辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年高三上学期数学第3周周测试题

**基本信息** 高三数学周测试题，覆盖集合、函数、数列等高频考点，通过导数证明、解三角形多问等设计，考查抽象能力与推理能力，适配高三一轮复习基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合运算、复数方程、函数图像识别|结合韦恩图考查集合关系（数学眼光）| |多选题|3题18分|三角函数图像变换、函数奇偶性与周期性|多选项辨析函数性质（推理意识）| |填空题|3题15分|数列通项、锐角三角形边角关系|限定锐角条件求范围（数学思维）| |解答题|5题77分|向量夹角、函数单调性证明、解三角形、数列求和、导数极值|导数双极值点证明（逻辑推理），解三角形多问递进（应用意识）|

辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第3周周二全卷测试题答案 一、单选题（每题5分，合计40分） 1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的补集、交集运算得解. 【详解】由题意可得或， 故， 由韦恩图可知图中表示的集合为， 故选：B. 2．已知是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．22 C．30 D．32 【答案】D 【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以方程的另一个虚根为， 所以，解得，所以. 故选：D. 3．求值：（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先利用诱导公式处理，，再分别对分子、分母应用两角差的正弦公式、二倍角正弦公式进行处理，代入原式后即可求解． 【详解】由诱导公式，可知，． 对于分子， ； 对于分母，． 由于，故． 4．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【详解】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A 5．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 6．若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（    ） A．27 B．54 C．81 D．243 【答案】D 【分析】利用数列通项与前项和的关系推出数列的递推关系,结合等差中项的性质求出首项,确定等比数列的通项后计算. 【详解】已知,当时,有,两式作差得: , 整理得,即数列从第二项起为公比为3的等比数列,因此. 当时, ; 又因为是与的等差中项,所以, 整理得,又因为,解得,满足, 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,所以因此. 7．已知平面向量满足：，若对任意，恒成立，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得： . 因为，依题意任意恒成立. 所以，所以. 所以在上的投影向量为. 8．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】已知式等价于，利用函数的单调性得，，相加后利用等号成立的条件求得值，从而可得结论. 【详解】，所以原等式化为， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，所以，即，当且仅当时取等号， 所以时，，，所以， 又已知条件为，所以，， 所以. 二、多选题（每题6分，合计18分） 9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；求出、的表达式，可求出的最小值，可判断C选项；利用同角三角函数的基本关系和诱导公式可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，可得到函数的图象， 对于A选项，因为， 所以函数的图象关于直线对称，A对； 对于B选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，由可得或， 解得或， 若，，则， 由题意可知，故， 若，，同上可知， 若，，则， 当时，取最小值，即， 综上所述，，C对； 对于D选项，因为，，所以， 则， 故，D对. 10．已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（    ）. A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BC 【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对. 【详解】对于C，由①，得， 因为，所以，故②， ①＋②，得，所以的图象关于点对称， 且，故C正确； 对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数， 所以， 所以， 故，所以的周期为4， 在中，令，得， 所以， 结合的周期性得，，， 所以，故D错误； 对于A，①－②，得， 所以， 所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误； 对于B，由得， 因为是奇函数，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故B正确. 故选：BC. 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到. 【详解】A选项，时，， 恒成立，故函数在上单调递增，A正确； B选项，，当时，恒成立， 此时在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然不在上，设切点为， 因为，所以， 故切线方程为， 又切线过点，故， 整理得， 设，则 令得或， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 又，故只有1个根-2， 故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当时，， 若，直线， 此时与曲线只有1个交点，不合要求，故， ，直线与曲线联立得 ， 设， 故， 所以，则，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分，合计15分） 12．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____. 【答案】 【分析】利用递推关系可得答案. 【详解】当时，， 当时，，① ，② ①②，得， 因为不满足上式，所以. 故答案为：. 13．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据题意，及锐角三角形的性质求出的取值范围，再根据正弦定理，及二倍角的正弦公式得到，进而根据余弦函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】在锐角三角形中，有，解得， 由，则， 则由正弦定理得， 又，则，所以， 故的取值范围为． 14．已知中，，，是上一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则的面积为________． 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系，设出各点坐标后将表示为关于点横坐标的二次函数，利用二次函数最小值在处取得的条件求出点纵坐标的绝对值，最终代入三角形面积公式计算得到结果. