解：(1)十(-3)=-3. (8)原式=-(3.6-2.7)=-0.9. a-(+2)=- 9)原式=号+(-6号)=-6 (3)-(-3.4)=3.4. 第1课时有理数的加法法则(2) (4)-[+(-8)]=-(-8)=8. 解：(1)原式=十(9.6-2.8)=6.8. 34