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，， 由，，得， 设上任意点（），， 则，， 因此，这是关于的开口向上的二次函数， 由，可知二次函数的最小值在处取得， 即二次函数对称轴为，即 ，解得，即， 已知，所以，化简得，即， 所以三角形的面积. 四、解答题 15．（13分）已知向量，，非零向量. (1)若，，向量与的夹角是钝角，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量的运算表示出向量后，利用两向量夹角为钝角时数量积小于零且不共线的条件求取值范围. （2）通过向量平行时的性质求出与间的数量关系，并通过函数性质求解最小值. 【详解】（1）由，， 则， 因为向量与夹角为钝角，所以，且与不共线， 则 解得且， 所以的取值范围为 （2）依题意，， 由，得，则 由为非零向量，得，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为 16．（15分）已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）首先根据的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为恒成立即可，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题知函数定义域均为.∵是偶函数，∴. 即整理得即. 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴， 此时经检验，符合题意. （2）略. （3）在上单调递增，故有对恒成立， 又. ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令. 只需即可.又对称轴为，    ①当，即时，在上单调递增， 只需即可.∴. ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴. 解得∴. 综上所述，的取值范围为 17．（15分）已知、、分别为的内角、、的对边． (1)满足，，且，求； (2)在（1）的条件下，若，且的面积为，求的周长； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示列式，再利用正弦定理边化角求解即可； （2）因为，化简得到，结合余弦定理得到，所以周长为； （3）由，结合余弦定理，化简得， 再由正弦定理可得，化简得，则可得到，因为锐角得到B的范围，所以，所以的取值范围是. 【详解】（1）由，，且， 所以，即， 化简整理得， 再由正弦定理得， 因为，， 所以，且，所以． （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为． （3）因为， 又由余弦定理， 所以， 化简得， 因为，即， 由正弦定理可得（*）， 又因为， 代入（*）化简得：， 即， 又因为，，则， 所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 18．（17分）已知数列满足记. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)设，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明: 因为， 所以， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. (2) (3)证明： 【分析】（1）按等比数列的定义证明，用的递推关系寻找与的关系； （2）使用分组求和法，奇数项为等比数列求和，偶数项可转化为奇数项求和； （3）先将放缩后再裂项可求和. 【详解】（1）证明略，通项为； （2） ； （3）略. 19．（17分）已知函数 (1)当，求的极值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求证： 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 若有两个极值点， 有两个零点， 令，则方程等价于有两个解， 不妨令，， 记，则，令得，令得， 则在单调递减，单调递增，∴， 要证， 由在递增，只要证， 令，则， 则在递减，，，即，，又在递增，， ，即，. 【分析】（1）求出导函数，进而判断函数的单调性，根据极值的概念即可求解； （2）先分析得，则有，然后记，求导函数，按照，和分类讨论，研究函数的单调性，即可求解； （3）由题意有两个零点，令，则有两个解，记，利用导数法求得，，转化为证明，令，进而利用导数法判断单调性即可证明. 【详解】（1）当，，， ，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 的极小值为，无极大值； （2）若，，即， ∴（若，取，则，而，不满足）， 由得，即， 记， 则， 当时，单调递增，，， 当时，时，单调递减，则， 矛盾， 当时，，矛盾， 综上所述，的取值范围为； （3）略 试卷第16页（共16页） 试卷第16页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高三数学第3周周二全卷测试题 一、单选题（每题5分，合计40分） 1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．22 C．30 D．32 3．求值：（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   5．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（    ） A．27 B．54 C．81 D．243 7．已知平面向量满足：，若对任意，恒成立，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题（每题6分，合计18分） 9．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．若，且，则 10．已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（    ）. A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C．的图象关于点对称 D． 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 三、填空题（每题5分，合计15分） 12．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____. 13．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为__________． 14．已知中，，，是上一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则的面积为________． 四、解答题（满分77分） 15．（13分）已知向量，，非零向量. (1)若，，向量与的夹角是钝角，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 16．（15分）已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）已知、、分别为的内角、、的对边． (1)满足，，且，求； (2)在（1）的条件下，若，且的面积为，求的周长； (3)在锐角中，若，求的取值范围． 18．（17分）已知数列满足记. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. (3)设，记数列的前项和为，求证：. 19．（17分）已知函数 (1)当，求的极值； (2)若，，求的取值范围； (3)若有两个极值点，求证： 试卷第16页（共16页） 试卷第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $